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新定义问题
在近几年全国、各省的高考数学命题中,“新定义”问题越来越受到关注和重视.所谓“新定义”问题,是相对于高中教材而言,指在高中教材中不曾出现过的概念、定义.它的一般形式是:由命题者先给出一个新的概念、新的运算法则,或者给出一个抽象函数的性质等,然后让学生按照这种“新定义”去解决相关的问题.“新定义”问题总的来说题型较为新颖,所包含的信息丰富,能较好地考查学生分析问题、解决问题的能力.新定义问题有三个常考题型:一是高斯函数与其他知识的融合;二是定义新函数,关注函数性质的活学活用;三是以平面向量为载体,灵活设置新定义.掌握好下列几种解题的思路与方法,为我们在宏观上把握这类题型提供了思维方向.
1.(江苏省东台市2019-2020学年高一数学上学期期中试题)已知集合的元素个数为个且元素为正整数，将集合分成元素个数相 同且两两没有公共元素的三个集合，即，，，，其中，，，若集合中的元素满足，
，,则称集合为“完美集合”例如: “完美集合”,此时．若集合，为“完美集合”,则的所有可能取值之和为( D )
A． B． C． D．
2.(江苏省如皋中学2020-2021学年高一数学上学期第二次阶段考试试题)(多选)对于集合，定义集合．下列结论一定正确的是(　AB　)
A． B． C． D．
3..(北京市朝阳区2011-2012学年度期末统一考试)已知集合, .若存在实数使得成立,称点为“￡”点，则“￡”点在平面区域内的个数是 ( A )
A. 0 B. 1 C. 2 D. 无数个
4.(2011·福建卷) 在整数集Z中，被5除所得余数为k的所有整数组成一个“类”，记为[k]，即[k]＝{5n＋k|n∈Z}，k＝0,1,2,3,4.给出如下四个结论：
①2011∈[1]；
②－3∈[3]；
③Z＝[0]∪[1]∪[2]∪[3]∪[4]；
④“整数a，b属于同一‘类’”的充要条件是“a－b∈[0]”．
其中，正确结论的个数是(　C　)
A．1 B．2 C．3 D．4
5.(江苏省泰州中学2020-2021学年高一数学上学期第一次质量检测试题)已知集合P中的元素有个且均为正整数，将集合P分成元素个数相等且两两没有公共元素的三个集合A，B，C，即，，，，其中，，.若集合A，B，C中元素满足，
，，则称集合P为“完美集合”，
（1）若集合，，判断集合P和集合Q是否为“完美集合” 并说明理由.
（2）若集合为“完美集合”，求正整数x的值.
【解析】：（1）对于集合，取，，，
满足，，，，且，
所以集合P为“完美集合”.若为“完美集合”，则存在A，B，C，
使得，，，.
设A中各元素的和为M，B中各元素的和为N，C中各元素的和为L，
则且，所以，它不是整数，
故Q不是“完美集合”.
（2）因为为“完美集合”，由（1）可知.
根据定义可知为P中的最大元素，故.
又C中各元素的和为，所以C的另一个元素为，
它是1，3，4，5，6中的某个数，所以x的值可能为17，13，11，9，7.
当时，，，，满足定义要求：
当时，，，，满足定义要求；
当时，，，，满足定义要求；
当或时，或，3和1没办法写成两个元素的和，
故不满足定义要求.
综上，x的值为7，9，11。
6.(北京市东城区2019-2020学年高一数学上学期期末考试试题)对于集合A，定义函数fA（x）＝对于两个集合A，B，定义运算A*B＝{x|fA（x） fB（x）＝﹣1}．
（1）若A＝{1，2，3}，B＝{2，3，4，5}，写出fA（1）与fB（1）的值，并求出A*B；
（2）证明：fA*B（x）＝fA（x） fB（x）；
（3）证明：*运算具有交换律和结合律，即A*B＝B*A，（A*B）*C＝A*（B*C）．
【分析】（1）由新定义的元素即可求出fA（1）与fB（1）的值，再分情况求出A*B；
（2）对x是否属于集合A，B分情况讨论，即可证明出fA*B（x）＝fA（x） fB（x）；
（3）利用（2）的结论即可证明出*运算具有交换律和结合律．
【解答】解：（1）∵A＝{1，2，3}，B＝{2，3，4，5}，
∴fA（1）＝﹣1，fB（1）＝1，
∴A*B＝{1，4，5}；
（2）①当x∈A且x∈B时，fA（x）＝fB（x）＝﹣1，
所以x A*B．所以fA*B（x）＝1，
所以fA*B（x）＝fA（x） fB（x），
②当x∈A且x B时，fA（x）＝﹣1，fB（x）＝1，
所以x∈A*B．所以fA*B（x）＝﹣1，
所以fA*B（x）＝fA（x） fB（x），
③当x A且x∈B时，fA（x）＝1，fB（x）＝﹣1．
所以x∈A*B．所以fA*B（x）＝﹣1．
所以fA*B（x）＝fA（x） fB（x）．
④当x A且x B时，fA（x）＝fB（x）＝1．
所以x A*B．所以fA*B（x）＝1．
所以fA*B（x）＝fA（x） fB（x）．
综上，fA*B（x）＝fA（x） fB（x）；
（3）因为A*B＝{x|fA（x） fB（x）＝﹣1}，B*A＝{x|fB（x） fA（x）＝﹣1}＝{x|fA（x） fB（x）＝﹣1}，
所以A*B＝B*A．
因为（A*B）*C＝{x|fA*B（x） fC（x）＝﹣1}＝{x|fA（x） fB（x） fC（x）＝﹣1}，A*（B*C）＝{x|fA（x） fB*C（x）＝﹣1}＝{x|fA（x） fB（x） fC（x）＝﹣1}，
所以（A*B）*C＝A*（B*C）．
【点评】本题主要考查了集合的基本运算，考查了新定义问题，是中档题．
7.(北京市密云区2019-2020学年度第一学期期末高一数学试卷)对于正整数集合，如果任意去掉其中一个元素之后，剩余的所有元素组成的集合都能分为两个交集为空集的集合，且这两个集合的所有元素之和相等，就称集合为“可分集合”.
（1）判断集合和是否是“可分集合”（不必写过程）；
（2）求证：五个元素的集合一定不是“可分集合”；
（3）若集合是“可分集合”.
①证明：为奇数；
②求集合中元素个数的最小值.
