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8.6.3平面与平面垂直的判定
导学案
【学习目标】
1.理解二面角及其平面角的定义并会求一些简单二面角的大小
2.理解两平面垂直的定义
3.掌握两个平面垂直的判定定理并能应用判定定理证明面面垂直问题
【自主学习】
知识点1　二面角
(1)定义：从一条直线出发的两个半平面所组成的图形．
(2)相关概念：①这条直线叫做二面角的棱，②两个半平面叫做二面角的面．
(3)画法：
　　　　　
(4)记法：二面角α－l－β或α－AB－β或P－l－Q或P－AB－Q.
(5)二面角的平面角：若有①O∈l；②OA α，OB β；③OA⊥l，OB⊥l，则二面角α－l－β的平面角是∠AOB.
知识点2　平面与平面垂直
(1)平面与平面垂直
①定义：一般地，两个平面相交，如果它们所成的二面角是直二面角，就说这两个平面互相垂直．
②画法：
③记作：α⊥β.
(2)判定定理
文字语言 一个平面过另一个平面的垂线，则这两个平面垂直
图形语言
符号语言 l⊥α，l β α⊥β
【合作探究】
探究一 二面角的概念及求法
【例1】如图，四边形ABCD是正方形，PA⊥平面ABCD，且PA＝AB.
(1)求二面角A PD C平面角的度数；
(2)求二面角B PA D平面角的度数；
(3)求二面角B PA C平面角的度数．
[分析]　(1)证明平面PAD⊥平面PCD；(2)，(3)先找出二面角的平面角，再证明该角满足平面角的定义，最后在三角形中求角的大小．
[解]　(1)∵PA⊥平面ABCD，∴PA⊥CD.
又四边形ABCD为正方形，∴CD⊥AD.
PA∩AD＝A，∴CD⊥平面PAD.
又CD 平面PCD，∴平面PAD⊥平面PCD.
∴二面角A PD C平面角的度数为90°.
(2)∵PA⊥平面ABCD，
∴AB⊥PA，AD⊥PA.
∴∠BAD为二面角B PA D的平面角．
又由题意知∠BAD＝90°，
∴二面角B PA D平面角的度数为90°.
(3)∵PA⊥平面ABCD，
∴AB⊥PA，AC⊥PA.
∴∠BAC为二面角B PA C的平面角．
又四边形ABCD为正方形，
∴∠BAC＝45°，即二面角B PA C平面角的度数为45°.
归纳总结：清楚二面角的平面角的大小与顶点在棱上的位置无关，通常可根据需要选择特殊点作平面角的顶点.求二面角的大小的方法为：一作，即先作出二面角的平面角；二证，即说明所作角是二面角的平面角；三求，即利用二面角的平面角所在的三角形算出角的三角函数值，其中关键是“作”
【练习1】如图，在正方体ABCD A1B1C1D1中，求二面角B A1C1 B1的正切值．
解：如图，取A1C1的中点O，
连接B1O、BO.
由题意知B1O⊥A1C1，
又BA1＝BC1，O为A1C1的中点，
所以BO⊥A1C1，
所以∠BOB1即是二面角B A1C1 B1的平面角．
因为BB1⊥平面A1B1C1D1，OB1 平面A1B1C1D1，所以BB1⊥OB1.
设正方体的棱长为a，则OB1＝a.
在Rt△BB1O中，tan∠BOB1＝＝＝，
所以二面角B A1C1 B1的正切值为.
探究二 平面与平面垂直的判定
【例2】如图所示，四棱锥P ABCD中，PA⊥平面ABCD，底面ABCD是直角梯形，AB⊥AD，CD⊥AD.求证：平面PDC⊥平面PAD.
[证明]　∵PA⊥平面ABCD，CD 平面ABCD，∴PA⊥CD.
又∵CD⊥AD，PA∩AD＝A，∴CD⊥平面PAD.
又∵CD 平面PDC，∴平面PDC⊥平面PAD.
