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8.5.3平面与平面平行的性质
导学案
【学习目标】
1.理解并能证明两个平面平行的性质定理
2.能利用性质定理解决有关的平行问题
【自主学习】
知识点1 平面与平面平行的性质
文字语言 如果两个平行平面同时和第三个平面相交，那么它们的交线平行
符号语言 α∥β，α∩γ＝a，β∩γ＝b a∥b
图形语言
【合作探究】
探究一 面面平行性质定理的理解
【例1】(1)平面α∥平面β，直线a α，直线b β，下面三种情形：
①a∥b；②a与b异面；③a与b相交，其中可能出现的情形有(　　)
A．1种 B．2种
C．3种 D．0种
(2)给出三种说法：
①若平面α∥平面β，平面β∥平面γ，则平面α∥平面γ；
②若平面α∥平面β，直线a与α相交，则a与β相交；
③若平面α∥平面β，P∈α，PQ∥β，则PQ α.
其中正确说法的序号是________．
【答案】　(1)B　(2)①②③
[解析]　(1)因为平面α∥平面β，直线a α，直线b β，所以直线a与直线b无公共点．
当直线a与直线b共面时，a∥b；
综上知，①②都有可能出现，共有2种情形．故选B.
(2)①正确．证明如下：如图(1)，在平面α内取两条相交直线a、b，分别过a、b作平面φ，δ，使它们分别与平面β交于两相交直线a′、b′，因为α∥β，所以a∥a′，b∥b′.又因为β∥γ，同理在平面γ内存在两相交直线a″，b″，使得a′∥a″，b′∥b″，所以a∥a″，b∥b″，所以α∥γ.
②正确．若直线a与平面β平行或直线a β，则由平面α∥平面β知a与α无公共点或a α，这与直线a与α相交矛盾，所以a与β相交．
③正确．如图(2)，过直线PQ作平面γ，γ∩α＝a，γ∩β＝b，由α∥β得a∥b.因为PQ∥β，PQ γ，所以PQ∥b.因为过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行，所以直线a与直线PQ重合．因为a α，所以PQ α.
归纳总结：面面平行的性质定理是由面面平行证明线线平行.证明线线平行的关键是把要证明的直线看作是平面的交线，所以构造三个平面：即两个平行平面，一个经过两直线的平面，有时需要添加辅助面.
【练习1】与两个相交平面的交线平行的直线和这两个平面的位置关系是(　　)
A．都平行
B．在这两个平面内
C．都相交
D．至少与其中一个平面平行
【答案】D
解析：当直线在其中一个平面内时，直线与另一平面平行，当直线不属于任一平面内时，直线与两个平面都平行
探究二 平面与平面平行性质定理的应用
【例2】如图所示，两条异面直线BA，DC与两平行平面α，β分别交于B，A点和D，C点，M，N分别是AB，CD的中点．求证：MN∥平面α.
[分析]　利用三角形的中位线及面面平行的性质证明．
[证明]　如图，过点A作AE∥CD交α于E，取AE的中点P，连接MP，PN，BE，ED，AC.
∵AE∥CD，
∴AE，CD确定平面AEDC，
则平面AEDC∩平面α＝DE，平面AEDC∩平面β＝AC，
∵α∥β，∴AC∥DE.
又P，N分别为AE，CD的中点，
∴PN∥DE，PN α，DE α，
∴PN∥α.又M，P分别为AB，AE的中点，
∴MP∥BE，且MP α，BE α，
∴MP∥α.∴平面MPN∥平面α.
又MN 平面MPN，∴MN∥α.
归纳总结：
【练习2】如图，平面四边形ABCD的四个顶点A、B、C、D均在平行四边形A′B′C′D′所确定的一个平面α外，且AA′、BB′、CC′、DD′互相平行．
求证：四边形ABCD是平行四边形．
证明：在 A′B′C′D′中，A′B′∥C′D′，因为A′B′ 平面C′D′DC，C′D′ 平面C′D′DC，所以A′B′∥平面C′D′DC.
同理A′A∥平面C′D′DC.
又A′A∩A′B′＝A′，
所以平面A′B′BA∥平面C′D′DC.
