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2021下期初三数学竞赛试题
（时量：90分钟 满分：100）
题号 一 二 三 总分
得分
一、选择题（每题4分，共40分.将答案填在表格内）
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案
一、选择题：（每题4分，共40分）
1．如图，△ABC的边AB在x轴上，边交轴于点，
，反比例函数过点，且交线段于
，，连接，若，则的值为（ ）
A． B． C．4 D．6
2．已知，是方程的两根，则代数式的值是（ ）
A． B． C． D．
3．如图，在矩形纸片中，，，点在上，将沿折叠，点恰落在边上的点处；点在上，将沿折叠，点恰落在线段上的点处，；∽；；则下列结论正确的有（ ）
A． B． C． D．
4．已知，mn=12，则的值为（ ）
A．-84 B．84 C． D．300
5．如图，在同一平面直角坐标系中，反比例函数与一次函数y=kx 1(k为常数，且k≠0)的图象可能是（ ）
A． B． C． D．
6．如图，已知AD∥BC，AC与BD相交于点O，点G是BD的中点，过G作GE∥BC交AC于点E，如果AD=1，BC=3，GE：BC等于（ ）
A．1：2 B．1：3 C．1：4 D．2：3
7．若，则的值是（ ）
A．1 B． C．3 D．无法确定
8．若实数满足方程，那么的值为（ ）
A．-2或4 B．4 C．-2 D．2或-4
9．在中，，为上一动点，
若，，则的最小值为（ ）
A．5 B．10 C． D．
10．在平面直角坐标系中，点A的坐标为（﹣3，4），那么下列说法正确的是（　　）
A．点A与点C（3，﹣4）关于x轴对称
B．点A与点B（﹣3，﹣4）关于y轴对称
C．点A与点F（3，﹣4）关于原点对称
D．点A与点E（3，4）关于第二象限的平分线对
二、填空题：（每题4分，共20分）
11．如图，直角三角形的直角顶点在坐标原点，∠OAB=30°，
若点A在反比例函数（x>0）的图象上，则经过点B的反比例函数解析式为______．
若a，b，c为等腰三角形的三边长且a＝2，其中b，c
是方程x2﹣3x+m＝0的两根．则m＝__________________
如图，某测量工作人员的眼睛A与标杆顶端F，铁塔顶
端E在一条直线上，已知此人眼睛距离地面的高为1.6m，标杆
高为3.2m，且BC=1m，CD=5m，则铁塔的高DE=________________m
已知是方程的一个根，
θ是三角形的一个内角，那么cosθ的值为________．
如图，平行于BC的直线DE把ABC分成面积相等
的两部分，DE＝2，则BC的值为__________．
三、解答题（共4个大题，共40分，解答时要求必要的演算过程或推理步骤）
16．(本题10分)随着全球疫情的扩散，疫苗需求仍存在较大缺口，某制药企业及时引进一条疫苗生产线生产新冠疫苗，开工第一天生产疫苗10000盒，第三天生产疫苗12100盒，若每天增长的百分率相同．
（1）求每天增长的百分率．
（2）经调查发现，1条生产线的最大产能是15000盒/天，若每增加1条生产线，则每条生产线的产能将减少500盒/天，现该厂要保证每天生产疫苗105000盒，在增加产能的同时又要节省投入的条件下（生产线越多，投入越大），应该增加几条生产线？
17．(本题10分)如图，矩形DEFG的边EF在△ABC的边BC上，顶点D、G分别在边AB、AC上，已知△ABC的边BC长60厘米，高AH为40厘米，矩形DEFG相邻两边DE：EF＝2：3．求矩形DEFG的边DE、EF的长．
18．(本题10分)如图，直线y＝ax＋b与x轴交于点A（4，0），与y轴交于点B（0，﹣2），与反比例函数y＝（x＞0）的图象交于点C（6，m）．
