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第4章 图形与性质（浙江省专用）
第23节 圆
【考试要求】
1.了解圆的概念，点与圆、直线与圆的位置关系，理解与圆有关的概念；
2.理解垂径定理、圆心角定理、圆周角定理以及圆内接四边形的有关性质；
3.理解切线及切线长的有关性质，会过一点作圆的切线；
4.了解三角形内切圆及内心的定义，掌握内心有关性质.
5.会利用与圆有关的性质进行圆中简单的计算和证明.
6.理解弧长、扇形面积计算公式的推导过程，掌握弧长、扇形面积公式并能熟练应用于计算；
7.了解正多边形的概念及正多边形与圆的关系；
8.能运用图形割补、等积变形等方法将不规则图形转化为规则图形求面积.
【考情预测】
该板块内容以考查综合题为主，也是考查重点，除了填空题和选择题外，年年都会考查综合题，对多数考生来说也是难点，分值为12分左右。预计2022年各地中考肯定还是考查的重点在选择、填空题中考查三角形的外心、正多边形、弧长、扇形面积，在解答题中想必还会考查切线的性质和判定，和直角三角形结合的求线段长的问题和三角函数结合的求角度的问题等知识点综合，考查形式多样，多以动点、动图的形式给出，难度较大。关键是掌握基础知识、基本方法，力争拿到全分。
【考点梳理】
一、圆的有关概念
1．与圆有关的概念和性质
1）圆：平面上到定点的距离等于定长的所有点组成的图形．
2）弦与直径：连接圆上任意两点的线段叫做弦，过圆心的弦叫做直径，直径是圆内最长的弦．
3）弧：圆上任意两点间的部分叫做弧，小于半圆的弧叫做劣弧，大于半圆的弧叫做优弧．
4）圆心角：顶点在圆心的角叫做圆心角．
5）圆周角：顶点在圆上，并且两边都与圆还有一个交点的角叫做圆周角．
6）弦心距：圆心到弦的距离．
2．注意
1）经过圆心的直线是该圆的对称轴，故圆的对称轴有无数条；
2）3点确定一个圆，经过1点或2点的圆有无数个．
3）任意三角形的三个顶点确定一个圆，即该三角形的外接圆．
二、垂径定理及其推论
1．垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧．
关于垂径定理的计算常与勾股定理相结合，解题时往往需要添加辅助线，一般过圆心作弦的垂线，构造直角三角形．
2．推论
1）平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧；
2）弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧．
三、圆心角、弧、弦的关系
1．定理：在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等．圆心角、弧和弦之间的等量关系必须在同圆等式中才成立．
2．推论：在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等．
四、圆周角定理及其推论
1．定理：一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半．
2．推论：1）在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等． 2）直径所对的圆周角是直角．
圆内接四边形的对角互补．在圆中求角度时，通常需要通过一些圆的性质进行转化．比如圆心角与圆周角间的转化；同弧或等弧的圆周角间的转化；连直径，得到直角三角形，通过两锐角互余进行转化等．
五、与圆有关的位置关系
1．点与圆的位置关系
设点到圆心的距离为d．(1)dr 点在⊙O外．
判断点与圆之间的位置关系，将该点的圆心距与半径作比较即可．
2．直线和圆的位置关系
位置关系 相离 相切 相交
图形
公共点个数 0个 1个 2个
数量关系 d>r d=r d由于圆是轴对称和中心对称图形，所以关于圆的位置或计算题中常常出现分类讨论多解的情况．
六、切线的性质与判定
1．切线的性质
1）切线与圆只有一个公共点．2）切线到圆心的距离等于圆的半径．3）切线垂直于经过切点的半径．
利用切线的性质解决问题时，通常连过切点的半径，利用直角三角形的性质来解决问题．
2．切线的判定
1）与圆只有一个公共点的直线是圆的切线（定义法）．
2）到圆心的距离等于半径的直线是圆的切线．
3）经过半径外端点并且垂直于这条半径的直线是圆的切线．
切线判定常用的证明方法：①知道直线和圆有公共点时，连半径，证垂直；②不知道直线与圆有没有公共点时，作垂直，证垂线段等于半径．
七、三角形与圆
1．三角形的外接圆相关概念
经过三角形各顶点的圆叫做三角形的外接圆，外接圆的圆心叫做三角形的外心，这个三角形叫做圆的内接三角形．外心是三角形三条垂直平分线的交点，它到三角形的三个顶点的距离相等．
2．三角形的内切圆
与三角形各边都相切的圆叫做三角形的内切圆，内切圆的圆心叫做三角形的内心，这个三角形叫做圆的外切三角形．内心是三角形三条角平分线的交点，它到三角形的三条边的距离相等．
八、正多边形的有关概念
正多边形中心：正多边形的外接圆的圆心叫做这个正多边形的中心．
正多边形半径：正多边形外接圆的半径叫做正多边形半径．
正多边形中心角：正多边形每一边所对的圆心角叫做正多边形中心角．
正多边形边心距：正多边形中心到正多边形的一边的距离叫做正多边形的边心距．
九、与圆有关的计算公式
1．弧长和扇形面积的计算：扇形的弧长l=；扇形的面积S==．
2．圆锥与侧面展开图
1）圆锥侧面展开图是一个扇形，扇形的半径等于圆锥的母线，扇形的弧长等于圆锥的底面周长．
2）若圆锥的底面半径为r，母线长为l，则这个扇形的半径为l，扇形的弧长为2πr，
圆锥的侧面积为S圆锥侧=．圆锥的表面积：S圆锥表=S圆锥侧+S圆锥底=πrl+πr2=πr·（l+r）．
在求不规则图形的面积时，注意利用割补法与等积变化方法归为规则图形，再利用规则图形的公式求解．
【重难点突破】
考向1. 圆的基本概念
【典例精析】
【例】（2021 东阳市校级期中）下列说法中，不正确的是（　　）
A．直径是弦，弦是直径 B．半圆周是弧
C．圆上的点到圆心的距离都相等 D．同圆或等圆中，优弧一定比劣弧长
【思路点拨】利用圆的有关定义作出判断找到错误的即可．
【答案】解：A、直径是圆内最长的弦，但弦不一定是直径，故本选项错误；
B、半圆周是圆弧，故本选项正确；C、圆上的点到圆心的距离都等于半径，故本选项正确；
D、同圆中，优弧是大于半圆的弧，而劣弧是小于半圆的弧，故本选项正确．故选：A．
【点睛】本题考查了圆的有关定义，属于基础题，比较简单
【变式训练】
变式1-1．（2021·浙江中考模拟）在中，AB，CD为两条弦，下列说法：①若，则；②若，则；③若，则弧AB=2弧CD；④若，则.其中正确的有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】A
【分析】根据圆心角、弧、弦之间的关系解答即可.
【解析】①若，则，正确；②若，则，故不正确；
③由不能得到弧AB=2弧CD，故不正确；
④若，则，错误.故选A.
【点睛】本题考查了圆心角、弧、弦之间的关系，在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，那么它们所对的其余各组量都分别相等.也考查了等腰三角形的性质.
变式1-2．（2021·湖南娄底·中考真题）弧度是表示角度大小的一种单位，圆心角所对的弧长和半径相等时，这个角就是1弧度角，记作．已知，则与的大小关系是__．
【答案】
【分析】根据弧度的定义，圆心角所对的弧长和半径相等时，这个角就是1弧度角，记作，当时，三角形为等边三角形，所以圆心角所对的弧长比半径大，即可判断大小．
【详解】解：根据弧度的定义，圆心角所对的弧长和半径相等时，这个角就是1弧度角，记作，
当时，易知三角形为等边三角形，弦长等于半径，圆心角所对的弧长比半径大，，故答案是：．
【点睛】本题考查了弧度的定义，解题的关键是：理解弧度的定义，从而利用定义来判断．
变式1-3．（2021 湖州期末）如图，AB是半圆O的直径，D是半圆上的一点，∠DOB＝75°，DC交BA的延长线于E，交半圆于C，且CE＝AO，求∠E的度数．
【思路点拨】连结OC，如图，由CE＝AO，OA＝OC得到OC＝EC，则根据等腰三角形的性质得∠E＝∠1，再利用三角形外角性质得∠2＝∠E+∠1＝2∠E，加上∠D＝∠2＝2∠E，
所以∠BOD＝∠E+∠D，即∠E+2∠E＝75°，然后解方程即可．
【答案】解：连结OC，如图，
∵CE＝AO，而OA＝OC，∴OC＝EC，∴∠E＝∠1，∴∠2＝∠E+∠1＝2∠E，
∵OC＝OD，∴∠D＝∠2＝2∠E，∵∠BOD＝∠E+∠D，∴∠E+2∠E＝75°，∴∠E＝25°．
【点睛】本题考查了圆的认识：掌握与圆有关的概念（弦、直径、半径、弧、半圆、优弧、劣弧、等圆、等弧等）．也考查了等腰三角形的性质．
【考点巩固训练】
1．（2021·杭州初三月考）下列说法中,正确的是(　　)
A．两个半圆是等弧 B．同圆中优弧与半圆的差必是劣弧
C．长度相等的弧是等弧 D．同圆中优弧与劣弧的差必是优弧
【答案】B
【解析】A.两个半圆的半径不一定相等，故错误；B.同圆中优弧与半圆的差必是劣弧，正确；
C.长度相等的弧是等弧，错误；D.同圆中优弧与劣弧的差比一定是优弧，故错误，故选：B.
