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10.1.4概率的基本性质
导学案
【学习目标】
1.理解两个事件互斥、互为对立的含义.
2.理解概率的6条基本性质,重点掌握性质3、性质4、性质6及其公式的应用条件.
3.能灵活运用这几条重要性质解决相关的实际问题,培养数学建模和数学化归能力.
【自主学习】
知识点1
(1)对任意的事件A，都有P(A)≥0.
(2)必然事件的概率为1，不可能事件的概率为0，即P(Ω)＝1，P( )＝0.
(3)如果事件A与事件B互斥，那么P(A∪B)＝P(A)＋P(B)．
(4)如果事件A与事件B互为对立事件，那么P(B)＝1－P(A)，P(A)＝1－P(B)．
(5)如果A B，那么P(A)≤P(B)．
(6)设A，B是一个随机试验中的两个事件，我们有P(A∪B)＝P(A)＋P(B)－P(A∩B)．
【合作探究】
探究一 互斥事件概率加法公式的应用
【例1】某射手在一次射击训练中，射中10环，9环，8环，7环的概率分别为0.21,0.23,0.25,0.28，计算这个射手在一次射击中：
(1)射中10环或7环的概率；
(2)超过7环的概率．
[分析]　先设出事件，判断是否互斥或对立，然后再使用概率公式求解．
[解]　(1)设A＝“射中10环”，B＝“射中7环”，由于在一次射击中，A与B不可能同时发生，故A与B是互斥事件．A∪B＝“射中10环或7环”．
故P(A∪B)＝P(A)＋P(B)＝0.21＋0.28＝0.49.所以射中10环或7环的概率为0.49.
(2)设E＝“超过7环”，则事件E＝“射中8环或9环或10环”，由(1)可知“射中8环”“射中9环”等彼此是互斥事件，
所以P(E)＝0.21＋0.23＋0.25＝0.69，
所以超过7环的概率是0.69.
归纳总结：对于一个较复杂的事件，一般将其分解成几个简单的事件，当这些事件彼此互斥时，原事件的概率等于这些事件概率的和.并且互斥事件的概率加法公式可以推广为：PA1∪A2∪…∪An＝PA1＋PA2＋…＋PAn.其使用的前提条件仍然是A1，A2，…，An彼此互斥.故解决此类题目的关键在于分解事件及确立事件是否互斥.
【练习1】掷一枚均匀的正六面体骰子，设A表示事件“出现2点”，B表示“出现奇数点”，则P(A∪B)等于(　　)
A.　　　　B. C.　　　　D.
【答案】B
解析：∵P(A)＝，P(B)＝＝，事件A与B互斥，由互斥事件的概率加法公式得P(A∪B)＝P(A)＋P(B)＝＋＝.
探究二 对立事件概率公式的应用
【例2】甲、乙两人下棋，和棋的概率是，乙获胜的概率为，求：
(1)甲获胜的概率；(2)甲不输的概率．
[分析]　先设出事件，判断是否互斥或对立，然后再使用概率公式求解．
[解]　(1)“甲获胜”可看成是“和棋或乙获胜”的对立事件，所以“甲获胜”的概率为1－－＝.
(2)方法一：“甲不输”可看成是“甲获胜”“和棋”这两个互斥事件的并事件，所以P(甲不输)＝＋＝.
方法二：“甲不输”可看成是“乙获胜”的对立事件，所以P(甲不输)＝1－＝，故甲不输的概率为.
归纳总结：1只有当A，B互斥时，公式PA∪B＝PA＋PB才成立；只有当A，B互为对立事件时，公式PA＝1－PB才成立.
2复杂的互斥事件概率的求法有两种：一是直接求解，将所求事件的概率分解为一些彼此互斥的事件的概率的和，运用互斥事件的概率的加法公式计算；二是间接求解，先找出所求事件的对立事件，再用公式PA＝1－P求解.
