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(共34张PPT)
第2课时　等差数列前n项和的性质
第一章
2022
内容索引
01
02
03
自主预习 新知导学
合作探究 释疑解惑
随堂练习
课标定位 素养阐释
1.掌握等差数列前n项和的性质及应用.
2.会求等差数列前n项和的最大值.
3.能够求解与等差数列前n项和有关的实际应用题.
4.加强逻辑推理、数学运算能力的培养.
自主预习 新知导学
一、Sn与an的关系
【问题思考】
1.已知数列{an}的前n项和Sn=f(n),能够求出{an}的通项公式吗
提示:能.Sn=a1+a2+…+an,①
Sn-1=a1+a2+…+an-1(n≥2),②
①-②,得an=Sn-Sn-1=f(n)-f(n-1).
而a1=S1=f(1),
2.Sn与an的关系:
3.已知数列{an}中,Sn=n2+n,则an=　　　　　.
答案:2n
二、等差数列前n项和的性质
【问题思考】
1.若数列{an}的前n项和Sn=an2+bn(a,b是常数),则{an}一定是等差数列吗
提示:一定是.
2.在等差数列{an}中,数列Sn,S2n-Sn,S3n-S2n,S4n-S3n,…有何特点
提示:是等差数列.
3.等差数列前n项和的性质
(1)在等差数列{an}中,其前n项和为Sn,则{an}中连续的n项和构成的数列Sn, S2n-Sn ,S3n-S2n, S4n-S3n ,…构成等差数列.
(2)数列{an}是等差数列 Sn=an2+bn(a,b为常数).
4.想一想:对任意等差数列{an},数列Sn,S2n,S3n,S4n,…成等差数列吗
提示:不一定.
5.做一做:在等差数列{an}中,若S5=10,S10=20,则S15=　　　　　.
解析:∵S5,S10-S5,S15-S10成等差数列,∴2×10=10+S15-20,∴S15=30.
答案:30
【思考辨析】
判断下列说法是否正确,正确的在后面的括号内画“√”,错误的画“×”.
(1)对任意数列{an},都有an=Sn-Sn-1成立.( × )
(2)若数列{an}的前n项和Sn=2n2+3n+4,则{an}不是等差数列.( √ )
(3)若数列{an}是常数列,则Sn,S2n-Sn,S3n-S2n,…不是等差数列.( × )
(4)若数列{an}是等差数列,且a1>0,d<0,则Sn有最大值.( √ )
合作探究 释疑解惑
探究一
等差数列前n项和的性质应用
【例1】 在等差数列{an}中,若S4=1,S8=4,则a17+a18+a19+a20的值为(　　).
A.9 B.12 C.16 D.17
分析　解决本题的关键是能发现S4,S8-S4,S12-S8,S16-S12,a17+a18+a19+a20能构成等差数列.
解析:(方法一)由题意知,S4=1,S8-S4=3,
而S4,S8-S4,S12-S8,S16-S12,S20-S16成等差数列,即1,3,5,7,9,a17+a18+a19+a20= S20-S16=9.
(方法二)S4=a1+a2+a3+a4=1,①
S8-S4=a5+a6+a7+a8=3,②
由②-①,得4×4d=2,即8d=1,∴a17+a18+a19+a20=(a5+a6+a7+a8)+4×12d=3+48d=3+6=9.
答案:A
1.若数列{an}为等差数列,公差为d,其前n项和为Sn,则Sk,S2k-Sk,S3k-S2k,…构成公差为k2d的等差数列.
2.灵活应用性质解题可化繁为简,达到事半功倍的效果.
【变式训练1】 在等差数列{an}中,S10=100,S100=10,求S110.
解:由题意可知,S10,S20-S10,S30-S20,…,S100-S90,S110-S100,…成等差数列.
设其公差为d'.该数列前10项的和为S10+(S20-S10)+(S30-S20)+…+(S100-S90) =S100=10.