2．（2021·广东）如图，在等腰中，，点P在以斜边AB为直径的半圆上，M为PC的中点．当点P沿半圆从点A运动至点B时，点M运动的路径长是________．
【答案】
【分析】取AB中点O，连接OP，OC，取OC中点D，连接MD，由勾股定理可得的长度，由三角形中位线定理可知，可以推出点的运动轨迹是以为圆心，为半径的半圆．
【详解】取AB中点O，连接OP，OC，取OC中点D，连接MD，
∵为等腰直角三角形，∴，
，，
由题意可知，点M的运动路径是以点D为圆心，以为半径的半圆，
点M的运动路径长，故答案为：．
【点睛】本题考查了轨迹、点按一定规律运动所形成的的圆形为点运动的轨迹、等腰直角三角形的性质、勾股定理、三角形中位线定理、圆的周长的计算等知识点，解答本题的关键是作出辅助线，正确寻找点的
运动轨迹．
3．（2021·山东九年级期中）下列说法：①弦是直径；②半圆是弧；③过圆心的线段是直径；④圆心相同半径相同的两个圆是同心圆，其中错误的有 。（填序号）
【答案】①③④
【分析】利用圆的有关定义及性质分别判断后即可确定正确的选项．
【详解】解：①直径是弦，但弦不一定是直径，故错误；②半圆是弧，正确；
③过圆心的弦是直径，故错误；④圆心相同半径不同的两个圆是同心圆，故错误．
【点睛】本题考查了圆的认识，了解有关圆的定义及性质是解答本题的关键，难度不大．
4．（2021·鄞州区中考模拟）已知在中，半径，弦，则的值不可以是（ ）
A．6 B．8 C．10 D．12
【答案】D
【分析】根据弦的定义直接可以得到答案.
【详解】解：以为半径为5，所以直径为10 所以圆中最长的弦为直径10
而12＞10 所以12不是此圆的弦故选 D
【点睛】本题主要考查了圆中弦的定义，熟记概念是解题的关键.
5．（2022 西湖区校级月考）有下列说法：①半径是弦；②半圆是弧，但弧不一定是半圆；③面积相等的两个圆是等圆，其中正确的是　　（填序号）
【思路点拨】利用圆的有关定义进行判断后即可确定正确的答案．
【答案】解：①半径是弦，错误，因为半径的一个端点为圆心；
②半圆是弧和直径组成的图形，弧不是半圆，错误；
③面积相等的两个圆是等圆，正确；正确的结论有③．故答案为：③．
【点睛】考查了圆的有关定义，解题的关键是牢记有关定义，难度不大．
考向2. 圆心(周)角、弧、弦之间的关系
【典例精析】
【例】（2021·湖北武汉市·中考真题）如图，是的直径，是的弦，先将沿翻折交于点．再将沿翻折交于点．若，设，则所在的范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】将⊙O沿BC翻折得到⊙O′，将⊙O′沿BD翻折得到⊙O″，则⊙O、⊙O′、⊙O″为等圆．依据在同圆或等圆中相等的圆周角所对的弧相等可证明，从而可得到弧AC的度数，由弧AC的度数可求得∠B的度数．
【详解】解：将⊙O沿BC翻折得到⊙O′，将⊙O′沿BD翻折得到⊙O″，则⊙O、⊙O′、⊙O″为等圆．
∵⊙O与⊙O′为等圆，劣弧AC与劣弧CD所对的角均为∠ABC，∴．同理：．
又∵F是劣弧BD的中点，∴．∴．
∴弧AC的度数=180°÷4=45°．∴∠B=×45°=22.5°．∴所在的范围是；选：B．
【点睛】本题主要考查的是圆的综合应用，解答本题主要应用了翻折的性质、弧、弦、圆周角之间的关系、圆内接四边形的性质，等腰三角形的判定，找出图形中的等弧是解题的关键．
【变式训练】
变式2-1. （2021 余杭区期中）如图，在△ABC中，∠C＝90°，的度数为α，以点C为圆心，BC长为半径的圆交AB于点D，交AC于点E，则∠A的度数为（　　）
A．45°﹣α B．α C．45°+α D．25°+α
【思路点拨】连接OD，求得∠DCE＝α，得到∠BCD＝90°﹣α，根据等腰三角形的性质和三角形的内角和即可得到结论．
【答案】解：连接OD，∵的度数为α，∴∠DCE＝α，∵∠ACB＝90°，∴∠BCD＝90°﹣α，
∵BC＝DC，∴∠B＝（180°﹣∠BCD）＝（180°﹣90°+α）＝45°+α，
∴∠A＝90°﹣∠B＝45°﹣α，故选：A．
【点睛】本题考查了圆心角，弧，弦，直角三角形的性质，等腰三角形的性质，正确的作出辅助线是解题的关键．
变式2-2. （2021 衢州一模）如图，已知AB和CD是⊙O的两条等弦．OM⊥AB，ON⊥CD，垂足分别为点M、N，BA、DC的延长线交于点P，联结OP．下列四个说法中：
①；②OM＝ON；③PA＝PC；④∠BPO＝∠DPO，正确的个数是（　　）
A．1 B．2 C．3 D．4
【思路点拨】如图连接OB、OD，要证明Rt△OMB≌Rt△OND，Rt△OPM≌Rt△OPN即可解决问题．
【答案】解：如图连接OB、OD；
∵AB＝CD，∴＝，故①正确，∵OM⊥AB，ON⊥CD，∴AM＝MB，CN＝ND，∴BM＝DN，
∵OB＝OD，∴Rt△OMB≌Rt△OND，∴OM＝ON，故②正确，
∵OP＝OP，∴Rt△OPM≌Rt△OPN，∴PM＝PN，∠OPB＝∠OPD，故④正确，
∵AM＝CN，∴PA＝PC，故③正确，选：D．
【点睛】本题考查垂径定理、圆心角、弧、弦的关系、全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线面构造全等三角形解决问题，属于中考常考题型．
变式2-3. （2021·浙江·九年级专题练习）已知，，是等圆，内接于，点C，E分别在，上．如图，①以C为圆心，长为半径作弧交于点D，连接；②以E为圆心，长为半径作弧交于点F，连接；下面有四个结论：①；②；③；④，所有正确结论的个数是（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】C
【分析】根据圆心角、弧、弦的关系，圆周角定理即可得到结论．
【详解】解：由题意得，，，∵，∴；故①错误；
∵，，是等圆，∴，∵，∴；故②正确；
∴，，
∵，∴；故③正确；
∵，，∵，
∴，故④正确；∴正确结论的序号是②③④，故选：C．
【点睛】本题考查了三角形的外接圆与外心，圆心角、弧、弦的关系，圆周角定理，熟练掌握圆心角、弧、弦的关系是解题的关键．
【考点巩固训练】
1．（2021·绵阳市九年级课时练习）在中，AB，CD为两条弦，下列说法：①若，则；②若，则；③若，则弧AB=2弧CD；④若，则.其中正确的有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】A
【分析】根据圆心角、弧、弦之间的关系解答即可.
【解析】①若，则，正确；②若，则，故不正确；
③由不能得到弧AB=2弧CD，故不正确；④若，则，错误.
故选A.
【点睛】本题考查了圆心角、弧、弦之间的关系，在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，那么它们所对的其余各组量都分别相等.也考查了等腰三角形的性质.
2．（2021·广东九年级期中）如果在中的两条弦和的弦心距分别为和，且，那么两弦和的大小关系为（ ）
A． B． C． D．无法确定
【答案】C
【分析】根据弦心距的概念可求得AE和CF的长度,比较两者大小，后结合垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的弧，进而可比较和的大小关系，即可求解.
【详解】如图，由勾股定理可得AE=CF=.