因为平面ABCD∩平面A′B′BA＝AB，
平面ABCD∩平面C′D′DC＝CD，
所以AB∥CD.同理AD∥BC.
所以四边形ABCD是平行四边形．
探究三 平行关系的综合应用
【例3】在三棱柱ABC A1B1C1中，点D为AC的中点，点D1是A1C1上的一点．
(1)当等于何值时，BC1∥平面AB1D1
(2)当BC1∥平面AB1D1时，求证：平面BC1D∥平面AB1D1.
[解]　(1)＝1时，BC1∥平面AB1D1，理由如下：
如图，此时D1为线段A1C1的中点，连接A1B交AB1于O，连接OD1.
由棱柱的定义知四边形A1ABB1为平行四边形，
所以点O为A1B的中点．
在△A1BC1中，点O，D1分别为A1B，A1C1的中点，
所以OD1∥BC1.
又因为OD1 平面AB1D1，BC1 平面AB1D1，
所以BC1∥平面AB1D1.
所以当＝1时，BC1∥平面AB1D1.
(2)证明：由(1)知，当BC1∥平面AB1D1时，点D1是线段A1C1的中点，则有AD∥D1C1，且AD＝D1C1，
所以四边形ADC1D1是平行四边形．
所以AD1∥DC1.
又因为DC1 平面AB1D1，AD1 平面AB1D1，
所以DC1∥平面AB1D1.
又因为BC1∥平面AB1D1，BC1 平面BC1D，DC1 平面BC1D，DC1∩BC1＝C1，
所以平面BC1D∥平面AB1D1.
归纳总结：
1在遇到线面平行时，常需作出过已知直线与已知平面相交的辅助平面，以便运用线面平行的性质.
2要灵活应用线线平行、线面平行和面面平行的相互联系、相互转化.在解决立体几何中的平行问题时，一般都要用到平行关系的转化.转化思想是解决这类问题的最有效的方法.
【练习3】如图，在正方体ABCD A1B1C1D1中，点N在BD上，点M在B1C上，且CM＝DN.求证：MN∥平面AA1B1B.
证明：如图，作MP∥BB1交BC于点P，连接NP，
∵MP∥BB1，∴＝.
∵BD＝B1C，DN＝CM，
∴B1M＝BN，
∴＝，∴＝，
∴NP∥CD∥AB.
∵NP 平面AA1B1B，AB 平面AA1B1B，
∴NP∥平面AA1B1B.
∵MP∥BB1，MP 平面AA1B1B，BB1 平面AA1B1B，
∴MP∥平面AA1B1B.
又MP 平面MNP，NP 平面MNP，MP∩NP＝P，
∴平面MNP∥平面AA1B1B.
∵MN 平面MNP，
∴MN∥平面AA1B1B.
课后作业
A组 基础题
一、选择题
1．如果平面α平行于平面β，那么(　　)
A．平面α内任意直线都平行于平面β
B．平面α内有两条相交直线平行于平面β
C．平面α内任意直线都平行于平面β内的任意直线
D．平面α内的直线与平面β内的直线不能垂直
【答案】　A
2．已知α∥β，a α，那么a与β的关系是(　　)
A．平行 B．相交 C．在面内 D．垂直
【答案】　A
解析　平面与平面平行，两个平面没有公共点，所以直线和平面没有公共点，直线与平面平行，故选A.
3．下列命题：
①一条直线与两个平行平面中的一个平面相交，必与另外一个平面相交；
②如果一个平面平行于两个平行平面中的一个平面，必平行于另一个平面；
③夹在两个平行平面间的平行线段相等．
其中正确的是命题的个数为(　　)
A．1 B．2 C．3 D．0
【答案】　C
解析　根据面面平行的性质知①②③正确，故选C.
4.如图所示，P是三角形ABC所在平面外一点，平面α∥平面ABC，α分别交线段PA、PB、PC于A′、B′、C′，若PA′∶AA′＝2∶3，则S△A′B′C′∶S△ABC等于(　　)
A．2∶25 B．4∶25
C．2∶5 D．4∶5
【答案】　B
解析　∵平面α∥平面ABC，平面PAB与它们的交线分别为A′B′，AB，∴AB∥A′B′，
同理B′C′∥BC，易得△ABC∽△A′B′C′，
S△A′B′C′∶S△ABC＝()2＝()2＝.