【答案】（1）集合不是“可分集合”，集合是“可分集合”；（2）见解析；（3）①见解析；②最小值是7
【解析】
【分析】
（1）根据定义直接判断即可得到结论；
（2）不妨设，若去掉的元素为，则有①，或者②；若去掉的元素为，则有③，或者④，求解四个式子可得出矛盾，从而证明结论；
（3）①设集合所有元素之和为，由题可知，均为偶数，因此均为奇数或偶数.分类讨论为奇数和为偶数的情况，分析可得集合中元素个数为奇数；②结合（1）（2）问，依次验证当时，当时，当时集合是否为“可分集合”，从而证明结论.
【详解】（1）集合不是“可分集合”，集合是“可分集合”；
（2）不妨设，
若去掉的元素为，将集合分成两个交集为空集的子集，且两个子集元素之和相等，则有①，或者②；
若去掉的元素为，将集合分成两个交集为空集的子集，且两个子集元素之和相等，则有③，或者④.
由①、③，得，矛盾；由①、④，得，矛盾；
由②、③，得，矛盾；由②、④，得，矛盾.
因此当时，集合一定不是“可分集合”；
（3）①设集合所有元素之和.
由题可知，均为偶数，因此均为奇数或偶数.
如果为奇数，则也均为奇数，由于，所以为奇数.
如果为偶数，则均为偶数，此时设，则也是“可分集合”. 重复上述操作有限次，便可得各项均为奇数的“可分集合”. 此时各项之和也为奇数，则集合中元素个数为奇数.
综上所述，集合中元素个数为奇数.
②当时，显然任意集合不是“可分集合”.
当时，第（2）问已经证明集合不是“可分集合”.
当时，集合，因为：
3+5+7+9=11+13，1+9+13=5+7+11，9+13=1+3+7+11，1+3+5+11=7+13，
1+9+11=3+5+13，3+7+9=1+5+13，1+3+5+9=7+11，
则集合是“可分集合”.
所以集合中元素个数的最小值是7.
【点睛】本题考查新定义下的集合问题，对此类题型首先要多读几遍题，将新定义理解清楚，然后根据定义验证，证明即可，注意对问题思考的全面性，考查学生的思维迁移能力、分析能力，属于难度较高的创新题.
8.(北京市平谷区2019-2020学年高一数学上学期期末考试试题)定义：若函数的定义域为，且存在非零常数，对任意，恒成立，则称为线周期函数，为的线周期．
（1）下列函数①，②，③（其中表示不超过x的最大整数），是线周期函数的是 （直接填写序号）；
（2）若为线周期函数，其线周期为，求证：为周期函数；
（3）若为线周期函数，求的值.
【答案】（1）③；（2）见解析；（3）1
【解析】
试题分析：（1）根据新定义判断即可，
（2）根据新定义证明即可，
（3）为线周期函数，可得存在非零常数，对任意，.．即可得到，解得验证即可．
试题解析：
（1）③；
（2）证明：∵为线周期函数，其线周期为，
∴存在非零常数，对任意 ，恒成立.
∵,
∴ .
∴为周期函数.
（3）∵为线周期函数，
∴存在非零常数，对任意，.
∴．
令，得；令，得；
①②两式相加，得.
∵，∴．检验：
当时，．存非零常数，对任意，
，
∴为线周期函数，综上，.
9.(北京市首都师范大学附属中学2019-2020学年高一数学上学期期末考试试题).f（x）是定义在D上的函数，若对任何实数α∈（0，1）以及D中的任意两数x1，x2，恒有f（αx1+（1﹣α）x2）≤αf（x1）+（1﹣α）f（x2），则称f（x）为定义在D上的C函数.
（1）试判断函数f1（x）＝x2，中哪些是各自定义域上的C函数，并说明理由；
（2）若f（x）是定义域为的函数且最小正周期为T，试证明f（x）不是R上的C函数.
【答案】（1）是C函数，不是C函数，理由见解析；（2）见解析
【解析】
【分析】
（1）根据函数的新定义证明f1（x）＝x2是C函数，再举反例得到不是C函数，得到答案.
（2）假设f（x）是R上的C函数，若存在m＜n且m，n∈[0，T），使得f（m）≠f（n，讨论f（m）＜f（n）和f（m）＞f（n）两种情况得到证明.
【详解】（1）对任意实数x1，x2及α∈（0，1），有f1（αx1+（1﹣α）x2）﹣αf1（x1）﹣（1﹣α）f1（x2）＝（αx1+（1﹣α）x2）2﹣αx12﹣（1﹣α）x22
＝﹣α（1﹣α）x12﹣α（1﹣α）x22+2α（1﹣α）x1x2＝﹣α（1﹣α）（x1﹣x2）2≤0，
即f1（αx1+（1﹣α）x2）≤αf1（x1）+（1﹣α）f1（x2），
∴f1（x）＝x2是C函数；
不是C函数，
说明如下（举反例）：取x1＝﹣3，x2＝﹣1，α，
则f2（αx1+（1﹣α）x2）﹣αf2（x1）﹣（1﹣α）f2（x2）＝f2（﹣2）f2（﹣3）f2（﹣1）0，
即f2（αx1+（1﹣α）x2）＞αf2（x1）+（1﹣α）f2（x2），
∴不是C函数；
（2）假设f（x）是R上的C函数，若存在m＜n且m，n∈[0，T），使得f（m）≠f（n）.
（i）若f（m）＜f（n），
记x1＝m，x2＝m+T，α＝1，则0＜α＜1，且n＝αx1+（1﹣α）x2，
那么f（n）＝f（αx1+（1﹣α）x2）≤αf（x1）+（1﹣α）f（x2）＝αf（m）+（1﹣α）f（m+T）＝f（m），
这与f（m）＜f（n）矛盾；
（ii）若f（m）＞f（n），
记x1＝n，x2＝n﹣T，α＝1，同理也可得到矛盾；
∴f（x）在[0，T）上是常数函数，
又因为f（x）是周期为T的函数，
所以f（x）在上是常数函数，这与f（x）的最小正周期为T矛盾.
所以f（x）不是R上的C函数.
【点睛】本题考查了函数的新定义，意在考查学生的理解能力和综合应用能力.
10.(江苏省常州高级中学2019-2020学年度第一学期期末考试高一数学试题)对于函数，若存在定义域中的实数，满足且，则称函数为“类” 函数.
（1）试判断，是否是“类” 函数，并说明理由；
（2）若函数，，为“类” 函数，求的最小值.
【答案】（1）不是.见解析（2）最小值为7.
【解析】
【分析】
（1）不是，假设为类函数，得到或者，代入验证不成立.
（2），得到函数的单调区间，根据题意得到
，得到，得到答案.
【详解】（1）不是.
假设为类函数，则存在，使得，
则，或者，，
由，
当，时，有，，
所以，可得，不成立；
当，时，有，，
所以，不成立，
所以不为类函数.