因为OE>OF，OA＝OC(两者都是圆的半径) 所以AE由垂径定理可知：AB＝2AE，CD＝2CF 所以AB【点睛】此题考查垂径定理与弦心距的结合运用，解题关键在于求得AE和CF的长度,比较两者大小.
3．（2020·江苏盐城初三月考）如图，⊙中，弦与相交于点,,连接.
求证：⑴；⑵.
【答案】（1）见解析；（2）见解析.
【分析】（1）由AB=CD知，即，据此可得答案；
（2）由知AD=BC，结合∠ADE=∠CBE，∠DAE=∠BCE可证△ADE≌△CBE，从而得出答案．
【解析】证明（1）∵AB=CD，∴，
即，∴；
（2）∵，∴AD=BC，
又∵∠ADE=∠CBE，∠DAE=∠BCE，
∴△ADE≌△CBE（ASA），∴AE=CE．
【点睛】本题主要考查圆心角、弧、弦的关系，圆心角、弧、弦三者的关系可理解为：在同圆或等圆中，①圆心角相等，②所对的弧相等，③所对的弦相等，三项“知一推二”，一项相等，其余二项皆相等．
4.（2021 建湖县初三模拟）如图，⊙O的弦AB、CD的延长线相交于点P，且PA＝PC．求证：．
【分析】连接AC、OA、OB、OC、OD，根据等腰三角形的性质得到∠PAC＝∠PCA，根据圆周角定理得到∠BOC＝∠AOD，根据圆心角、弧、弦的关系定理证明结论．
【解答】证明：连接AC、OA、OB、OC、OD，∵PA＝PC，∴∠PAC＝∠PCA，
∵∠PAC∠BOC，∠PCA∠AOD，∴∠BOC＝∠AOD，
∴，∴，即．
【点评】本题考查的是圆心角、弧、弦的关系定理，在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等．
5．（2021 黄岩区二模）如图，AB，DE为⊙O的直径，过点D作弦DC⊥AB于点H，连接AE并延长交DC的延长线于点F．（1）求证：＝；（2）若sinD＝，求tanF．
【思路点拨】（1）连接OC，先证∠DOH＝∠COH，再证∠COH＝∠AOE，由圆心角、弧、弦的关系可推出结论；（2）连接EC，用特殊值法，设OH＝3，OD＝5，求出CD的长，利用勾股定理求出CE的长，再证△EFC∽△AFH，可求出FC的长，即可求出tanF．
【答案】（1）证明：连接OC ∵OC＝OD，AB⊥CD∴∠DOH＝∠COH，
∵∠DOH＝∠AOE，∴∠COH＝∠AOE，∴＝；
（2）解：连接EC，∵AB⊥CD，∴∠AHD＝90°，
∵sin D＝，∴设OH＝3，OD＝5，∴DH＝＝4，
∵AB⊥CD，∴CD＝2DH＝8，∵DE为⊙O的直径，∴∠ECD＝90°，
∴CE＝＝＝6，设FC＝x，则FH＝x+4，
∵∠AHD＝∠ECD＝90°，∴EC∥AH∴△EFC∽△AFH，
∴，即，解得，x＝12，∴tanF＝＝＝．
【点睛】本题考查了圆周角定理，圆心角、弧、弦的关系，解直角三角形等，解题的关键是适当的利用特殊值法，便于解答．
考向3. 垂径定理及推论
【典例精析】
【例】（2021·浙江中考真题）如图，已知是⊙的直径，是所对的圆周角，．（1）求的度数；（2）过点作，垂足为，的延长线交⊙于点．若，求的长．
【答案】（1）；（2）
【分析】（1）连结，根据圆周角性质，得；根据直径所对圆周角为直角、直角三角形两锐角互余的性质计算，即可得到答案；（2）根据含角的直角三角形性质，得；根据垂径定理、特殊角度三角函数的性质计算，即可得到答案．
【详解】（1）连结，
是的直径，，
（2），，∴
，，且是直径 ．
【点睛】本题考查了圆、含角的直角三角形、三角函数的知识；解题的关键是熟练掌握圆周角、垂径定理、含角的直角三角形、三角函数、直角三角形两锐角互余的性质，从而完成求解．
【变式训练】
变式3-1. （2021·湖北鄂州市·中考真题）筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具，明朝科学家徐光启在《农政全书》中用图画描绘了筒车的工作原理，如图1，筒车盛水桶的运行轨道是以轴心为圆心的圆，如图2，已知圆心在水面上方，且被水面截得的弦长为6米，半径长为4米．若点为运行轨道的最低点，则点到弦所在直线的距离是（ ）
A．1米 B．米 C．2米 D．米
【答案】B
【分析】连接OC交AB于D，根据圆的性质和垂径定理可知OC⊥AB，AD=BD=3，根据勾股定理求得OD的长，由CD=OC﹣OD即可求解．
【详解】解：根据题意和圆的性质知点C为的中点，
连接OC交AB于D，则OC⊥AB，AD=BD=AB=3，
在Rt△OAD中，OA=4，AD=3，∴OD===，
∴CD=OC﹣OD=4﹣，即点到弦所在直线的距离是（4﹣）米，故选：B．
【点睛】本题考查圆的性质、垂径定理、勾股定理，熟练掌握垂径定理是解答的关键．
变式3-2. （2022·浙江·中考模拟）如图，AB为⊙O的直径，弦于点F，于点E，若，，则CD的长度是（ ）
A．9.6 B． C． D．19
【答案】A
【分析】先利用垂径定理得出AE=EC，CF=FD，再利用勾股定理列方程即可
【详解】解：连接OC
∵AB⊥CD, OE⊥AC∴ AE=EC，CF=FD ∵OE=3，OB=5∴OB=OC=OA=5
∴在Rt△OAE中∴AE=EC=4
设OF=x，则有 x=1.4
在Rt△OFC中， ∴故选：A
【点睛】本题考查垂径定理、勾股定理、方程思想是解题关键
变式3-3. （2021·杭州·九年级月考）如图，公园内有一个半径为18米的圆形草坪，从地走到地有观赏路（劣弧）和便民路（线段）.已知、是圆上的点，为圆心，，小强从走到，走便民路比走观赏路少走（ ）米.
