资源简介

10.2事件的相互独立性
导学案
【学习目标】
1.理解相互独立事件的定义及意义
2.理解概率的乘法公式
【自主学习】
知识点1 事件的相互独立性
1．定义
对于任意两个事件A与B，如果 成立，则事件A与事件B相互独立，简称为独立．
2．性质
当事件A，B相互独立时，A与，与B，与也相互独立．
3．n个事件相互独立
对于n个事件A1，A2，…，An，如果其中任一个事件发生的概率不受 的影响，则称n个事件A1，A2，…，An相互独立．
4．n个相互独立事件的概率公式
如果事件A1，A2，…，An相互独立，那么这n个事件都发生的概率，等于 ，即P(A1∩A2∩…∩An)＝P(A1)×P(A2)×…×P(An)，并且上式中任意多个事件Ai换成其对立事件后等式仍成立．
【合作探究】
探究一 相互独立事件的判断
【例1】判断下列各对事件是否是相互独立事件．
(1)甲组3名男生，2名女生；乙组2名男生，3名女生，现从甲、乙两组中各选1名同学参加演讲比赛，“从甲组中选出1名男生”与“从乙组中选出1名女生”；
(2)容器内盛有5个白乒乓球和3个黄乒乓球，“从8个球中任意取出1个，取出的是白球”与“从剩下的7个球中任意取出1个，取出的还是白球”；
(3)掷一颗骰子一次，“出现偶数点”与“出现3点或6点”．
归纳总结：
【练习1】(1)一袋中装有100只球，其中有20只白球，在有放回地摸球中，
记A1＝“第一次摸得白球”，A2＝“第二次摸得白球”，则事件A1与是(　　)
A．相互独立事件 B．对立事件
C．互斥事件 D．无法判断
(2)甲、乙两名射手同时向一目标射击，设事件A＝“甲击中目标”，事件B＝“乙击中目标”，则事件A与事件B(　　)
A．相互独立但不互斥 B．互斥但不相互独立
C．相互独立且互斥 D．既不相互独立也不互斥
探究二 相互独立事件发生的概率
【例2】在奥运知识有奖问答竞赛中，甲、乙、丙三人同时回答一道有关奥运知识的问题，已知甲答对这道题的概率是，甲、乙两人都回答错误的概率是，乙、丙两人都回答正确的概率是.设每人回答问题正确与否相互独立的．
(1)求乙答对这道题的概率；
(2)求甲、乙、丙三人中，至少有一人答对这道题的概率．
归纳总结：
【练习2】(1)一个电路如图所示，A，B，C，D，E，F为6个开关，其闭合的概率为，且是相互独立的，则灯亮的概率是(　 　)
A.　　　　　　　　 B.
C. D.
(2)明天上午李明要参加“青年文明号”活动，为了准时起床，他用甲乙两个闹钟叫醒自己，假设甲闹钟准时响的概率为0.80，乙闹钟准时响的概率为0.90，则两个闹钟至少有一个准时响的概率是 .
课后作业
A组 基础题
一、选择题
1．甲、乙同时参加某次法语考试，甲、乙考试达到优秀的概率分别为0.6,0.7，两人考试相互独立，则甲、乙两人都未达到优秀的概率为(　 　)
A．0.42 B．0.12 C．0.18 D．0.28
2．某同学从家到学校要经过两个十字路口．设各路口信号灯工作相互独立，且在第一个路口遇到红灯的概率为，两个路口都遇到红灯的概率为，则他在第二个路口遇到红灯的概率为(　 　)