【练习2】从一箱产品中随机地抽取一件，设事件A＝“抽到一等品”，事件B＝“抽到二等品”，事件C＝“抽到三等品”．已知P(A)＝0.65，P(B)＝0.2，P(C)＝0.1，则事件“抽到的不是一等品”的概率为(　　)
A．0.20　　　B．0.39 　　　C．0.35　　　D．0.90
【答案】C
解析：∵抽到的不是一等品的对立事件是抽到一等品，而P(A)＝0.65，∴抽到的不是一等品的概率是1－0.65＝0.35.
课后作业
A组 基础题
一、选择题
1．下列说法正确的是(　 　)
A．事件A，B中至少有一个发生的概率一定比A，B中恰有一个发生的概率大
B．事件A，B同时发生的概率一定比A，B中恰有一个发生的概率小
C．互斥事件不一定是对立事件，对立事件一定是互斥事件
D．互斥事件一定是对立事件，对立事件不一定是互斥事件
【答案】C
解析：对于A，当A、B为对立事件时，A, B中至少有一个发生的概率和A，B中恰有一个发生的概率相等，故A错；对于B，若A、B是相等事件，此时A、B恰有一个发生为不可能事件，概率为0，故B错；C正确，D错误．故选C.
2．围棋盒子中有多粒黑子和白子，已知从中取出2粒都是黑子的概率为，都是白子的概率是.则从中任意取出2粒恰好是同一色的概率是(　 　)
A. B.
C. D．1
【答案】C
解析：设“从中取出2粒都是黑子”为事件A，“从中取出2粒都是白子”为事件B，“从中任意取出2粒恰好是同一色”为事件C.
则P(A)＝，P(B)＝.
由互斥事件的概率加法公式可得P(C)＝P(A)＋P(B)＝＋＝.即从中任意取出2粒恰好是同一色的概率是，故选C.
3．若A，B是互斥事件，P(A)＝0.2，P(A∪B)＝0.5，则P(B)等于(　 　)
A．0.3 B．0.7
C．0.1 D．1
【答案】A
解析：∵A，B是互斥事件，
∴P(A∪B)＝P(A)＋P(B)＝0.5，
∵P(A)＝0.2，∴P(B)＝0.5－0.2＝0.3.故选A.
4．口袋内装有一些大小相同的红球、白球和黑球，从中摸出1个球，摸出红球的概率是0.42，摸出白球的概率是0.28，那么摸出黑球的概率是(　　)
A．0.42 B．0.28　　　
C．0.3　　　 D．0.7
【答案】C　[∵摸出黑球是摸出红球或摸出白球的对立事件，∴摸出黑球的概率是1－0.42－0.28＝0.3，故选C．]
5．甲、乙两人下棋，甲获胜的概率为40%，甲不输的概率是90%，则甲、乙两人下和棋的概率是(　　)
A．60% B．30%
C．10% D．50%
【答案】D　[“甲获胜”与“甲、乙下成和棋”是互斥事件，“甲不输”即“甲获胜或甲、乙下成和棋”，故P(甲不输)＝P(甲胜)＋P(甲、乙和棋)，∴P(甲、乙和棋)＝P(甲不输)－P(甲胜)＝90%－40%＝50%.]
6．从分别写有A，B，C，D，E的5张卡片中任取2张，这2张卡片上的字母按字母顺序恰好是相邻的概率为(　　)
A． B． C． D．
【答案】B　[试验的样本空间Ω＝{AB，AC，AD，AE，BC，BD，BE，CD，CE，DE}，共有10 个样本点，其中事件“这2张卡片上的字母按字母顺序恰好是相邻的”包含4个样本点，故所求的概率为＝.]
7．某射手的一次射击中，射中10环、9环、8环的概率分别为0.20,0.30,0.10.则此射手在一次射击中不够8环的概率为(　　)
A．0.40 B．0.30
C．0.60 D．0.90
【答案】A　[不够8环的概率为1－0.20－0.30－0.10＝0.40.]
