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立体几何中垂直证明问题的类型与解法
立体几何中垂直证明问题是近几年的高考热点内容之一，可以这样毫不夸张地说，只要是高考试卷，就必然会涉及立体几何中垂直（或平行）证明的问题。从题型上看可能是选择题（或填空题），也可能是大题；从难易程度上看，属于中、低档难度的问题，但有时也可能属于高档难度的问题。纵观近几年高考试题，归结起来立体几何中垂直证明问题主要包括：①证明直线垂直直线；②证明直线垂直平面；③证明平面垂直平面等几种类型。各种类型问题结构上具有某些特征，解答方法也有一定的规律可寻，那么在实际解答立体几何中垂直证明的问题时，到底应该如何抓住问题的结构特征，快捷，准确地予以解答问题呢？下面通过典型例题的详细解析来回答这个问题。
【典例1】解答下列问题：
1、（理）已知直三棱柱ABC—中，侧面AB为正方形，AB=BC=2，E，F分别为AC和C的中点，D为棱上的点，BF。
（1）证明：BFDE；
（2）当D为何值时，面BC与面DEF所成的二面角的正弦值最小？
（文）已知直三棱柱ABC—中，侧面AB为正方形，AB=BC=2，E，F分别为AC和C的中点， BF。
（1）求三棱锥F—EBC的体积；
（2）已知D为上的点，证明：BFDE（2021全国高考甲卷）。
（理科图） （文科图）
【解析】
【考点】①直三棱柱的定义与性质；②证明四点共面的基本方法；③直线垂直直线判定定理及运用；④直线垂直平面判定定理及运用；⑤直线垂直平面性质定理及运用；⑥三棱锥体积公式及运用；⑦建立空间直角坐标系的基本方法；⑧求平面法向量的基本方法；⑨求二面角余弦值的基本方法。
【解题思路】（理）（1）如图，取BC的中点G，连接E，EG，G，根据证明四点共面的基本方法，结合问题条件证明点E，G，，D共面，运用直线垂直直线和直线垂直平面的判定定理，证明BFG，从而证明直线BF平面EGD，利用直线垂直平面的性质定理就可证明BFDE；（2）如图，设D=t（0【详细解答】（理）（1）如图，取BC的中点G，连接E，EG，G，点E是AC的中点，ABC—是直三棱柱，EG//AB， EG//，点E，G，，共面，
在BCF与GB中，B=BC=2，CF=BG=1，BCF=BG=，BCF
GB，CFB=GB， BFG， BF，，G 平面EG，
G=，BF平面EG，DE平面EG， BFDE；（2）如图，设D=t（0AB+BC+CF，AC=AF-CF= AB+BC+CF- CF= AB+BC， ABBC，以B为原点，，，分别为X轴，Y轴，Z轴建立空间直角坐标系B—xyz，
侧面AB为正方形，AB=BC=2，E，F分别为AC和C的中点，A（0，2，0），B（0，0，0），C（2，0，0），D（0，t，2），E（1，1，0），F（2，0，1），=（0，2，0），= F（1，-1，1），=（-1，t-1，2），设平面DEF的法向量=（x，y，z），由
，.=x-y+z=0，x=1+t，y=3，z=2-t，=（1+t，3，2-t），cos<，
， .=-x+(t-1)y+2z=0，>==
=，当且仅当t=时，cos<，>的值最大，面BC与面DEF所成的二面角的正弦值最小等价于面BC与面DEF所成的二面角的余弦值最大，当D=时，面BC与面DEF所成的二面角的正弦值最小。
（文）（1）如图，连接AF，三棱柱ABC—是直三棱柱，侧面AB为正方形，AB=BC=2，E，F分别为AC和C的中点， BF=BC+CF=4+1=5， BF，AB//， BFAB，AF=AB+BF=AB+BC+CF=4+4+1=9， AC=AF-CF= 9-1=8 = 4+4=AB+BC， ABBC，==2
2=1，=11=；（2）如图，取BC的中点G，连接E，EG，G，点E是AC的中点，ABC—是直三棱柱，EG//AB， EG//，点E，G，，共面，在BCF与GB中，B=BC=2，CF=BG=1，BCF=BG=，
BCFGB，CFB=GB， BFG， BF，，G 平面EG，G=，BF平面EG，DE平面EG， BFDE。
2、如图，在三棱锥A—BCD中，平面ABD平面BCD， AB=AD，O为BD的中点。
（1）证明：OACD；
（2）若OCD是边长为1的等边三角形，点E在棱AD上，DE=2EA，且二面角E—BC—D的大小为，求三棱锥A—BCD的体积（2021全国高考新高考I卷）。
【解析】