A. B. C. D.
3．下列事件中，A，B是相互独立事件的是(　　)
A．一枚硬币掷两次，A＝“第一次为正面”，B＝“第二次为反面”
B．袋中有2白，2黑的小球，不放回地摸两球，A＝“第一次摸到白球”，B＝“第二次摸到白球”
C．掷一枚骰子，A＝“出现点数为奇数”，B＝“出现点数为偶数”
D．A＝“人能活到20岁”，B＝“人能活到50岁”
4．甲盒中有200个螺杆，其中有160个A型的，乙盒中有240个螺母，其中有180个A型的．今从甲、乙两盒中各任取一个，则恰好可配成A型螺栓的概率为(　　)
A．　　　　B．　　　　C．　　　　D．
5．两名射手射击同一目标，命中的概率分别为0.8和0.7，若各射击一次，目标被击中的概率是(　　)
A．0.56 B．0.92
C．0.94 D．0.96
6．在某道路的A，B，C三处设有交通灯，这三盏灯在1分钟内开放绿灯的时间分别为25秒，35秒，45秒，某辆车在这段道路上匀速行驶，则在这三处都不停车的概率为(　　)
A． B． C． D．
7．如图所示，A，B，C表示3个开关，若在某段时间内，它们正常工作的概率分别为0.9,0.8,0.7，则该系统的可靠性(3个开关只要一个开关正常工作即可靠)为(　　)
A．0.504 B．0.994
C．0.496 D．0.064
8．甲、乙、丙、丁4个人进行网球比赛，首先甲、乙一组，丙、丁一组进行比赛，两组的胜者进入决赛，决赛的胜者为冠军、败者为亚军.4个人相互比赛的胜率如下表所示，表中的数字表示所在行选手击败其所在列选手的概率.
甲 乙 丙 丁
甲 — 0.3 0.3 0.8
乙 0.7 — 0.6 0.4
丙 0.7 0.4 — 0.5
丁 0.2 0.6 0.5 —
那么甲得冠军且丙得亚军的概率是(　 　)
A．0.15 B．0.105 C．0.045 D．0.21
二、填空题
9．某篮球队员在比赛中每次罚球的命中率相同，且在两次罚球中至多命中一次的概率为，则该队员每次罚球的命中率为________．
10．已知A，B是相互独立事件，且P(A)＝，P(B)＝，则P(A )＝________；P( )＝________.
11．甲、乙、丙三人将参加某项测试，他们能达标的概率分别是0.8,0.6,0.5，则三人都达标的概率是________，三人中至少有一人达标的概率是________．
三、解答题
12．设进入某商场的每一位顾客购买甲种商品的概率为0.5，购买乙种商品的概率为0.6，且购买甲种商品与购买乙种商品相互独立，各顾客之间购买商品也是相互独立的．求：
(1)进入商场的1位顾客，甲、乙两种商品都购买的概率；
(2)进入商场的1位顾客购买甲、乙两种商品中的一种的概率．
13．甲、乙两名跳高运动员在一次2米跳高中成功的概率分别为0.7,0.6，且每次试跳成功与否相互之间没有影响，求：
(1)甲试跳三次，第三次才成功的概率；
(2)甲、乙两人在第一次试跳中至少有一人成功的概率．
B组 能力提升
一、选择题
1．甲、乙两人参加知识竞赛，甲、乙两人能荣获一等奖的概率分别为和，甲、乙两人是否获得一等奖相互独立，则这两个人中恰有一人获得一等奖的概率为(　　)
A． B． C． D．
2．设两个独立事件A和B都不发生的概率为，A发生B不发生的概率与B发生A不发生的概率相同，则事件A发生的概率P(A)等于(　　)
A． B． C． D．
3．设同时抛掷两个质地均匀的四面分别标有1,2,3,4的正四面体一次．记事件A＝“第一个四面体向下的一面出现偶数”；事件B＝“第二个四面体向下的一面出现奇数”；C＝“两个四面体向下的一面或者同时出现奇数或者同时出现偶数”．给出下列说法：
①P(A)＝P(B)＝P(C)；②P(AB)＝P(AC)＝P(BC)；
③P(ABC)＝；④P(A)P(B)P(C)＝.