探究二
求等差数列中Sn的最值
【例2】 已知数列{an}的前n项和Sn=33n-n2,
(1)求数列{an}的通项公式;
(2)数列{an}的前多少项和最大
分析　(1)利用Sn与an的关系求通项,也可由Sn的结构特征求a1,d,从而求出通项.
(2)利用Sn的函数特征求最值,也可以用通项公式找到通项的正、负项的分界点求解.
(1)解法一　当n≥2时,an=Sn-Sn-1=34-2n,
又当n=1时,a1=S1=32=34-2×1,满足an=34-2n.故数列{an}的通项公式为an=34-2n.
(2)解法一　令an≥0,得34-2n≥0,所以n≤17,
故数列{an}的前17项大于或等于零.
又a17=0,故数列{an}的前16项或前17项的和最大.
解法二　y=-x2+33x图象的对称轴为直线x= .
距离 最近的整数为16,17.
由Sn=-n2+33n的图象可知,当n≤17时,an≥0,当n≥18时,an<0,
故数列{an}的前16项或前17项的和最大.
本例中,若设bn=|an|,求数列{bn}的前n项和Sn'.
解:由例2可知,当n≤17时,an≥0;
当n≥18时,an<0.
所以当n≤17时,Sn'=b1+b2+…+bn=|a1|+|a2|+…+|an|=a1+a2+…+an=Sn=33n-n2.
当n≥18时,Sn'=|a1|+|a2|+…+|a17|+|a18|+…+|an|=a1+a2+…+a17-(a18+a19+…+an)=S17-(Sn-S17)=2S17-Sn=n2-33n+544.
1.在等差数列中,求Sn的最小(大)值的方法
(1)利用通项公式寻求正、负项的分界点,则从第一项起到分界点该项的各项和为最大(小).
(2)借助二次函数的图象及性质求最值.
2.寻求正、负项分界点的方法
(1)寻找正、负项的分界点,可利用等差数列的性质或利用
(2)利用到y=ax2+bx(a≠0)图象的对称轴距离最近的左侧的一个正数或离对称轴最近且关于对称轴对称的两个整数对应项即为正、负项的分界点.
【变式训练2】 在等差数列{an}中,a10=23,a25=-22.
(1)该数列从第几项开始为负
(2)求数列{|an|}的前n项和.
探究三
数列应用题
【例3】 一支车队有15辆车,某天依次出发执行任务.第1辆车于下午2时出发,第2辆车于下午2时10分出发,第3辆车于下午2时20分出发,依此类推.假设所有的司机都连续开车,并且都在下午6时停下休息.
(1)到下午6时,最后一辆车行驶了多长时间
(2)如果每辆车的行驶速度都是60 km/h,那么这支车队所有车辆当天一共行驶了多少千米
解:由题意知第1辆车休息前行驶了240 min,各辆车行驶的时间构成一个等差数列{an},其中a1=240,公差d=-10,则an=240-10(n-1)=-10n+250.
(1)因为a15=-10×15+250=100,所以到下午6时,最后一辆车行驶了100 min.
有关数列的应用问题,应首先通过对实际问题的研究建立关于数列的数学模型,然后求出符合实际的答案,可分以下几步考虑:(1)问题中所涉及的数列{an}有何特征;(2)是求数列{an}的通项公式还是求其前n项和;(3)列出方程或不等式求解;(4)答案是否符合实际.
【变式训练3】 有30根水泥电线杆,要运往1 000 m远的地方开始安装,在 1 000 m处放一根,以后每往前50 m放一根,一辆汽车每次只能运三根,如果用一辆汽车完成这项任务,并返回水泥电线杆存放处,那么这辆汽车的行程共有多少千米
解:根据题设知汽车需运送10次,构建一个等差数列{an},其中首项为100,公差为150,n=10,则a1+a2+…+a10=10×100+ ×150=7 750.
所以这辆汽车的行程为7 750×2+1 000×20=35 500(m)=35.5(km).
答:这辆汽车的行程共有35.5 km.