归纳总结：判定两平面垂直的常用方法：
1定义法：即说明两个平面所成的二面角是直二面角；
2判定定理法：其关键是在其中一个平面内寻找一直线与另一个平面垂直，即把问题转化为“线面垂直”；
3性质法：两个平行平面中的一个垂直于第三个平面，则另一个也垂直于此平面
【练习2】如图，在长方体ABCD A1B1C1D1中，AD＝AA1＝2，AB＝4，E为AB的中点．求证：平面DD1E⊥平面CD1E.
证明：在矩形ABCD中，E为AB的中点，
AD＝2，AB＝4，所以DE＝CE＝2，
因为CD＝4，所以CE⊥DE，
因为D1D⊥平面ABCD，
所以D1D⊥CE，因为D1D∩DE＝D，
所以CE⊥平面D1DE，又CE 平面CED1，
所以平面DD1E⊥平面CD1E.
探究三 线面垂直、面面垂直的综合应用
【例3】如图所示，已知三棱锥P ABC，∠ACB＝90°，CB＝4，AB＝20，D为AB的中点，且△PDB是正三角形，PA⊥PC.
(1)求证：平面PAC⊥平面ABC；
(2)求二面角D AP C的正弦值；
(3)若M为PB的中点，求三棱锥M BCD的体积．
[分析]　本题的题设条件有三个：①△ABC是直角三角形，BC⊥AC；②△PDB是正三角形；③D是AB的中点，PD＝DB＝10.解答本题(1)，只需证线面垂直，进而由线面垂直证明面面垂直，对于(2)首先应找出二面角的平面角，然后求其正弦值，解答(3)小题的关键是用等体积法求解．
[解]　(1)证明：∵D是AB的中点，△PDB是正三角形，AB＝20，
∴PD＝AB＝10，
∴△PAB为直角三角形且∠APB＝90°，∴AP⊥PB.
又AP⊥PC，PB∩PC＝P，∴AP⊥平面PBC.
又BC 平面PBC，∴AP⊥BC.
又AC⊥BC，AP∩AC＝A，∴BC⊥平面PAC.
又BC 平面ABC，∴平面PAC⊥平面ABC.
(2)∵PA⊥PC，且PA⊥PB，
∴∠BPC是二面角D AP C的平面角．
由(1)知BC⊥平面PAC，则BC⊥PC，
∴sin∠BPC＝＝.
(3)∵D为AB的中点，M为PB的中点，
∴DM∥PA，故DM＝5，
由(1)知PA⊥平面PBC，∴DM⊥平面PBC.
∵S△BCM＝S△PBC＝2，
∴VM BCD＝VD BCM＝×5×2＝10.
归纳总结：本题是涉及线面垂直、面面垂直、二面角的求法等诸多知识点的一道综合题，解决这类问题的关键是转化：线线垂直 线面垂直 面面垂直
【练习3】如图，在三棱锥P ABC中，PC⊥平面ABC，AB⊥BC，D，E分别是AB，PB的中点．
(1)求证：DE∥平面PAC；
(2)求证：AB⊥PB；
(3)若PC＝BC，求二面角P AB C的大小．
解：(1)证明：因为D，E分别是AB，PB的中点，
所以DE∥PA.
又因为PA 平面PAC，DE 平面PAC，
所以DE∥平面PAC.
(2)证明：因为PC⊥平面ABC，AB 平面ABC，
所以PC⊥AB.
又因为AB⊥BC，PC∩BC＝C，所以AB⊥平面PBC，
又因为PB 平面PBC，所以AB⊥PB.
(3)由(2)知，AB⊥PB，AB⊥BC，
所以∠PBC即为二面角P AB C的平面角，
因为PC＝BC，∠PCB＝90°，所以∠PBC＝45°，
所以二面角P AB C的大小为45°.