（2），则在单调递减，在单调递增，
又因为是类函数，
所以存在，满足，
由等式可得：，则，
所以，
则，所以得，
从而有，则有，即，
所以，则，
由，则，
令，当时，，且，，且连续不断，由零点存在性定理可得存在，
使得，此时，因此的最小值为7.
【点睛】本题考查了函数的新定义问题，意在考查学生对于函数的理解能力和应用能力.
11.(江苏省南通市如东县2019-2020学年高一数学上学期期末考试试题)如果函数在定义域的某个区间上的值域恰为，则称函数为上的等域函数，称为函数的一个等域区间．
（1）若函数，，则函数存在等域区间吗？若存在，试写出其一个等域区间，若不存在，说明理由
（2）已知函数，其中且，，．
（ⅰ）当时，若函数是上的等域函数，求的解析式；
（ⅱ）证明：当，时，函数不存在等域区间．
【答案】（1）；见解析（2）（ⅰ）（ⅱ）见解析
【解析】
【分析】
（1）由题意，分析等域区间定义，写出函数的等域区间；
（2）（ⅰ）当时，分析函数单调性，分类讨论等域区间，即可求解；
（ⅱ）由题意，根据，，判断函数为减函数，再由反证法，假设函数存在等域区间，推导出矛盾，即可证明不存在等域区间.
【详解】解：（1）函数存在等域区间，如；
（2）已知函数，其中且，，D
（ⅰ）当时，
若函数是上的等域函数，
当时，为增函数，
则得，此时．
当时，为减函数，
则，得，不满足条件．
即．
（ⅱ）证明：当，时，，即，
则为减函数，
假设函数存等域区间，
则，
两式作差，
即，
，，，，，
则，
等式不成立，即函数不存在等域区间．
【点睛】本题考查（1）函数新定义概念辨析（2）函数单调性、最值问题分析；考察计算能力，考查分析问题的能力，探究问题本质为单调性对值域的分析，综合性较强，属于难题.
12．(2015-2016学年江苏省无锡市天一中学高一上学期期末数学试卷)对于定义在R上的函数f（x），定义同时满足下列三个条件的函数为“Z函数”：
①对任意x∈（﹣∞，a]，都有f（x）=C1；
②对任意x∈[b，+∞），都有f（x）=C2；
③对任意x∈（a，b），都有（f（x）﹣C1）（f（x）﹣C2）＜0．（其中a＜b，C1，C2为常数）
（1）判断函数f1（x）=|x﹣1|﹣|x﹣3|+1和f2（x）=x﹣|x﹣2|是否为R上的“Z函数”？
（2）已知函数g（x）=|x﹣2|﹣，是否存在实数m，使得g（x）为R上的“Z函数”？若存在，求实数m的值；否则，请说明理由；
（3）设f（x）是（1）中的“Z函数”，令h（x）=|f（x）|，若h（2a2+a）=h（4a），求实数a的取值范围．
【分析】（1）根据“Z函数”的定义，结合分段函数的性质作出图象进行判断即可．
（2）结合“Z函数”的定义以及根式的性质利用配方法进行判断求解．
（3）求出h（x）的解析式以及作出函数h（x）的图象，讨论变量的取值范围解方程即可．
【解答】解：（1）f1（x）=|x﹣1|﹣|x﹣3|+1=，
作出函数f1（x）的图象如图：
当x≤1时，f（x）=﹣1，当x≥3时，f（x）=3，
当1＜x＜3时，﹣1＜f（x）＜3恒成立，
故f1（x）=|x﹣1|﹣|x﹣3|+1是R上的“Z函数”，
f2（x）=x﹣|x﹣2|=，
则当x≤2时，函数f（x）不是常数，不满足条件．②，故f2（x）=x﹣|x﹣2|不是否为R上的“Z函数”．
（2）若g（x）=|x﹣2|﹣是R上的“Z函数”，则满足g（x）=|x﹣2|﹣|x+a|的形式，
若=|x+a|，则平方得mx+4=2ax+a2，即或，
当时，g（x）=|x﹣2|﹣|x﹣2|=0，不满足条件③，故此时g（x）不是“Z函数”，
当时，g（x）=|x﹣2|﹣|x+2|=，满足条件①②③，故此时g（x）是“Z函数”，
故当m=4时，g（x）为R上的“Z函数”．
（3）设f（x）是（1）中的“Z函数”，则f（x）=|x﹣1|﹣|x﹣3|+1=，
则h（x）=|f（x）|=，对应的图象如图：
若h（2a2+a）=h（4a），
则①，即，即﹣1≤a≤时，h（2a2+a）=h（4a）=1，
②得即a≥1时，h（2a2+a）=h（4a）=3，
③或，此时h（2a2+a）=h（4a）=1，
即或，即a=或a=．
④2a2+a=4a，即2a2=3a，得a=0或a=，当a=时，
⑤2a2+a=﹣4a，即2a2=﹣5a，得a=0或a=﹣，
综上﹣1≤a≤或a≥1或=或a=．
13.（上海市格致中学2019-2020学年高一数学上学期期末考试试题）已知函数的定义域为区间，若对于内任意，都有成立，则称函数是区间的“函数”.
（1）判断函数（）是否是“函数”？说明理由；
（2）已知，求证：函数（）是“函数”；
（3）设函数是,（）上的“函数”，，且存在使得，试探讨函数在区间上零点个数，并用图象作出简要的说明（结果不需要证明）.
【答案】（1），理由见解析；（2）证明见解析；（3）0、1或2个，图象见解析.
【解析】
【分析】
(1)由题意直接判断即可； (2)由题意直接判断即可； (3)举例即可得出结论．
【详解】(1)是，理由如下：
任取，且，
则成立，
故函数是“函数”.
(2)证明：事实上，任取，且，
则成立，即得证；
(3)函数在上的零点个数可以为0、1或2个.
例如，是函数，如图，
其零点个数为0；
是函数，如图，
其零点个数为1；
是函数，如图，
其零点个数为2；
函数不可能有个零点，假设均是零点，且，
则由可知，势必上恒大于，从而导致矛盾.
【点睛】本题以新定义为载体，旨在考查学生对函数性质的运用以及逻辑推理能力，属于中档题．
14.对于函数，若在定义域内存在实数，满足，称为“局部奇函数”.
（1）已知函数，试判断是不是定义域上的“局部奇函数”，若是，求出所有满足的的值，若不是，请说明理由；
（2）若函数是定义域为R上的“局部奇函数”，求实数m取值范围；
（3）类比“局部奇函数”，写出“局部偶函数”的定义，并由此判断函数是这两种函数吗？说明理由.