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】作OC⊥AB于C，如图，根据垂径定理得到AC=BC，再利用等腰三角形的性质和三角形内角和计算出∠A，从而得到OC和AC，可得AB，然后利用弧长公式计算出的长，最后求它们的差即可．
【详解】解：作OC⊥AB于C，如图，则AC=BC，∵OA=OB，∴∠A=∠B=（180°-∠AOB）=30°，
在Rt△AOC中，OC=OA=9，AC=，∴AB=2AC=，
又∵=，∴走便民路比走观赏路少走米，故选D．
【点睛】本题考查了垂径定理：垂径定理和勾股定理相结合，构造直角三角形，可解决计算弦长、半径、弦心距等问题．
【考点巩固训练】
1．（2021·广西玉林市·中考真题）学习圆的性质后，小铭与小熹就讨论起来，小铭说：“被直径平分的弦也与直径垂直”，小熹说：“用反例就能说明这是假命题” ．下列判断正确的是（ ）
A．两人说的都对 B．小铭说的对，小燕说的反例不存在
C．两人说的都不对 D．小铭说的不对，小熹说的反例存在
【答案】D
【分析】根据垂径定理可直接进行排除选项．
【详解】解：由垂径定理的推论“平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的弧”可知：
小铭忽略了垂径定理中的“弦不能是直径”这一条件，因为一个圆中的任意两条直径都互相平分，但不垂直，所以小铭说法错误，小熹所说的反例即为两条直径的情况下；故选D．
【点睛】本题主要考查垂径定理，熟练掌握垂径定理是解题的关键．
2．（2021 衢州）如图，AC是⊙O的直径，弦BD⊥AO于E，连接BC，过点O作OF⊥BC于F，若BD＝8cm，AE＝2cm，则OF的长度是（　　）
A．3cm B．cm C．2.5cm D．cm
【思路点拨】根据垂径定理得出AB的长，进而利用中位线定理得出OF即可．
【答案】解：连接AB，OB，∵AC是⊙O的直径，弦BD⊥AO于E，BD＝8cm，AE＝2cm，
在Rt△ABE中，AE2+BE2＝AB2，即AB＝，
∵OA＝OC，OB＝OC，OF⊥BC，∴BF＝FC，∴OF＝．选：D．
【点睛】此题考查垂径定理，关键是根据垂径定理得出OE的长．
3．（2021 临安区）如图，⊙O的半径OA＝6，以A为圆心，OA为半径的弧交⊙O于B、C点，则BC＝（　　）
A． B． C． D．
【思路点拨】根据垂径定理先求BC一半的长，再求BC的长．
【答案】解：设OA与BC相交于D点．∵AB＝OA＝OB＝6∴△OAB是等边三角形．
又根据垂径定理可得，OA平分BC，利用勾股定理可得BD＝＝3
所以BC＝6．故选：A．
【点睛】本题的关键是利用垂径定理和勾股定理．
4．（2021 金华）如图，在半径为13cm的圆形铁片上切下一块高为8cm的弓形铁片，则弓形弦AB的长为（　　）
A．10cm B．16cm C．24cm D．26cm
【思路点拨】首先构造直角三角形，再利用勾股定理得出BC的长，进而根据垂径定理得出答案．
【答案】解：如图，过O作OD⊥AB于C，交⊙O于D，∵CD＝8，OD＝13，∴OC＝5，
又∵OB＝13，∴Rt△BCO中，BC＝＝12，∴AB＝2BC＝24．选：C．
【点睛】此题主要考查了垂径定理以及勾股定理，得出AC的长是解题关键．
5．（2021 鹿城区校级二模）如图，AB是半圆O的直径，AB＝12，AC为弦，OD⊥AC于D，OE∥AC交半圆O于点E，EF⊥AB于F，若BF＝3，则AC的长为　 　．
【思路点拨】根据垂径定理得出AD＝CD，再证△ADO≌△OFE，推出OF＝AD＝3，即可求出答案．
【答案】解：AB是半圆O的直径，AB＝12，∴OB＝OA＝6，
∵BF＝3，∴OF＝OB﹣BF＝3，∵OD⊥AC，∴AD＝CD，
∵OD⊥AC，EF⊥AB，∴∠ADO＝∠OFE＝90°，∵OE∥AC，∴∠DAO＝∠EOF，
在△ADO和△OFE中，，∴△ADO≌△OFE（AAS），
∴AD＝OF＝3，∴AC＝2AD＝6；故答案为：6．
【点睛】本题考查了垂径定理、全等三角形的性质和判定、平行线的性质等知识；熟练掌握垂径定理，证明三角形全等是解题的关键．
6．（2021·山东·郯城县第三中学一模）如图，半径为4的⊙O中，CD为直径，弦AB⊥CD且过半径OD的中点，点E为⊙O上一动点，CF⊥AE于点F，当点E从点B出发顺时针运动到点D时，点F所经过的路径长为____．
【答案】
【分析】由得点在以为直径的圆上运动，当点E与B重合时，此时点F与G重合，当点E与D重合时，此时点F与A重合，则点E从点B出发顺时针运动到点D时，点F所经过的路径长为AG的长，然后根据条件求出AG所在圆的半径和圆心角，从而解决问题．
【详解】解：，，∴点F在以AC为直径的圆上运动，
以AC为直径画半圆AC，连接OA，确定出AC的中点P，连接PG，
当点E与B重合时，此时点F与G重合，当点E与D重合时，此时点F与A重合，
∴点E从点B出发顺时针运动到点D时，点F所经过的路径长的的长，
∵点G为OD的中点，．，，．
，，，
所在圆的半径为，所对的圆心角，
的长为．故答案为：．
【点睛】本题主要考查了垂径定理，圆周角定理，定角对定弦，孤长公式等知识，确定点F的运动路径是解题的关键．
考向4. 圆周角定理及推论
【典例精析】
【例】（2021 临海市一模）如图，点A，B，C在⊙O上，AB∥OC．
（1）求证：∠ACB+∠BOC＝90°；（2）若⊙O的半径为5，AC＝8，求BC的长度．
【思路点拨】（1）根据圆周角定理求出∠AOB＝2∠ACB，根据平行线的性质和等腰三角形的性质得出∠ABO＝∠BAO，∠ABO＝∠BOC，∠BAO+∠AOC＝180°，即可得出答案；
（2）求出△BOC≌△DOC，根据全等三角形的性质得出BC＝CD，根据勾股定理求出CD即可．
【答案】（1）证明：∵对的圆周角是∠ACB，对的圆心角是∠AOB，∴∠AOB＝2∠ACB，
∵OB＝OA，∴∠ABO＝∠BAO，∵AB∥OC，∴∠ABO＝∠BOC，∠BAO+∠AOC＝180°，
∴∠BAO+∠AOB+∠BOC＝180°，即2∠ACB+2∠BOC＝180°，∴∠ACB+∠BOC＝90°；
（2）延长AO交⊙O于D，连接CD，则∠ACD＝90°，
由勾股定理得：CD＝＝＝6，
∵OC∥AB，∴∠BOC＝∠ABO，∠COD＝∠BAO，∵∠BAO＝∠ABO，∴∠BOC＝∠COD，
在△BOC和△DOC中∴△BOC≌△DOC（SAS），∴BC＝CD，
∵CD＝6，∴BC＝6．
【点睛】本题考查了全等三角形的性质和判定，平行线的性质，勾股定理，等腰三角形的性质，圆周角定理等知识点，能综合运用知识点进行推理是解此题的关键．
【变式训练】
变式4-1. （2021·广西贵港市·中考真题）如图，点A，B，C，D均在⊙O上，直径AB＝4，点C是的中点，点D关于AB对称的点为E，若∠DCE＝100°，则弦CE的长是（ ）
A． B．2 C． D．1
【答案】A
【分析】连接、、、、，过点作于点，根据圆内接四边形的性质得，据对称以及圆周角定理可得，由点是的中点可得，，据等腰三角形及直角三角形的性质即可求解．
【详解】解：连接、、、、，过点作于点，
，，
点关于对称的点为，，，
点是的中点，，，
，，，，
直径，，，．故选：A．
【点睛】本题考查圆周角定理，圆内接四边形的性质，等腰三角形以及直角三角形的性质，求出是解题的关键．
变式4-2. （2021·山东泰安市·中考真题）如图，四边形是的内接四边形，，，，，则的长为（ ）
A． B． C． D．2
【答案】C
【分析】如图，延长AD，BC，二线交于点E，可求得∠E=30°，在Rt△CDE中，利用tan30°计算DE，在Rt△ABE中，利用sin30°计算AE，根据AD=AE-DE求解即可；
【详解】如图，延长AD，BC，二线交于点E，
∵∠B=90°，∠BCD=120°，∴∠A=60°，∠E=30°，∠ADC=90°，∴∠ADC=∠EDC= 90°，
在Rt△CDE中，tan30°=，∴DE==，
在Rt△ABE中，sin30°=，∴AB==4，∴AD=AE-DE=,故选C
【点睛】本题考查了圆的内接四边形对角互补，特殊角的三角函数值，延长构造直角三角形，灵活运用直角三角形特殊角的三角函数值计算是解题的关键．
变式4-3. （2021 柯桥区期末）如图，△ABC的顶点A、B、C均在⊙O上，若∠ABC+∠AOC＝75°，则∠OAC的大小是（　　）
A．25° B．50° C．65° D．75°
【思路点拨】根据圆周角定理得出∠AOC＝2∠ABC，求出∠AOC＝50°，再根据等腰三角形的性质和进行内角和定理求出即可．
【答案】解：∵根据圆周角定理得：∠AOC＝2∠ABC，
∵∠ABC+∠AOC＝75°，∴∠AOC＝×75°＝50°，
∵OA＝OC，∴∠OAC＝∠OCA＝（180°﹣∠AOC）＝65°，故选：C．
【点睛】本题考查了圆周角定理，等腰三角形的性质，三角形内角和定理等知识点，能求出∠AOC＝2∠ABC是解此题的关键．
【考点巩固训练】
1．（2021 乐清市模拟）如图，C，D是⊙O上位于直径AB异侧的两点，若∠ACD＝20°，则∠BAD的度数是（　　）
A．40° B．50° C．60° D．70°
【思路点拨】根据圆周角定理得到∠ACB＝90°，求出∠DCB＝70°，根据圆周角定理解答．