课后作业
A组 基础题
一、选择题
1．下列不能确定两个平面垂直的是(　　)
A．两个平面相交，所成二面角是直二面角
B．一个平面垂直于另一个平面内的一条直线
C．一个平面经过另一个平面的一条垂线
D．平面α内的直线a垂直于平面β内的直线b
【答案】　D
解析　如图所示，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，平面A1B1CD内的直线A1B1垂直于平面ABCD内的一条直线BC，但平面A1B1CD与平面ABCD显然不垂直．
2．关于直线a，b以及平面M，N，下列命题中正确的是(　　)
A．若a∥M，b∥M，则a∥b
B．若b∥M，a⊥b，则a⊥M
C．若b M，a⊥b，则a⊥M
D．若a⊥M，a N，则M⊥N
【答案】　D
解析　A中，当直线a，b都在一个平面上相交，且这个平面与M平行，可推断出A不一定成立；B中，可能存在a M的情况，故B的结论不一定成立；C中，可能存在a∥M的情况，故C项错误；D中，若a⊥M，a N，由面面垂直的判定定理可知M⊥N，故D项中说法正确．
3．如图所示，在四面体D－ABC中，若AB＝BC，AD＝CD，E是AC的中点，则下列命题中正确的是(　　)
A．平面ABC⊥平面ABD
B．平面ABD⊥平面BDC
C．平面ABC⊥平面BDE，且平面ADC⊥平面BDE
D．平面ABC⊥平面ADC，且平面ADC⊥平面BDE
【答案】　C
解析　因为AB＝BC，且E是AC的中点，所以BE⊥AC.同理，DE⊥AC.又BE∩DE＝E，所以AC⊥平面BDE.
因为AC 平面ABC，所以平面ABC⊥平面BDE.
因为AC 平面ACD，所以平面ACD⊥平面BDE.
4．如图所示，在△ABC中，AD⊥BC，△ABD的面积是△ACD的面积的2倍．沿AD将△ABC翻折，使翻折后BC⊥平面ACD，此时二面角B－AD－C的大小为(　　)
A．30° B．45°
C．60° D．90°
【答案】　C
解析　由已知得BD＝2CD.翻折后，在Rt△BCD中，∠BDC＝60°，而AD⊥BD，CD⊥AD，故∠BDC是二面角B－AD－C的平面角，其大小为60°.
5．如图，AB是圆O的直径，PA垂直于圆O所在平面ABC，点 C是圆上的任意一点，图中互相垂直平面的对数为(　　)
A．4 B．3 C．2 D．1
【答案】　B
解析　∵PA⊥圆O所在平面ABC，
∴平面PAB⊥平面ABC，
同理可得：平面PAC⊥平面ABC，
∵AB是圆O的直径，∴BC⊥AC，
又∵PA⊥圆O所在平面ABC，BC 平面ABC，
∴PA⊥BC.
又∵PA∩AC＝A，PA，AC 平面PAC.
∴BC⊥平面PAC.
又∵BC 平面PBC，∴平面PBC⊥平面PAC.
综上相互垂直的平面共有3对．
6．过两点与一个已知平面垂直的平面(　　)
A．有且只有一个 B．有无数个
C．有且只有一个或无数个 D．可能不存在
【答案】　C
解析　设两点为A，B，平面为α，若直线AB⊥α，则过A、B与α垂直的平面有无数个；若直线AB与α不垂直，即直线AB与α平行、相交或在平面α内，均存在唯一平面垂直于已知平面．
7．在正四面体PABC中，D、E、F分别是AB、BC、CA的中点，下面四个结论中不成立的是(　　)
A．BC∥平面PDF B．DF⊥平面PAE
C．平面PDF⊥平面ABC D．平面PAE⊥平面ABC
【答案】　C
解析　如图所示，∵BC∥DF，
∴BC∥平面PDF，∴A正确．
由BC⊥PE，BC⊥AE，
得BC⊥平面PAE，
∴DF⊥平面PAE，∴B正确．
∴平面ABC⊥平面PAE(BC⊥平面PAE)，
∴D正确．
8．如图所示，已知六棱锥P－ABCDEF的底面是正六边形，PA⊥平面ABC，PA＝2AB，则下列结论正确的是(　　)
A．PB⊥AD
B．平面PAB⊥平面PBC
C．直线BC∥平面PAE
D．直线PD与平面ABC所成的角为45°
【答案】　D
解析　∵PA⊥平面ABC，
∴∠ADP是直线PD与平面ABC所成的角．
∵六边形ABCDEF是正六边形，
∴AD＝2AB，即tan∠ADP＝＝＝1，
∴直线PD与平面ABC所成的角为45°.故选D.
二、填空题
9．已知α，β是两个不同的平面，l是平面α与β之外的直线，给出下列三个论断：①l⊥α，②l∥β，③α⊥β.