【详解】（1）由题：，
（2）由题：，使有解
令，
在上有解
∴
（3）局部奇：：
局部偶：：
若为局部偶：设，则，
∴
,
∴为局部偶函数
若为局部奇函数，则，
当，则，则
， ， （舍）
当，则
当，则
∴不是局部奇函数
综上：为局部偶函数
15.（江苏省扬州中学2017-2018学年高一数学第一学期期中考试）对于函数，若在定义域内存在实数，满足，则称为“局部奇函数”．
（1）已知二次函数,试判断是否为“局部奇函数”？并说明理由;
（2）若是定义在区间上的“局部奇函数”，求实数的取值范围；
（3）若为定义域上的“局部奇函数”，求实数的取值范围．
16.（江苏省扬州中学2018-2019学年高一数学第一学期期中考试）
对函数，若存在且，使得（其中A，B为常数），则称为“可分解函数”。
（1）试判断是否为“可分解函数”，若是，求出A，B的值；若不是，说明理由；
（2）若是“可分解函数”，则求a的取值范围，并写出A，B关于a的相应的表达式。
解答：（1）因为，所以A= -1，B=1
（2）因为是“可分解函数”，所以
==
所以有两个不同的实根，所以
解得：或
此时方程有两个不同的实根为，
且<代入解得
17.（江苏省扬州中学2018-2019学年高一数学第一学期期中考试）已知M是满足下列性质的所有函数组成的集合：对任何（其中为函数的定义域），均有成立.
（1）已知函数，，判断与集合M的关系，并说明理由；
（2）是否存在实数a，使得，属于集合M？若存在，求a的取值范围，若不存在，请说明理由；
（3）对于实数a、b，用表示集合M中定义域为区间的函数的集合，定义：已知是定义在上的函数，如果存在常数，对区间的任意划分：，和式恒成立，则称为上的“绝对差有界函数”，其中常数T称为的“绝对差上界”，T的最小值称为的“绝对差上确界”，符号；求证：集合中的函数是“绝对差有界函数”，并求的“绝对差上确界”.
【详解】解：事实上，任取x1,x2 [-,]，=|x1+x2||x1-x2|
由-≤x1≤，-≤x2≤，∴-1≤x1+x2≤1
则0≤|x1+x2|≤1，∴|x1+x2||x1-x2|≤|x1-x2|，
即|f(x1)-f(x2)|≤|x1-x2|成立，f(x)属于集合M。
2. 若p(x) M，则|p(x1)-p(x2)|≤|x1-x2|对任意x1,x2 [-1,+∞)都成立。
即|-|≤|x1-x2|，∴a≤|(x1+2)(x2+2)|，
∵x1,x2 [-1,+∞)，
∴|(x1+2)(x2+2)|≥1，∴|a|≤1，-1≤a≤1，
当a [-1,1]时，p(x) M；当a (-∞,-1)∪(1,+∞)时，p(x)不属于M。
3. 取p=-1009，q=1009，则对区间[-1009,1009]的任意划分：
和式|h(xi)-h(xi-1)|
≤|xn-xn-1|+|xn-1-xn-2|+…+|x1-x0|
=xn-x0
=1009-（-1009）
=2018
=T。
集合M[-1009,1009]中的函数h(x)是“绝对差有界函数”，h(x)的“绝对差上确界”T=2018。
18.（北京市清华附中将台路校区2019-2020学年高一数学上学期期中试题）已知函数的定义域为，若存在区间，使得称区间为函数的“和谐区间”.
（1）请直接写出函数的所有的“和谐区间”；
（2）若为函数的一个“和谐区间”，求的值；
（3）求函数的所有的“和谐区间”.
【答案】（1）函数的所有“和谐区间”为；（2）2；
（3）的所有“和谐区间”为和
【解析】
分析】
(1)根据三次函数的图像与“和谐区间”的定义观察写出即可.
(2)画图分析的图像性质即可.
(3)画出图像,并根据“和谐区间”的定义利用函数分析即可.
【详解】(1)函数的定义域为R,由题意令则,
∴函数的所有“和谐区间”为；
(2) 为函数的一个“和谐区间”,
令,解得,
画出图形,如图(1)所示,
由题意知时满足题意,
∴m的值为2；
(3)函数,定义域为R,
令,解得,
画出函数f(x)的图象如图(2)所示,
则f(x)的所有“和谐区间”为和 ．
【点睛】本题主要考查新定义的题型,需要理解新定义的函数的意义,再数形结合求解即可.属于中等题型.
19.（北京师范大学附属实验中学2019-2020学年高一上学期期中考试数学试题）如果定义在[0，1]上的函数f（x）同时满足：①f（x）≥0；②f（1）=1③若x1≥0，x2≥0且x1+x2≤1，则f（x1+x2）≥f（x1）+f（x2）成立．那么就称函数f（x）为“梦幻函数”．
（1）分别判断函数f（x）=x与g（x）=2x，x∈[0，1]是否为“梦幻函数”，并说明理由；
（2）若函数f（x）为“梦幻函数”，求函数f（x）的最小值和最大值；
【答案】（1）f（x）=x是“梦幻函数”，g（x）=2x不是“梦幻函数”；理由见解析； （2）最小值是0，最大值是1
【解析】
【分析】
（1）根据f（x）的解析式，依次判断对于三个条件是否成立，只要一个不满足就不是“梦幻函数”，进而求解；
（2）根据“梦幻函数”的定义，利用条件③可以证明f（x）的单调性，进而求解；
【详解】（1）①显然，在[0，1]上满足f（x）=x≥0，g（x）=2x≥0；
②f（1）=1，g（1）=2；
③若x1≥0，x2≥0且x1+x2≤1，则f（x1+x2）-[f（x1）+f（x2）]=x1+x2-[x1+x2]=0，即f（x1+x2）≥f（x1）+f（x2）成立；
∴f（x）=x是“梦幻函数”，g（x）=2x不是“梦幻函数”；
（2）设x1，x2∈[0，1]，x1＜x2，则x2-x1∈（0，1]，∴f（x1）-f（x2）=f（x1）-f（x2-x1+x1）≤f（x1）-[f（x1）+f（x2-x1）]=-f（x2-x1）≤0，
∴f（x1）≤f（x2），∴f（x）在[0，1]单调递增，
令x1=x2=0，∵x1≥0，x2≥0且x1+x2≤1，则f（x1+x2）≥f（x1）+f（x2）成立，
∴0≥2f（0），又f（x）≥0，
∴f（0）=0，∴当x=0时，f（x）取最小值f（0）=0，当x=1时，f（x）取最大值f（1）=1．
【点睛】属于信息题，考查接受新知识、理解新知识、运用新知识的能力，函数的单调性、最值，属于中档题；
20.（北京师范大学附属实验中学2019-2020学年高一上学期期中考试数学试题）设函数f（x）的定义域为R，如果存在函数g（x），使得f（x）≥g（x）对于一切实数x都成立，那么称g（x）为函数f（x）的一个承托函数．已知函数f（x）=ax2+bx+c的图象经过点（-1，0）．