（1）求直线和反比例函数的表达式；
（2）结合图象，请直接写出不等式≥ax＋b的解集；
（3）连接OC，在x轴上找一点P，使S△POC＝2S△AOC，请求出点P的坐标．
19．(本题10分)如果三角形的两个内角α与β满足2α+β=n°，那么我们称这样的三角形为“准n°三角形”．
（1）若△ABC是“准90°三角形”，∠C＞90°，∠A=60°，则∠B=　 　°；
（2）如图①，在△ABC中，∠ACB=120°，AC=4，BC=8．D是BC上一点且△ABD是“准60°三角形”，请求出BD的长．
（3）如图②，在四边形ABCD中，AB=5，CD=6，BD⊥CD，∠ABD=2∠BCD，且△ABC是“准90°三角形”，则对角线AC= 　
宁远县2021下期初三数学竞赛试题答案
1．C；2．D；3．B；4．C；5．B；6．B；7．C；8．B；9．B；10．C
11．；12．或2；13．11.2；14．；15．2
16．解：（1）设每天增长的百分率为，
依题意得：，解得：，（不合题意，舍去）．
答：每天增长的百分率为．
（2）设增加条生产线，则每条生产线的产量为盒/天，
依题意得：，整理得：，
解得：，．又∵要节省投入，∴．
答：应该增加9条生产线．
17．解：
如图，记，的交点为 设，
则，， 四边形为矩形，
，，，，，
，，，
，．
18．解：（1）∵直线经过点和，∴可得方程组
解得∴直线的表达式为．
∵直线与反比例函数y＝（x＞0）的图象交于点，
∴．∴．∴．∴k=6．
∴反比例函数的表达式为．
（2）求不等式的解集相当于从图象上看x取何值时，反比例函数的图象不低于直线的图象．
所以从图象上看，当时，反比例函数的图象不低于直线的图象．
所以不等式的解集是．
（3）∵，，∴OA=4．∴．
∵，∴．
∵点P在x轴上，∴设．∴．
∵，∴．∴，．∴或．
19．解：(1) ∵由“准n°三角形”的定义知：2α+β=n°　∴准90°三角形有：
又∵　∴∠B=15°　故答案为：15
(2)∵△ABD是“准60°三角形”
∴2∠B+∠BAD=60°或∠B+2∠BAD=60°
①当2∠B+∠BAD=60°时，如下图：
∵∠ACB=120°　∴∠B+∠BAC=60°
∴∠B=∠CAD
又∵∠C=∠C　∴△CAD∽△CBA
∴=　　又∵AC=4，BC=8　∴CD=2 　∴BD=6
②当∠B+2∠BAD=60°时，作DE⊥AB于E，作DF⊥AC延长线于点F，作AH⊥BC延长线于H，如下图：
∵∠B+2∠BAD=60°，∠B+∠BAC=60°
∴∠BAD=∠CAD　　∴DE=DF
设DC=2a
∵∠ACB=120°
∴在Rt△DCF中, ∠DCF=60°
∴DF=a
∵在Rt△ACH中, ∠ACH=60°，AC=4　　∴∠CAH=30°　　∴CH=2　∴AH=
∵DE⊥AB，AH⊥BC　∴∠BED=∠BHA=90°
又∵∠DBE=∠ABH　　∴△BED∽△BHA ∴=
在中，
∴　又∵　∴
又∵　∴　∴a=　∴BD=
综上所述，BD=6或BD=
（3）将沿BC翻折得到，如下图：
∴CF=CD=6，∠BCF=∠BCD，∠CBF=∠CBD
∵，∠BCD+∠CBD=90°
∴∠ABD+∠DBC+∠CBF=180°
∴A、B、F三点共线　∴∠FAC+∠ACF=
∴　　∴
∴∠FCB=∠FAC　　
又∵　　∴　∴
∴
∵AF=AB+BF　
设BF=x,则AF=5+x　则　　化简得: 　　
解得：（舍），，即BF=4
在中，AF=9,CF=6
由勾股定理得：AC=
∵
∴
九年级数学 第2页 （共10页）

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