5．α，β，γ为三个不重合的平面，a，b，c为三条不同的直线，则下列命题中不正确的是(　　)
① a∥b; ② a∥b；
③ α∥β； ④ α∥β；
⑤ α∥a; ⑥ a∥α.
A．④⑥ B．②③⑥
C．②③⑤⑥ D．②③
【答案】　C
解析　由公理4及平行平面的传递性知①④正确．举反例知②③⑤⑥不正确．②中a，b可以相交，还可以异面；③中α，β可以相交；⑤中a可以在α内；⑥中a可以在α内．
6．下列命题中，错误的是(　　)
A．平面内一个三角形各边所在的直线都与另一个平面平行，则这两个平面平行
B．平行于同一个平面的两个平面平行
C．若两个平面平行，则位于这两个平面内的直线也互相平行
D．若两个平面平行，则其中一个平面内的直线平行于另一个平面
【答案】　C
解析　由面面平行的判定定理和性质知A、B、D正确．对于C，位于两个平行平面内的直线也可能异面．
7．设α∥β，A∈α，B∈β，C是AB的中点，当A、B分别在平面α、β内运动时，得到无数个AB的中点C，那么所有的动点C(　　)
A．不共面
B．当且仅当A、B分别在两条直线上移动时才共面
C．当且仅当A、B分别在两条给定的异面直线上移动时才共面
D．不论A、B如何移动，都共面
【答案】　D
解析　如图所示，A′、B′分别是A、B两点在α、β上运动后的两点，此时AB中点C变成A′B′的中点C′，连接A′B，取A′B的中点E.连接CE、C′E、AA′、BB′、CC′，则CE∥AA′，
∴CE∥α.
又C′E∥BB′，∴C′E∥β.
又∵α∥β，∴C′E∥α.
∵C′E∩CE＝E，∴平面CC′E∥平面α，
∴CC′∥平面α.
∴不论A、B如何移动，所有的动点C都在过C点且与α、β平行的平面上．
二、填空题
8．如图所示，平面四边形ABCD所在的平面与平面α平行，且四边形ABCD在平面α内的平行投影A1B1C1D1是一个平行四边形，则四边形ABCD的形状一定是________．
【答案】　平行四边形
解析　由夹在两平行平面间的平行线段相等可得．
9. 如图，在长方体ABCD－A1B1C1D1中，过BB1的中点E作一个与平面ACB1平行的平面交AB与M，交BC与N，则＝________.
【答案】　
解析　∵平面MNE∥平面ACB1，
由面面平行的性质定理可得EN∥B1C，EM∥B1A，
又∵E为BB1的中点，∴M，N分别为BA，BC的中点，
∴MN＝AC.即＝.
10.如图，已知α∥β，GH，GD，EH分别交α，β于A，B，C，D，E，F，且GA＝9，AB＝12，BH＝16，则＝________.
【答案】　
解析　因为α∩平面GAC＝AC，β∩平面GBD＝BD，且α∥β，
所以AC∥BD，同理可证AE∥BF.
又因为∠EAC与∠FBD的两边同向，
所以∠EAC＝∠FBD.
又因为GA＝9，AB＝12，AC∥BD，
所以＝＝＝.
11．已知平面α∥β，P α且P β，过点P的直线m与α，β分别交于点A，C，过点P的直线n与α，β分别交于点B，D，且PA＝6，AC＝9，PD＝8，则BD的长为________．
【答案】　或24
解析　如图①所示，∵AC∩BD＝P，
∴经过直线AC与BD可确定平面PCD.
∵α∥β，α∩平面PCD＝AB，β∩平面PCD＝CD，
∴AB∥CD.
∴＝，即＝，∴BD＝.
如图②所示，同理可证AB∥CD，∴＝，
即＝，∴BD＝24.
综上所述，BD的长为或24.
12．已知l，m，n是互不相同的直线，α，β，γ是三个不同的平面，给出下列命题：
①若l与m为异面直线，l α，m β，则α∥β；
②若α∥β，l α，m β，则l∥m；
③若α∩β＝l，β∩γ＝m，γ∩α＝n，l∥γ，则m∥n.