其中正确的有(　 　)
A．0个　　 　B．1个　　 　C．2个　　 　D．3个
4．设M，N为两个随机事件，给出以下命题：
(1)若M，N为互斥事件，且P(M)＝，P(N)＝，则P(M∪N)＝；
(2)若P(M)＝，P(N)＝，P(MN)＝，则M，N为相互独立事件；
(3)若P()＝，P(N)＝，P(MN)＝，则M，N为相互独立事件；
(4)若P(M)＝，P()＝，P(MN)＝，则M，N为相互独立事件；
(5)若P(M)＝，P(N)＝，P()＝，则M，N为相互独立事件．
其中正确命题的个数为(　 　)
A．1 B．2 C．3 D．4
二、填空题
5．一个人有n把钥匙，其中只有一把可以打开房门，他随意地进行试开，若试开过的钥匙放在一旁，则他第k次恰好打开房门的概率等于________．
三、解答题
6．某中学篮球体育测试要求学生完成“立定投篮”和“三步上篮”两项测试，“立定投篮”与“三步上篮”各有2次投篮机会，先进行“立定投篮”测试，如果合格才有机会进行“三步上篮”测试，为了节约时间，每项只需且必须投中一次即为合格．小明同学“立定投篮”的命中率为，“三步上篮”的命中率为，假设小明不放弃任何一次投篮机会且每次投篮是否命中互不影响，求小明同学一次测试合格的概率．
7．甲、乙二人进行一次围棋比赛，一共赛5局，约定先胜3局者获得这次比赛的胜利，同时比赛结束．假设在一局中，甲获胜的概率为0.6，乙获胜的概率为0.4，各局比赛结果相互独立．已知前2局中，甲、乙各胜1局．
(1)求再赛2局结束这次比赛的概率；
(2)求甲获得这次比赛胜利的概率．10.2事件的相互独立性
导学案
【学习目标】
1.理解相互独立事件的定义及意义
2.理解概率的乘法公式
【自主学习】
知识点1 事件的相互独立性
1．定义
对于任意两个事件A与B，如果P(AB)＝P(A)P(B)成立，则事件A与事件B相互独立，简称为独立．
2．性质
当事件A，B相互独立时，A与，与B，与也相互独立．
3．n个事件相互独立
对于n个事件A1，A2，…，An，如果其中任一个事件发生的概率不受其他事件是否发生的影响，则称n个事件A1，A2，…，An相互独立．
4．n个相互独立事件的概率公式
如果事件A1，A2，…，An相互独立，那么这n个事件都发生的概率，等于每个事件发生的概率的积，即P(A1∩A2∩…∩An)＝P(A1)×P(A2)×…×P(An)，并且上式中任意多个事件Ai换成其对立事件后等式仍成立．
【合作探究】
探究一 相互独立事件的判断
【例1】判断下列各对事件是否是相互独立事件．
(1)甲组3名男生，2名女生；乙组2名男生，3名女生，现从甲、乙两组中各选1名同学参加演讲比赛，“从甲组中选出1名男生”与“从乙组中选出1名女生”；
(2)容器内盛有5个白乒乓球和3个黄乒乓球，“从8个球中任意取出1个，取出的是白球”与“从剩下的7个球中任意取出1个，取出的还是白球”；
(3)掷一颗骰子一次，“出现偶数点”与“出现3点或6点”．
[分析]　(1)利用独立性概念的直观解释进行判断．(2)计算“从8个球中任取一球是白球”发生与否，事件“从剩下的7个球中任意取出一球还是白球”的概率是否相同进行判断．(3)利用事件的独立性定义式判断．
[解]　(1)“从甲组中选出1名男生”这一事件是否发生，对“从乙组中选出1名女生”这一事件发生的概率没有影响，所以它们是相互独立事件．
(2)“从8个球中任意取出1个，取出的是白球”的概率为，若这一事件发生了，则“从剩下的7个球中任意取出1个，取出的仍是白球”的概率为；若前一事件没有发生，则后一事件发生的概率为，可见，前一事件是否发生，对后一事件发生的概率有影响，所以二者不是相互独立事件．
(3)记A＝“出现偶数点”，B＝“出现3点或6点”，则A＝{2,4,6}，B＝{3,6}，AB＝{6}，
∴P(A)＝＝，P(B)＝＝，P(A∩B)＝.∴P(A∩B)＝P(A)P(B)，
∴事件A与B相互独立．
归纳总结：判断事件是否相互独立的方法
1.定义法：事件A，B相互独立 PA∩B＝PA·PB.
2.由事件本身的性质直接判定两个事件发生是否相互影响.
