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立体几何中平行证明问题的类型与解法
立体几何中平行证明问题是近几年的高考热点内容之一，可以这样毫不夸张地说，只要是高考试卷，就必然会涉及立体几何中平行（或垂直）证明的问题。从题型上看可能是选择题（或填空题），也可能是大题；从难易程度上看，属于中、低档难度的问题，但有时也可能属于高档难度的问题。纵观近几年高考试题，归结起来立体几何中平行证明问题主要包括：①证明直线平行直线；②证明平行垂直平面；③证明平面平行平面等几种类型。各种类型问题结构上具有某些特征，解答方法也有一定的规律可寻，那么在实际解答立体几何中平行证明的问题时，到底应该如何抓住问题的结构特征，快捷，准确地予以解答问题呢？下面通过典型例题的详细解析来回答这个问题。
【典例1】解答下列问题：
1、如图，已知三棱柱ABC—的底面是正三角形，侧面BC是矩形，M，N分别为BC， 的中点，P为AM上一点，过和P的平面交AB于点E，交AC于点F。
（1）证明：A//MN，且平面AMN⊥平面EF；
（2）（理）设O为的中心，若AO//平面EF，且AO=AB，求直线E与平面AMN所成角的正弦值。（文）设O为的中心，若AO=AB=6，AO//平面EF，且MPN=，求四棱锥B—EF的体积（2020全国高考新课标II）。
（理科图） （文科图）
【解析】
【考点】①正三棱柱定义与性质；②平行线定义与性质；③直线垂直平面定义与性质；④证明直线垂直平面的基本方法； ⑤证明平面垂直平面的基本方法； ⑥直线与平面所成角定义与性质； ⑦确定直线与平面所成角的基本方法；⑧四棱锥的定义与性质；⑨求四棱锥体积的基本方法。
【解题思路】（1）根据正三棱柱的性质，得到A//C，结合问题条件，证明MN//C，从而证明A//MN，运用直线垂直平面的性质和证明直线垂直平面的基本方法，结合问题条件证明直线BC⊥平面AMN，从而得到EF⊥平面AMN，利用平面垂直平面的性质和证明平面垂直平面的基本方法就可证明平面AMN⊥平面EF；（2）（理）连接NP，在上取一点Q，使Q=EP，根据问题条件得到四边形ONPA是平行四边形，由（1）知BC⊥平面AMN，从而得到QPN是E与平面AMN所成的角，运用解三角形的基本方法就可求出直线E与平面AMN所成角的正弦值。（文）根据四棱锥的性质，运用求四棱锥体积的基本方法，结合问题条件就可求出四棱锥B—EF的体积。
【详细解答】（理）（1）如图，W，N分别是BC，的中点，MN//C，三棱柱ABC—是正三棱柱， A//B//C， A//MN， A⊥平面ABC，BC平面ABC， A⊥BC，ABC是正三角形，M是BC的中点， AM⊥BC， AM，A平面AMN，AMA=A，BC⊥平面AMN，BC//，BC平面ABC，平面ABC， //平面ABC，平面P，平面P平面ABC
=EF，EF//BC， EF⊥平面AMN，EF平面EF，平面AMN⊥平面E
F；（2）（理）如图，连接NP，在上取一点Q，使Q=EP， AO//平面EF，平面EF平面ONPA=PN， AO//PN，平面//平面ABC，平面MNA平面ABC=AM，平面MNA平面=N，N//AM，四边形ONPA是平行四边形，设正三角形ABC的边长为6m（m>0），AP=ON，NP=AO=AB=6m，O为的中心， AP=ON=6m=m， EF//BC，=，PE=
==1m，Q=EP=1m，Q//EP ，四边形QPE是平行四边形， NQ=2m，
E//QP， BC⊥平面AMN，BC//，⊥平面AMN，QPN是E与平面AMN所成的角， RtQPN中，PQ===2，sinQPN
===，即直线E与平面AMN所成角的正弦值为。（文）如图，过点M作MH⊥PN于点H， AO//平面EF，平面EF平面ONPA=PN， AO//PN，
四边形ONPA是平行四边形， AO=AB=6，O为的中心，AP=ON=，