（1）若a=1，b=2．写出函数f（x）的一个承托函数（结论不要求证明）；
（2）判断是否存在常数a，b，c，使得y=x为函数f（x）的一个承托函数，且f（x）为函数的一个承托函数？若存在，求出a，b，c的值；若不存在，说明理由．
【答案】（1）g（x）=x （2）存在，a=c=，b=．
【解析】
【分析】
（1）由题意可得c=1，进而得到f（x），可取g（x）=x；
（2）假设存在常数a，b，c满足题意，令x=1，可得a+b+c=1，再由二次不等式恒成立问题解法，运用判别式小于等于0，化简整理，即可判断存在．
【详解】（1）函数f（x）=ax2+bx+c的图象经过点（-1，0），
可得a-b+c=0，又a=1，b=2，
则f（x）=x2+2x+1，
由新定义可得g（x）=x为函数f（x）的一个承托函数；
（2）假设存在常数a，b，c，使得y=x为函数f（x）的一个承托函数，
且f（x）为函数一个承托函数．
即有x≤ax2+bx+c≤x2+恒成立，
令x=1可得1≤a+b+c≤1，即为a+b+c=1，
即1-b=a+c，
又ax2+（b-1）x+c≥0恒成立，可得a＞0，且（b-1）2-4ac≤0，
即为（a+c）2-4ac≤0，即有a=c；
又（a-）x2+bx+c-≤0恒成立，
可得a＜，且b2-4（a-）（c-）≤0，
即有（1-2a）2-4（a-）2≤0恒成立．
故存在常数a，b，c，且0＜a=c＜，b=1-2a，
可取a=c=，b=．满足题意．
【点睛】本题考查新定义的理解和运用，考查不等式恒成立问题的解法，注意运用赋值法和判别式法，考查运算能力，属于中档题．
21.（江苏省常州市“教学研究合作联盟”2019-2020学年高一数学上学期期中试题）对于定义域为D的函数，如果存在区间，同时满足：①在内是单调函数；②当定义域是时，的值域也是，则称是该函数的“优美区间”.
（1）求证：是函数的一个“优美区间”.
（2）求证：函数不存在“优美区间”.
（3）已知函数（）有“优美区间”，当a变化时，求出的最大值.
【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）
【解析】
分析】
（1）结合“优美区间”的定义,可证明结论;
（2）若函数存在“优美区间”,可得函数在上单调递减,从而可得,联立可推出矛盾,即可证明结论;
（3）函数有“优美区间”,结合单调性可得,联立可求得的关系,进而可求得的最大值.
【详解】（1）在区间上单调递增,
又,,∴的值域为,
∴区间是的一个“优美区间”.
（2）设是已知函数的定义域的子集.
由,可得或,
∴函数在上单调递减.
若是已知函数的“优美区间”,则,
两式相减得,,则,
,
则,显然等式不成立,
∴函数不存在“优美区间”.
（3）设是已知函数定义域的子集.
由,则或,
而函数在上单调递增.
若是已知函数的“优美区间”,则,
∴是方程，即的两个同号且不等的实数根.
,∴同号,只须,
解得或,
,
∴当时,取得最大值.
【点睛】本题考查了新定义,利用函数单调性是解决本题的关键,考查了学生的逻辑推理能力与计算求解能力,属于难题.
22.（江苏省高邮市2020-2021学年高一数学上学期期中调研试题）对于定义域为的函数，如果存在区间，同时满足下列条件：
① 函数在区间上是单调的；
② 当定义域是时，的值域也是.
则称是函数的一个“和谐区间”.
（1）写出函数的一个“和谐区间”（不需要解答过程）；
（2）证明：函数不存在“和谐区间”；
（3）已知：函数有“和谐区间”，当变化时，求出的最大值.
解：（1）
（2）设是已知函数定义域的子集．
，或，故函数在上单调递增．
若是已知函数的“和谐区间”，则，故m、n是方程的同号的相异实数根．
无实数根，所以函数不存在“和谐区间”．
（3）设是已知函数定义域的子集．
，或，
故函数在上单调递增．
若是已知函数的“和谐区间”，则，故m、n是方程，
即的同号的相异实数根．
，
，n同号，只须，
即或，
已知函数有“和谐区间”，
，
所以，当时，取最大值．
23.（江苏省南通市海安高级中学2019-2020学年高一数学上学期期中试题）定义域为的奇函数同时满足下列三个条件：①对任意的，都有；②；③对任意、且，都有成立，其中.
（1）求的值；
（2）求的值.
【答案】（1）；（2）.
【解析】
【分析】
（1）根据给出条件知，，，结合条件③，可求出，同理构造出等量关系，直到能够得出关于的方程，解得的值即可；
（2）根据①对任意的，都有，得出函数的周期为，再利用（1）得出的结论及条件③②，求出结果即可．
【详解】（1）函数是定义在上的奇函数，，
又，对任意、且，都有成立，其中.
，，
同理可得，，
，，
，，
，即.
又，；
（2），，
所以，函数是以为周期的周期函数.
，
由（1）可知，，，
，
，
，，
，
.
【点睛】本题考查了抽象函数求值问题，要根据给出条件合理构造方程求解，属于中档题．
24.（山东省泰安肥城市2020-2021学年高一数学上学期期中试题）对于函数，若存在，使成立，则称为的不动点．
如果二次函数为常数有两个不动点．
（1）若，，的图象关于直线对称，求证：； （2）若，，在区间上的最大值、最小值分别是，记，求的最小值.
解：（1）证明：由，知. ………………………………………………1分
，且，，
，即， …………………………………………2分
于是
. ………………………………………………4分
又∵，∴，
于是有. ……………5分
∴. …………………………………………………………………………6分
（2）由题意，知方程有两个相等的实根为1，
所以，即，
所以， …………………………………………………8分
其图象的对称轴为直线.
又，所以，
所以在区间上，，即，
，即，
所以. ………………………………………………10分
令，且，则
所以在上单调递增， …………………………………………………………11分
所以.……………………………………………………………………12分
25.（江苏省盐城市盐城中学2019-2020学年高一数学上学期12月月考试题）若函数在其定义域内给定区间上存在实数.满足，则称函数是区间上的“平均值函数”，是它的一个均值点.