【练习1】(1)一袋中装有100只球，其中有20只白球，在有放回地摸球中，记A1＝“第一次摸得白球”，A2＝“第二次摸得白球”，则事件A1与是(　　)
A．相互独立事件 B．对立事件
C．互斥事件 D．无法判断
(2)甲、乙两名射手同时向一目标射击，设事件A＝“甲击中目标”，事件B＝“乙击中目标”，则事件A与事件B(　　)
A．相互独立但不互斥 B．互斥但不相互独立
C．相互独立且互斥 D．既不相互独立也不互斥
【答案】（1）A （2）A
解析：(1)由于采用有放回地摸球，所以每次是否摸到白球，对下次摸球结果没有影响，故事件A1，是相互独立事件．
(2)对同一目标射击，甲、乙两射手是否击中目标是互不影响的，所以事件A与B相互独立；对同一目标射击，甲、乙两射手可能同时击中目标，也就是说事件A与B可能同时发生，所以事件A与B不是互斥事件．故选A.
探究二 相互独立事件发生的概率
【例2】在奥运知识有奖问答竞赛中，甲、乙、丙三人同时回答一道有关奥运知识的问题，已知甲答对这道题的概率是，甲、乙两人都回答错误的概率是，乙、丙两人都回答正确的概率是.设每人回答问题正确与否相互独立的．
(1)求乙答对这道题的概率；
(2)求甲、乙、丙三人中，至少有一人答对这道题的概率．
[分析]　(1)设乙答对这道题的概率为x，由对立事件概率关系和相互独立事件概率乘法公式，求出乙答对这道题的概率；
(2)设丙答对这道题的概率y，由相互独立事件概率乘法公式，求出丙答对这道题的概率和甲、乙、丙三人都回答错误的概率，再由对立事件的概率公式，求得答案．
[解]　(1)记甲、乙、丙3人独自答对这道题分别为事件A，B，C，
设乙答对这道题的概率P(B)＝x，
由于每人回答问题正确与否是相互独立的，因此A，B，C是相互独立事件．
由题意，并根据相互独立事件同时发生的概率公式，
得P()＝P()P()＝×(1－x)＝，解得x＝，
所以，乙对这道题的概率为P(B)＝.
(2)设“甲、乙、丙、三人中，至少有一人答对这道题”为事件M，丙答对这道题的概率P(C)＝y.
由(1)，并根据相互独立事件同时发生的概率公式，
得P(BC)＝P(B)P(C)＝×y＝，解得y＝.
甲、乙、丙三人都回答错误的概率为P()＝P()P()P()＝＝.
因为事件“甲、乙、丙三人都回答错误”与事件“甲、乙、丙三人中，至少有一人答对这道题”是对立事件，所以，所求事件概率为P(M)＝1－＝.
归纳总结：
1.求相互独立事件同时发生的概率的步骤
1首先确定各事件之间是相互独立的；
2确定这些事件可以同时发生；
3求出每个事件的概率，再求积.
2.使用相互独立事件同时发生的概率计算公式时，要掌握公式的适用条件，即各个事件是相互独立的，而且它们能同时发生.
【练习2】(1)一个电路如图所示，A，B，C，D，E，F为6个开关，其闭合的概率为，且是相互独立的，则灯亮的概率是(　 　)
A.　　　　　　　　 B.
C. D.
(2)明天上午李明要参加“青年文明号”活动，为了准时起床，他用甲乙两个闹钟叫醒自己，假设甲闹钟准时响的概率为0.80，乙闹钟准时响的概率为0.90，则两个闹钟至少有一个准时响的概率是 .
【答案】（1）B （2）0.98
解析：(1)设T＝“A与B中至少有一个不闭合”，R＝“E与F至少有一个不闭合”，则P(T)＝P(R)＝1－×＝，所以灯亮的概率为P＝1－P(T)P(R)P()P()＝1－×××＝，故选B.
(2)设A＝“两个闹钟至少有一个准时响”，
则P(A)＝1－(1－0.80)(1－0.90)＝1－0.20×0.10＝0.98.
课后作业
A组 基础题
一、选择题
1．甲、乙同时参加某次法语考试，甲、乙考试达到优秀的概率分别为0.6,0.7，两人考试相互独立，则甲、乙两人都未达到优秀的概率为(　 　)
A．0.42 B．0.12 C．0.18 D．0.28
【答案】B
解析：所求概率为(1－0.6)×(1－0.7)＝0.12，故选B.
2．某同学从家到学校要经过两个十字路口．设各路口信号灯工作相互独立，且在第一个路口遇到红灯的概率为，两个路口都遇到红灯的概率为，则他在第二个路口遇到红灯的概率为(　 　)
A. B. C. D.
【答案】C
解析：记事件A为“在第一个路口遇到红灯”，事件B为“在第二个路口遇到红灯”，由于两个事件相互独立，所以P(A)P(B)＝P(AB)，所以P(B)＝＝＝.
