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1.1 空间向量及其运算
1.经历向量及其运算由平面向空间推广的过程，了解空间向量、向量的模、零向量、相反向量、相等向量等的概念；
2.掌握空间向量的运算；加减、数乘、数量积；
3.能运用向量运算判断向量的共线与垂直.
重点：理解空间向量的概念
难点：掌握空间向量的运算及其应用
一、温故知新
1.平面向量的概念
名称 定义 备注
向量 既有 又有 的量。 向量的大小叫做向量的长度或模 平面向量是自由向量
零向量 长度等于0的向量，其方向是任意的 记作0
单位向量 长度等于1个单位的向量 与非零向量共线的单位向量为
平行向量 (或共线向量) 方向 的 向量 0与任一向量平行（或共线）
相等向量 长度 且方向 的向量 两向量只有相等或不等，不能比大小
相反向量 长度 且方向 的向量 0的相反向量为
2.向量的线性运算
（1）加法：是指求两个向量和的运算；
法则（几何意义）：三角形法则、平行四边形法则。
（2）减法：是指求与的相反向量的和的运算叫做与的差；
法则（几何意义）：三角形法则。
（3）数乘：是指求实数与向量的积的运算；
法则（几何意义）：①； ②当时，与的方向 ；
③当时，与的方向 ；④四时，= .
3.共线向量定理
向量与共线的充要条件是，当且仅当存在唯一实数λ，使得。
4.平面向量基本定理
如果是同一平面内的两个 向量，那么对于这一平面内的任意向量，
一对实数使 ，其中不共线的向量叫表示这一平面内所有向量的一组基底。
结论：（1）若向量，不共线，则的等价条件是；
（2）三终点A,B,C共线存在实数使得=，且
5.两个向量的夹角
（1）定义：一直两个非零向量，作，则∠叫做与的夹角。
（2）范围：夹角的取值范围是 。
①当与同向时，= ；②反向时，= ；③当与垂直时，= ，并记作⊥。6.两向量的夹角分别是锐角与钝角的充要条件
（1）与的夹角是锐角· 0且与不共线；
（2）与的夹角是钝角· 0且与不共线。
7.平面向量的数量积
（1）定义：·= ，规定·= ；
（2）坐标表示：·= ，其中；
（3）运算律
①交换律：·= ；②结合律·= ；
③数乘：·= .
（4）在方向上的投影是 ；
（5）·的几何意义：数量积·等于的模||与在的方向上的投影的乘积。
8.向量数量积的性质
设，都是非零向量，是与方向相同的单位向量，是与的夹角，则
（1）== ；（2）⊥ ；（3）·= ；（4）|· |≤||·||.
一、情境导学
章前图展示的是一个做滑翔运动员的场景，可以想象在滑翔过程中，飞行员会受到来自不同方向大小各异的力，例如绳索的拉力，风力，重力等，显然这些力不在同一个平内，联想用平面向量解决物理问题的方法，能否把平面向量推广到空间向量，从而利用向量研究滑翔运动员呢，下面我们类比平面向量，研究空间向量，先从空间上的概念和表示开始。
二、探究新知
知识点一　空间向量的概念
思考1.　类比平面向量的概念，给出空间向量的概念.
(1)在空间，把具有_____和_____的量叫做空间向量，向量的大小叫做向量的_____或___.
空间向量用有向线段表示，有向线段的_____表示向量的模，a的起点是A，终点是B，则a也可记作，其模记为__________.
(2)几类特殊的空间向量
名称 定义及表示
零向量 规定长度为0的向量叫_______，记为0
单位向量 ______的向量叫单位向量
相反向量 与向量a长度_____而方向_____的向量，称为a的相反向量，记为－a
相等向量 方向_____且模_____的向量称为相等向量，_____且_____的有向线段表示同一向量或相等向量
知识点二　空间向量的加减运算及运算律
思考2.　下面给出了两个空间向量a、b，作出b＋a，b－a.
(1)类似于平面向量，可以定义空间向量的加法和减法运算.
＝＋＝a＋b
＝－＝a－b
＝＋＝＋＝a＋b
(2)空间向量加法交换律
a＋b＝b＋a
空间向量加法结合律
(a＋b)＋c＝a＋(b＋c)
知识点三　空间向量的数乘运算
思考3.　实数λ和空间向量a的乘积λa的意义是什么？向量的数乘运算满足哪些运算律？
(1)实数与向量的积
与平面向量一样，实数λ与空间向量a的乘积λa仍然是一个向量，称为向量的数乘运算，记作λa，其长度和方向规定如下：
①|λa|＝____.
②当λ>0时，λa与向量a方向相同；当λ<0时，λa与向量a方向 ；当λ＝0时，λa＝0.
(2)空间向量数乘运算满足以下运算律
①λ(μa)＝______； ②λ(a＋b)＝________；③(λ1＋λ2)a＝_________(拓展).
知识点四　共线向量与共面向量
思考4.　回顾平面向量中关于向量共线知识，给出空间中共线向量的定义.