以其中的两个论断作为条件，余下的一个论断作为结论，写出你认为正确的一个命题：________.(用序号表示)
【答案】　①② ③
解析　由l∥β可在平面β内作l′∥l，又l⊥α，∴l′⊥α，
∵l′ β，∴α⊥β，故①② ③.
10．下列结论中，所有正确结论的序号是________．
①两个相交平面形成的图形叫做二面角；
②异面直线a，b分别和一个二面角的两个面垂直，则a，b所成的角与这个二面角的平面角相等或互补；
③二面角的平面角是从棱上一点出发，分别在两个面内作射线所成的角的最小角；
④二面角的大小与其平面角的顶点在棱上的位置没有关系．
【答案】　②④
解析　由二面角及二面角的平面角的定义知①③不正确，④正确；②中所成的角虽不是二面角的平面角，但由平面几何的知识易知②正确．
11．如图所示，在长方体ABCD－A1B1C1D1中，BC＝2，AA1＝1，E，F分别在AD和BC上，且EF∥AB，若二面角C1－EF－C等于45°，则BF＝________.
【答案】　1
解析　由题意知EF⊥BC.
∵CC1⊥平面ABCD，∴CC1⊥EF，
又BC∩CC1＝C，∴EF⊥平面CC1F，
∴EF⊥C1F.
故∠C1FC为二面角C1－EF－C的平面角，
即∠C1FC＝45°，
∵AA1＝1，∴CF＝1，又BC＝2，∴BF＝1.
12．如图所示，在四棱锥P－ABCD中，PA⊥底面ABCD，且底面各边都相等，M是PC上的一动点，当点M满足________时，平面MBD⊥平面PCD.(只要填写一个你认为是正确的条件即可)
【答案】　DM⊥PC(或BM⊥PC等)
解析　由定理可知，BD⊥PC.
∴当DM⊥PC(或BM⊥PC)时，即有PC⊥平面MBD，
而PC 平面PCD，
∴平面MBD⊥平面PCD.
三、解答题
13．如图所示，在正三棱柱ABC－A1B1C1中，E为BB1的中点，求证：截面A1CE⊥侧面ACC1A1.
证明　如图所示，取A1C的中点F，AC的中点G，连接FG，EF，BG，则FG∥AA1，且GF＝AA1.
因为BE＝EB1，A1B1＝CB，∠A1B1E＝∠CBE＝90°，
所以△A1B1E≌△CBE，所以A1E＝CE.
因为F为A1C的中点，所以EF⊥A1C.
又FG∥AA1∥BE，GF＝AA1＝BE，且BE⊥BG，
所以四边形BEFG是矩形，所以EF⊥FG.
因为A1C∩FG＝F，所以EF⊥侧面ACC1A1.
又因为EF 平面A1CE，所以截面A1CE⊥侧面ACC1A1.
14．如图，四棱锥P－ABCD的底面ABCD为正方形，PA⊥底面ABCD，AC，BD交于点E，F是PB的中点．求证：
(1)EF∥平面PCD；
(2)平面PBD⊥平面PAC.
证明　(1)∵四边形ABCD是正方形，∴E是BD的中点．
又F是PB的中点，∴EF∥PD.
又∵EF 平面PCD，PD 平面PCD，
∴EF∥平面PCD.
(2)∵四边形ABCD是正方形，∴BD⊥AC.
∵PA⊥平面ABC，∴PA⊥BD.
又PA∩AC＝A，∴BD⊥平面PAC.
又BD 平面PBD，
∴平面PBD⊥平面PAC.
15．如图，在四面体A BCD中，BD＝a，AB＝AD＝CB＝CD＝AC＝a，求证：平面ABD⊥平面BCD.
证明：如图，取BD的中点E，连接AE，CE.由AB＝AD＝CB＝CD，知AE⊥BD，CE⊥BD，所以∠AEC为二面角A BD C的平面角．
在△ABE中，AB＝a，BE＝BD＝a，
所以AE2＝AB2－BE2＝a2，
同理CE2＝a2，
所以AE2＋CE2＝a2＝AC2，
所以∠AEC＝90°.
所以平面ABD⊥平面BCD.