（1）判断函数是否是区间上的“平均值函数”，并说明理由
（2）若函数是区间上的“平均值函数”，求实数的取值范围.
（3）设函数是区间上的“平均值函数”，1是函数的一个均值点，求所有满足条件实数对.
【答案】（1）是区间上的“平均值函数”，理由见解析；（2）；（3）或
【解析】
【分析】
（1）根据条件可知，故满足；
（2）由条件可知，
则有，解出，再结合范围可求出范围；
（3）根据条件表示出（1），化简整理可得，结合的范围可求出的范围．
【详解】（1）由题意可知，存在成立，
则是区间上的“平均值函数”；
（2）由题意知存在，，知，即，
则，因为，所以，
而在有解，不妨令，
解得或，则，解得；
（3）由题意，则，且，
由题意可知，即，所以，
因为，所以，则，又因为，则，或，则当时，；当时，成立，
所以或是满足条件的实数对.
【点睛】本题是新定义问题，根据条件逐一进行判断即可，属于中档题．
26.（）2007-2008学年度湖南省师大附中高三年级第四次月考（理）节选）如果函数在区间D上有定义，且对任意
，则称函数为区间D上的“凹函数”，
（Ⅰ）已知是否是“凹函数”，若是，请给出证明；若不是，请说明理由；
（Ⅱ）对于（Ⅰ）中的函数有下列性质：“若使得
”成立，利用这个性质证明唯一.
【答案】
解：（Ⅰ）函数是凹函数，证明如下：
设 则
∵
∴1+
∴是凹函数.
（Ⅱ）证明：假设存在
…………①
…………②
①－②得，
∵
∵，
∴上的单调增函数.
∴矛盾，即是唯一的.
272（） 2727（江西省南昌市第二中学2019_2020学年高一数学上学期期中试题试卷）对于函数，，，如果存在实数，，使得，那么称为与的生成函数．
（Ⅰ）当，时，是否存在奇函数，偶函数，使得为与的生成函数？若存在，请求出与的解析式，若不存在，请说明理由；
（Ⅱ）设函数，，，，生成函数，若函数有唯一的零点，求实数的取值范围。
【答案】
解：（Ⅰ）依题意可知，--------------------------①
将代替得，，
因为是奇函数，是偶函数，所以有，--------------------------②
由①、②可得，，；
（Ⅱ）依题意可得，，
令，可得，即（或），
令（或），
结合图像可知，
当时，的图像与直线只有一个交点，
所以，实数的取值范围为。
28.（2013-2014学年四川省乐山市一中高一数学上学期半期考试试题试卷）对定义在上，并且同时满足以下两个条件的函数称为函数。
① 对任意的，总有；
② 当时，总有成立。
已知函数与是定义在上的函数。
（1）试问函数是否为函数？并说明理由；
（2）若函数是函数，求实数的值；
（3）在（2）的条件下，讨论方程解的个数情况。
【知识点】基本初等函数I
【答案】
29.（2013-2014学年四川省资阳市高一数学上学期期末质量检测试题试卷）利用自然对数的底数(…)构建三个基本初等函数. 探究发现，它们具有以下结论：三个函数的图像形成的图形（如图）具有“对称美”；图形中阴影区的面积为1等.
是函数图像的交点.
（Ⅰ）根据图形回答下列问题：①写出图形的一条对称轴方程；②说出阴影区的面积；
③写出的坐标.
（Ⅱ）设，证明：对任意的正实数，都有.
【答案】
解：（1）∵（）的图像是反比例函数（）的图像位于第
一象限内的一支，
∴（）的图像关于直线对称.
又，互为反函数，它们的图像关于直线互相
对称，从而可知：
①三个函数的图像形成的图形的一条对称轴方程为.
②阴影区、关于直线对称，故阴影区的面积为.
③.
（2），
，

.（*）
∵，
∴，即.
从而可知（*），即对任意的正实数都成立.
30.（宿迁市2020—2021学年度第一学期高一数学期末考试）定义：设函数的定义域为D，若存在实数m，M，对任意的实数，有，
则称函数为有上界函数，M是的一个上界；若，则称函数为有下界函数，m是的一个下界；若，则称函数为有界函数；若函数有上界或有下界，则称函数具有有界性．
（1）判断下列函数是否具有有界性：①；②；③；
（2）已知函数定义域为，若M为函数的上界，求的取值范围；
（3）若函数定义域为，m是函数的下界，求m的最大值.
（本题满分12分）
解：（1）因为对任意x∈R，恒成立，所以函数①是有上界函数；因为对任意x∈R，恒成立，所以函数②是有下界函数；因为函数值域为R，不存在m使得恒成立，也不存在M使得恒成立，所以函数③不具有有界性. ………………2分
（2）设，因为所以，则恒成立，
即，所以M≥3；………………5分
（3）设，则，设,
因为，所以，
①当即时，，此时；……7分
②当即时，任取且，则
，
所以函数单调递增，………………9分（单调性不证明扣2分）
则，则；………………10分
③当即时，可证函数单调递减，
则，则；
综上所述，………………12分
31.（苏州市2020-2021学年第一学期高一数学阳光指标调研卷）
32.(北京市房山区2020-2021学年高一数学上学期期末检测试题)设函数的定义域为，若存在正实数，使得对于任意，有，且
，则称是上的“距增函数”．
（Ⅰ）判断函数是否为上的“距增函数”？说明理由；
（Ⅱ）写出一个的值，使得是区间上的“距增函数”；
（Ⅲ）已知函数是定义在上的奇函数，且当时，．若为上的
“距增函数”，求的取值范围．
解：
（Ⅰ）函数是上的“距增函数”
任意，有，且
所以，
因此是上的“距增函数”．
（Ⅱ）（答案不唯一，不小于即可）
（Ⅲ）
因为为上的“距增函数”，
i)当时，由定义恒成立
即恒成立，
由绝对值几何意义可得，
ii)当时，分两种情况：
当时，由定义恒成立
即恒成立，由绝对值几何意义可得，
当时，由定义恒成立
即恒成立
当时，显然成立
当时，可得
综上，的取值范围为．
32.（江苏省泰州中学2019 2020第一学期第二次月度检测高一数学试卷）若定义在R上的函数，其图象是连续不断的，且存在常数使得对任意实数x都成立，则称函数是一个“特征函数”，则下列结论中正确命题为（▲）
A.函数是常数函数中唯一的“特征函数”
B.函数不是“特征函数”
C. “特征函数”至少有一个零点
D.是一个“特征函数”