【考点】①等腰三角形，等边三角形的定义与性质；②平面垂直平面性质定理及运用；③直线垂直平面性质定理及运用；④证明直线垂直直线的基本方法；⑤建立空间直角坐标系的基本方法；⑥求平面法向量的基本方法；⑦求二面角余弦值的基本方法；⑧三棱锥的定义与性质；⑨三棱锥体积公式及运用。
【解题思路】（1）根据平面垂直平面的性质，结合问题条件证明直线AO垂直平面BCD，运用直线垂直平面的性质就可证明OA⊥CD；根据直线垂直平面的性质就可证明直线EF⊥MC；（2）设OA=h，取OD的中点F，过F作FG//OA交AD于点G，根据等边三角形的性质证明CFOD，运用空间直角坐标系的基本方法，建立空间直角坐标系F—xyz，得到点A，O，B，C，D的坐标，求出点E的坐标，从而得到, , ,根据求平面法向量的基本方法分别求出平面EBC，平面BCD的法向量，利用求二面角余弦值的基本方法得到关于h的方程，求解方程求出h的值，利用三棱锥体积公式就可求出三棱锥A—BCD的体积。
【详细解答】（1） AB=AD，O为BD的中点，AO⊥BD，平面ABD平面BCD，平面ABD平面BCD=BD，AO平面ABD， AO⊥平面BCD， CD平面BCD，
OACD；（2）设OA=h，取OD的中点F，过F作FG//OA交AD于点G，OCD是边长为1的等边三角形， CFOD，以F为坐标原点，，，分别为X轴，Y轴，Z轴建立空间直角坐标系F—xyz，A（0，-，h），O（0，-，0），B（0，-，0），C（，0，0），D（0，，0），=（0，0，h）, =（，，0）, 令E（x，y，z），=（x，y-，z），=（-x，--y，h-z），DE=2EA，x=-2x，y-=-1-2y，z=2h-2z，x=0，y=-，z=h，E（0，-，h）, =（0，，h）,设平面BCE的法向量为=（，，），，，.=++0
=0①，.=0++h =0②，联立①②解得：=，=-1，=，=（，
-1，），二面角E—BC—D的大小为，cos<,>==
==,+1=2，h=1，=1=，=1
。
3、如图①，在等腰梯形ABCD中，AB//CD，E，F分别为AB，CD的中点，CD=2AB=2EF=4，M为DF中点，现将四边形BEFC沿EF折起，使平面BEFC⊥平面AEFD，得到如图②所示的多面体，在图②中（2019成都市高三二诊）。
（1）证明：EF⊥MC；
（2）（理）求二面角M—AB—D的余弦值。（文）求三棱锥M—ABD的体积.
【解析】
【考点】①直线垂直直线的定义与性质；②直线垂直平面的定义与性质；③证明直线垂直平面的基本方法；④证明直线垂直直线的基本方法；⑤建立空间直角坐标系的基本方法；⑥求二面角余弦值的基本方法；⑦三棱锥的定义与性质；⑧求三棱锥体积的基本方法。
【解题思路】（1）运用证明直线垂直平面的基本方法，结合问题条件证明直线EF⊥平面DCF，根据直线垂直平面的性质就可证明直线EF⊥MC；（2）（理）建立空间直角坐标系F—xyz,根据确定点的坐标的基本方法，结合问题条件分别得到点M，A，B，D的坐标，从而得到, , ，,根据求平面法向量的基本方法分别求出平面MAB，平面DAB的法向量，利用求二面角余弦值的基本方法就可求出二面角M—AB—D的余弦值。（文）根据证明直线垂直平面的基本方法证明直线CF⊥平面ADFE,从而证明直线BE⊥平面ADFE,求出的值，利用=就可求出三棱锥M—ABD的体积。
【详细解答】（1）在等腰梯形ABCD中，AB//CD，E，F分别是AB，CD的中点，
EF⊥AB，EF⊥CD， EF⊥DF，EF⊥CF，DF，CF平面DCF，DFCF=F，直线EF
⊥平面DCF，MC平面DCF， EF⊥MC；（2）（理）平面BEFC⊥平面AEFD，平面BEFC平面AEFD=EF，EF⊥DF，DF 平面ADFE，DF⊥平面EFCB， CF⊥DF， EF⊥CF，以F为原点，，，分别为x，y，z轴的正半轴建立空间直角直角坐标系F—xyz， E，F分别为AB，CD的中点，CD=2AB=2EF=4，M为DF中点，M（1，0，0），A（1，0，2），B（0，1，2），D（2，0，0），=（0，0，2）, =（-1，1，2）, =（-1，0，2），=（-2，1，2）,设平面MAB的法向量=（x，y，z），⊥，⊥，2z=0①，-x+y+2z=0②,联立①②解得x=1,y=1，z=0，=（1，1，0），设平面DAB的法向量=（，，），⊥，⊥，-+2=0③，-2++2=0④，联立③④解得=2，=2，=1，=（2，2，1），设二面角M—AB—D为，cos===,二面角M—AB—D的余弦值为。（文） E，F分别为AB，CD的中点，CD=2AB=2EF=4，M为DF中点，AM=2，DM=1, =12=1, 平面BEFC⊥平面AEFD，平面BEFC平面AEFD=EF，EF⊥DF，DF 平面ADFE，DF⊥平面EFCB， CF⊥DF， EF⊥CF，DF，EF平面DCF，DFEF=F，直线CF⊥平面ADFE，BE//CF，直线BE⊥平面ADFE，BE=1，==11=。