定义 平行于同一个平面的向量
三个向量共面的充要条件 向量p与不共线向量a，b共面的充要条件是存在______的有序实数对(x，y)使__________
点P位于平 面ABC内 的充要条件 存在有序实数对(x，y)，使＝___________
对空间任一点O，有＝＋__________
做一做
1.如图，已知长方体ABCD-A′B′C′D′，化简下列向量表达式，并在图中标出化简结果的向量.
(1)′－； (2)＋＋′.
例1.已知平行四边形ABCD从平面AC外一点O引向量．
＝k，＝k，＝k，＝k．
求证：四点E，F，G，H共面
变式训练1．对于空间任意一点O和不共线的三点A，B，C，有如下关系：
，则（ ）
A．四点O，A，B，C必共面 B．四点P，A，B，C必共面
C．四点O，P，B，C必共面 D．五点O，P，A，B，C必共面
知识点五　空间向量数量积的概念
思考5.　如图所示，在空间四边形OABC中，OA＝8，AB＝6，AC＝4，BC＝5，∠OAC＝45°，∠OAB＝60°，类比平面向量有关运算，如何求向量与的数量积？并总结求两个向量数量积的方法.
(1)定义：已知两个非零向量a，b，则|a||b|cos〈a，b〉叫做a，b的数量积，记作a·b.
(2)数量积的运算律
数乘向量与向量数量积的结合律 (λa)·b＝______
交换律 a·b＝_____
分配律 a·(b＋c)＝_________
(3)空间向量的夹角
①定义：已知两个非零向量a，b，在空间任取一点O，作＝a，＝b，则______叫做向量a与b的夹角，记作〈a，b〉.②范围：〈a，b〉∈_______.特别地：当〈a，b〉＝___时，a⊥b.
两个向量数量积的性质 ①若a，b是非零向量，则a⊥b _______
②若a与b同向，则a·b＝______；若反向，则a·b＝________. 特别地，a·a＝____或|a|＝
③若θ为a，b的夹角，则cos θ＝_______
④|a·b|≤|a|·|b|
例2．已知平行六面体ABCD﹣A′B′C′D′中，AB＝4，AD＝3，AA′＝5，∠BAD＝90°，∠BAA′＝∠DAA′＝60°，
（1）求AC′的长；（如图所示）
（2）求与的夹角的余弦值．
变式练习2.
(1)如图，平行六面体中中，各条棱长均为1，共顶点A的三条棱两两所成的角为60°，则对角线的长为 .
（2）如图，三棱柱中，底面边长和侧棱长都相等，，则异面直线与所成角的余弦值为 .
例3．已知：m，n是平面α内的两条相交直线，直线l与α的交点为B，且l⊥m，l⊥n．
求证：l⊥α
1.下列命题中，假命题是(　　)
A.同平面向量一样，任意两个空间向量都不能比较大小
B.两个相等的向量，若起点相同，则终点也相同
C.只有零向量的模等于0
D.共线的单位向量都相等
2.在下列命题中：
①若a、b共线，则a、b所在的直线平行；
②若a、b所在的直线是异面直线，则a、b一定不共面；
③若a、b、c三向量两两共面，则a、b、c三向量一定也共面；
④已知三向量a、b、c，则空间任意一个向量p总可以唯一表示为p＝xa＋yb＋zc.
其中正确命题的个数为(　　)
A.0 B.1 C.2 D.3
3.向量a，b互为相反向量，已知|b|＝3，则下列结论正确的是(　　)
A. a＝b B. a＋b为实数0
C. a与b方向相同 D. |a|＝3
4.在正方体ABCD－A1B1C1D1中，已知下列各式：①(＋)＋1；②(1＋1)＋1；③(＋1)＋B1C1；④(1＋1)＋1.其中运算的结果为1的有___个.
5.设e1，e2是平面内不共线的向量，已知＝2e1＋ke2，＝e1＋3e2，＝2e1－e2，若A，B，D三点共线，则k＝____.
6.已知a、b是异面直线，且a⊥b，e1、e2分别为取自直线a、b上的单位向量，且a＝2e1＋3e2，b＝ke1－4e2，a⊥b，则实数k的值为___.
7.BB1⊥平面ABC，且△ABC是∠B＝90°的等腰直角三角形， ABB1A1、 BB1C1C的对角线都分别相互垂直且相等，若AB＝a，求异面直线BA1与AC所成的角.
1．利用向量的线性运算和空间向量基本定理表示向量是向量应用的基础．
2．利用共线向量定理、共面向量定理可以证明一些平行、共面问题；利用数量积运算可以解决一些距离、夹角问题．
3．利用向量解立体几何题的一般方法：把线段或角度转化为向量表示，用已知向量表示未知向量，然后通过向量的运算或证明去解决问题．其中合理选取基底是优化运算的关键．　
参考答案：
知识梳理
学习过程
知识点一　空间向量的概念
思考1.　答案　在空间，把具有大小和方向的量叫做空间向量.
(1)方向；大小；长度；模；长度；|a|或||
(2) 零向量；模为1；相等；相反；相同；相等；同向；等长
知识点二　空间向量的加减运算及运算律
思考2.　答案　如图，空间中的两个向量a，b相加时，我们可以先把向量a，b平移到同一个平面α内，以任意点O为起点作＝a，＝b，则＝＋＝a＋b，＝－＝b－a.