【答案】解：∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB＝90°，
∵∠ACD＝20°，∴∠DCB＝70°，由圆周角定理得，∠BAD＝∠DCB＝70°，故选：D．
【点睛】本题考查的是圆周角定理，掌握在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，直径所对的圆周角是直角是解题的关键．
2．（2021 温州模拟）如图，AB是⊙O的直径，CD是⊙O的弦，若∠ADC＝54°，则∠CAB的度数是（　　）
A．52° B．36° C．27° D．26°
【思路点拨】连接BC．利用圆周角定理即可解决问题．
【答案】解：连接BC．∵AB是直径，∴∠ACB＝90°，
∵ABC＝∠ADC＝54°，∴∠CAB＝90°﹣54°＝36°，故选：B．
【点睛】本题考查圆周角定理，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．
3．（2022 诸暨市模拟）如图，四边形ABCD内接于⊙O，若四边形ABCO是平行四边形，则∠DAO+∠DCO的大小为（　　）
A．45° B．50° C．60° D．75°
【思路点拨】根据菱形的性质得出∠B＝∠AOC，根据圆内接四边形求出∠ADC+∠B＝180°，根据圆周角定理得出∠AOC＝2∠ADC，求出∠ADC，即可得出答案．
【答案】解：连接OD，∵AO＝OD，OD＝OC，
∴∠DAO＝∠ODA，∠DCO＝∠ODC，∴∠DAO+∠DCO＝∠ADC，
∵四边形ABCO是菱形，∴∠B＝∠AOC，
∵四边形ABCD是圆内接四边形，∴∠ADC+∠B＝180°，
∵∠ADC＝∠AOC，∴∠ADC＝∠B，
即3∠ADC＝180°，∴∠ADC＝60°，即∠DAO+∠DCO＝60°，故选：C．
【点睛】本题考查了菱形的性质，圆周角定理，圆内接四边形等知识点，能熟练运用定理进行推理是解此题的关键．
4．（2021·湖北云梦·九年级期中）如图，是等边的外接圆，点是弧上的点，且，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据等边三角形的性质得到∠ACB=∠ABC=∠BAC=60°，根据圆周角定理得到∠BCD=∠BAD=40°，进而可求出∠ACD的度数．
【详解】解：∵△ABC是等边三角形，∴∠ACB=∠ABC=∠BAC=60°，
∵∠CAD=20°，∴∠BAD=∠BAC-∠CAD=40°，
∵，∴∠BCD=∠BAD=40°，∴∠ACD=∠ACB+∠BCD=100°，故选：D．
【点睛】本题考查的是三角形的外接圆和外心、圆周角定理、等边三角形的性质，熟练掌握等边三角形的性质和圆周角定理是解决问题的关键．
5．（2021 杭州模拟）如图，AB是⊙O的直径，EF，EB是⊙O的弦，连接OF，若∠AOF＝40°，则∠E的度数是（　　）
A．40° B．50° C．55° D．70°
【分析】连接FB，得到∠FOB＝140°，利用同弧所对的圆周角是圆心角的一半求解．
【解析】∵∠AOF＝40°，∴∠FOB＝180°﹣40°＝140°，∴∠E∠FOB＝70°故选：D．
【点评】本题考查圆周角定理等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．
6．（2021 温州校级期中）如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，DB平分∠ADC，连结OC，OC⊥BD．（1）求证：AB＝CD．（2）若∠A等于66°，求∠ADB的度数．
【思路点拨】（1）根据圆周角定理得到＝，根据垂径定理得到＝，根据圆周角定理证明结论；（2）根据圆内接四边形的性质得到∠BCD＝114°，根据等腰三角形的性质求出∠BDC，根据角平分线的定义解答．
【答案】（1）证明：∵DB平分∠ADC，∴＝，
∵OC⊥BD，∴＝，∴＝，∴AB＝CD；
（2）解：∵四边形ABCD是⊙O的内接四边形，∴∠BCD＝180°﹣∠A＝114°，
∵＝，∴BC＝CD，∴∠BDC＝×（180°﹣114°）＝33°，
∵DB平分∠ADC，∴∠ADB＝∠BDC＝33°．
【点睛】本题考查的是圆内接四边形的性质、圆周角定理、垂径定理、等腰三角形的性质，掌握圆内接四边形的对角互补是解题的关键．
考向5. 点与圆的位置关系
【典例精析】
【例】（2021 奉化区期末）在同一平面上，⊙O外有一定点P到圆上的距离最长为10，最短为2，则⊙O的半径是（　　）
A．5 B．3 C．6 D．4
【思路点拨】画出图形，根据图形和题意得出PA的长是P到⊙O的最长距离，PB的长是P到⊙O的最短距离，求出圆的直径，即可求出圆的半径．
【答案】解：如图，PA的长是P到⊙O的最长距离，PB的长是P到⊙O的最短距离，
∵圆外一点P到⊙O的最长距离为10，最短距离为2，
∴圆的直径是10﹣2＝8，∴圆的半径是4，．故选：D．
【点睛】本题考查了点和圆的位置关系，注意：作直线PO（O为圆心），交⊙O于A、B两点，则得出P到⊙O的最长距离是PA长，最短距离是PB的长．
【变式训练】
变式5-1. （2021 长兴县二模）已知⊙O的半径为5，在同一平面内有三个点A，B，C，且OA＝2，OB＝3，OC＝5，则这三个点，在⊙O内的点是　 　．
【思路点拨】要确定点与圆的位置关系，主要确定点与圆心的距离与半径的大小关系．当d＞r时，点在圆外；当d＝r时，点在圆上；当d＜r时，点在圆内．
【答案】解：∵⊙O的半径为5，在同一平面内有三个点A，B，C，且OA＝2，OB＝3，OC＝5，
∴点A与点B在⊙O内，点C在⊙O上．
故答案为点A与点B．
【点睛】本题考查了对点与圆的位置关系的判断．关键要记住若半径为r，点到圆心的距离为d，则有：当d＞r时，点在圆外；当d＝r时，点在圆上；当d＜r时，点在圆内．
变式5-2. （2021·青海中考真题）点是非圆上一点，若点到上的点的最小距离是，最大距离是，则的半径是______．
【答案】或
【分析】分点在外和内两种情况分析；设的半径为，根据圆的性质列一元一次方程并求解，即可得到答案．
【详解】设的半径为 当点在外时，根据题意得： ∴
当点在内时，根据题意得： ∴ 故答案为：或．
【点睛】本题考查了圆、一元一次方程的知识；解题的关键是熟练掌握圆的性质，从而完成求解．
变式5-3. （2021·上海市民办新北郊初级中学九年级期末）如图，在中，，，，是它的中线，以C为圆心，为半径作，则点M与的位置关系为（ ）
A．点M在上 B．点M在内 C．点M在外 D．点M不在内
【答案】A
【分析】根据题意可求得CM的长，再根据点和圆的位置关系判断即可．
【详解】∵由勾股定理得
∵CM是AB的中线，∴CM = 5cm，∴d=r所以点M在OC上，故选：A．
【点睛】本题考查了点和圆的位置关系，解决的根据是点在圆上圆心到点的距离=圆的半径．
【考点巩固训练】
1．（2021 绍兴一模）已知⊙O的半径为5，若PO＝4，则点P与⊙O的位置关系是（　　）
A．点P在⊙O内 B．点P在⊙O上 C．点P在⊙O外 D．无法判断
【思路点拨】已知圆O的半径为r，点P到圆心O的距离是d，①当r＞d时，点P在⊙O内，②当r＝d时，点P在⊙O上，③当r＜d时，点P在⊙O外，根据以上内容判断即可．
【答案】解：∵⊙O的半径为5，若PO＝4，∴4＜5，
∴点P与⊙O的位置关系是点P在⊙O内，故选：A．
【点睛】本题考查了点与圆的位置关系的应用，注意：已知圆O的半径为r，点P到圆心O的距离是d，①当r＞d时，点P在⊙O内，②当r＝d时，点P在⊙O上，③当r＜d时，点P在⊙O外．
2．（2022 滨江区期末）在△ABC中，已知AB＝AC＝4cm，BC＝6cm，P是BC的中点，以点P为圆心，3cm为半径画⊙P，则点A与⊙P的位置关系是　 　．
【思路点拨】连接AP，求出AP⊥BC，求出BP，根据勾股定理求出AP，和半径比较即可．
【答案】解：如图，连接AP，∵AB＝AC＝4cm，BC＝6cm，P是BC的中点，
∴BP＝CP＝3cm，AP⊥BC，∴∠APB＝90°，
∴在Rt△APB中，由勾股定理得：AP＝＝＝（cm），
∵＜3，∴点A在⊙P内．故答案为：点A在⊙P内．
【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，勾股定理，点和圆的位置关系的应用，关键是求出AP的长．
3．（2021·江苏省锡山高级中学实验学校二模）已知，⊙O半径为5，圆心O为坐标原点，点P的坐标为（4，3），则点P与⊙O的位置关系是（ ）．
A．点在圆内 B．点在圆上 C．点在圆外 D．不能确定
【答案】B
【分析】根据两点间的距离公式求出OP的长，再与半径比较确定点P的位置．
【详解】解：∵点P的坐标为（4，3）∴OP==5
∵⊙O半径为5所以点P在⊙O上．故选B．
【点睛】本题考查的是点与圆的位置关系，知道O，P的坐标，求出OP的长，与圆的半径进行比较，确定点P的位置．
4．(2021.福建初三月考)已知⊙O的面积为36π，若PO＝7，则点P在⊙O_____．
【答案】外
【分析】先由圆的面积求得⊙O的半径，再根据PO=7，判断点P与⊙O的位置关系．
【详解】设圆的半径为r，=36，解得r=6，∵PO=7，∴点P在⊙O外.