〖思考问题1〗
（1）【典例1】是直线垂直直线的证明问题，解答这类问题需要理解直线垂直直线，直线垂直平面的定义和直线垂直平面的判定定理；掌握证明直线垂直平面，直线垂直直线的基本方法；
（2）证明直线垂直直线的基本方法是：①正确选择一条直线和一条直线所在的平面；②运用证明直线垂直平面的基本方法，证明选择的直线垂直另一条直线所在的平面；③利用直线垂直平面的性质证明直线垂直直线。
【典例2】解答下列问题：
1、（理）如图，在四棱锥P-ABCD中，AP⊥平面PBC，底面ABCD为菱形，且ABC=，E为BC的中点。
（1）证明：BC⊥平面PAE；
（2）若AB=2，PA=1，求平面ABP与平面CDP所成锐二面角的余弦值。
（文）如图，在四棱锥P-ABCD中，AP⊥平面PBC，底面ABCD为菱形，且ABC=，E，F分别为BC，CD的中点。
（1）证明：BC⊥平面PAE；
（2）点Q在棱PB上，且=，证明：PD//平面QAF（2020成都市高三一诊）
（理科图） （文科图）
【解析】
【考点】①直线垂直直线的定义与性质；②直线垂直平面的定义与性质；③证明直线垂直平
面的基本方法；④证明直线垂直直线的基本方法；⑤建立空间直角坐标系的基本方法；⑥求二面角余弦值的基本方法；⑦四棱锥的定义与性质；⑧求四棱锥体积的基本方法。
【解题思路】（1）运用证明直线垂直直线的基本方法，结合问题条件证明直线BC⊥AE，BC⊥AP，根据证明直线垂直平面的基本方法就可证明直线BC⊥平面PAE；（2）（理）建立空间直角坐标系P—xyz,根据确定点的坐标的基本方法，结合问题条件分别得到点P，A，B，C，D的坐标，从而得到, ，，,根据求平面法向量的基本方法分别求出平面PAB，平面PCD的法向量，利用求二面角余弦值的基本方法就可求出平面PAB与平面PCD所成锐二面角的余弦值。（文）根据证明直线平行直线的基本方法证明直线MQ//PD，利用证明直线//平面的基本方法就可证明直线PD//平面QAF。
【详细解答】（1）如图，四边形ABCD是菱形，ABC=，ABC 是正三角形，E是BC的中点，AEBC，AP平面PBC，BC平面PBC，PABC，PAAE=A，AE，AP平面APE， BC平面APE；（2）（理）AP平面PBC，PB平面PBC，PAPB，AB=2，PA=1，PB=，由（1）知BC 平面APE，PE平面APE，BCPE，E是BC的中点，PB=PC=，BE=1，PE=，如图，过P作PQ//BC，交CD于点Q，PE，PQ，PA两两互相垂直，以P为原点，，，分别为X，Y，Z轴的正方向 建立空间直角坐标系P-xyz， P（0，0，0），A（0，0，1），B（，-1，0），C（，1，0），D（0，2，1），=（0，0，1），=（，-1，0），=（，1，0），= （0，2，1），设平面BAP的法向量为=（x，y，z），，， .=0+0+z=0①， .=x-y+0=0②，联立①②解得 x=1，y=,
z=0，=（1，，0），设平面PCD的法向量为=（，，），，,. =++0=0③，.=0+2+=0④，联立③④解得=1，=-，=2，=（1，-，2），设平面BAP与平面PCD所成角为， cos =||=||=||=。平面BAP与平面PCD所成锐二面角的余弦值为。（文）连接BD交AF于点M，连接QM，F 是DC的中点，
==，=， =， =，MQ//PD， MQ 平面AQF，PD平面AQF，直线PD//平面AQF。
2、（理）如图，D为圆锥的顶点，O是圆锥底面的圆心，AE为底面直径，AE=AD，ABC
是底面的内接正三角形，P为DO上一点，PO=DO。
（1）证明：PA⊥平面PBC；
（2）求二面角B—PC—E的余弦值。
（文）如图，D为圆锥的顶点，O是圆锥底面的圆心， ABC是底面的内接正三角形，P为DO上一点，APC=（2020全国高考新课标I）。
（1）证明：平面PAB⊥平面PAC；