B组 能力提升
一、选择题
1．若P是等边三角形ABC所在平面外一点，且PA＝PB＝PC，D，E，F分别是AB，BC，CA的中点，则下列结论中不正确的是(　　)
A．BC∥平面PDF B．DF⊥平面PAE
C．平面PAE⊥平面ABC D．平面PDF⊥平面ABC
【答案】D
解析：∵P是等边三角形ABC所在平面外一点，且PA＝PB＝PC，D，E，F分别是AB，BC，CA的中点，∴DF∥BC，又∵DF 平面PDF，BC 平面PDF，∴BC∥平面PDF，故A正确．
∵PA＝PB＝PC，△ABC为等边三角形，E是BC中点，∴PE⊥BC，AE⊥BC.∵PE∩AE＝E，∴BC⊥平面PAE.∵DF∥BC，∴DF⊥平面PAE，故B正确．
∵BC⊥平面PAE，BC 平面ABC，∴平面PAE⊥平面ABC，故C正确．
设AE∩DF＝O，连接PO.∵O不是等边三角形ABC的重心，∴PO与平面ABC不垂直，∴平面PDF与平面ABC不垂直，故D错误．
2．在二面角α l β中，A∈α，AB⊥平面β于B，BC⊥平面α于C，若AB＝6，BC＝3，则二面角α l β的平面角的大小为(　　)
A．30° B．60°
C．30°或150° D．60°或120°
【答案】D
解析：如图，∵AB⊥β，∴AB⊥l，
∵BC⊥α，∴BC⊥l，
∴l⊥平面ABC.
设平面ABC∩l＝D，
则∠ADB为二面角α l β的平面角(或其补角)，
∵AB＝6，BC＝3，
∴∠BAC＝30°，∴∠ADB＝60°，
∴二面角大小为60°或120°.
二、填空题
3.如图所示，在四棱锥P ABCD中，PA⊥平面ABCD，且底面各边都相等，M是PC上一动点．当点M满足 时，平面MBD⊥平面PCD.(只要填写一个你认为正确的条件即可)
【答案】DM⊥PC(或BM⊥PC等)
解析：如图，连接AC，则BD⊥AC.由PA⊥平面ABCD，可知BD⊥PA，所以BD⊥平面PAC，所以BD⊥PC，所以当DM⊥PC(或BM⊥PC)时，即有PC⊥平面MBD.而PC 平面PCD，所以平面MBD⊥平面PCD.
三、解答题
4.如图所示，在四棱锥P ABCD中，底面是边长为a的正方形，侧棱PD＝a，PA＝PC＝a，
(1)求证：PD⊥平面ABCD；
(2)求证：平面PAC⊥平面PBD；
(3)求二面角P AC D的正切值．
解：(1)证明：∵PD＝a，DC＝a，PC＝a，
∴PC2＝PD2＋DC2，
∴PD⊥DC.
同理可证PD⊥AD，又AD∩DC＝D，
∴PD⊥平面ABCD.
(2)证明：由(1)知PD⊥平面ABCD，
∴PD⊥AC，而四边形ABCD是正方形，
∴AC⊥BD，又BD∩PD＝D，
∴AC⊥平面PDB.
又AC 平面PAC，
∴平面PAC⊥平面PBD.
(3)设AC∩BD＝O，如图，连接PO.
由PA＝PC，知PO⊥AC.
又由DO⊥AC，故∠POD为二面角P AC D的平面角．
易知OD＝a.
在Rt△PDO中，tan∠POD＝＝＝.
5．如图，在长方体ABCD－A1B1C1D1中，AD＝AA1＝1，AB＝2，点E在棱AB上移动．
(1)证明：D1E⊥A1D；
(2)求AE等于何值时，二面角D1－EC－D的大小为45°？
(1)证明　连接D1A，D1B.
∵在长方形A1ADD1中，AD＝AA1＝1，
∴四边形A1ADD1为正方形，∴A1D⊥AD1.
又由题意知AB⊥A1D，且AB∩AD1＝A，
∴A1D⊥平面ABD1.
∵D1E 平面ABD1，∴A1D⊥D1E.
(2)解　过D作DF⊥EC于点F，连接D1F.