=.PN=46=24，=，EF===2，
MPN=，MH=PMsinMPN=（3-）=3， BC//平面EF，
==.MH=243=24，即四棱锥B—EF的体积为24。
2、如图在ABCDEF为多面体，平面ABED⊥平面CFDA，点O在线段AD上，OA=1，OD =2，，，，都是正三角形。
（1 证明：BC∥EF；
（2）求棱锥F—CBED的体积。
【解析】
【考点】①正三角形定义与性质；②三角形中位线定义与性质；③四棱锥定义与性质； ④平面垂直平面性质定理及运用；⑤四棱锥体积公式及运用。
【解题思路】（1）如图，设线段DA与线段EB的延长线相交于点G，线段DA与线段FC的延长线相交于点H，根据正三角形的性质得到点G与点H重合，运用三角形中位线的性质得到点B，C分别是GE，GF的中点，从而证明BC//EF；（2）如图，过点F作FQAD于点Q，根据平面垂直平面的性质证明FQ平面OBED，运用四棱锥的性质和四棱锥体积公式就可求出四棱锥F—CBED的体积。
【详细解答】（1）证明：如图，设线段DA与线段EB的延长线相交于点G，线段DA与线段FC的延长线相交于点H，，都是正三角形，OB//DE，OB=DE，OG=OD=2，同理可证：OH=OD=2，点G与点H重合，在GED和GFD中，OB//DE，OB=DE，OC//DF，OC=DF，点B，C分别是GE和GF的中点，BC是GEF的中位线， BC//EF；（2）如图，过点F作FQAD于点Q，平面ABED⊥平面CFDA，平面ABED平面CFDA=DA，FQAD，FQ平面CFDA， FQ平面ABED， OB=1，OE =2，是正三角形，EOB= ，=12=，=2=，=+=，FQ=ODsin=2
=，=FQ==，即四棱锥F—CBED的体积为。
『思考问题1』
(1) 【典例1】是证明直线平行直线的问题，解答这类问题需要理解直线平行于平面的性质定理和平面平行平面的性质定理；
（2）证明线线平行与证明线面平行和面面平行是可以相互转化的，三者是相互参透的：①证明线线平行需要先证明线面平行或证明面面平行；②证明线面平行或面面平行又需要先证明线线平行。
【典例2】解答下列问题：
1、如图①在等腰三角形PBC中，PB=PC=3，BC=6，D，E满足=2，=2,将PDE沿直线DE折起到ADE的位置，连接AB，AC，得到如图②所示的四棱锥A—BCED，点F满足=2。
（1）证明：DF//平面ACE；
（2）（理）当AB=时，求平面ACE与平面DEF所成锐二面角的余弦值。（文）当AB=时，求三棱锥A—DEF的体积（2021成都市高三二诊）。
（理科图） （文科图）
【解析】
【考点】①直线平行直线判定定理及运用；②平行四边形判定定理及运用；③平行四边形性质定理及运用； ④直线平行平面判定定理及运用； ⑤建立空间直角坐标系的基本方法；⑥求平面法向量的基本方法；⑦求平面与平面所成锐二面角余弦值的基本方法；⑧三棱锥体积公式及运用。
【解题思路】（1）在AC上取点G，满足=2，连接EG，FG，根据平行四边形判定定理，结合问题条件证明四边形DEGF是平行四边形，从而证明直线平行直线的基本方法，结合问题条件证明直线ON//AC，从而根据证明直线平行平面的基本方法证明直线ON//平面ACF，同理可证直线OM//平面ACF，利用证明平面平行平面的基本方法证明平面ONM//平面ACF，由平面平行平面的性质就可证明直线MN//平面ACF；（2）（理）取BC的中点T，连接OT，OB，运用建立空间直角坐标系的基本方法建立空间直角坐标系O—xyz，根据求点坐标的基本方法求出点M，A，B，C，D，E，F的坐标，从而得到，，，，利用求平面法向量的基本方法分别求出平面ACE和平面DEF的法向量，就可求出平面ACE与平面DEF所成锐二面角的余弦值。（文）过C作CH⊥AD于H，连接OB，OC，BE，运用证明直线垂直平面的基本方法证明直线CH⊥平面ADEF，直线DE⊥平面ABCD，结合问题条件求出OB，OC，CH的值，利用求多面体体积的基本方法通过运算就可求出三棱锥A—DEF的体积。