3．下列事件中，A，B是相互独立事件的是(　　)
A．一枚硬币掷两次，A＝“第一次为正面”，B＝“第二次为反面”
B．袋中有2白，2黑的小球，不放回地摸两球，A＝“第一次摸到白球”，B＝“第二次摸到白球”
C．掷一枚骰子，A＝“出现点数为奇数”，B＝“出现点数为偶数”
D．A＝“人能活到20岁”，B＝“人能活到50岁”
【答案】A　[把一枚硬币掷两次，对于每次而言是相互独立的，其结果不受先后影响，故A是独立事件；B中是不放回地摸球，显然A事件与B事件不相互独立；对于C，A，B应为互斥事件，不相互独立；D是条件概率，事件B受事件A的影响．故选A．]
4．甲盒中有200个螺杆，其中有160个A型的，乙盒中有240个螺母，其中有180个A型的．今从甲、乙两盒中各任取一个，则恰好可配成A型螺栓的概率为(　　)
A．　　　　B．　　　　C．　　　　D．
【答案】C　[设“从甲盒中取一螺杆为A型螺杆”为事件A，“从乙盒中取一螺母为A型螺母”为事件B，则A与B相互独立，P(A)＝＝，P(B)＝＝，则从甲、乙两盒中各任取一个，恰好可配成A型螺栓的概率为P＝P(A)P(B)＝×＝.]
5．两名射手射击同一目标，命中的概率分别为0.8和0.7，若各射击一次，目标被击中的概率是(　　)
A．0.56 B．0.92
C．0.94 D．0.96
【答案】C　[∵两人都没有击中的概率为0.2×0.3＝0.06，∴目标被击中的概率为1－0.06＝0.94.]
6．在某道路的A，B，C三处设有交通灯，这三盏灯在1分钟内开放绿灯的时间分别为25秒，35秒，45秒，某辆车在这段道路上匀速行驶，则在这三处都不停车的概率为(　　)
A． B． C． D．
【答案】C　[由题意可知汽车在这三处都不停车的概率为××＝.]
7．如图所示，A，B，C表示3个开关，若在某段时间内，它们正常工作的概率分别为0.9,0.8,0.7，则该系统的可靠性(3个开关只要一个开关正常工作即可靠)为(　　)
A．0.504 B．0.994
C．0.496 D．0.064
【答案】B　[由题意知，所求概率为1－(1－0.9)(1－0.8)(1－0.7)＝1－0.006＝0.994.]
8．甲、乙、丙、丁4个人进行网球比赛，首先甲、乙一组，丙、丁一组进行比赛，两组的胜者进入决赛，决赛的胜者为冠军、败者为亚军.4个人相互比赛的胜率如下表所示，表中的数字表示所在行选手击败其所在列选手的概率.
甲 乙 丙 丁
甲 — 0.3 0.3 0.8
乙 0.7 — 0.6 0.4
丙 0.7 0.4 — 0.5
丁 0.2 0.6 0.5 —
那么甲得冠军且丙得亚军的概率是(　 　)
A．0.15 B．0.105 C．0.045 D．0.21
【答案】C
解析：甲、乙比赛甲获胜的概率是0.3，丙、丁比赛丙获胜的概率是0.5，甲、丙决赛甲获胜的概率是0.3，
根据独立事件的概率等于概率之积，所以，甲得冠军且丙得亚军的概率：0.3×0.5×0.3＝0.045.故选C.
二、填空题
9．某篮球队员在比赛中每次罚球的命中率相同，且在两次罚球中至多命中一次的概率为，则该队员每次罚球的命中率为________．
【答案】　[设此队员每次罚球的命中率为p，则1－p2＝，所以p＝.]
10．已知A，B是相互独立事件，且P(A)＝，P(B)＝，则P(A )＝________；P( )＝________.
【答案】　　[∵P(A)＝，P(B)＝，∴P()＝，P()＝.∴P(A )＝P(A)P()＝×＝，
P( )＝P()P()＝×＝.]