∵D1D⊥平面DB，EC 平面DB，∴D1D⊥EC.
又DF∩D1D＝D，∴EC⊥平面D1DF.
∵D1F 平面D1DF，∴EC⊥D1F，
∴∠DFD1为二面角D1－EC－D的平面角，
∴∠DFD1＝45°，又∠D1DF＝90°，D1D＝1，
∴DF＝1.
在Rt△DFC中，∵DC＝2，∴∠DCF＝30°，
∴∠ECB＝60°.
在Rt△EBC中，∵BC＝1，∴EB＝，AE＝2－.8.6.3平面与平面垂直的判定
导学案
【学习目标】
1.理解二面角及其平面角的定义并会求一些简单二面角的大小
2.理解两平面垂直的定义
3.掌握两个平面垂直的判定定理并能应用判定定理证明面面垂直问题
【自主学习】
知识点1　二面角
(1)定义：从一条直线出发的 所组成的图形．
(2)相关概念：①这条直线叫做二面角的 ，②两个半平面叫做二面角的 ．
(3)画法：
　　　　　
(4)记法：二面角 或 或 或P－AB－Q.
(5)二面角的平面角：若有①O l；②OA α，OB β；③OA l，OB l，
则二面角α－l－β的平面角是 .
知识点2　平面与平面垂直
(1)平面与平面垂直
①定义：一般地，两个平面相交，如果它们所成的二面角是 ，就说这两个平面互相垂直．
②画法：
③记作： .
(2)判定定理
文字语言 一个平面过另一个平面的 ，则这两个平面垂直
图形语言
符号语言 l⊥α， α⊥β
【合作探究】
探究一 二面角的概念及求法
【例1】如图，四边形ABCD是正方形，PA⊥平面ABCD，且PA＝AB.
(1)求二面角A PD C平面角的度数；
(2)求二面角B PA D平面角的度数；
(3)求二面角B PA C平面角的度数．
归纳总结：
【练习1】如图，在正方体ABCD A1B1C1D1中，求二面角B A1C1 B1的正切值．
探究二 平面与平面垂直的判定
【例2】如图所示，四棱锥P ABCD中，PA⊥平面ABCD，底面ABCD是直角梯形，AB⊥AD，CD⊥AD.求证：平面PDC⊥平面PAD.
归纳总结：
【练习2】如图，在长方体ABCD A1B1C1D1中，AD＝AA1＝2，AB＝4，E为AB的中点．求证：平面DD1E⊥平面CD1E.
探究三 线面垂直、面面垂直的综合应用
【例3】如图所示，已知三棱锥P ABC，∠ACB＝90°，CB＝4，AB＝20，D为AB的中点，且△PDB是正三角形，PA⊥PC.
(1)求证：平面PAC⊥平面ABC；
(2)求二面角D AP C的正弦值；
(3)若M为PB的中点，求三棱锥M BCD的体积．
归纳总结：
【练习3】如图，在三棱锥P ABC中，PC⊥平面ABC，AB⊥BC，D，E分别是AB，PB的中点．
(1)求证：DE∥平面PAC；
(2)求证：AB⊥PB；
(3)若PC＝BC，求二面角P AB C的大小．
课后作业
A组 基础题
一、选择题
1．下列不能确定两个平面垂直的是(　　)
A．两个平面相交，所成二面角是直二面角
B．一个平面垂直于另一个平面内的一条直线
C．一个平面经过另一个平面的一条垂线
D．平面α内的直线a垂直于平面β内的直线b
2．关于直线a，b以及平面M，N，下列命题中正确的是(　　)
A．若a∥M，b∥M，则a∥b
B．若b∥M，a⊥b，则a⊥M
C．若b M，a⊥b，则a⊥M
D．若a⊥M，a N，则M⊥N
3．如图所示，在四面体D－ABC中，若AB＝BC，AD＝CD，E是AC的中点，则下列命题中正确的是(　　)
A．平面ABC⊥平面ABD
B．平面ABD⊥平面BDC
C．平面ABC⊥平面BDE，且平面ADC⊥平面BDE
D．平面ABC⊥平面ADC，且平面ADC⊥平面BDE
4．如图所示，在△ABC中，AD⊥BC，△ABD的面积是△ACD的面积的2倍．沿AD将△ABC翻折，使翻折后BC⊥平面ACD，此时二面角B－AD－C的大小为(　　)