8．古代“五行”学说认为：“物质分金、木、水、火、土五种属性，金克木，木克土，土克水，水克火，火克金．”从五种不同属性的物质中随机抽取两种，则抽取的两种物质不相克的概率为(　　)
A． B． C． D．
【答案】C　[试验的样本空间Ω＝{金木，金水，金火，金土，木水，木火，木土，水火，水土，火土}，共10个样本点，事件“抽取的两种物质不相克”包含5个样本点，故其概率为＝.]
二、填空题
8．中国乒乓球队中的甲、乙两名队员参加奥运会乒乓球女子单打比赛，甲夺得冠军的概率为，乙夺得冠军的概率为，那么中国队夺得女子乒乓球单打冠军的概率为 .
【答案】
解析：由于事件“中国队夺得女子乒乓球单打冠军”包括事件“甲夺得冠军”和“乙夺得冠军”，但这两个事件不可能同时发生，即彼此互斥，所以可按互斥事件概率的加法公式进行计算，即中国队夺得女子乒乓球单打冠军的概率为＋＝.
10．甲、乙两人打乒乓球， 两人打平的概率是， 乙获胜的概率是，则乙不输的概率是________．
【答案】　[乙不输表示打平或获胜，故其概率为P＝＋＝.]
11．盒中装有形状、大小完全相同的5个球，其中红色球3个，黄色球2个．若从中随机取出2个球，则所取出的2个球颜色不同的概率为________．
【答案】　[设3个红色球为A1，A2，A3,2个黄色球为B1，B2，从5个球中，随机取出2个球的事件有：A1A2，A1A3，A1B1，A1B2，A2A3，A2B1，A2B2，A3B1，A3B2，B1B2，共10种．其中2个球的颜色不同的有A1B1，A1B2，A2B1，A2B2，A3B1，A3B2共6种，所以所求概率为＝.]
12．先后抛掷两枚均匀的正方体骰子(它们的六个面分别标有点数1,2,3,4,5,6)，骰子朝上的面的点数分别为x，y，则log2xy＝1的概率为________．
【答案】　[易知试验样本点的总数为36，由log2xy＝1，得2x＝y，其中x，y∈{1,2,3,4,5,6}，所以或或共3个样本点，所以P＝＝.]
三、解答题
13．某公务员去开会，他乘火车、轮船、汽车、飞机去的概率分别是0.3,0.2,0.1,0.4.
求：(1)他乘火车或飞机去的概率；
(2)他不乘轮船去的概率．
【答案】
解析：设A＝“乘火车去开会”，B＝“乘轮船去开会”，C＝“乘汽车去开会”，D＝“乘飞机去开会”，它们彼此互斥．
(1)P(A＋D)＝P(A)＋P(D)＝0.3＋0.4＝0.7.
(2)P()＝1－P(B)＝1－0.2＝0.8.
14．一盒中装有各色球12个，其中5个红球、4个黑球、2个白球、1个绿球．从中随机取出1球，求：
(1)取出1球是红球或黑球的概率；
(2)取出的1球是红球或黑球或白球的概率．
【答案】法一：(1)从12个球中任取1球得红球有5种取法，得黑球有4种取法，得红球或黑球共有5＋4＝9种不同取法，任取1球有12种取法．
∴任取1球得红球或黑球的概率为P1＝＝.
(2)从12个球中任取1球得红球有5种取法，得黑球有4种取法，得白球有2种取法，从而得红球或黑球或白球的概率为＝.
法二：(利用互斥事件求概率)记事件A1＝{任取1球为红球}，A2＝{任取1球为黑球}，A3＝{任取1球为白球}，A4＝{任取1球为绿球}，
则P(A1)＝，P(A2)＝，P(A3)＝，P(A4)＝.