【点睛】本题考查点与圆的位置关系，求得⊙O的半径是解题的突破口.
5．（2021.绵阳市期中）体育课上，小悦在点O处进行了四次铅球试投，铅球分别落在图中的M，N，P，Q四个点处，则表示他最好成绩的点是（ ）
A．M B．N C．P D．Q
【答案】C
【分析】根据点和圆的位置关系，知最好成绩在P点.
【详解】P点与O点距离最长，且在有效范围内，所以最好成绩在P点.
【点睛】考查了点和圆的位置关系．
考向6. 直线与圆的位置关系
【典例精析】
【例】（2021 上城区一模）已知∠BAC＝45°，一动点O在射线AB上运动（点O与点A不重合），设OA＝x，如果半径为1的⊙O与射线AC有公共点，那么x的取值范围是（　　）
A．0＜x≤1 B．1≤x＜ C．0＜x≤ D．x＞
【思路点拨】先化成圆和直线AC相切的情况，求此时x的值，即可得出选项．
【答案】解：
当⊙O与直线AC相切时，设切点为D，如图，
∵∠A＝45°，∠ODA＝90°，OD＝1，∴AD＝OD＝1，
由勾股定理得：AO＝，即此时x＝，
所以当半径为1的⊙O与射线AC有公共点，x的取值范围是0＜x，故选：C．
【点睛】本题考查了直线与圆的位置关系，能熟记直线与圆的位置关系的内容是解此题的关键．
【变式训练】
变式6-1. （2021·福建·厦门双十中学九年级期中）⊙O的半径为3，点O到直线l的距离为4，则反映直线l与圆O位置关系的图形（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】由圆的半径为3，圆心O到直线l的距离为4，利用直线和圆的位置关系，圆的半径小于直线到圆心距离，则直线l与O的位置关系是相离．
【详解】解：∵⊙O的半径为3，圆心O到直线l的距离为4，
∵4＞3，即：d＞r，∴直线l与⊙O的位置关系是相离．故选D．
【点睛】本题考查知道知识点是圆与直线的位置关系，若d＜r，则直线与圆相交；若d>r，则直线与圆相离；若d=r，则直线与圆相切．
变式6-2. （2021·四川外国语大学附属外国语学校八年级期末）在平面直角坐标系中，以点(3，﹣4)为圆心，2为半径的圆，与直线x＝1的位置关系为（　　）
A．相交 B．相切 C．相离 D．不能确定
【答案】B
【分析】本题应将该点到直线x＝1的距离与半径对比即可判断．
【详解】解：∵点（3，﹣4）到直线x＝1的距离为2，半径为2，则有2＝2，
∴这个圆与直线x＝1相切．故选B．
【点睛】本题主要考查了直线与圆的位置，解题的关键在于能够准确算出圆心到直线的距离然后与半径比较.
变式6-3. （2021·四川成都市·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，直线与相交于A，B两点，且点A在x轴上，则弦的长为_________．
【答案】2．
【分析】过O作OE⊥AB于C，根据垂径定理可得AC=BC=，可求OA=2，OD=，在Rt△AOD中，由勾股定理，可证△OAC∽△DAO，由相似三角形性质可求即可．
【详解】解：过O作OE⊥AB于C，∵AB为弦，∴AC=BC=，
∵直线与相交于A，B两点，
∴当y=0时，，解得x=-2，∴OA=2，∴当x=0时，，∴OD=，
在Rt△AOD中，由勾股定理，
∵∠ACO=∠AOD=90°，∠CAO=∠OAD，∴△OAC∽△DAO，
即，∴AB=2AC=2，故答案为2．
【点睛】本题考查直线与圆的位置关系，垂径定理，直线与两轴交点，勾股定理，三角形相似判定与性质，掌握以上知识、正确添加辅助线是解题关键．
【考点巩固训练】
1．（2021·辽宁沙河口·九年级期末）中，，，，以点为圆心，为半径作，则正确的是（ ）
A．当时，直线与相交 B．当时，直线与相离
C．当时，直线与相切 D．当时，直线与相切
【答案】C
【分析】根据勾股定理求得，设到的距离为，根据等面积法求得到的距离，再根据直线与圆的位置关系即可判断
【详解】中，，，，，
设到的距离为，，即，解得，
当时，直线与相离，故选项A不正确，不符合题意；
当时，直线与相切，故选项C正确，符合题意；
当时，直线与相交，故选项B、D不正确，不符合题意；故选C
【点睛】本题考查了勾股定理，直线与圆的位置关系的应用，求得到的距离是解题的关键．
2．（2021·河北·滦南县宋道口镇初级中学九年级期末）Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝6，AB＝10，若以点C为圆心r为半径的圆与AB所在直线相交，则r可能为（　　）
A．3 B．4 C．4.8 D．5
【答案】D
【分析】根据题意画出图形，利用勾股定理求出BC=8，再利用面积法求出CD的长，即可得到答案．
【详解】如图，Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝6，AB＝10，∴BC=8，
∵，∴CD=，
∴当时，以点C为圆心r为半径的圆与AB所在直线相交，故选：D．
．
【点睛】此题考查勾股定理，三角形的面积法求斜边上的高线，直线与圆相交的交点个数，理解以点C为圆心r为半径的圆与AB所在直线相交先求出最短距离进行判断是解题的关键．
3．（2021·浙江慈溪·初二期末）已知，在中，，，，作.小亮的作法如下：①作，②在上截取，③以为圆心，以5为半径画弧交于点，连结.如图，给出了小亮的前两步所画的图形.则所作的符合条件的（ ）
A．是不存在的 B．有一个 C．有两个 D．有三个及以上
【答案】C
【分析】先根据直角三角形的性质求出点B到AN的距离，再根据直线与圆的位置关系即可得．
【解析】如图，过点B作在中，则
因 由直线与圆的位置关系得：以为圆心，以5为半径画弧，与会有两个交点,即所作的符合条件的有两个,故选：C．
【点睛】本题考查了直角三角形的性质（直角三角形中，角所对直角边等于斜边的一半）、直线与圆的位置关系，理解题意，利用直角三角形的性质求出BD的长是解题关键．
4．（2021·黑龙江龙凤·九年级期末）如图，平行四边形中，，，，点在边上运动以为圆心，为半径作，若与平行四边形的边有四个公共点，则的长度满足条件是_______．
【答案】或
【分析】求出⊙P与BC，CD相切时AP的长以及⊙P经过A，B，C三点时AP的长即可判断．
【详解】解：如图1中，当⊙P与BC相切时，设切点为E，连接PE．
在Rt△ABC中，由勾股定理得：AC==4，
设AP=x，则BP=5-x，PE=x，∵⊙P与边BC相切于点E，∴PE⊥BC，
∵BC⊥AC，∴AC∥PE，∴，∴，∴；
如图2中，当⊙P与CD相切时，设切点为E，连接PE．
∵S平行四边形ABCD=2××3×4=5PE，∴PE=，
观察图象可知：＜AP＜时⊙P与平行四边形ABCD的边的公共点的个数为4，
②⊙P过点A、B、C三点，如图3，⊙P与平行四边形ABCD的边的公共点的个数为4，
此时AP=，综上所述，AP的值的取值范围是：或AP=．
故答案为：或AP=．
【点睛】本题考查平行四边形的性质，勾股定理，直线与圆的位置关系等知识，解题的关键是学会利用特殊位置解决问题．
5．（2021·湖南娄底市·中考真题）如图，直角坐标系中，以5为半径的动圆的圆心A沿x轴移动，当⊙与直线只有一个公共点时，点A的坐标为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】当⊙与直线只有一个公共点时，则此时⊙A与直线相切，（需考虑左右两侧相切的情况）；设切点为，此时点同时在⊙A与直线上，故可以表示出点坐标，过点作，则此时，利用相似三角形的性质算出长度，最终得出结论．