（2）设DO=，圆锥的侧面积为，求三棱锥P—ABC的体积。
（理科图） （文科图）
【解析】
【考点】①直线垂直直线的定义与性质；②直线垂直平面的定义与性质；③证明直线垂直平
面的基本方法；④证明直线垂直直线的基本方法；⑤证明平面垂直平面的基本方法； ⑥建立空间直角坐标系的基本方法； ⑦求二面角余弦值的基本方法； ⑧三棱锥的定义与性质；⑨求三棱锥体积的基本方法。
【解题思路】（理）（1）运用证明直线垂直直线的基本方法，结合问题条件证明直线PA⊥PB，PA⊥PC，根据证明直线垂直平面的基本方法就可证明直线PA⊥平面PBC；（2）建立空间直角坐标系O—xyz,设正ADE的边长为1，根据确定点的坐标的基本方法，结合问题条件分别得到点E，P，B，C的坐标，从而得到，，,根据求平面法向量的基本方法分别求出平面PBC，平面PCE的法向量，利用求二面角余弦值的基本方法就可求出二面角B—PC—E的余弦值。（文）（1）运用证明直线垂直直线的基本方法，结合问题条件证明直线PB⊥PA，PB⊥PC，从而根据证明直线垂直平面的基本方法证明直线PB⊥平面PAC，利用证明平面垂直平面的基本方法就可证明平面PAB⊥平面PAC；（2）根据圆锥的性质，结合问题条件分别求出圆锥底面半径和母线的值，从而求出正ABC的面积，利用求三棱锥体积的基本方法就可求出三棱锥P—ABC的体积。
【详细解答】（理）（1）如图， D为圆锥的顶点，O是圆锥底面的圆心，AE为底面直径，AE=AD， P为DO上一点， ADE是正三角形，设AE=1， O是圆锥底面的圆心，P为DO上一点，PO=DO，DO=,BO=CO=,PO=,PC==, PC= =,ABC是正三角形，=2OAAB=,+
==, PA⊥PB，同理可证PA⊥PC，PBPC=P，PB，PC平面PBC， PA平面PBC；（2）过O作ON//BC交AB于点N，PO⊥平面ABC，OA，ON平面ABC， PO⊥0A， PO⊥ON，以O为原点，,,分别为x，y，z轴的正半轴建立空间直角坐标系O—xyz，E（-，0，0），P（0，0，），B（-，，0），C（-，-，0），=（-，，-），=（-，-，-），=（-，0，-），设平面PBC的法向量为=（x，y，z），，， .=-x+y-z=0①， .=-x-y-z =0②，联立①②解得 x=-，y=0,z=1,=（-，0，1），设平面PCE的法向量为=（，，），，,. =---=0③，.=-+0-=0④，联立③④解得=，=1，=-，=（，1，-），设二面角B—PC—E为， cos =｜｜=｜｜=|-|=。二面角B—PC—E的余弦值为。
（文）（1）如图，O是圆锥底面的圆心，P为DO上一点，PA=PB=PC, APC=PA⊥PC, +=, ABC是正三角形，AB=AC=BC，+=,+=，PB⊥PA, PB⊥PC,PAPC=P，PA，PC平面PAC， PB平面PBC, PB平面PAB，平面PAB⊥平面PAC；（2）设圆锥底面圆的半径为r，母线长为l，2+=①, rl=②, 联立①②解得r=1，l=，ABC是正三角形， AB=AC=BC=，PA=PB=PC=,PO==，=
=，==。
3、如图，在四棱锥P—ABCD的底面为正方形，PD⊥底面ABCD，设平面PAD与平面PBC的交线为l。
（1）证明：l⊥平面PDC；
（2）已知PD=AD=1,Q为l上的点，求PB与平面QCD所成角的正弦值的最大值（2020全国
高考新高考II）
【解析】
【考点】①直线垂直直线的定义与性质；②直线垂直平面的定义与性质；③证明直线垂直平
面的基本方法；④证明直线垂直直线的基本方法；⑤证明直线平行平面的基本方法； ⑥建
立空间直角坐标系的基本方法； ⑦求直线与平面所成角正弦值的基本方法； ⑧求函数最值的基本方法。
【解题思路】（1）运用证明直线垂直直线的基本方法，结合问题条件证明直线AD⊥PD，AD⊥CD，根据证明直线垂直平面的基本方法就可证明直线AD⊥平面PCD,根据证明直线平行平面的基本方法证明直线AD//平面PBC,从而得到AD//L就可证明直线l⊥平面PCD；（2）建立空间直角坐标系D—xyz,设点Q（a，0，1）,根据确定点的坐标的基本方法，结合问题条件分别得到点D，C，B，P的坐标，从而得到，，,根据求平面法向量的基本方法求出平面QCD的法向量，由求直线与平面所成角正弦值的基本方法得到关于a的函数，利用求函数最值的基本方法就可求出直线PB与平面QCD所成角的正弦值的最大值。