根据题意知，事件A1，A2，A3，A4彼此互斥，由互斥事件概率公式，得
(1)取出1球为红球或黑球的概率为P(A1∪A2)＝P(A1)＋P(A2)＝＋＝.
(2)取出1球为红球或黑球或白球的概率为
P(A1∪A2∪A3)＝P(A1)＋P(A2)＋P(A3)＝＋＋＝.
15．一个袋中装有四个形状、大小完全相同的球，球的编号分别为1,2,3,4.
(1)从袋中随机取两个球，求取出的球的编号之和不大于4的概率；
(2)先从袋中随机取一个球，该球的编号为m，将球放回袋中，然后再从袋中随机取一个球，该球的编号为n，求n＜m＋2的概率．
【答案】(1)从袋中随机取两个球，其一切可能的结果组成的样本点有：1和2,1和3,1和4,2和3,2和4,3和4，共6个．从袋中取出的两个球的编号之和不大于4的事件有：1和2,1和3，共2个，因此所求事件的概率为P＝＝.
(2)先从袋中随机取一个球，记下编号为m，放回后，再从袋中随机取一个球，记下编号为n，试验的样本空间Ω＝ {(1,1)，(1,2)，(1,3)，(1,4)，(2,1)，(2,2)，(2,3)，(2,4)，(3,1)，(3,2)，(3,3)，(3,4)，(4,1)，(4,2)，(4,3)，(4,4)}，共16个样本点．
又满足条件n≥m＋2的样本点有：(1,3)，(1,4)，(2,4)，共3个．
所以，满足条件n≥m＋2的事件的概率为P1＝，
故满足条件n＜m＋2的事件的概率为1－P1＝1－＝.
B组 能力提升
一、选择题
1．袋中有大小相同的黄、红、白球各一个，每次任取一个，有放回地取3次，则是下列哪个事件的概率(　　)
A．颜色全同 B．颜色不全同
C．颜色全不同 D．无红球
【答案】B　[试验的样本空间Ω＝{黄黄黄，红红红，白白白，红黄黄，黄红黄，黄黄红，白黄黄，黄白黄，黄黄白，黄红红，红黄红，红红黄，白红红，红白红，红红白，黄白白，白黄白，白白黄，红白白，白红白，白白红，黄红白，黄白红，红黄白，红白黄，白红黄，白黄红}，包含27个样本点，事件“颜色全相同”包含3个样本点，则其概率为＝＝1－，所以是事件“颜色不全同”的概率．]
2．(多选题)张明与李华两人做游戏，则下列游戏规则中公平的是(　　)
A．抛掷一枚质地均匀的骰子，向上的点数为奇数则张明获胜，向上的点数为偶数则李华获胜
B．同时抛掷两枚质地均匀的硬币，恰有一枚正面向上则张明获胜，两枚都正面向上则李华获胜
C．从一副不含大小王的扑克牌中抽一张，扑克牌是红色的则张明获胜，扑克牌是黑色的则李华获胜
D．张明、李华两人各写一个数字6或8，两人写的数字相同则张明获胜，否则李华获胜
【答案】ACD　[选项A中，向上的点数为奇数与向上的点数为偶数的概率相等，A符合题意；选项B中，张明获胜的概率是，而李华获胜的概率是，故游戏规则不公平，B不符合题意；选项C中，扑克牌是红色与扑克牌是黑色的概率相等，C符合题意；选项D中，两人写的数字相同与两人写的数字不同的概率相等，D符合题意．]
二、填空题
3．已知a∈{0,1,2}，b∈{－1,1,3,5}，则函数f(x)＝ax2－2bx在区间(1，＋∞)上为增函数的概率为________．
【答案】　[∵a∈{0,1,2}，b∈{－1,1,3,5}，
∴基本事件总数n＝3×4＝12.