易错辨析
【典例】 在数列{an}中,已知Sn=n2-1,求an.
错解:∵an=Sn-Sn-1=n2-1-[(n-1)2-1]=n2-n2+2n-1=2n-1,
∴an=2n-1.
以上解答过程中都有哪些错误 出错的原因是什么 你如何改正 你如何防范
正解:当n=1时,a1=S1=0.
当n≥2时,an=Sn-Sn-1=2n-1,
由于n=1时,a1=S1-S0无定义,故a1需单独求解.
【变式训练】 在数列{an}中,已知Sn=3n-2,求an.
解:当n=1时,a1=S1=31-2=1;
当n≥2时,Sn-1=3n-1-2,
则an=Sn-Sn-1=(3n-2)-(3n-1-2)=3n-3n-1=3×3n-1-3n-1=2×3n-1.
此时若n=1,
则an=2×3n-1=2×31-1=2≠a1,
随堂练习
1.设等差数列{an}的前n项和为Sn,若a1=-11,a4+a6=-6,则当Sn取得最小值时,n等于(　　).
A.6 B.7
C.8 D.9
解析:设该数列的公差为d,则a4+a6=2a1+8d=2×(-11)+8d=-6,解得d=2,所以Sn=-11n+ ×2=n2-12n=(n-6)2-36,
故当n=6时,Sn取得最小值.
答案:A
2.已知数列{an}的前n项和Sn=n2+1,则an=　　　　　　　　　;数列{an}　　　　　等差数列(填“是”或“不是”).
解析:当n=1时,a1=S1=2,
当n≥2时,an=Sn-Sn-1=(n2+1)-[(n-1)2+1]=2n-1,又因为n=1时,an=2n-1=1≠a1,
3.已知数列{an}为等差数列,它的前n项和为Sn,若Sn=(n+1)2+λ,则λ的值为　　　　　.
解析:等差数列前n项和Sn的形式为Sn=an2+bn,故λ=-1.
答案:-1
4.已知数列{an}的前n项和公式为Sn=2n2-30n.
(1)求数列{an}的通项公式;
(2)若bn=an+an+1,求数列{bn}的前n项和Tn.
解:(1)∵Sn=2n2-30n,
当n=1时,a1=S1=-28.
当n≥2时,an=Sn-Sn-1=(2n2-30n)-[2(n-1)2-30(n-1)]=4n-32.
当n=1时也满足此式,
∴an=4n-32.
(2)由(1)知bn=an+an+1=(4n-32)+(4n-28)=8n-60,数列{bn}是以8为公差的等差数列,b1=-52,Tn= ×n=4n2-56n.
本 课 结 束第2课时　等差数列前n项和的性质
A组
1.已知等差数列{an}的前n项和为Sn,若S2=4,S4=20,则该数列的公差d=(　　).
A.7 B.6 C.3 D.2
解析:∵S4-S2=a3+a4=20-4=16,S2=a1+a2,
∴(a3+a4)-(a1+a2)=16-4=4d,∴d=3.
答案:C
2.已知数列{an}是等差数列,且a2=-8,a15=5,Sn是数列{an}的前n项和,则(　　).
A.S10=S11 B.S10>S11
C.S9=S10 D.S9解析:∵d==1,∴an=n-10.
令an=0,得n=10,即a10=0.∴S9=S10.
由d=1,得a11=1,故S11>S10.
答案:C
3.已知等差数列{an}的前n项和为Sn,若S3=9,S6=36,则a7+a8+a9=(　　).
A.63 B.45 C.36 D.27
解析:∵数列{an}是等差数列,Sn是其前n项和,
∴S3,S6-S3,S9-S6成等差数列.
∵S3=9,S6-S3=27,∴S9-S6=45.
∵a7+a8+a9=S9-S6,∴a7+a8+a9=45.
答案:B
4.已知{an}是等差数列,Sn为其前n项和,且S5S8,则下列结论错误的是(　　).