33..(2011·天津卷) 对实数a和b，定义运算“ ”；a b＝设函数f(x)＝(x2－2) (x－1)，x∈R.若函数y＝f(x)－c的图象与x轴恰有两个公共点，则实数c的取值范围是(　　)
A．(－1,1]∪(2，＋∞) B．(－2，－1]∪(1,2]
C．(－∞，－2)∪(1,2] D．[－2，－1]
则f(x)的图象如图，
∵函数y＝f(x)－c的图象与x轴恰有两个公共点，
∴函数y＝f(x)与y＝c的图象有两个交点，由图象可得－234.(山东省青岛市2012届高三期末检测)在平面直角坐标系中，横坐标、纵坐标均为整数的点称为整点，如果函数的图象恰好通过个整点，则称函数为阶整点函数.有下列函数
① ② ③ ④，
其中是一阶整点函数的是
A．①②③④ B．①③④ C．④ D．①④
【答案】D　
0 当x∈[ 1，1] 时
ln|x| 当x∈( ∞ 1)∪(1，+∞) 时
35..设函数f（x）的定义域为R，若存在常数M＞0，使|f（x）|≤M|x|对一切实数x均成立，则称f（x）为“倍约束函数”．现给出下列函数：
①f（x）=2x； ②f（x）=sinx+cosx；
③f（x）是定义在实数集R上的奇函数，且对一切x1，x2均有|f（x1）-f（x2）|≤2|x1-x2|；
④f(x)＝
其中是“倍约束函数”的有（　C　）
一个 B.二个 C.三个 D.四个
36.设函数的定义域为R,若存在常数M>0，使对 一切实数x均成 立，则称为“倍约束函数”，现给出下列函数：①：②：③；④ ⑤是定义在实数集R上的奇函数，且对一切均有,其中是“倍约束函数”的有( C )
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
37.若函数f（x）满足：存在非零常数a，使f（x）=-f（2a-x），则称f（x）为“准奇函数”，下列函数中是“准奇函数”的是（　B　）
A．f（x）=x2 B．f（x）=（x-1）3 C．f（x）=ex-1 D．f（x）=x3
38.(多选)若对函数f（x）满足：存在常数a，b，使得对定义域内的任意x值，均有f（x）+f（2a-x）=2b，则称f（x）为“准奇函数”，下列函数中是“准奇函数”的是（　ACD　）
A．f（x）=x B．f（x）=lnx C． D．f(x)=sinx
39.(多选)若函数f(x)在区间M上满足，则称f(x)为M上的“a变函数”。对于a变函数f(x)，若f(x)≦g(t)有解，则称满足条件的t值为“a变函数f(x)的衍生解”.已知f(x)为（-∞，-2】上的“4变函数”，且当x∈【-2，0）时，，。当x∈【-4，-2）时，则下列那些时4变函数f（x）的衍生解（BC）
A.(0,1) B.【-2，0） C.【1，+∞） D.（-∞，-2】
40.(多选)一般地，若函数的定义域为，值域为，则称为的“倍跟随区间”；若函数的定义域为，值域也为，则称为的“跟随区间”.下列结论正确的是（ ）
A．若为的跟随区间，则
B．函数存在跟随区间
C．若函数存在跟随区间，则
D．二次函数存在“3倍跟随区间”
【答案】
ABCD
【详解】
对A, 若为的跟随区间,因为在区间为增函数,故其值域为,根据题意有,解得或,因为故.故A正确；
对B,因为函数在区间与上均为减函数,故若存在跟随区间则有,解得：.
故存在, B正确.
对C, 若函数存在跟随区间,因为为减函数,故由跟随区间的定义可知,
即,因为,所以.
易得.
所以,令代入化简可得,同理也满足,即在区间上有两根不相等的实数根.
故,解得,故C正确.
对D,若存在“3倍跟随区间”,则可设定义域为,值域为.当时,易得在区间上单调递增,此时易得为方程的两根,求解得或.故存在定义域,使得值域为.
故D正确.
故选：ABCD.
【点睛】
本题主要考查了函数新定义的问题,需要根据题意结合函数的性质分析函数的单调性与取最大值时的自变量值,并根据函数的解析式列式求解.属于难题.
41.在平面直角坐标系中，横坐标、纵坐标均为整数的点称为整点．如果函数f（x）的图象恰好通过k（k∈N*）个整点，则称f（x）为k阶整点函数．给出下列函数：
①f（x）=cosx；②f（x）=π（x-1）2；③；④f（x）=log0.6（x+1）．
其中是1阶整点函数的序号有_①②④_____．（写出所有满足条件的函数的序号）
42.若对于定义在R上的函数，其函数图象是连续不断，且存在常数（），使得对任意的实数x成立，则称是伴随函数. 有下列关于伴随函数的结论：
①是常数函数中唯一一个伴随函数；
②是一个伴随函数；
③伴随函数至少有一个零点.
其中不正确的结论的序号是___①_②_____________.（写出所有不正确结论的序号）
43.函数的定义域为，若对任意的，当时，都有，则称在上为非减函数. 设在上为 非减函数，且满足：①;②；③.则：（ⅰ）_____；（ⅱ）_______.
【答案】 (1). (2).
【解析】
【分析】
在③中，令，则可求出，在②中，令，则可求出．在②③中，再分别令，可求出，函数在，上为非减函数，可得，进而求出的值．
【详解】解：由③，令，则，又，．
由②令，则，．
在③中，令，则，解得，
在②中，令，则；再令，则．
，且函数在上为非减函数，
，．
故答案为：；
44.（山东省潍坊市、枣庄市2019-2020学年高一上学期期中考试双市组合数学试卷）若函数同时满足：①对于定义域上的任意，恒有；②对于定义域上的任意，当时，恒有，则称函数为“理想函数”．给出下列四个函数中：① ； ②； ③；④ ，能被称为“理想函数”的有_____（请将所有正确命题的序号都填上）．
【答案】
④
【详解】
条件①说明“理想”函数为奇函数；②说明“理想”函数为减函数．
函数①为对勾函数，此函数是奇函数，但在整个定义域内不是减函数，故不选①；
函数②是奇函数，但在整个定义域内是增函数，故不选②；
函数③，，函数为奇函数，在定义域内为增函数，故不选③；
函数④，画出图象，可知f（x）为奇函数，且为减函数；
故答案为：④
【点睛】
本题考查了函数的新定义问题，将新定义转化为奇函数和减函数是解题的关键.