用(a，b)表示a，b的取值．
若函数f(x)＝ax2－2bx在区间(1，＋∞)上为增函数，
则①当a＝0时，f(x)＝－2bx，
符合条件的只有(0，－1)，
即a＝0，b＝－1；
②当a≠0时，需满足≤1，符合条件的有(1，－1)，(1,1)，(2，－1)，(2,1)，共4种．
∴函数f(x)＝ax2－2bx在区间(1，＋∞)上为增函数的概率P＝.]
三、解答题
4．甲、乙两人参加普法知识竞赛，共有5个不同的题目．其中，选择题3个，判断题2个，甲、乙两人各抽一题．
(1)甲、乙两人中有一个抽到选择题，另一个抽到判断题的概率是多少？
(2)甲、乙两人中至少有一人抽到选择题的概率是多少？
【答案】　把3个选择题记为x1，x2，x3,2个判断题记为p1，p2.总的事件数为20.
“甲抽到选择题，乙抽到判断题”的情况有：(x1，p1)，(x1，p2)，(x2，p1)，(x2，p2)，(x3，p1)，(x3，p2)，共6种；
“甲抽到判断题，乙抽到选择题”的情况有：(p1，x1)，(p1，x2)，(p1，x3)，(p2，x1)，(p2，x2)，(p2，x3)，共6种；
“甲、乙都抽到选择题”的情况有：(x1，x2)，(x1，x3)，(x2，x1)，(x2，x3)，(x3，x1)，(x3，x2)，共6种；
“甲、乙都抽到判断题”的情况有：(p1，p2)，(p2，p1)，共2种．
(1)“甲抽到选择题，乙抽到判断题”的概率为＝，“甲抽到判断题，乙抽到选择题”的概率为＝，故“甲、乙两人中有一个抽到选择题，另一个抽到判断题”的概率为＋＝.
(2)“甲、乙两人都抽到判断题”的概率为＝，故“甲、乙两人至少有一人抽到选择题”的概率为1－＝.
5．2019年，我国施行个人所得税专项附加扣除办法，涉及子女教育、继续教育、大病医疗、住房贷款利息或者住房租金、赡养老人等六项专项附加扣除．某单位老、中、青员工分别有72,108,120人，现采用分层抽样的方法，从该单位上述员工中抽取25人调查专项附加扣除的享受情况．
(1)应从老、中、青员工中分别抽取多少人？
(2)抽取的25人中，享受至少两项专项附加扣除的员工有6人，分别记为A，B，C，D，E，F.享受情况如表，其中“〇”表示享受，“×”表示不享受．现从这6人中随机抽取2人接受采访．
员工 项目　　 A B C D E F
子女教育 〇 〇 × 〇 × 〇
继续教育 × × 〇 × 〇 〇
大病医疗 × × × 〇 × ×
住房贷款利息 〇 〇 × × 〇 〇
住房租金 × × 〇 × × ×
赡养老人 〇 〇 × × × 〇
①试用所给字母列举出所有可能的抽取结果；
②设M为事件“抽取的2人享受的专项附加扣除至少有一项相同”，求事件M发生的概率．
【答案】(1)由已知得老、中、青员工人数之比为6∶9∶10，由于采用分层抽样从中抽取25位员工，因此应从老、中、青员工中分别抽取6人，9人，10人．
(2)①从已知的6人中随机抽取2人，试验空间Ω＝{(A，B)，(A，C)，(A，D)，(A，E)，(A，F)，(B，C)，(B，D)，(B，E)，(B，F)，(C，D)，(C，E)，(C，F)，(D，E)，(D，F)，(E，F)}，共15个样本点．
②由表格知，事件M ＝{(A，B)，(A，D)，(A，E)，(A，F)，(B，D)，(B，E)，(B，F)，(C，E)，(C，F)，(D，F)，(E，F)}，共11个样本点，
所以，事件M发生的概率P(M)＝.10.1.4概率的基本性质
导学案
【学习目标】
1.理解两个事件互斥、互为对立的含义.