【详细解答】（1）如图， PD⊥底面ABCD，DC平面ABCD, AD⊥PD，四边形ABCD是正方形， AD⊥CD，PDCD=D，PD，CD平面PCD， AD平面PCD, AD//
BC,AD平面PBC，BC平面PBC，AD//平面PBC，AD平面PAD，平面PAD平面PBC=l，AD//l，l平面PCD；(2) PD⊥底面ABCD，AD,DC平面ABCD, PD⊥AD，PD⊥CD，四边形ABCD是正方形， AD⊥CD，以D为原点，,,分别为x，y，z轴正半轴建立空间直角坐标系D—xyz，设点Q（a，0，1）, D（0，0，0），C（0，1，0），B（1，1，0），P（0，0，1），=（a，0，1）,= （0，1，0）, = （1，1，-1）, 设平面QCD的法向量为=（x，y，z），，.= a x+
0+z=0①， .=0+ y +0=0②，联立①②解得 x=1，y=0,z=- a,=（1，0，- a），设直线PB与平面QCD所成角为，sin===.=
.,当且仅当a=1时，等号成立，直线PB与平面QCD所成角的正弦值的最大值为。
〖思考问题2〗
（1）【典例2】是直线垂直平面的证明问题，解答这类问题需要理解直线垂直直线，直线
垂直平面的基本概念；掌握证明直线垂直平面，直线垂直直线的基本方法；
（2）证明直线垂直平面的基本方法有： ①直线垂直平面的判定定理；②运用平行线垂直平面的传递性；③运用平面垂直平面的性质1；④运用平面垂直平面的性质2；⑤ 运用平面垂直平面的性质3；
（3）运用直线垂直平面的判定定理证明的基本方法是：①在平面内找两条相交直线；②证明直线与这两条相交直线分别垂直；③得出结论；
（4）运用平行线垂直平面的传递性证明直线垂直平面的基本方法是：①证明两条直线平行，②证明其中一条直线垂直平面；③得出结论；
（5）运用平面平行平面的性质1证明直线垂直平面的基本方法是：①证明两个平面平行；②证明直线与其中的一个平面垂直；③得出结论；
（6）运用平面垂直平面的性质定理2证明直线垂直平面的基本方法是：①证明两个平面垂直；②在一个平面内找一条直线证明它与两个平面的交线垂直；③得出结论；
（7）运用平面垂直平面的性质定理3证明直线垂直平面的基本方法是：①找到以直线为交线的两个相交的平面；②分别证明这两个平面与第三个平面垂直；③得出结论
【典例3】解答下列问题：
1、在四棱锥Q—ABCD中，底面ABCD是正方形，若AD=2，QD=QA=，QC=3。
（1）证明：平面QAD平面ABCD；
（2）求二面角B—QD—A的平面角的余弦值（2021全国高考新高考II卷）。
【解析】
【考点】①正方形的定义与性质；②等腰三角形的定义与性质；③直线垂直直线判定定理及运用；④直线垂直平面判定定理及运用；⑤平面垂直平面判定定理及运用；⑥建立空间直角坐标系的基本方法；⑦求平面法向量的基本方法；⑧求平面与平面所成二面角余弦值的基本方法。
【解题思路】（1）如图，取AD 的中点O，连接CO，QO，根据正方形与等腰三角形的性质和直线垂直直线的判定定理，结合问题条件证明QOAD， QOCO，运用直线垂直平面判定定理证明直线QO 平面ABCD，利用平面垂直平面的判定定理就可证明平面QAD平面ABCD；（2）如图，取BC的中点M，连接OM，根据建立空间直角坐标系的基本方法，建立空间直角坐标系O—xyz，得到点D，Q，B的坐标，从而得到，，运用求平面法向量的基本方法求出平面BDQ的法向量，利用求二面角余弦值的公式通过运算就可求出二面角B—QD—A的平面角的余弦值。
【详细解答】（1）如图，取AD 的中点O，连接CO，QO， QD=QA， QOAD，
AD=2，QA=，QO===2，OC==
=，+=5+4=9=， QOCO，OC，AD 平面ABCD，OC AD =O，QO 平面ABCD，QO 平面QAD，平面QAD平面ABCD；(2) 如图，取BC的中点M，连接OM，四边形ABCD是正方形，OMAD，以O为坐标原点，
，，分别为 X，Y，Z轴的正方向建立空间直角坐标系O—xyz，D（0，1，0），Q（0，0，2），B（2，-1，0），=（-2，2，0），=（-2，1，2），设平面BDQ的一个法向量为=（x，y，z），由， .=-2x+2y=0，得：x=2，y=2，z=1，
， .=-2x+y+2z=0，=（2，2，1），
=（2，0，0）是平面QAD的一个法向量，cos<，>==
=，二面角B—QD—A的平面角的余弦值为。