其中所有真命题的序号为________．
【答案】　③
解析　①中α可能与β相交；②中直线l与m可能异面；③中根据线面平行的性质定理可以证明m∥n.
三、解答题
13.如图，在三棱柱ABC－A1B1C1中，M是A1C1的中点，平面AB1M∥平面BC1N，AC∩平面BC1N＝N.
求证：N为AC的中点．
证明　∵平面AB1M∥平面BC1N，
平面ACC1A1∩平面AB1M＝AM，
平面BC1N∩平面ACC1A1＝C1N，
∴C1N∥AM，又AC∥A1C1，
∴四边形ANC1M为平行四边形，
∴AN＝C1M＝A1C1＝AC，
∴N为AC的中点．
14．如图，在长方体ABCD－A1B1C1D1中，E是BC上一点，M，N分别是AE，CD1的中点，AD＝AA1＝a，AB＝2a，求证：MN∥平面ADD1A1.
证明　如图，取CD的中点K，连接MK，NK.
因为M，N，K分别是AE，CD1，CD的中点，
所以MK∥AD，NK∥DD1.
又MK 平面ADD1A1，AD 平面ADD1A1，
所以MK∥平面ADD1A1.
同理NK∥平面ADD1A1.
又MK∩NK＝K，所以平面MNK∥平面ADD1A1，
又MN 平面MNK，所以MN∥平面ADD1A1.
B组 能力提升
一、选择题
1.如图，在多面体ABC DEFG中，平面ABC∥平面DEFG，EF∥DG，且AB＝DE，DG＝2EF，则 (　　)
A．BF∥平面ACGD
B．CF∥平面ABED
C．BC∥FG
D．平面ABED∥平面CGF
【答案】A
解析：取DG的中点为M，连接AM、FM，如图所示．则由已知条件易证四边形DEFM是平行四边形，
∴DE//=FM.
∵平面ABC∥平面DEFG，平面ABC∩平面ADEB＝AB，
平面DEFG∩平面ADEB＝DE，
∴AB∥DE，∴AB∥FM.
又AB＝DE，∴AB＝FM，
∴四边形ABFM是平行四边形，∴BF∥AM.
又BF 平面ACGD，
∴BF∥平面ACGD.故选A.
2.如图所示，在三棱台ABC A1B1C1中，点D在A1B1上，且AA1∥BD，点M是△A1B1C1内(含边界)的一个动点，且有平面BDM∥平面A1C，则动点M的轨迹是(　　)
A．平面
B．直线
C．线段，但只含1个端点
D．圆
【答案】C
解析：因为平面BDM∥平面A1C，平面BDM∩平面A1B1C1＝DM，平面A1C∩平面A1B1C1＝A1C1，所以DM∥A1C1，过D作DE1∥A1C1交B1C1于点E1，则点M的轨迹是线段DE1(不包括D点)．
二、填空题
3.如图所示，平面四边形ABCD所在的平面与平面α平行，且四边形ABCD在平面α内的平行投影A1B1C1D1是一个平行四边形，则四边形ABCD的形状一定是 ．
【答案】平行四边形
解析：由面面平行的性质定理可以推出四边形ABCD的两组对边分别平行，故四边形ABCD是平行四边形．
三、解答题
4.如图所示，在三棱柱ABC－A1B1C1中，D是棱CC1的中点，问在棱AB上是否存在一点E，使DE∥平面AB1C1？若存在，请确定点E的位置；若不存在，请说明理由．
解　存在点E，且E为AB的中点时，DE∥平面AB1C1.
证明如下：
如图，取BB1的中点F，连接DF，则DF∥B1C1，因为AB的中点为E，连接EF，
则EF∥AB1，B1C1∩AB1＝B1，EF∩DF＝F，
所以平面DEF∥平面AB1C1.
又DE 平面DEF，所以DE∥平面AB1C1.
5.如图所示，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，点N在BD上，点M在B1C上，且CM＝DN.求证MN∥平面AA1B1B.
证明　如图，作MP∥BB1交BC于点P，连接NP，
∵MP∥BB1，∴＝.