2.理解概率的6条基本性质,重点掌握性质3、性质4、性质6及其公式的应用条件.
3.能灵活运用这几条重要性质解决相关的实际问题,培养数学建模和数学化归能力.
【自主学习】
知识点1
(1)对任意的事件A，都有 .
(2)必然事件的概率为 ，不可能事件的概率为0，即P(Ω)＝1，P( )＝0.
(3)如果事件A与事件B互斥，那么P(A∪B)＝ .
(4)如果事件A与事件B互为对立事件，那么P(B)＝ . P(A)＝ .
(5)如果A B，那么 .
(6)设A，B是一个随机试验中的两个事件，我们有P(A∪B)＝P(A)＋P(B)－P(A∩B)．
【合作探究】
探究一 互斥事件概率加法公式的应用
【例1】某射手在一次射击训练中，射中10环，9环，8环，7环的概率分别为0.21,0.23,0.25,0.28，计算这个射手在一次射击中：
(1)射中10环或7环的概率；
(2)超过7环的概率．
归纳总结：
【练习1】掷一枚均匀的正六面体骰子，设A表示事件“出现2点”，B表示“出现奇数点”，则P(A∪B)等于(　　)
A.　　　　B. C.　　　　D.
探究二 对立事件概率公式的应用
【例2】甲、乙两人下棋，和棋的概率是，乙获胜的概率为，求：
(1)甲获胜的概率；(2)甲不输的概率．
归纳总结：
【练习2】从一箱产品中随机地抽取一件，设事件A＝“抽到一等品”，事件B＝“抽到二等品”，事件C＝“抽到三等品”．已知P(A)＝0.65，P(B)＝0.2，P(C)＝0.1，则事件“抽到的不是一等品”的概率为(　　)
A．0.20　　　B．0.39 　　　C．0.35　　　D．0.90
课后作业
A组 基础题
一、选择题
1．下列说法正确的是(　 　)
A．事件A，B中至少有一个发生的概率一定比A，B中恰有一个发生的概率大
B．事件A，B同时发生的概率一定比A，B中恰有一个发生的概率小
C．互斥事件不一定是对立事件，对立事件一定是互斥事件
D．互斥事件一定是对立事件，对立事件不一定是互斥事件
2．围棋盒子中有多粒黑子和白子，已知从中取出2粒都是黑子的概率为，都是白子的概率是.则从中任意取出2粒恰好是同一色的概率是(　 　)
A. B.
C. D．1
3．若A，B是互斥事件，P(A)＝0.2，P(A∪B)＝0.5，则P(B)等于(　 　)
A．0.3 B．0.7
C．0.1 D．1
4．口袋内装有一些大小相同的红球、白球和黑球，从中摸出1个球，摸出红球的概率是0.42，摸出白球的概率是0.28，那么摸出黑球的概率是(　　)
A．0.42 B．0.28　　　
C．0.3　　　 D．0.7
5．甲、乙两人下棋，甲获胜的概率为40%，甲不输的概率是90%，则甲、乙两人下和棋的概率是(　　)
A．60% B．30%
C．10% D．50%
6．从分别写有A，B，C，D，E的5张卡片中任取2张，这2张卡片上的字母按字母顺序恰好是相邻的概率为(　　)
A． B． C． D．
7．某射手的一次射击中，射中10环、9环、8环的概率分别为0.20,0.30,0.10.则此射手在一次射击中不够8环的概率为(　　)
A．0.40 B．0.30
C．0.60 D．0.90
8．古代“五行”学说认为：“物质分金、木、水、火、土五种属性，金克木，木克土，土克水，水克火，火克金．”从五种不同属性的物质中随机抽取两种，则抽取的两种物质不相克的概率为(　　)
A． B． C． D．
二、填空题
8．中国乒乓球队中的甲、乙两名队员参加奥运会乒乓球女子单打比赛，甲夺得冠军的概率为，乙夺得冠军的概率为，那么中国队夺得女子乒乓球单打冠军的概率为 .