11．甲、乙、丙三人将参加某项测试，他们能达标的概率分别是0.8,0.6,0.5，则三人都达标的概率是________，三人中至少有一人达标的概率是________．
【答案】0.24　0.96　[由题意可知三人都达标的概率为P＝0.8×0.6×0.5＝0.24；三人中至少有一人达标的概率为P′＝1－(1－0.8)×(1－0.6)×(1－0.5)＝0.96.]
三、解答题
12．设进入某商场的每一位顾客购买甲种商品的概率为0.5，购买乙种商品的概率为0.6，且购买甲种商品与购买乙种商品相互独立，各顾客之间购买商品也是相互独立的．求：
(1)进入商场的1位顾客，甲、乙两种商品都购买的概率；
(2)进入商场的1位顾客购买甲、乙两种商品中的一种的概率．
【答案】记A表示事件“进入商场的1位顾客购买甲种商品”，则P(A)＝0.5；
记B表示事件“进入商场的1位顾客购买乙种商品”，则P(B)＝0.6；
记C表示事件“进入商场的1位顾客，甲、乙两种商品都购买”；
记D表示事件“进入商场的1位顾客购买甲、乙两种商品中的一种”．
(1)易知C＝AB，则P(C)＝P(AB)＝P(A)P(B)＝0.5×0.6＝0.3.
(2)易知D＝(A )∪(B)，则P(D)＝P(A )＋P(B)
＝P(A)P()＋P()P(B)＝0.5×0.4＋0.5×0.6＝0.5.
13．甲、乙两名跳高运动员在一次2米跳高中成功的概率分别为0.7,0.6，且每次试跳成功与否相互之间没有影响，求：
(1)甲试跳三次，第三次才成功的概率；
(2)甲、乙两人在第一次试跳中至少有一人成功的概率．
【答案】　记“甲第i次试跳成功”为事件Ai，“乙第i次试跳成功”为事件Bi(i＝1,2,3)，
依题意得P(Ai)＝0.7，P(Bi)＝0.6，且Ai，Bi相互独立．
(1)“甲试跳三次，第三次才成功”为事件12A3，且这三次试跳相互独立．
∴P(12A3)＝P(1)P(2)P(A3)＝0.3×0.3×0.7＝0.063.
(2)记“甲、乙两人在第一次试跳中至少有一人成功”为事件C．
P(C)＝1－P(1)P(1)＝1－0.3×0.4＝0.88.
B组 能力提升
一、选择题
1．甲、乙两人参加知识竞赛，甲、乙两人能荣获一等奖的概率分别为和，甲、乙两人是否获得一等奖相互独立，则这两个人中恰有一人获得一等奖的概率为(　　)
A． B． C． D．
【答案】D　[根据题意，恰有一人获得一等奖就是甲获得乙没有获得或甲没有获得乙获得，则所求概率是×＋×＝.]
2．设两个独立事件A和B都不发生的概率为，A发生B不发生的概率与B发生A不发生的概率相同，则事件A发生的概率P(A)等于(　　)
A． B． C． D．
【答案】D　[由题意，P()·P()＝，P()·P(B)＝P(A)·P()．
设P(A)＝x，P(B)＝y，则即∴x2－2x＋1＝，
∴x－1＝－，或x－1＝(舍去)，∴x＝.]
3．设同时抛掷两个质地均匀的四面分别标有1,2,3,4的正四面体一次．记事件A＝“第一个四面体向下的一面出现偶数”；事件B＝“第二个四面体向下的一面出现奇数”；C＝“两个四面体向下的一面或者同时出现奇数或者同时出现偶数”．给出下列说法：
①P(A)＝P(B)＝P(C)；②P(AB)＝P(AC)＝P(BC)；
③P(ABC)＝；④P(A)P(B)P(C)＝.
其中正确的有(　 　)
A．0个　　 　B．1个　　 　C．2个　　 　D．3个
【答案】D
解析：P(A)＝，P(B)＝，P(C)＝，故①④对．
P(AB)＝×＝，P(AC)＝×＝，P(BC)＝×＝，故②对．
事件A，B，C不可能同时发生，P(ABC)＝0，故③错．故选D.