2、如图，在多面体ABCDEF中，四边形ABCD是边长为2的菱形，DAB=，EB=ED，EF//AC（2021成都市高三三诊）。
（1）求证：平面BDF平面ACFE;
（2）（理）若EA=EC，EF=AC，多面体ABCDEF的体积为，求平面ABE与平面BDF所成锐二面角的余弦值。（文）若EB=2，EA=EC，EF=AC，求多面体ABCDEF的体积。
（理科图） （文科图）
【解析】
【考点】①菱形的定义与性质；②正三角形的定义与性质；③直线垂直直线判定定理及运用；④直线垂直平面判定定理及运用；⑤平面垂直平面判定定理及运用；⑥空间直角坐标系的定义与建立的基本方法；⑦求平面法向量的基本方法；⑧求平面与平面所成二面角余弦值的基本方法；⑨四棱锥体积公式及运用；⑩求组合体体积的基本方法。
【解题思路】（1）如图，连接AC，BD相交于点O，连接EO，根据菱形与正三角形的性质和直线垂直直线的判定定理，结合问题条件证明BDAC， BD0E，运用直线垂直平面判定定理证明直线BD 平面ACFE，利用平面垂直平面的判定定理就可证明平面BDF平面ACFE；（2）（理）如图，设OE=t，根据四棱锥体积公式和求组合体体积的基本方法，结合问题条件得到关于t的方程，求解方程求出t的值，运用建立空间直角坐标系的基本方法建立空间直角坐标系O—xyz，根据确定空间点坐标的基本方法，结合问题条件得到点A，B，D，E，F的坐标，从而求出，,，，利用求平面法向量的基本方法分别求出平面ABE，平面BDF的法向量，，由求二面角余弦值的公式通过运算就可求出平面ABE与平面BDF所成锐二面角的余弦值。（文）根据四棱锥体积公式和求组合体体积的基本方法，结合问题条件就可求出多面体ABCDEF的体积。
【详细解答】（1）如图，连接AC，BD相交于点O，连接EO，四边形 ABCD是菱形， BDAC，点O是BD的中点，EB=ED， BDEO， 0E，AC平面ACFE，0E AC=O，BD平面ACFE，BD平面BDF，平面BDF平面ACFE；（2）如图，设OE=t，EA=EC，O是AC的中点， ACEO，四边形ABCD是边长为2的菱形，DAB
=，BD=2，OB=OD=1，AC=2AO=2，EF=AC= ， =（2+
）t=t，由（1）知BD平面ACFE，=+=2
=2t1=t=，t=，OE=，以O为坐标原点，，，
分别为 X，Y，Z轴的正方向建立空间直角坐标系O—xyz，A（，0，0），B（0，1，0），D（0，-1，0），E（0，0，），F（-，0，），=（-，1，0），= E（-，0，）,= （0，-2，0），=（-，-1，），设平面ABE的法向量为=（x，y，z），由 ，.=-x+y+0=0，x=1，y=，z=1，=（1，，
， .=-x+0+z =0，1），设平面BDF的法向量为=（，，），由，.=0-2+0=0，=2，=0，=1，=（2，0，
， .=--+=0，1），cos<，>=
==，平面ABE与平面BDF所成锐二面角的余弦值为。（文）
EA=EC，O是AC的中点， ACEO，四边形ABCD是边长为2的菱形，DAB
=，BD=2，OB=OD=1，AC=2AO=2，EF=AC= ，EB=2， EO
==，=（2+）=，由（1）知BD平面ACFE，=+=2=21=。
3、如图，长方体ABCD—的底面是边长为2的正方形，A=4，点E，F，M，N分别是棱C，BC，B，A的中点（2021成都市高三一诊）。
（理）（1）求证：平面E平面MN；
（2）若平面AFM平面=l，求直线l与平面E所成角的正弦值。
（文）（1）求三棱锥E—AFM的体积；
（2）求证：平面E平面MN。
（理科图） （文科图）
【解析】
【考点】①正方形，长方形的定义与性质；②直线垂直直线判定定理及运用；③直线垂直平面判定定理及运用；④直线垂直平面性质定理及运用；⑤平面垂直平面判定定理及运用；⑥空间直角坐标系的定义与建立的基本方法；⑦确定空间点坐标的基本方法；⑧求平面法向量的基本方法；⑨求直线与平面所成角正弦值的基本方法；⑩三棱锥体积公式及运用。