10．甲、乙两人打乒乓球， 两人打平的概率是， 乙获胜的概率是，则乙不输的概率是________．
11．盒中装有形状、大小完全相同的5个球，其中红色球3个，黄色球2个．若从中随机取出2个球，则所取出的2个球颜色不同的概率为________．
12．先后抛掷两枚均匀的正方体骰子(它们的六个面分别标有点数1,2,3,4,5,6)，骰子朝上的面的点数分别为x，y，则log2xy＝1的概率为________．
三、解答题
13．某公务员去开会，他乘火车、轮船、汽车、飞机去的概率分别是0.3,0.2,0.1,0.4.
求：(1)他乘火车或飞机去的概率；
(2)他不乘轮船去的概率．
14．一盒中装有各色球12个，其中5个红球、4个黑球、2个白球、1个绿球．从中随机取出1球，求：
(1)取出1球是红球或黑球的概率；
(2)取出的1球是红球或黑球或白球的概率．
15．一个袋中装有四个形状、大小完全相同的球，球的编号分别为1,2,3,4.
(1)从袋中随机取两个球，求取出的球的编号之和不大于4的概率；
(2)先从袋中随机取一个球，该球的编号为m，将球放回袋中，然后再从袋中随机取一个球，该球的编号为n，求n＜m＋2的概率．
B组 能力提升
一、选择题
1．袋中有大小相同的黄、红、白球各一个，每次任取一个，有放回地取3次，则是下列哪个事件的概率(　　)
A．颜色全同 B．颜色不全同
C．颜色全不同 D．无红球
2．(多选题)张明与李华两人做游戏，则下列游戏规则中公平的是(　　)
A．抛掷一枚质地均匀的骰子，向上的点数为奇数则张明获胜，向上的点数为偶数则李华获胜
B．同时抛掷两枚质地均匀的硬币，恰有一枚正面向上则张明获胜，两枚都正面向上则李华获胜
C．从一副不含大小王的扑克牌中抽一张，扑克牌是红色的则张明获胜，扑克牌是黑色的则李华获胜
D．张明、李华两人各写一个数字6或8，两人写的数字相同则张明获胜，否则李华获胜
二、填空题
3．已知a∈{0,1,2}，b∈{－1,1,3,5}，则函数f(x)＝ax2－2bx在区间(1，＋∞)上为增函数的概率为________．
三、解答题
4．甲、乙两人参加普法知识竞赛，共有5个不同的题目．其中，选择题3个，判断题2个，甲、乙两人各抽一题．
(1)甲、乙两人中有一个抽到选择题，另一个抽到判断题的概率是多少？
(2)甲、乙两人中至少有一人抽到选择题的概率是多少？
5．2019年，我国施行个人所得税专项附加扣除办法，涉及子女教育、继续教育、大病医疗、住房贷款利息或者住房租金、赡养老人等六项专项附加扣除．某单位老、中、青员工分别有72,108,120人，现采用分层抽样的方法，从该单位上述员工中抽取25人调查专项附加扣除的享受情况．
(1)应从老、中、青员工中分别抽取多少人？
(2)抽取的25人中，享受至少两项专项附加扣除的员工有6人，分别记为A，B，C，D，E，F.享受情况如表，其中“〇”表示享受，“×”表示不享受．现从这6人中随机抽取2人接受采访．
员工 项目　　 A B C D E F
子女教育 〇 〇 × 〇 × 〇
继续教育 × × 〇 × 〇 〇
大病医疗 × × × 〇 × ×
住房贷款利息 〇 〇 × × 〇 〇
住房租金 × × 〇 × × ×
赡养老人 〇 〇 × × × 〇
①试用所给字母列举出所有可能的抽取结果；
②设M为事件“抽取的2人享受的专项附加扣除至少有一项相同”，求事件M发生的概率．

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