【详解】如下图所示，连接，过点作，
此时点坐标可表示为，∴，，
在中，，
又∵半径为5，∴，∵，∴，
则，∴，∴，
∵左右两侧都有相切的可能，∴A点坐标为，故选：D．
【点睛】本题考查的是直线与圆的位置关系，熟知相似三角形的判定与性质是解答此题的关键．
考向7. 切线的性质的应用
【典例精析】
【例】（2021·河南中考真题）在古代，智慧的劳动人民已经会使用“石磨”，其原理为在磨盘的边缘连接一个固定长度的“连杆”，推动“连杆”带动磨盘转动，将粮食磨碎，物理学上称这种动力传输工具为“曲柄连杆机构”．小明受此启发设计了一个“双连杆机构”，设计图如图1，两个固定长度的“连杆”，的连接点在上，当点在上转动时，带动点，分别在射线，上滑动，．当与相切时，点恰好落在上，如图2．
请仅就图2的情形解答下列问题．（1）求证：；（2）若的半径为，，求的长．
【答案】（1）见解析；（2）
【分析】（1）利用等腰三角形的性质及三角形的外角，找到角与角之间的等量关系，再通过等量代换即可证明；（2）添加辅助线后，证明三角形相似，得到对应角相等，所以角的正切值也相等，求出直角三角形的直角边长，再把放到直角三角形中，利用勾股定理求解．
【详解】解：（1）证明：连接，取轴正半轴与交点于点，如下图：
，为的外角，，
，，．
（2）过点作的垂线，交与点，如下图：
由题意：在中，，
由（1）知：，，
，，，
，由圆的性质，直径所对的角为直角；
在中，由勾股定理得：，即．
【点睛】本题考查了圆的性质，等腰三角形的性质、直角三角形、相似三角形的判定与性质、切线的性质、勾股定理、特殊角度的正切值，解得的关键是：掌握相关的知识点，会添加适当的辅助线，找到角与角、边与边的等量关系，通过等量代换，利用勾股定理建立等式求解．
【变式训练】
变式7-1.（2022 舟山模拟）如图，AB是⊙O直径，点C在AB的延长线上，CD与⊙O相切于点D，若∠A＝25°，则∠C的度数是（　　）
A．40° B．50° C．65° D．25°
【思路点拨】由OA＝OD可得∠A＝∠ODA＝25°，根据三角形外角性质可得∠COD＝50°，由切线的性质可得∠COD＝90°，即可求∠C的度数．
【答案】解：连接OD，
∵AO＝OD，∴∠A＝∠ODA＝25°，∵∠COD＝∠A+∠ADO，∴∠COD＝50°，
∵CD与⊙O相切于点D，∴∠ODC＝90°，∵∠C+∠COD＝90°，∴∠C＝40°，故选：A．
【点睛】本题考查了切线的性质，圆周角定理，熟练掌握圆的切线垂直于经过切点的半径．若出现圆的切线，必连过切点的半径，构造定理图，得出垂直关系．
变式7-2. （2021 宁波）如图，正方形ABCD的边长为8，M是AB的中点，P是BC边上的动点，连结PM，以点P为圆心，PM长为半径作⊙P．当⊙P与正方形ABCD的边相切时，BP的长为　．
【思路点拨】分两种情形分别求解：如图1中，当⊙P与直线CD相切时；如图2中当⊙P与直线AD相切时．设切点为K，连接PK，则PK⊥AD，四边形PKDC是矩形；
【答案】解：如图1中，当⊙P与直线CD相切时，设PC＝PM＝x．
在Rt△PBM中，∵PM2＝BM2+PB2，∴x2＝42+（8﹣x）2，∴x＝5，
∴PC＝5，BP＝BC﹣PC＝8﹣5＝3．
如图2中当⊙P与直线AD相切时．设切点为K，连接PK，则PK⊥AD，四边形PKDC是矩形．
∴PM＝PK＝CD＝2BM，∴BM＝4，PM＝8，
在Rt△PBM中，PB＝＝4．综上所述，BP的长为3或4．
【点睛】本题考查切线的性质、正方形的性质、勾股定理等知识，解题的关键是学会用分类讨论的思想思考问题，学会利用参数构建方程解决问题．
变式7-3. （2021 绍兴）在屏幕上有如下内容：
如图，△ABC内接于⊙O，直径AB的长为2，过点C的切线交AB的延长线于点D．张老师要求添加条件后，编制一道题目，并解答．
（1）在屏幕内容中添加条件∠D＝30°，求AD的长．请你解答．
（2）以下是小明、小聪的对话：
小明：我加的条件是BD＝1，就可以求出AD的长
小聪：你这样太简单了，我加的是∠A＝30°，连结OC，就可以证明△ACB与△DCO全等．
参考此对话，在屏幕内容中添加条件，编制一道题目（可以添线添字母），并解答．
【思路点拨】（1）连接OC，如图，利用切线的性质得∠OCD＝90°，再根据含30度的直角三角形三边的关系得到OD＝2，然后计算OA+OD即可；
（2）添加∠DCB＝30°，求AC的长，利用圆周角定理得到∠ACB＝90°，再证明∠A＝∠DCB＝30°，然后根据含30度的直角三角形三边的关系求AC的长．
【答案】解：（1）连接OC，如图，
∵CD为切线，∴OC⊥CD，∴∠OCD＝90°，
∵∠D＝30°，∴OD＝2OC＝2，∴AD＝AO+OD＝1+2＝3；
（2）添加∠DCB＝30°，求AC的长，
解：∵AB为直径，∴∠ACB＝90°，
∵∠ACO+∠OCB＝90°，∠OCB+∠DCB＝90°，∴∠ACO＝∠DCB，
∵∠ACO＝∠A，∴∠A＝∠DCB＝30°，
在Rt△ACB中，BC＝AB＝1，∴AC＝BC＝．
【点睛】本题考查了切线的性质：圆的切线垂直于经过切点的半径．若出现圆的切线，必连过切点的半径，构造定理图，得出垂直关系．也考查了圆周角定理．
【考点巩固训练】
1．（2021·山东泰安市·中考真题）如图，在中，，以点A为圆心，3为半径的圆与边相切于点D，与，分别交于点E和点G，点F是优弧上一点，，则的度数是（ ）
A．50° B．48° C．45° D．36°
【答案】B
【分析】连接AD，由切线性质可得∠ADB=∠ADC=90°，根据AB=2AD及锐角的三角函数可求得∠BAD=60°，易求得∠ADE=72°，由AD=AE可求得∠DAE=36°，则∠GAC=96°，根据圆周角定理即可求得∠GFE的度数．
【详解】解：连接AD，则AD=AG=3，∵BC与圆A相切于点D，∴∠ADB=∠ADC=90°，
在Rt△ADB中，AB=6，则cos∠BAD==，∴∠BAD=60°，
∵∠CDE=18°，∴∠ADE=90°﹣18°=72°，∵AD=AE，∴∠ADE=∠AED=72°，
∴∠DAE=180°﹣2×72°=36°，∴∠GAC=36°+60°=96°，∴∠GFE=∠GAC=48°，故选：B．
【点睛】本题考查切线性质、锐角的三角函数、等腰三角形的性质、三角形的内角和定理、圆周角定理，熟练掌握切线性质和圆周角定理，利用特殊角的三角函数值求得∠BAD=60°是解答的关键．
2．（2021 金华模拟）如图所示，在直角坐标系中，A点坐标为（﹣3，4），⊙A的半径为2，P为x轴上一动点，PB切⊙A于点B，则当PB最小时，P点的坐标为（　　）
A．（﹣3，0） B．（﹣1，0） C．（﹣5，0） D．（﹣4，0）或（﹣2，0）
【思路点拨】此题根据切线的性质以及勾股定理，把要求PB的最小值转化为求AP的最小值，再根据垂线段最短的性质进行分析求解．
【答案】解：连接AB，AP．根据切线的性质定理，得AB⊥PB．
要使PB最小，只需AP最小，则根据垂线段最短，则作AP⊥x轴于P，即为所求作的点P；
此时P点的坐标是（﹣3，0）．故选：A．
【点睛】考查了切线的性质和坐标与图形的性质．此题应先将问题进行转化，再根据垂线段最短的性质进行分析．
3．（2021·江苏镇江·中考真题）如图，∠BAC＝36°，点O在边AB上，⊙O与边AC相切于点D，交边AB于点E，F，连接FD，则∠AFD等于（ ）
A．27° B．29° C．35° D．37°
【答案】A
【分析】连接OD，根据切线的性质得到∠ADO＝90°，根据直角三角形的性质得到∠AOD＝90°﹣36°＝54°，根据圆周角定理即可得到结论．