A.d<0
B.a7=0
C.S9>S5
D.S6与S7均为Sn的最大值
解析:∵S5S8,
∴a6>0,a7=0,a8<0,∴d<0,
∴S6与S7均为Sn的最大值.
S9-S5=a6+a7+a8+a9=2(a7+a8)<0.
∴S9答案:C
5.已知等差数列{an}的前n项和为Sn,若Sm-1=-2,Sm=0,Sm+1=3,则m=(　　).
A.3 B.4 C.5 D.6
解析:由题可知am=Sm-Sm-1=2,am+1=Sm+1-Sm=3,∴公差d=am+1-am=1.
∴a1=am-(m-1)d=2-(m-1)=3-m.
∴Sm=ma1+d=m(3-m)+=0,
解得m=5(m=0舍去),故选C.
答案:C
6.已知等差数列{an}的前n项和为Sn,若S3=-6,S18-S15=18,则S18=　　　　　.
解析:∵S3=a1+a2+a3=-6,
S18-S15=a18+a17+a16=18,
∴(a1+a18)+(a2+a17)+(a3+a16)=12.
即a1+a18=4,∴S18==36.
答案:36
7.已知等差数列{an}的前n项和为Sn,S10=0,S15=25,则Sn的最小值为　　　　　.
解析:由Sn=na1+d得
∴a1=-3,d=,∴Sn=-3n+(n2-10n)=(n-5)2-.
∴当n=5时,Sn有最小值-.
答案:-
8.已知等差数列{an}的前n项和为Sn,且a4-a2=8,a3+a5=26,记Tn=,若存在正整数M,使得对一切正整数n,Tn≤M都成立,则M的最小值是　　　　　.
解析:∵a4-a2=8,∴a5-a3=8.
又a3+a5=26,∴a3=9,a5=17.
∴an=4n-3,Sn==n(2n-1).
∴=2-,∴Tn=2-<2.
∴M≥2,
∴M的最小值为2.
答案:2
9.已知数列{an}为等差数列,其前n项和为Sn,且S4=-62,S6=-75,求:
(1){an}的通项公式及前n项和Sn;
(2)求|a1|+|a2|+…+|a14|的值.
解:(1)设等差数列{an}的公差为d,
则解得
∴an=3n-23,Sn=n2-n.
(2)由an=3n-23,得
当n≤7时,an<0,当n>7时,an>0,
∴|a1|+|a2|+…+|a14|=-(a1+a2+…+a7)+(a8+a9+…+a14)=-S7+S14-S7=S14-2S7=147.
10.已知数列{an}的前n项和为Sn,且Sn=2n2+n-5,求数列{an}的通项公式,并判断它是不是等差数列.
解:当n=1时,a1=S1=2×12+1-5=-2.
当n≥2时,an=Sn-Sn-1=(2n2+n-5)-[2(n-1)2+n-1-5]=4n-1.
∴a2=7,a3=11,∴a2-a1=9,a3-a2=4≠a2-a1.
∴数列{an}不是等差数列.
B组
1.已知数列{an}的前n项和为Sn,且an=-2n+1,则数列的前11项和为(　　).
A.-45 B.-50 C.-55 D.-66
解析:∵Sn==-n2,∴=-n,其前11项和为=-66,
∴的前11项和为-66.
答案:D
2.已知{an}为等差数列,若<-1,且它的前n项和Sn有最大值,则当Sn取得最小正值时,n=(　　).
A.11 B.19 C.17 D.21
解析:∵Sn有最大值,∴{an}的公差d<0.
∵<-1,∴a11<0,a10>0,∴a10+a11<0.
∴S20==10(a10+a11)<0,S19==19a10>0.
∴当Sn取最小正值时,n=19.
答案:B
3.若数列{an}的前n项和Sn=3n-2n2(n∈N+),则当n≥2时,下列不等式成立的是(　　).
A.Sn>na1>nan B.Sn>nan>na1
C.na1>Sn>nan D.nan>Sn>na1
解析:由an=
解得an=所以an=5-4n,
所以na1=n,nan=5n-4n2.