【详细解答】（1）如图，在AC上取点G，使CG=2AG，连接EG，FG，=2，
FG//BC，且FG=BC，DE//BC，DE=BC，DE//FG，DE=FG，四边形DEGF是平行四边形，DF//EG， EG平面ACE，DF 平面ACE， DF//平面ACE；（2）（理）
如图，分别取DE，BC的中点M，N，连接AM，MN，BM，MN⊥BC，AM=2，MN=4，BN=3，在RtBMN中，BM===5，在ABM中，AB=，+
=4+25=29=， AM⊥BM， AM⊥DE，BM，DE平面BCED，BM DE=M， AM⊥平面BCDE，以M为坐标原点，，，分别为X，Y，Z轴的正方向建立空间直角坐标系M-xyz，M（0，0，0），A（0，0，2），B（4，-3，0），C（4，3，0），D（0，-1，0），E（0，1，0），F（，-1，），= C（4，2，0），= A（0，-1，2），
= E（0，2，0），=（，0，），设平面ACE的一个法向量为=（x，y，z），由
⊥， .=0-y+2z=0，得：x=-1，y=2，z=1，=（-1，2，1），设平面DEF
⊥， .=4x+2y+0=0，的一个法向量为=（，，），由
⊥， .=0+2+0=0，得：=-1，=0，=1，=（-1，0，1），
⊥， .=+0+=0，cos<，>==
=，平面ACE与平面DEF所成锐二面角的余弦值为。（文）如图，分别取DE，BC的中点M，N，连接AM，MN，BM，MN⊥BC，AM=2，MN=4，BN=3，在RtBMN中，BM===5，在ABM中，AB=，+=4+25=29
=， AM⊥BM， AM⊥DE，BM，DE平面BCED，BM DE=M， AM⊥平面BCDE，
=2，===，=DE.MN=24
=4，=42=，===，三棱锥A—DEF的体积为。
2、如图，在多面体ABCDEF中，ADEF为矩形，ABCD为等腰梯形，BC//AD，BC=2，AD=4，且AB⊥BD，平面ADEF⊥平面ABCD，M，N分别为EF，CD的中点（2020成都市高三三诊）。
（1）求证：MN//平面ACF；
（2）（理）若直线FC与平面ADEF所成角的正弦值为，求多面体ABCDEF的体积。（文）
若DE=2，求多面体ABCDEF的体积。
（理科图） （文科图）
【解析】
【考点】①直线平行直线的定义与性质；②直线平行平面的定义与性质；③平面平行平面的定义与性质； ④证明直线平行直线的基本方法； ⑤证明直线平行平面的基本方法； ⑥建立空间直角坐标系的基本方法；⑦多面体体积的定义与性质；⑧求多面体体积的基本方法。
【解题思路】（1）取AD的中点O，连接OM，ON，运用证明直线平行直线的基本方法，结合问题条件证明直线ON//AC，从而根据证明直线平行平面的基本方法证明直线ON//平面ACF，同理可证直线OM//平面ACF，利用证明平面平行平面的基本方法证明平面ONM//平面ACF，由平面平行平面的性质就可证明直线MN//平面ACF；（2）（理）取BC的中点T，连接OT，OB，运用建立空间直角坐标系的基本方法建立空间直角坐标系O—xyz，根据求点坐标的基本方法求出点C，F的坐标，从而得到和平面ADEF的法向量，利用直线与平面所成角的正弦值，结合问题条件求出AF的值，由求多面体体积的基本方法通过运算就可求出多面体ABCDEF的体积。（文）过C作CH⊥AD于H，连接OB，OC，BE，运用证明直线垂直平面的基本方法证明直线CH⊥平面ADEF，直线DE⊥平面ABCD，结合问题条件求出OB，OC，CH的值，利用求多面体体积的基本方法通过运算就可求出多面体ABCDEF的体积。