【解题思路】（理）（1）根据正方形和直线垂直平面的性质，结合问题条件证明EM ，E MN，运用直线垂直平面判定定理证明直线E 平面MN ，利用平面垂直平面的判定定理就可证明平面E 平面MN；（2）如图，运用建立空间直角坐标系的基本方法建立空间直角坐标系D—xyz，根据确定空间点坐标的基本方法，结合问题条件得到点A，D，F，，的坐标，从而求出，，利用求平面法向量的基本方法求出平面E的法向量，由求直线与平面所成角正弦值的基本方法就可求出直线l与平面E所成角的正弦值。（文）（1）根据三棱锥的性质和三棱锥体积公式，结合问题条件就可求出三棱锥E—AFM的体积；（2）根据正方形和直线垂直平面的性质，结合问题条件证明EM ，E MN，运用直线垂直平面判定定理证明直线E 平面MN ，利用平面垂直平面的判定定理就可证明平面E 平面MN。
【详细解答】（理）（1）连接EM，E，M分别是棱C，B的中点，四边形BC是矩形，B=4，=2，四边形ME是正方形，EM ，M，N分别是棱B，A的中点，MN平面BC，E平面BC，EMN， MN，M 平面MN ，MN M =M，E 平面MN，E 平面E ，平面E 平面MN；（2） ABCD—是长方体，以D为坐标原点，，，分别为 X，Y，Z轴的正方向建立空间直角坐标系D—xyz，
平面ABCD//平面，AF平面ABCD，AF//平面，平面AFM平面=l，AF平面AFM，AF//l，直线l与平面E所成角等于直线AF与E所成角， A（2，0，0），D（0，0，0），F（1，2，0），（2，2，4），（0，0，4），E（0，2，2），=（2，2，0），=（0，2，-2），=（-1，2，0），
设平面ABE的法向量为=（x，y，z），由 ，.=2x+2y+0=0，x=-1， ， .=0+2y-2z =0，y=1，z
=1，=（-1，1，1），设直线AF与平面E所成角为，sin=cos<，>
===，直线l与平面E所成角的正弦值。
（文）AB平面BC，AB平面EFM，长方体ABCD—的底面是
边长为2的正方形，A=4，点E，F，M分别是棱C，BC，B的中点，四边形BCEM
是正方形，=BC.CE=22=2，==22=，即三棱锥
E—AFM的体积为；（2）连接EM，E，M分别是棱C，B的中点，四边形BC
是矩形，B=4，=2，四边形ME是正方形，EM ，M，N分别
是棱B，A的中点，MN平面BC，E平面BC，EMN，
MN，M 平面MN ，MN M =M，E 平面MN，E 平面
E ，平面E 平面MN。
4、如图①，在菱形ABCD中，A=，且AB=2，E为AD的中点，将ABE沿BE折起使AD=，得到如图②所示的四棱锥A—BCDE。
（1）求证：平面ABE平面ABC；
（2）(理)若P为AC的中点，求二面角P—BD—C的余弦值。（文）若P为AC的中点，求三棱锥P—ABD的体积（2021成都市高三零诊）。
（理科图） （文科图）
【解析】
【考点】①菱形的定义与性质；②正三角形的定义与性质；③勾股定理逆定理及运用；④直线垂直平面判定定理及运用；⑤平面垂直平面判定定理及运用；⑥空间直角坐标系的定义与建立的基本方法；⑦确定空间点坐标的基本方法；⑧求平面法向量的基本方法；⑨求平面与平面所成二面角余弦值的基本方法；⑩三棱锥体积公式及运用。
【解题思路】（1）根据菱形和正三角形的性质，结合问题条件证明BCBE，运用勾股定理逆定理证明AEDE，从而证明AEBC，由直线垂直平面判定定理证明直线BC 平面ABE，利用平面垂直平面的判定定理就可证明平面ABE平面ABC；（2）（理）如图②，运用建立空间直角坐标系的基本方法建立空间直角坐标系E—xyz，根据确定空间点坐标的基本方法，结合问题条件得到点A，，B，D，C，E的坐标，从而求出点P的坐标，利用求平面法向量的基本方法分别求出平面PBD，平面BCD的法向量，，由求二面角余弦值的公式通过运算就可求出二面角P—BD—C的余弦值。（文）如图②，根据直线垂直平面的判定定理，结合问题条件证明AE平面BCDE，从而得到AE平面BCD，运用三棱锥体积公式通过运算就可求出三棱锥P—ABD的体积。
【详细解答】（1）如图①，连接BD，四边形 ABCD是菱形，A=， ABD是正三角形， E是AD的中点， BCBE，AB=2，AD=， AE+ED=1+1=2=AD， AEDE，DE//BC， AEBC， AE，BE平面ABE，AE BE=E，BC平面ABE，BC平面ABC，平面ABE平面ABC；（2） AEBE，AEED，BEED，
如图②，以E为原点，，，分别为 X，Y，Z轴的正方向建立空间直角坐标系
E—xyz， AB=2，AD=，A（0，0，1），B（，0，0），C（，2，0），D（0，
1，0），E（0，0，0），P是AC的中点，P（，1，），=（-，1，），=（，0，），=（0，0，1），设平面BCD的法向量为=（x，y，z），