∵BD＝B1C，DN＝CM，
∴B1M＝BN.
∴＝，∴NP∥CD∥AB.
∵NP 平面AA1B1B，AB 平面AA1B1B，
∴NP∥平面AA1B1B.
∵MP∥BB1，MP 平面AA1B1B，BB1 平面AA1B1B，
∴MP∥平面AA1B1B，
又∵MP 平面MNP，NP 平面MNP，MP∩NP＝P，
∴平面MNP∥平面AA1B1B.
∵MN 平面MNP，∴MN∥平面AA1B1B.
6.如图，在四棱锥O ABCD中，底面ABCD是菱形，M为OA的中点，N为BC的中点．证明：直线MN∥平面OCD.
证明：如图，取OB的中点G，连接GN、GM.
∵M为OA的中点，∴MG∥AB.
∵AB∥CD，
∴MG∥CD.
∵MG 平面OCD，CD 平面OCD，
∴MG∥平面OCD.
又∵G、N分别为OB、BC的中点，
∴GN∥OC.
∵GN 平面OCD，OC 平面OCD，
∴GN∥平面OCD.
又∵MG 平面MNG，GN 平面MNG，MG∩GN＝G，
∴平面MNG∥平面OCD.
∵MN 平面MNG，
∴MN∥平面OCD.8.5.3平面与平面平行的性质
导学案
【学习目标】
1.理解并能证明两个平面平行的性质定理
2.能利用性质定理解决有关的平行问题
【自主学习】
知识点1 平面与平面平行的性质
文字语言 如果两个平行平面同时和第三个平面相交，那么它们的交线 .
符号语言 α∥β，α∩γ＝a，β∩γ＝b .
图形语言
【合作探究】
探究一 面面平行性质定理的理解
【例1】(1)平面α∥平面β，直线a α，直线b β，下面三种情形：
①a∥b；②a与b异面；③a与b相交，其中可能出现的情形有(　　)
A．1种 B．2种
C．3种 D．0种
(2)给出三种说法：
①若平面α∥平面β，平面β∥平面γ，则平面α∥平面γ；
②若平面α∥平面β，直线a与α相交，则a与β相交；
③若平面α∥平面β，P∈α，PQ∥β，则PQ α.
其中正确说法的序号是________．
归纳总结：
【练习1】与两个相交平面的交线平行的直线和这两个平面的位置关系是(　　)
A．都平行
B．在这两个平面内
C．都相交
D．至少与其中一个平面平行
探究二 平面与平面平行性质定理的应用
【例2】如图所示，两条异面直线BA，DC与两平行平面α，β分别交于B，A点和D，C点，M，N分别是AB，CD的中点．求证：MN∥平面α.
归纳总结：
【练习2】如图，平面四边形ABCD的四个顶点A、B、C、D均在平行四边形A′B′C′D′所确定的一个平面α外，且AA′、BB′、CC′、DD′互相平行．
求证：四边形ABCD是平行四边形．
探究三 平行关系的综合应用
【例3】在三棱柱ABC A1B1C1中，点D为AC的中点，点D1是A1C1上的一点．
(1)当等于何值时，BC1∥平面AB1D1
(2)当BC1∥平面AB1D1时，求证：平面BC1D∥平面AB1D1.
归纳总结：
【练习3】如图，在正方体ABCD A1B1C1D1中，点N在BD上，点M在B1C上，且CM＝DN.求证：MN∥平面AA1B1B.
课后作业
A组 基础题
一、选择题
1．如果平面α平行于平面β，那么(　　)
A．平面α内任意直线都平行于平面β
B．平面α内有两条相交直线平行于平面β
C．平面α内任意直线都平行于平面β内的任意直线
D．平面α内的直线与平面β内的直线不能垂直
2．已知α∥β，a α，那么a与β的关系是(　　)
A．平行 B．相交 C．在面内 D．垂直
3．下列命题：
①一条直线与两个平行平面中的一个平面相交，必与另外一个平面相交；
②如果一个平面平行于两个平行平面中的一个平面，必平行于另一个平面；
③夹在两个平行平面间的平行线段相等．
其中正确的是命题的个数为(　　)
A．1 B．2 C．3 D．0
4.如图所示，P是三角形ABC所在平面外一点，平面α∥平面ABC，α分别交线段PA、PB、PC于A′、B′、C′，若PA′∶AA′＝2∶3，则S△A′B′C′∶S△ABC等于(　　)
A．2∶25 B．4∶25
C．2∶5 D．4∶5
5．α，β，γ为三个不重合的平面，a，b，c为三条不同的直线，则下列命题中不正确的是(　　)
① a∥b; ② a∥b；
③ α∥β； ④ α∥β；
⑤ α∥a; ⑥ a∥α.