知识点三　空间向量的数乘运算
思考3.答案　λ＞0时，λa和a方向相同；λ＜0时，λa和a方向相反；λa的长度是a的长度的|λ|倍.
空间向量的数乘运算满足分配律及结合律：
①分配律：λ(a＋b)＝λa＋λb，
②结合律：λ(μa)＝(λμ)a.
(1) 相反；|λ||a|；
(2) (λμ)a；λa＋λb；λ1a＋λ2a
知识点四　共线向量与共面向量
思考4.　答案　如果表示空间向量的有向线段所在的直线互相平行或重合，那么这些向量叫做共线向量或平行向量.
平行或重合；a＝λb；方向向量；＝＋ta；
惟一；p＝xa＋yb；x＋y；x＋y
做一做
1.解（1）　－＝－＝＋＝.
（2）　＋＋＝(＋)＋＝＋＝.向量、如图所示.
例1.
【分析】（1）可画出图形，根据便可得到，从而得出EF∥AB，同理HG∥DC，且有EF＝HG，这便可判断四边形EFGH为平行四边形，从而得出四点E，F，G，H共面；
解：（1）证明：如图，
∵；∴；
EF∥AB，且EF＝|k|AB；
同理HG∥DC，且HG＝|k|DC，AB＝DC；
∴EF∥HG，且EF＝HG；
∴四边形EFGH为平行四边形；
∴四点E，F，G，H共面；
变式练习1.【答案】B
【解析】由已知得，而，四点、、、共面．故选：．
知识点五　空间向量数量积的概念
思考5.　
解　∵＝－，
∴·＝·－·
＝||||cos〈，〉－||||cos〈，〉
＝8×4×cos 135°－8×6×cos 120°＝24－16.
求两个向量的数量积需先确定这两个向量的模和夹角，当夹角和长度不确定时，可用已知夹角和长度的向量来表示该向量，再代入计算.
(2)数量积的运算律a·b＋a·c；λ(a·b)；b·a
(3)空间向量的夹角∠AOB；[0，π]；；；；a·b＝0；|a|·|b|；－|a|·|b|；|a|2
例2．
【分析】（1）可得＝＝，由数量积的运算可得，开方可得；
（2）由（1）可知，又可求和，代入夹角公式可得．
解：（1）可得＝＝，
＝＝+2（）
＝42+32+52+2（4×3×0+4×）＝85
故AC′的长等于＝
（2）由（1）可知＝，＝
故＝（） （）
＝
＝＝
又＝＝＝＝5
故与的夹角的余弦值＝＝
变式练习2
（1）【答案】
【解析】在平行六面体中中，因为各条棱长均为1，共顶点A的三条棱两两所成的角为60°，所以，
所以，
所以，
，所以.
（2）【答案】
【解析】三棱柱中，底面边长和侧棱长都相等，，设棱长为1，
则，，.
，，所以
而，
，
所以.
例3．解：设直线m的方向向量为，直线n的方向向量为，直线l的方向向量为，
∵m，n是平面α内的两条相交直线
∴与是平面α内的两个不共线向量，设平面α内的任一向量为，
由平面向量基本定理，存在唯一实数λ，μ，使＝λ+μ
又∵l⊥m，l⊥n，∴＝0，＝0
∴ ＝＝λ+μ＝0
∴
∴直线l垂直于平面α内的任意直线，
由线面垂直的定义得：l⊥α
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1.答案：D
解析　容易判断D是假命题，共线的单位向量是相等向量或相反向量.
2.答案A
解析　根据空间向量的基本概念知四个命题都不对.
3.答案D
解析　向量a，b互为相反向量，则a，b模相等、方向相反.故D正确.
4.答案　4
解析　根据空间向量的加法运算以及正方体的性质逐一进行判断：
①(＋)＋1＝＋1＝1；
②(1＋1)＋1＝1＋1＝1；
③(＋1)＋1＝1＋1＝1；
④(1＋1)＋1＝1＋1＝1.
所以4个式子的运算结果都是1.
5.答案－8
解析　＝－＝e1－4e2，＝2e1＋ke2，
又A、B、D三点共线，由共线向量定理得＝λ，
∴＝.∴k＝－8.
6.答案 6
解析　由a⊥b，得a·b＝0，
∴(2e1＋3e2)·(ke1－4e2)＝0，∴2k－12＝0，∴k＝6.
7.
解　如图所示.∵1＝＋1，＝＋，
∴1·＝(＋1)·(＋)＝·＋·＋1·＋1·.
因为AB⊥BC，BB1⊥AB，BB1⊥BC，
∴·＝0，1·＝0，1·＝0且·＝－a2.
∴1·＝－a2.
又1·＝|1|·||cos〈1，〉，
又∵〈，〉∈[0，π]，∴〈1，〉＝120°，
又∵异面直线所成的角是锐角或直角，
∴异面直线BA1与AC成60°角.
∴cos〈1，〉＝＝－.

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