4．设M，N为两个随机事件，给出以下命题：
(1)若M，N为互斥事件，且P(M)＝，P(N)＝，则P(M∪N)＝；
(2)若P(M)＝，P(N)＝，P(MN)＝，则M，N为相互独立事件；
(3)若P()＝，P(N)＝，P(MN)＝，则M，N为相互独立事件；
(4)若P(M)＝，P()＝，P(MN)＝，则M，N为相互独立事件；
(5)若P(M)＝，P(N)＝，P()＝，则M，N为相互独立事件．
其中正确命题的个数为(　 　)
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】C
解析：若M，N为互斥事件，且P(M)＝，P(N)＝，
则P(M∪N)＝＋＝，故(1)正确；
若P(M)＝，P(N)＝，P(MN)＝.
则由相互独立事件乘法公式知M，N为相互独立事件，故(2)正确；
若P()＝，P(N)＝，P(MN)＝，
则P(M)＝1－P()＝，P(MN)＝P(M)·P(N)．
由对立事件概率计算公式和相互独立事件乘法公式知M，N为相互独立事件，故(3)正确；
若P(M)＝，P()＝，P(MN)＝，
当M，N为相互独立事件时，P(N)＝1－P()＝，P(MN)＝×＝，故(4)错误；
若P(M)＝，P(N)＝，P( )＝，
则P()＝，P()＝，P( )≠P()·P()．
由对立事件概率计算公式和相互独立事件乘法公式知M，N为相互独立事件，故(5)错误．故选C.
二、填空题
5．一个人有n把钥匙，其中只有一把可以打开房门，他随意地进行试开，若试开过的钥匙放在一旁，则他第k次恰好打开房门的概率等于________．
【答案】　[由 “第k次恰好打开，前k－1次没有打开”，
∴第k次恰好打开房门的概率为××…××＝.]
三、解答题
6．某中学篮球体育测试要求学生完成“立定投篮”和“三步上篮”两项测试，“立定投篮”与“三步上篮”各有2次投篮机会，先进行“立定投篮”测试，如果合格才有机会进行“三步上篮”测试，为了节约时间，每项只需且必须投中一次即为合格．小明同学“立定投篮”的命中率为，“三步上篮”的命中率为，假设小明不放弃任何一次投篮机会且每次投篮是否命中互不影响，求小明同学一次测试合格的概率．
【答案】设小明第i次“立定投篮”命中为事件Ai，第i次“三步上篮”命中为事件Bi(i＝1,2)，依题意有P(Ai)＝，P(Bi)＝(i＝1,2)，“小明同学一次测试合格”为事件C．
P()＝P(12)＋P(1A212)＋P(A112)
＝P(1)P(2)＋P(1)P(A2)P(1)P(2)＋P(A1)·P(1)P(2)
＝＋××＋×＝.
∴P(C)＝1－＝.
7．甲、乙二人进行一次围棋比赛，一共赛5局，约定先胜3局者获得这次比赛的胜利，同时比赛结束．假设在一局中，甲获胜的概率为0.6，乙获胜的概率为0.4，各局比赛结果相互独立．已知前2局中，甲、乙各胜1局．
(1)求再赛2局结束这次比赛的概率；
(2)求甲获得这次比赛胜利的概率．
【答案】　记Ai表示事件“第i局甲获胜”，i＝3,4,5，
Bj表示事件“第j局乙获胜”，j＝3,4,5.
(1)记A表示事件“再赛2局结束比赛”．
A＝(A3A4)∪(B3B4)．
由于各局比赛结果相互独立，故
P(A)＝P((A3A4)∪(B3B4))＝P(A3A4)＋P(B3B4)＝P(A3)P(A4)＋P(B3)P(B4)＝0.6×0.6＋0.4×0.4＝0.52.
(2)记事件B表示“甲获得这次比赛的胜利”．
因前两局中，甲、乙各胜一局，故甲获得这次比赛的胜利当且仅当在后面的比赛中，甲先胜2局，从而B＝(A3A4)∪(B3A4A5)∪(A3B4A5)，由于各局比赛结果相互独立，故P(B)＝P(A3A4)＋P(B3A4A5)＋P(A3B4A5)＝P(A3)P(A4)＋P(B3)P(A4)P(A5)＋P(A3)P(B4)·P(A5)＝0.6×0.6＋0.4×0.6×0.6＋0.6×0.4×0.6＝0.648.

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