【详细解答】（1）取AD的中点O，连接OM，ON，O，N分别是AD，CD的中点，ON//AC， AC平面ACF，ON平面ACF， ON//平面ACF，同理可证OM//平面ACF， ON，OM平面OMN，ONOM=O，平面 OMN//平面ACF， MN平面OMN， MN//平面ACF；（2）（理）取BC的中点T，连接OT，OB，BE，四边形ABCD是等腰梯形，O为AD的中点，OT⊥AD，平面ADEF⊥平面ABCD，平面ADEF平面ABCD=AD，OT平面ABCD，OT⊥平面ADEF， OT⊥OM ，OT⊥OD，四边形ADEF是矩形，M，O分别是EF，AD的中点，OM⊥OD，以O为原点，，，分别为x，y，z轴的正半轴建立空间直角坐标系O—xyz，设AF=h，直线FC与平面ADEF所成角为， BC=2，AD=4，AB⊥BD，C（，1，0），F（0，-2，h），=（，3，-h），=（，0，0），sin====，h=2，=
+=+=42+22=+=。
（文）如图，过C作CH⊥AD于H，连接OB，OC，BE，平面ADEF⊥平面ABCD，平
面ADEF平面ABCD=AD，CH平面ABCD，CH⊥平面ADEF，同理可证DE⊥平面ABCD， BC=2，AD=4，AB⊥BD，OB=OC=AD=2，CH==，=
+=+=42+22=+=。
3、如图，四棱锥P—ABCD的底面ABCD是边长为2的菱形，ABC=，PA⊥平面ABCD，点M是棱PC的中点（2019成都市高三一诊）。
（1）证明：PA//平面BMD；
（2）（理）当PA=时，求直线AM与平面PBC所成角的正弦值。（文）当PA=时，
求三棱锥M—PAD的体积。
【解析】
【考点】①四棱锥的定义与性质；②证明直线平行直线的基本方法；③证明直线平行平面的基本方法；④建立空间直角坐标系的基本方法；⑤求直线与平面所成角正弦值的基本方法；⑥三棱锥的定义与性质；⑦求三棱锥体积的基本方法。
【解题思路】（1）连接AC交BD于点O，连接OM，运用证明直线平行直线的基本方法，结合问题条件证明直线PA//OM，从而根据证明直线平行平面的基本方法就可证明直线PA//平面BMD；（2）（理）过A作AH⊥AD于A交BC于点H，运用建立空间直角坐标系的基本方法建立空间直角坐标系A—xyz，得到点A，B，C，P，M的坐标，从而求出，，，根据求平面法向量的基本方法求出平面PBC的法向量，利用求直线与平面所成角正弦值的基本方法就可求出直线AM与平面PBC所成角的正弦值。（文）由PA平面ABCD，四边形ABCD是菱形可证明BD平面PAC，从而证明DO平面PAM，根据菱形ABCD的棱长为2，ABC=，利用三棱锥的体积计算公式求出三棱锥M-PAD的体积。
【详细解答】（1）如图，连接AC交BD于点O，连接MO，四边形ABCD是菱形，O是AC的中点，M是PC的中点，MO//PA，PABMD内，MO平面BMD， PA//平面BMD；（2）（理）如图，过A作AE AD于A，交BC于点E，PA 平面ABCD，AD，AE平面ABCD，PAAD，PAAE，以A为原点，，，分别为X，Y，Z轴的正方向建立空间直角坐标系A-xyz，菱形ABCD的边长为2，ABC=，AP=，A(0，0，0)，P（0，0，），B（，-1，0），C（，1，0），M（，，），
=（，，），=（，-1，-），=（，1，-），设平面PBC
的法向量为=（x，y，z），由，x-y-z=0，x=1，y=0，z=1，
， x+y-z=0， =（1，0，1），
设直线AM与平面PBC所 成角为，sin=|cos<>|=||
=||=。（文）如图，PA平面ABCD，BD平面ABCD，PABD，ABCD是菱形，BDAC，PA AC=A，PA，AC平面PAC，BD平面PAC ，DO平面PACM，菱形ABCD 的边长为2，ABC=，AP=DO=2=，PC===，==2=，
===。
4、如图，直四棱柱ABCD—的底面是菱形，A=4，AB=2，BAD=，E，M，N分别是BC，B，D的中点（2019全国高考新课标I）。
（1）证明：MN//平面DE ；
（2）（理）求二面角A—M—N的正弦值。（文）求点C到平面DE的距离。