因为na1-Sn=n-(3n-2n2)=2n2-2n=2n(n-1)>0,Sn-nan=3n-2n2-(5n-4n2)=2n2-2n>0,所以na1>Sn>nan.
答案:C
4.已知等差数列{an}的前n项和为Sn,S4=40,Sn=210,Sn-4=130,则n=(　　).
A.12 B.14 C.16 D.18
解析:Sn-Sn-4=an+an-1+an-2+an-3=80,
S4=a1+a2+a3+a4=40,
所以4(a1+an)=120,即a1+an=30,
由Sn==210,得n=14.
答案:B
5.已知数列{an}的前n项和Sn=n2-9n,第k项满足5解析:∵an=
∴an=2n-10.由5<2k-10<8,
得7.5答案:8　2n-10
6.已知首项为正数的等差数列的前n项和为Sn,且S3=S8,当n=　　　　　时,Sn取到最大值.
解析:∵S3=S8,∴S8-S3=a4+a5+a6+a7+a8=5a6=0,∴a6=0.∵a1>0,∴a1>a2>a3>a4>a5>a6=0,a7<0.故当n=5或6时,Sn最大.
答案:5或6
7.项数为奇数的等差数列,奇数项之和为44,偶数项之和为33,求这个数列的中间项及项数.
解:设等差数列共(2n+1)项,则奇数项有(n+1)项,偶数项有n项,中间项是第n+1项,记为an+1,设公差为d,
则
∴S奇-S偶=a1+nd=an+1=11,
即中间项an+1=11.又S2n+1=S奇+S偶=77,
∴=77,
∴(2n+1)×11=77,∴2n+1=7,
即数列的中间项为11,这个数列共7项.
8.已知数列{an}的前n项和为Sn,数列{an}为等差数列,a1=12,d=-2.
(1)求Sn,并画出{Sn}(1≤n≤13)的图象;
(2)分别求使Sn单调递增、单调递减的n的取值范围,并求Sn的最大(或最小)的项;
(3){Sn}有多少项大于零
解:(1)Sn=na1+d=12n+×(-2)=-n2+13n.图象如图.
(2)∵Sn=-n2+13n=-,n∈N+,
∴当n=6或7时,Sn最大;当1≤n≤6时,Sn单调递增;当n≥7时,Sn单调递减.
Sn有最大值,最大项是S6,S7,S6=S7=42.
(3)由图象得{Sn}中有12项大于零.(共30张PPT)
第1课时　等差数列的前n项和
第一章
2022
内容索引
01
02
03
自主预习 新知导学
合作探究 释疑解惑
随堂练习
课标定位 素养阐释
1. 了解等差数列前n项和公式的推导过程.
2.掌握等差数列前n项和公式及其应用.
3.加强逻辑推理和数学运算能力的培养.
自主预习 新知导学
等差数列前n项和公式
【问题思考】
1.在等差数列{an}中,a1+an,a2+an-1,a3+an-2,…是什么关系
提示:相等.
2.设等差数列{an}的前n项和Sn=a1+a2+…+an,能否用n,a1,an表示Sn 并证明.
提示:Sn= .证明如下:设等差数列{an}的前n项和为Sn,于是有Sn=a1+a2+…+an=a1+(a1+d)+…+[a1+(n-1)d].①
把项的次序反过来,Sn又可以写成Sn=an+(an-d)+…+[an-(n-1)d].②
把①②两式的左右两边分别相加,得2Sn=(a1+an)+(a1+an)+…+(a1+an)=n(a1+an),
故Sn= .
3.等差数列{an}的前n项和公式为:
4.想一想:上面公式对于常数列适用吗
提示:适用.Sn=na1.
5.做一做:Sn=2+4+6+8+10+12+…+2n=　　　　　　.
答案:n2+n
【思考辨析】
判断下列说法是否正确,正确的在后面的括号内画“√”,错误的画“×”.