A．30° B．45°
C．60° D．90°
5．如图，AB是圆O的直径，PA垂直于圆O所在平面ABC，点 C是圆上的任意一点，图中互相垂直平面的对数为(　　)
A．4 B．3 C．2 D．1
6．过两点与一个已知平面垂直的平面(　　)
A．有且只有一个 B．有无数个
C．有且只有一个或无数个 D．可能不存在
7．在正四面体PABC中，D、E、F分别是AB、BC、CA的中点，下面四个结论中不成立的是(　　)
A．BC∥平面PDF B．DF⊥平面PAE
C．平面PDF⊥平面ABC D．平面PAE⊥平面ABC
8．如图所示，已知六棱锥P－ABCDEF的底面是正六边形，PA⊥平面ABC，PA＝2AB，则下列结论正确的是(　　)
A．PB⊥AD
B．平面PAB⊥平面PBC
C．直线BC∥平面PAE
D．直线PD与平面ABC所成的角为45°
二、填空题
9．已知α，β是两个不同的平面，l是平面α与β之外的直线，给出下列三个论断：①l⊥α，②l∥β，③α⊥β.
以其中的两个论断作为条件，余下的一个论断作为结论，写出你认为正确的一个命题：________.(用序号表示)
10．下列结论中，所有正确结论的序号是________．
①两个相交平面形成的图形叫做二面角；
②异面直线a，b分别和一个二面角的两个面垂直，则a，b所成的角与这个二面角的平面角相等或互补；
③二面角的平面角是从棱上一点出发，分别在两个面内作射线所成的角的最小角；
④二面角的大小与其平面角的顶点在棱上的位置没有关系．
11．如图所示，在长方体ABCD－A1B1C1D1中，BC＝2，AA1＝1，E，F分别在AD和BC上，且EF∥AB，若二面角C1－EF－C等于45°，则BF＝________.
12．如图所示，在四棱锥P－ABCD中，PA⊥底面ABCD，且底面各边都相等，M是PC上的一动点，当点M满足________时，平面MBD⊥平面PCD.(只要填写一个你认为是正确的条件即可)
三、解答题
13．如图所示，在正三棱柱ABC－A1B1C1中，E为BB1的中点，求证：截面A1CE⊥侧面ACC1A1.
14．如图，四棱锥P－ABCD的底面ABCD为正方形，PA⊥底面ABCD，AC，BD交于点E，F是PB的中点．求证：
(1)EF∥平面PCD；
(2)平面PBD⊥平面PAC.
15．如图，在四面体A BCD中，BD＝a，AB＝AD＝CB＝CD＝AC＝a，
求证：平面ABD⊥平面BCD.
B组 能力提升
一、选择题
1．若P是等边三角形ABC所在平面外一点，且PA＝PB＝PC，D，E，F分别是AB，BC，CA的中点，则下列结论中不正确的是(　　)
A．BC∥平面PDF B．DF⊥平面PAE
C．平面PAE⊥平面ABC D．平面PDF⊥平面ABC
2．在二面角α l β中，A∈α，AB⊥平面β于B，BC⊥平面α于C，若AB＝6，BC＝3，则二面角α l β的平面角的大小为(　　)
A．30° B．60°
C．30°或150° D．60°或120°
二、填空题
3.如图所示，在四棱锥P ABCD中，PA⊥平面ABCD，且底面各边都相等，M是PC上一动点．当点M满足 时，平面MBD⊥平面PCD.(只要填写一个你认为正确的条件即可)
三、解答题
4.如图所示，在四棱锥P ABCD中，底面是边长为a的正方形，侧棱PD＝a，PA＝PC＝a，
(1)求证：PD⊥平面ABCD；
(2)求证：平面PAC⊥平面PBD；
(3)求二面角P AC D的正切值．
5．如图，在长方体ABCD－A1B1C1D1中，AD＝AA1＝1，AB＝2，点E在棱AB上移动．
(1)证明：D1E⊥A1D；
(2)求AE等于何值时，二面角D1－EC－D的大小为45°？

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