【解析】
【考点】①四棱柱的定义与性质；②证明直线平行直线的基本方法；③证明直线平行平面的基本方法；④建立空间直角坐标系的基本方法；⑤求二面角正弦值的基本方法；⑥点到平面距离的定义与性质；⑦求点到平面距离的基本方法。
【解题思路】（1）连接ME，C，运用证明直线平行直线的基本方法，结合问题条件证明直线MN//DE，从而根据证明直线平行平面的基本方法就可证明直线MN//平面DE；（2）（理）连接AC，BD相较于点O，连接，相较于点，连接O，取AB的中点F，连接DF，运用建立空间直角坐标系的基本方法建立空间直角坐标系O—xyz，得到点A，，M，N，D，F的坐标，从而求出，，，根据求平面法向量的基本方法求出平面MN的法向量，利用求二面角余弦值的基本方法就可求出二面角A—M—N的余弦值，从而求出二面角A—M—N的正弦值。（文）由PA平面ABCD，四边形ABCD是菱形可证明BD平面PAC，从而证明DO平面PAM，根据菱形ABCD的棱长为2，ABC=，利用三棱锥的体积计算公式求出三棱锥M-PAD的体积。
【详细解答】（1）如图，连接ME，C， M，E分别是B，BC的中点，ME//C，
ME=C，四边形DC是平行四边形，N是D的中点，ME//ND，ME=ND，四边形MNDE是平行四边形，MN//ED，MN平面BMD内，DE平面DE， 直线MN//平面DE；（2）（理）连接AC，BD相较于点O，连接，相较于点，连接O，取AB的中点F，连接DF，四边形ABCD是菱形，ACBD，四棱柱ABCD—是直四棱柱，D//O， O平面ABCD， OOA ，OOC，以O为原点，，， 分别为x，y，z轴的正半轴建立空间直角坐标系O—xyz，A=4，AB=2，BAD=，E，M，N分别是BC，B，D的中点，
A（，0，0），（，0，4），M（0，1，2），N（，-，2），D（0，-1，0），F（，，0），=（，-1，2），=（，-，0），=（，，0），
A平面ABCD，DF平面ABCD， ADF， ABDF，ABA=A，AB，A平面AB， DF平面AB,是平面AM的一个法向量，设平面MN的法向量为=（x，y，z），，， .=x-y+2z=0①，.=x-y+0 =0②，联立①②解得 x=，y=1，z=-1，=（，1，-1），
设二面角A—M—N为，cos===，sin
==，二面角A—M—N的正弦值为。（文）如图，过C作CHE于H，C平面ABCD，DE平面ABCD， CDE， DEBC，BCC=C，BC，C平面BC， DE平面BC, DECH， CHE，DEE=E，DE，E平面DE， CH平面DE, CH的长是点C到平面DE的距离， A=4，AB=2，BAD=，E是BC的中点，E==，
CH==，点C到平面DE的距离为。
〖思考问题2〗
（1）【典例2】是直线平行平面的证明问题，解答这类问题需要理解直线平行直线，直线
平行平面，平面平行平面的基本概念；掌握证明直线平行直线，直线平行平面，平面平行平面的基本方法；
（2）证明直线平行平面的基本方法有：①运用直线平行平面的判定定理；②运用平面平行平面的性质定理；
（3）运用直线平行平面的判定定理证明，关键是在平面内找到与已知直线平行的直线，一般思路是：①考虑平面内有没有这样的直线，如果有，可直接证明它与已知直线平行；②如果平面内没有这样的直线，则需要通过作辅助线来确定，作辅助线的基本思路是：1》若图形中涉及到中点，应考虑取线段的中点并结合三角形的中位线解决问题，2》若图形中直角（或垂直）较多，应考虑作垂线来确定，并结合直角（或垂直）的特殊性质解决问题，3》若图形中有等腰三角形（或等边三角形）应考虑取底边的中点，运用其三线合一的性质；
（4）运用平面平行平面的性质定理证明的基本方法是：①证明两个平面平行；②运用平面平行平面的性质得到结论。
【典例3】解答下列问题：
1、在长方体ABCD—中，已知AB=AD，E为AD的中点。