合作探究 释疑解惑
探究一
有关等差数列前n项和的基本运算
在等差数列{an}中,S4=20,S6=48,求a1.
在等差数列{an}中有a1,n,d,an,Sn五个量,可知三求二.一般是由通项公式和前n项和公式列方程组求解.解答时要注意已知量和未知量的联系及整体思想的运用.
【变式训练1】 在等差数列{an}中,已知a6=10,S5=5,求a8与S10.
探究二
与等差数列前n项和公式有关的实际应用题
【例2】 甲、乙两物体分别从相距70 m的两处同时相向运动,甲第1 min走2 m,以后每分钟比前一分钟多走1 m,乙每分钟走5 m.
(1)甲、乙开始运动后几分钟第一次相遇
(2)如果甲、乙到达对方起点后立即折返,甲继续每分钟比前1 min多走1 m,乙继续每分钟走5 m,那么开始运动后几分钟第二次相遇
分析　分析题意,将实际问题转化为等差数列问题求解.
解:(1)设n min后第1次相遇,
依题意有2n+ +5n=70,
整理得n2+13n-140=0,
解得n=7,n=-20(舍去).
甲、乙开始运动后7 min第一次相遇.
(2)设n min后第二次相遇,依题意有2n+ +5n=3×70,
整理得n2+13n-6×70=0,
解得n=15或n=-28(舍去).
开始运动后15 min第二次相遇.
有关数列的应用问题,应首先通过对实际问题的研究建立关于数列的数学模型,然后求出符合实际的答案,可分以下几步考虑:(1)问题中所涉及的数列{an}有何特征.(2)是求数列{an}的通项还是求其前n项和.(3)列出等式(或方程(组))求解.(4)答案是否符合实际.
【变式训练2】 植树节某班20名同学在一段直线公路一侧植树,每人植树一棵,相邻两棵树相距10 m,开始时需将树苗集中放置在某一个树坑旁边,使每名同学从各自树坑出发前来领取树苗往返所走的路程总和最小,此最小值为　　　　m.
解析:假设20名同学从1号到20号依次排列,使每名同学从各自树坑出发前来领取树苗往返所走的路程总和最小,则树苗需放在第10或第11号树坑旁,此时两侧的同学所走的路程分别组成以20为首项,20为公差的等差数列,故所有同学往返的总路程为S=9×20+ ×20+10×20+ ×20
=2 000(m).
答案:2 000
探究三
等差数列前n项和公式的变形应用
【例3】 已知等差数列{an}的前四项之和为21,最后四项之和为67,所有项之和为286,求这个数列的项数n.
解决问题时应灵活应用等差数列前n项和公式及其性质.
【变式训练3】 已知{an}是等差数列,且a15+a12+a9+a6=20,求S20.
解:∵a15+a6=a12+a9,
∴a15+a6=10.又a1+a20=a15+a6=10,
易错辨析
【典例】 求值:1+4+7+…+(3n+1).
错解:∵1,4,7,…,(3n+1)为等差数列,
以上解答过程中都有哪些错误 出错的原因是什么 你如何改正 你如何防范
提示:上面数列有n+1项,而不是n项.
等差数列求和时应注意确定公差d、项数n及a1和an.
如上例中,令3n+1中的n取1,若结果是第一项,则共有n项;否则不是n项.
【变式训练】 求值:-4-2+2+4+6+…+(2n-8).
解:∵-4,-2,0,2,4,…,(2n-8)为等差数列,共n-1项,
随堂练习
1.已知等差数列{an}的各项都是负数,且 +2a3a8=9,则它的前10项和S10等于(　　).
A.-11 B.-9 C.-15 D.-13
答案:C
2.设Sn为数列{an}的前n项和,若满足an=an-1+2(n≥2),且S3=9,则a1等于(　　).
A.5 B.3 C.1 D.-1
解析:∵an=an-1+2(n≥2),∴an-an-1=2(n≥2).
∴数列{an}是公差为2的等差数列.