4543. （山东省临沂市2017届高三数学二模试卷理）定义：如果函数y=f（x）在定义域内给定区间上存在x0（a＜x0＜b），满足f（x0）=，则称函数y=f（x）是上的“平均值函数”，x0而是它的一个均值点．
例如y=|x|是上的“平均值函数”，0就是它的均值点．给出以下命题：
①函数f（x）=sinx﹣1是上的“平均值函数”；
②若y=f（x）是上的“平均值函数”，则它的均值点x0≤；
③若函数f（x）=x2+mx﹣1是上的“平均值函数”，则实数m∈（﹣2，0）；
④若f（x）=lnx是区间（b＞a≥1）上的“平均值函数”，x0是它的一个均值点，则lnx0＜．
其中的真命题有　　（写出所有真命题的序号）．
【答案】
　①③④　
【解答】解：①∵=0，而f（）=0，
∴f（x）=sinx﹣1是上的“平均值函数”，故①正确；
②若f（x）=0，则=0，显然（a，b）上的任意1个数都是f（x）的均值点，故②错误；
③若函数f（x）=x2+mx﹣1是上的“平均值函数”，
则区间（﹣1，1）上存在x0使得f（x0）==m，
即x02+mx0﹣1=m，∴m==﹣x0﹣1，
∵x0∈（﹣1，1），∴m∈（﹣2，0）．故③正确；
④若f（x）=lnx是区间（b＞a≥1）上的“平均值函数”，x0是它的一个均值点，
∴lnx0==，则lnx0﹣=﹣．
令=t，则b=at2（t＞1），
∴﹣=﹣=（）=（2lnt﹣t+），
令g（t）=2lnt﹣t+，则g′（t）===＜0，
∴g（t）在（1，+∞）上是减函数，
∴g（t）＜g（1）=0，
∴﹣＜0，即lnx0＜，故④正确．
故答案为：①③④．
46.(江苏省常州市2020届高三数学上学期期末考试试题)设为正整数，若两个项数都不小于的数列，满足：存在正数，当且时，都有，则称数列，是“接近的”.已知无穷等比数列满足，无穷数列的前项和为，，且，.
（1）求数列通项公式；
（2）求证：对任意正整数，数列，是“接近的”；
（3）给定正整数，数列，（其中）是“接近的”，求的最小值，并求出此时的（均用表示）.（参考数据：）
【答案】（1）（2）证明见解析（3）的最小值，此时
【解析】
【分析】
（1）设等比数列公比为，由，可求得首项和公比，进而求得通项；
（2）只需证明成立，即可得证；
（3）由题设可求得，根据定义进而得到对都成立，再构造函数求解即可．
【详解】（1）设等比数列公比为，由得，解得，故.
（2）.
对任意正整数，当，且时，有，
则，即成立，
故对任意正整数，数列，是“接近的”.
（3）由，得到，且，
从而，于是.
当时，，，解得，
当时，，又，
整理得，所以，因此数列为等差数列.
又因为，，则数列的公差为1，故.
根据条件，对于给定正整数，当且时，都有
成立，
即①对都成立.
考察函数，，令，
则，当时，，所以在上是增函数.
又因为，所以当时，，即，
所以在上是增函数.
注意到，，，，
故当时，的最大值为，
的最小值为.
欲使满足①的实数存在，必有，即，
因此的最小值，此时.
【点睛】本题考查数列与函数的综合运用，考查根据递推关系求数列通项及利用导数研究函数的单调性及最值，考查逻辑推理能力及运算能力，属于难题．
47.(江苏省扬州市2020届高三数学上学期期末考试试题)对于项数为m（且）的有穷正整数数列，记，即为中的最小值，设由组成的数列称为的“新型数列”.
（1）若数列为2019，2020，2019，2018，2017，请写出的“新型数列”的所有项；
（2）若数列满足，且其对应的“新型数列”项数，求的所有项的和；
（3）若数列的各项互不相等且所有项的和等于所有项的积，求符合条件的及其对应的“新型数列”.
【答案】（1）数列为2019，2019，2019，2018，2017（2）（3）满足题意的数列：.所以对应的“新型数列”分别为：.
【解析】
【分析】
(1)根据的定义直接写出的所有项；(2)首先推出关于n递减，则中共21项且各项分别与中各项相同，相加利用等比数列的前n项和公式即可得解.(3)先不妨设数列单调递增，分、、三种情况讨论，求出满足题意的数列，进而求得对应的“新型数列”.
【详解】解：（1）数列为2019，2019，2019，2018，2017；
（2）由已知得：当时，关于n递减；当时，关于n递减，
又时，关于n递减.
，.
又，.
共21项且各项分别与中各项相同，
其和为
.
（3）先不妨设数列单调递增，
当时，，，
，此时无解，不满足题意；
当时，由得
，
，又，，代入原式得.
当时，，
而，矛盾，
所以不存在满足题意的数列.
综上，满足题意的数列：.
所以对应的“新型数列”分别为：.
【点睛】本题考查数列创新题，涉及等比数列的前n项和，数列的单调性，理解题意是解题的关键，属于中档题.
48.(江苏省苏州市2019届高三数学上学期期末考试试题)(本小题满分16分)
定义：对于任意n∈N*，xn＋xn＋2－xn＋1仍为数列{xn}中的项，则称数列{xn}为“回归数列”.
(1) 已知an＝2n(n∈N*)，判断数列{an}是否为“回归数列”，并说明理由；
(2) 若数列{bn}为“回归数列”，b3＝3，b9＝9，且对于任意n∈N*，均有bn①求数列{bn}的通项公式；
②求所有的正整数s，t，使得等式＝bt成立.
20. 解：(1) 假设数列{an}是“回归数列”，
则对任意n∈N*，总存在k∈N*，使an＋an＋2－an＋1＝ak成立，
即2n＋4·2n－2·2n＝2k，即3·2n＝2k，(2分)
此时等式左边为奇数，右边为偶数，不成立，所以假设不成立，
所以数列{an}不是“回归数列”.(4分)
(2) ① 因为bn所以bn＋bn＋2－bn＋1>bn且bn＋bn＋2－bn＋1＝bn＋2－(bn＋1－bn)又数列{bn}为“回归数列”，所以bn＋bn＋2－bn＋1＝bn＋1，
即bn＋bn＋2＝2bn＋1，所以数列{bn}为等差数列.(6分)
因为b3＝3，b9＝9，所以bn＝n(n∈N*).(8分)
②因为＝bt，所以t＝　(*).
因为t－3＝≤0，所以t≤3.
又t∈N*，所以t＝1，2，3.(10分)
当t＝1时，(*)式整理为3s＝0，不成立.(11分)
当t＝2时，(*)式整理为＝1.
设cn＝(n∈N*)，因为cn＋1－cn＝，
所以当n＝1时，cncn＋1，
所以(cn)max＝c2＝<1，所以s无解.(14分)
当t＝3时，(*)式整理为s2＝1，因为s∈N*，所以s＝1.
综上所述，使得等式成立的所有的正整数s，t的值是s＝1，t＝3.(16分)

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