（1）在线段上是否存在点F，使得平面AF//平面EC？若存在请加以证明，若不存在，请说明理由；
（2）设AD=2，A=4，点G在A上且满足=8，求EG与平面EB所成角的余弦值（2021成都市高三零诊）
【解析】
【考点】①直线平行直线判定定理及运用；②直线平行平面判定定理及运用；③平面平行平面判定定理及运用； ④处理探索性问题的基本方法； ⑤建立空间直角坐标系的基本方法；⑥求平面法向量的基本方法；⑦直线与平面所成角的定义与性质；⑧求直线与平面所成角余弦值的基本方法。
【解题思路】（1）如图，取线段的中点F，连接CF，E，F，根据直线平行平面的判定定理，结合问题条件分别证明A//平面EC，F //平面EC，运用平面平行平面的判定定理就可证明平面AF//平面EC；（2）设G（x，y，z），如图，根据建立空间直角坐标系的基本方法建立空间直角坐标系D—xyz，结合问题条件得到点A，B，C，，的坐标，从而求出点G的坐标，求出，，，运用求平面法向量的基本方法求出平面EB的法向量，利用公式求出与 平面EB的法向量夹角的余弦值，得到EG与平面EB所成角的正弦值，由同角三角函数的基本关系就可求出EG与平面EB所成角的余弦值。
【详细解答】（1）如图，取线段的中点F，连接CF，E，F， A//C，A
平面EC，C平面EC， A//平面EC，E，F分别是AD，的中点，
F=CE，E=CF，四边形CEF是平行四边形，F//CE，F平面EC，
CE平面EC， F//平面EC， A，F平面AF，AF=，平面AF//平面EC，即在线段上存在的中点F，使平面AF//平面EC；（2）设G（x，y，z），如图， ABCD—是长方体，以D为坐标原点，，，分别为 X，Y，Z轴的正方向建立空间直角坐标系D—xyz， AD=2，A=4，AB=AD，
A（2，0，0），B（2，2，0），C（0，2，0），（2，0，4），（0，2，4），=（x-2，
y，z），=（0，0，4），=8，8x-16=0，8y=0，8z=4，x=2，y=0，z=，
G（2，0，），E（1，0，0），=（1，0，），=（1，2，0），=（-1，2，4），
设平面EB的法向量为=（，，），，，.=+2+0=0
①，.=-+2+4=0②，联立①②解得：=2，=-1，=1，=（2，-1，1），
令直线EG与平面EB所成角为，sin=|cos<,>|=||
=||=，cos==，即EG与平面EB所成角的余弦值为。
2、如图，在四棱锥P-ABCD中，平面PAD⊥平面ABCD，PA=PD，AB=AD，PA⊥PD，AD⊥CD，
BAD=，M，N分别为AD，PA的中点（2020成都市高三零诊）。
（1）证明：平面BMN//平面PCD；
（2）（理）若AD=6，CD=，求平面BMN与平面BCP所成二面角的余弦值。（文）若AD=6，求三棱锥P-BMN的体积。
【解析】
【考点】①直线平行直线的定义与性质；②直线平行平面的定义与性质；③平面平行平面的定义与性质； ④证明直线平行直线的基本方法； ⑤证明直线平行平面的基本方法； ⑥证明平面平行平面的基本方法； ⑦建立空间直角坐标系的基本方法； ⑧求二面角余弦值的基本方法；⑨三棱锥的定义与性质；⑩求三棱锥体积的基本方法。
【解题思路】（1）运用证明直线平行平面的基本方法，结合问题条件证明MN//平面PCD，BM//平面PCD，利用判定平面平行平面的基本方法就可证明平面BMN//平面PCD；（2）（理）如图，运用建立空间直角坐标系的基本方法建立空间直角坐标系M—xyz，根据确定空间点坐标的基本方法，结合问题条件得到点A，P，B，D，C，M的坐标，从而求出点N的坐标，利用求平面法向量的基本方法分别求出平面BMN，平面BPC的法向量，，由求二面角余弦值的公式通过运算就可求出平面BMN与平面BCP所成锐二面角的余弦值。（文）运用判定直线垂直平面的基本方法，结合问题条件证明BM平面PAD，从而证明BM平面PMN，利用求三棱锥体积的公式与基本方法通过运算就可求出三棱锥P—BMN的体积。