∵S3=9,∴a1+a2+a3=3a2=9,∴a2=3.
∴a1=a2-d=3-2=1.
答案:C
3.在等差数列{an}中,有3(a3+a5)+2(a7+a10+a13)=48,则此数列前13项之和为　　　.
解析:∵数列{an}是等差数列,
∴3(a3+a5)+2(a7+a10+a13)=6a4+6a10=48.
∴a4+a10=8.∴a1+a13=8.
答案:52
4.在等差数列{an}中,a1=1,a3+a5=14,其前n项和Sn=100,则n=　　　.
答案:10
5.已知等差数列{an}中,a1=1,a3=-3.
(1)求数列{an}的通项公式;
(2)若数列{an}的前k项和Sk=-35,求k的值.
解:(1)设等差数列{an}的公差为d,则an=a1+(n-1)d.由a1=1,a3=-3可得1+2d =-3.解得d=-2.
从而,an=1+(n-1)×(-2)=3-2n.
(2)由(1)可知an=3-2n,
进而由Sk=-35,可得2k-k2=-35.
又k∈N+,故k=7为所求.
本 课 结 束2.2　等差数列的前n项和
第1课时　等差数列的前n项和
1.设Sn为等差数列{an}的前n项和,若a1=1,公差d=2,Sk+2-Sk=24,则k等于(　　).
A.8 B.7 C.6 D.5
解析:∵Sk+2-Sk=ak+1+ak+2=a1+kd+a1+(k+1)d=2a1+(2k+1)d=2×1+(2k+1)×2=4k+4=24,
∴k=5.
答案:D
2.已知等差数列{an}的前n项和为Sn,且S3=6,a1=4,则公差d等于(　　).
A.1 B. C.-2 D.3
解析:由题意,得6=3a1+×3×2×d,又a1=4,
故d=-2.
答案:C
3.已知等差数列{an}的公差为d,前n项和为Sn,当首项a1和d变化时,a2+a8+a11是一个定值,则下列各数中也为定值的是(　　).
A.S7 B.S8 C.S13 D.S15
解析:由已知a2+a8+a11=3a1+18d=3(a1+6d)=3a7,且为定值,则S13==13a7,且为定值,故选C.
答案:C
4.设Sn为等差数列{an}的前n项和,S3=4a3,a7=-2,则a9=(　　).
A.-6 B.-4 C.-2 D.2
解析:本题考查数列的基础知识和运算能力.
故a9=a1+8d=-6.
答案:A
5.已知等差数列{an}共有10项,其中奇数项之和为15,偶数项之和为30,则其公差是(　　).
A.5 B.4 C.3 D.2
解析:设公差为d,则
∴5d=15,∴d=3.
答案:C
6.在等差数列{an}中,S9=18,Sn=160,an-4=30(n≥5,且n∈N+),则n=　　　　　.
解析:∵S9==9a5=18,
∴a5=2,∴Sn==160,
即=160.∴n=10.
答案:10
7.设等差数列{an}的前n项和为Sn.若S9=72,则a2+a4+a9=　　　　　.
解析:∵S9=72=,∴a1+a9=16.
∵a1+a9=2a5,∴a5=8.
∴a2+a4+a9=a1+a5+a9=3a5=24.
答案:24
8.设Sn是等差数列{an}的前n项和,若=2,则的值为　　　　　.
解析:.
答案:
9.已知数列{an}是等差数列,a2=5,a5=14.
(1)求数列{an}的通项公式;
(2)设数列{an}的前n项和Sn=155,求n的值.
解:(1)设等差数列{an}的公差为d,首项为a1,
则
∴数列{an}的通项公式为an=3n-1.
(2)数列{an}的前n项和Sn=n2+n.
由n2+n=155,可得n=10.
10.已知等差数列{an}中,a3a7=-16,a4+a6=0,求数列{an}的前n项和Sn.
解:设等差数列{an}的公差为d,
则
即解得
因此Sn=n(n-9)或Sn=-n(n-9).

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