A．④⑥ B．②③⑥
C．②③⑤⑥ D．②③
6．下列命题中，错误的是(　　)
A．平面内一个三角形各边所在的直线都与另一个平面平行，则这两个平面平行
B．平行于同一个平面的两个平面平行
C．若两个平面平行，则位于这两个平面内的直线也互相平行
D．若两个平面平行，则其中一个平面内的直线平行于另一个平面
7．设α∥β，A∈α，B∈β，C是AB的中点，当A、B分别在平面α、β内运动时，得到无数个AB的中点C，那么所有的动点C(　　)
A．不共面
B．当且仅当A、B分别在两条直线上移动时才共面
C．当且仅当A、B分别在两条给定的异面直线上移动时才共面
D．不论A、B如何移动，都共面
二、填空题
8．如图所示，平面四边形ABCD所在的平面与平面α平行，且四边形ABCD在平面α内的平行投影A1B1C1D1是一个平行四边形，则四边形ABCD的形状一定是________．
9. 如图，在长方体ABCD－A1B1C1D1中，过BB1的中点E作一个与平面ACB1平行的平面交AB与M，交BC与N，则＝________.
10.如图，已知α∥β，GH，GD，EH分别交α，β于A，B，C，D，E，F，且GA＝9，AB＝12，BH＝16，则＝________.
11．已知平面α∥β，P α且P β，过点P的直线m与α，β分别交于点A，C，过点P的直线n与α，β分别交于点B，D，且PA＝6，AC＝9，PD＝8，则BD的长为________．
12．已知l，m，n是互不相同的直线，α，β，γ是三个不同的平面，给出下列命题：
①若l与m为异面直线，l α，m β，则α∥β；
②若α∥β，l α，m β，则l∥m；
③若α∩β＝l，β∩γ＝m，γ∩α＝n，l∥γ，则m∥n.
其中所有真命题的序号为________．
三、解答题
13.如图，在三棱柱ABC－A1B1C1中，M是A1C1的中点，平面AB1M∥平面BC1N，AC∩平面BC1N＝N.
求证：N为AC的中点．
14．如图，在长方体ABCD－A1B1C1D1中，E是BC上一点，M，N分别是AE，CD1的中点，AD＝AA1＝a，AB＝2a，求证：MN∥平面ADD1A1.
B组 能力提升
一、选择题
1.如图，在多面体ABC DEFG中，平面ABC∥平面DEFG，EF∥DG，且AB＝DE，DG＝2EF，则 (　　)
A．BF∥平面ACGD
B．CF∥平面ABED
C．BC∥FG
D．平面ABED∥平面CGF
2.如图所示，在三棱台ABC A1B1C1中，点D在A1B1上，且AA1∥BD，点M是△A1B1C1内(含边界)的一个动点，且有平面BDM∥平面A1C，则动点M的轨迹是(　　)
A．平面
B．直线
C．线段，但只含1个端点
D．圆
二、填空题
3.如图所示，平面四边形ABCD所在的平面与平面α平行，且四边形ABCD在平面α内的平行投影A1B1C1D1是一个平行四边形，则四边形ABCD的形状一定是 ．
三、解答题
4.如图所示，在三棱柱ABC－A1B1C1中，D是棱CC1的中点，问在棱AB上是否存在一点E，使DE∥平面AB1C1？若存在，请确定点E的位置；若不存在，请说明理由．
5.如图所示，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，点N在BD上，点M在B1C上，且CM＝DN.求证MN∥平面AA1B1B.
6.如图，在四棱锥O ABCD中，底面ABCD是菱形，M为OA的中点，N为BC的中点．证明：直线MN∥平面OCD.

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