【详细解答】（1）如图，M，N分别是AD，PA的中点，MN//PD，MN平面PCD，PD平面PCD， MN//平面PCD，AB=AD，BAD=，ABD是正三角形，
M是AD的中点， BMAD， ADCD，BM//CD，BM平面PCD，CD平面PC D， BM//平面PCD， BM，MN平面BMN，BM MN=M，平面BMN//平面PCD；（2）连接PM， PA =PD，M是AD的中点， PMAD，平面PAD平面ABCD，平面PAD平ABCD=AD，PM平面PAD， PM平面ABCD， PMMD， PMMB，如图，以M为原点，，，分别为 X，Y，Z轴的正方向建立空间直角坐标系M—xyz， AD=6，CD=，M（0，0，0），A（0，-3，0），B（3，0，0），C（，3，0），D（0，3，0），P（0，0，3），N（0，-，），=（-3，0，0），=（-3，-，），=（-2，3，0），=（-3，0，3），设平面BMN的法向量为=（x，y，z），设平面BCP的法向量为=（，，），，
.=-3x+0+0=0①，，.=-3x-y+z=0，联立①②解得
x=0，y=1，z=1，=（0，1，1）， ，.=-3+0+3=0③，
， .=-2+3+0=0④，联立③④解得=1，=，=，=（1， ，），设平面BMN与平面BCP所成锐二面角为，cos=||=| |= = ，平面BMN与平面BCP所成锐二面角的余弦值为。（文）连接PM， PA=PD，M是AD的中点， PMAD，平面PAD平面ABCD，平面PAD平ABCD=AD，PM平面PAD， PM平面ABCD， PMMB，由（1）知BMAD，PM，AD平面PAD，PMAD=M， BM平面PAD， BM平面PMN， AD=6，PAPD，，PA=PD，PM=AM=3，=33=， N是PA的中点，==，AB=AD=6，BAD=，ABD是正三角形，BM=6=3，==3=。
3、如图所示，在三棱柱ABC—中，E，F，G，H分别是AB，AC，，的中点。
（1）证明：B，C，H，G四点共面；
（2）证明：平面EF//平面BCHG.。
【解析】
【考点】①三棱柱的定义与性质；②证明四点共面的基本方法；③直线平行直线的定义与性质；④直线平行平面的定义与性质；⑤平面平行平面的定义与性质；⑥证明直线平行直线的基本方法；⑦证明直线平行平面的基本方法；⑧证明平面平行平面的基本方法。
【解题思路】（1）运用证明直线平行直线的基本方法和三棱柱的性质，结合问题条件证明直线GH//BC，根据证明四点共面的基本方法就可证明B，C，H，G四点共面；（2）运用证明直线平行平面的基本方法，结合问题条件证明直线EF//平面BCHG，直线E//平面BCHG，
利用证明平面平行平面的基本方法就可证明平面EF//平面BCHG.。
【详细解答】（1）G，H分别是，的中点， H
GH//， ABC—是三棱柱，BC// G
，GH//BC， B，C，H，G四点共面； A F C
（2）E，F分别是AB，AC的中点，EF//BC， E B
EF平面BCHG，BC平面BC HG， 直线EF//平面BCHG，G//EB，G=EB，
四边形EBG是平行四边形，E//BG， E平面BCHG，BG平面BC HG， 直线E//平面BCHG，E，EF平面EF，EEF=E，平面EF//平面BCHG.。
〖思考问题3〗
（1）【典例3】是平面平行平面的证明问题，解答这类问题需要理解直线平行直线，直线
平行平面，平面平行平面的基本概念；掌握证明直线平行直线，直线平行平面，平面平行平面的基本方法；
（2）证明平面平行平面的基本方法是：①在一个平面内确定两条相交直线；②运用证明直线平行平面的基本方法分别证明这两条直线平行另一个平面；③利用证明平面平行平面的基本方法证明两个平面平行。

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