由 ，.=-x+y+z=0，x=1，y=，z=-，=（-1，-，
， .=x+0+z =0，）， AEBE，AEED，BE，DE平面BCDE，BE DE=E，AE平面BCDE，=（0，0，1）是平面BCD的一个法向量，cos<，>==|= ，二面角P—BD—C的余弦值
为。（文）如图②， AEBE，AEED，BE，ED平面BCDE，BE DE=E， AE平面BCDE， AE平面BCD， AB=2，AD=，ABD是正三角形， E是AD的中点， BE=，AE=1，=2
=，点P是 AC的中点， ===1=。
5、（理）如图，在四棱锥P-ABCD中，O是边长为4的正方形ABCD的中心，PO⊥平面ABCD，E为BC的中点。
（1）证明：平面PAC⊥平面PBD；
（2）若PE=3，求二面角D—PE—B的余弦值。
（文）如图，在四棱锥P-ABCD中，O是边长为4的正方形ABCD的中心，PO⊥平面ABCD，M，E分别为AB，BC的中点。
（1）证明：平面PAC⊥平面PBD；
（2）若PE=3，求三棱锥B—PEM的体积（2020成都市高三二诊）。
（理科图） （文科图）
【解析】
【考点】①直线垂直直线的定义与性质；②直线垂直平面的定义与性质；③证明直线垂直平
面的基本方法；④证明直线垂直直线的基本方法；⑤证明平面垂直平面的基本方法； ⑥建立空间直角坐标系的基本方法； ⑦求二面角余弦值的基本方法； ⑧三棱锥的定义与性质；⑨求三棱锥体积的基本方法。
【解题思路】（理）（1）运用证明直线垂直直线的基本方法，结合问题条件证明直线BD⊥AC，BD⊥PO，从而根据证明直线垂直平面的基本方法证明直线BD⊥平面PAC,利用证明平面垂直平面的基本方法就可证明平面PAC⊥平面PBD；（2）取AB的中点M，连接OM，OE，建立空间直角坐标系O—xyz,根据确定点的坐标的基本方法，结合问题条件分别得到点B，D，P，E的坐标，从而得到，，根据求平面法向量的基本方法分别求出平面PBE，平面PDE的法向量，利用求二面角余弦值的基本方法就可求出二面角D—PE—B的余弦值。（文）（1）运用证明直线垂直直线的基本方法，结合问题条件证明直线AC⊥BD，AC⊥PD，从而根据证明直线垂直平面的基本方法证明直线AC⊥平面PBD，利用证明平面垂直平面的基本方法就可证明平面PAC⊥平面PBD；（2）根据正方形的性质，结合问题条件分别求出PO, 的值，利用求三棱锥体积的基本方法就可求出三棱锥B—PME的体积。
【详细解答】（1）如图， PO⊥平面ABCD，BD平面ABCD, BD⊥PO， O是边长为4的正方形ABCD的中心， BD⊥AC，P0AC=O，PO，AC平面PAC， BD平面PAC, BD平面PBD，平面PBD⊥平面PAC；(2) （理） 取AB的中点M，连接OM，OE， PO⊥平面ABCD，OM，OE平面ABCD, PO⊥OM， PO⊥OE，M，E分别是正方形ABCD边AB，BC的中点， OM⊥OE，以O为原点， ， ，分别为x，y，z轴的正半轴，建立空间直角坐标系O—xyz, PE=3，B(2，2，0)，D(-2，-2，0)，P(0，0，
)，E(0，2，0)，=(-2，0，0)，=(0，2，-)，=(2，4，0)，设平面PBE
的法向量为=（x，y，z），，， .=-2x+0+0=0①，.
=0+2y-z =0②，联立①②解得 x=0，y=,z=1,=（0，，1），设平面PDE的法向量为=（，，），，,.=2+4+0=0③，. =0+2-=0④，联立③④解得=-2，=1，=，=（-2，1，），设二面角D—PE—B为， cos =-=-=-=-，二
面角D—PE—B的余弦值为-。(文)连接OE， O是边长为4的正方形ABCD的中心，
PO⊥平面ABCD，PE=3，PO==， M，E分别为AB，BC的中点，
=22=2，==2=,三棱锥B—PEM的体积为。
〖思考问题3〗
（1）【典例3】是平面垂直平面的证明问题，解答这类问题需要理解直线垂直直线，直线
垂直平面，平面垂直平面的基本概念；掌握证明直线垂直直线，直线垂直平面，平面垂直平面的基本方法；
（2）证明平面垂直平面的基本方法是： ①运用证明直线垂直直线的基本方法证明直线垂直直线；②运用证明直线垂直平面的基本方法证明直线垂直平面；③运用证明平面垂直平面的基本方法证明平面垂直平面。

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