【详解】解：连接OD，
∵⊙O与边AC相切于点D，∴∠ADO＝90°，
∵∠BAC＝36°，∴∠AOD＝90°﹣36°＝54°，∴，故选：A．
【点睛】本题考查了切线的性质，圆周角定理，正确的作出辅助线构造直角三角形是解题的关键．
4．（2021·重庆一中九年级期中）如图，、分别与相切于、两点，是圆上一点，连接、，若，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】连接OA、OB，先证明∠P=180°-∠AOB，根据∠AOB=2∠ACB，求出∠AOB即可解决问题．
【详解】解：连接OA、OB，
∵PA、PB是⊙O切线，∴PA⊥OA，PB⊥OB，∴∠PAO=∠PBO=90°，
∵∠P+∠PAO+∠AOB+∠PBO=360°，∴∠P=180°-∠AOB，
∵∠ACB=62°，∴∠AOB=2∠ACB=124°，∴∠P=180°-124°=56°，故选：A．
【点睛】本题考查了切线的性质：圆的切线垂直于经过切点的半径．也考查了圆周角定理．
5．（2021·广西百色·中考真题）如图，PM、PN是⊙O的切线，切点分别是A、B，过点O的直线CE∥PN，交⊙O于点C、D，交PM于点E，AD的延长线交PN于点F，若BC∥PM．（1）求证：∠P＝45°；（2）若CD＝6，求PF的长．
【答案】（1）见解析；（2）3．
【分析】（1）连接OB，证明四边形是平行四边形，由平行四边形的性质解得，结合切线的性质及等腰三角形的性质，解得，据此解题；
（2）连接AC，证明，可得，结合（1）中，解得，再结合切线的性质及等腰三角形的性质解得，最后根据全等三角形对应边相等解题即可．
【详解】解：（1）连接OB，如图，
，四边形是平行四边形，
PN是⊙O的切线，；
（2）连接AC，如图，PM、PN是⊙O的切线，
四边形是平行四边形，
在与中，
PM是⊙O的切线，
．
【点睛】本题考查圆的切线性质、切线长定理、全等三角形的判定与性质、平行四边形的判定与性质、平行线的性质等知识，是重要考点，难度一般，掌握相关知识是解题关键．
考向8. 切线的判定
【典例精析】
【例】（2021·广东普宁·一模）如图，是⊙O的直径，交⊙O于点，于点，下列说法不正确的是（ ）
A．若，则是⊙O的切线 B．若，则是⊙O的切线
C．若，则是⊙O的切线 D．若是⊙O的切线，则
【答案】A
【分析】根据AB=AC，连接AD，利用圆周角定理以及等腰三角形的性质可以得到点D是BC的中点，OD是△ABC的中位线，OD∥AC，然后由DE⊥AC，得到∠ODE=90°，可以证明DE是⊙O的切线，可判断B选项正确；若DE是⊙O的切线，同上法倒推可证明AB=AC，可判断D选项正确；
根据CD=BD，AO=BO，得到OD是△ABC的中位线，同上可以证明DE是⊙O的切线，可判断C选项正确；
若，没有理由可证明DE是⊙O的切线．
【详解】解：当AB=AC时，如图：连接AD，
∵AB是⊙O的直径，∴AD⊥BC，∴CD=BD，∵AO=BO，∴OD是△ABC的中位线，∴OD∥AC，
∵DE⊥AC，∴DE⊥OD，∴DE是⊙O的切线，所以B选项正确；
当DE是⊙O的切线时，如图：连接AD，
∵DE是⊙O的切线，∴DE⊥OD，∵DE⊥AC，∴OD∥AC，∴OD是△ABC的中位线，∴CD∥BD，
∵AB是⊙O的直径，∴AD⊥BC，∴AD是线段BC的垂直平分线，∴AB=AC，所以D选项正确；
当CD=BD时，又AO=BO，∴OD是△ABC的中位线，∴OD∥AC，
∵DE⊥AC，∴DE⊥OD，∴DE是⊙O的切线，所以C选项正确．
若，没有理由证明DE是⊙O的切线，所以A选项错误．故选：A．
【点睛】本题考查了切线的判定和性质，正确的识别图形是解题的关键．
【变式训练】
变式8-1. （2021·湖北江汉·九年级期中）已知：如图，P为⊙O外一点，射线PO交⊙O于点A，B，C为⊙O上一点，连AC，BC，过点O作OD⊥AC于点E，交直线PC于点D，∠AOD＝∠PCA．
（1）求证：PC为⊙O的切线；（2）若BC＝4，DE＝1，求⊙O的半径．
【答案】（1）见解析；（2）
【分析】（1）连接OC，证出，进而得出，再由证出即可解答；（2）证出，进而得出，设 ,则可求出AB、AO、OE，再代入即可求解．
【详解】解：（1）连接OC，
∵ ，∴ ，∴ ，即 ，
∵ ，∴ ，
∴ ，∴ ，即 ，∴PC为⊙O的切线；
（2）∵ ，∴ ，∴ ，
设 ,则 ，∴ ，
∴ ，∴ ,解得： ，∴ ，∴⊙O的半径为 ．
【点睛】本题考查切线的判定定理，相似三角形的判定与性质，勾股定理等知识，掌握切线的判定定理，相似三角形的判定与性质，勾股定理是解题关键．
变式8-2. （2021 衢州中考模拟）如图，在等腰△ABC中，AB＝AC，以AC为直径作⊙O交BC于点D，过点D作DE⊥AB，垂足为E．（1）求证：DE是⊙O的切线．（2）若DE＝，∠C＝30°，求的长．
【思路点拨】（1）连接OD，只要证明OD⊥DE即可；
（2）连接AD，根据AC是直径，得到∠ADC＝90°，利用AB＝AC得到BD＝CD，解直角三角形求得BD，在Rt△ABD中，解直角三角形求得AD，根据题意证得△AOD是等边三角形，即可OD＝AD，然后利用弧长公式求得即可．
【答案】（1）证明：连接OD；∵OD＝OC，∴∠C＝∠ODC，
∵AB＝AC，∴∠B＝∠C，∴∠B＝∠ODC，∴OD∥AB，∴∠ODE＝∠DEB；
∵DE⊥AB，∴∠DEB＝90°，∴∠ODE＝90°，即DE⊥OD，∴DE是⊙O的切线．
（2）解：连接AD，∵AC是直径，∴∠ADC＝90°，
∵AB＝AC，∠C＝30°，∴∠B＝∠C＝30°，BD＝CD，∴∠OAD＝60°，
∵OA＝OD，∴△AOD是等边三角形，∴∠AOD＝60°，
∵DE＝，∠B＝30°，∠BED＝90°，∴CD＝BD＝2DE＝2，
∴OD＝AD＝tan30° CD＝×2＝2，∴的长为：＝．
【点睛】本题考查了切线的判定．要证某线是圆的切线，已知此线过圆上某点，连接圆心与这点（即为半径），再证垂直即可．
变式8-3. （2021 宁波模拟）如图，AB是⊙O的直径，F是⊙O外一点，过点F作FD⊥AB于点D，交弦AC于点E，且FC＝FE．（1）求证：FC是⊙O的切线；（2）若⊙O的半径为5，cos∠FCE＝，求弦AC的长．
【思路点拨】（1）连接OC，因为FC＝FE，所以∠FCE＝∠FEC，又因为FD⊥AB，所以∠OAC+∠AED＝90°，所以∠OCA+∠FCE＝90°，从而可得∠OCF＝90°．（2）连接BC，由（1）可知：∠AED＝∠FCE，因为AB是⊙O的直径，所以∠ACB＝90°，由于∠CAB+∠AED＝90°，∠CAB+∠B＝90°，所以∠B＝∠AED＝∠FCE，最后利用锐角三角函数的定义即可求出答案．
【答案】解：（1）连接OC，∵FC＝FE，∴∠FCE＝∠FEC，
∵∠FEC＝∠AED，∴∠AED＝∠FCE，∵OA＝OC，∴∠OAC＝∠ACO，
∵FD⊥AB，∴∠OAC+∠AED＝90°，∴∠OCA+∠FCE＝90°，∴∠OCF＝90°，
∵OC是⊙O的半径，∴FC是⊙O的切线；
（2）连接BC，由（1）可知：∠AED＝∠FCE，∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB＝90°
∵∠CAB+∠AED＝90°，∠CAB+∠B＝90°
∴∠B＝∠AED＝∠FCE，∴cos∠FCE＝cos∠B＝＝，∴BC＝4，
∴由勾股定理可知：AC＝2
【点睛】本题考查圆的综合问题，涉及圆的切线判定，勾股定理，锐角三角函数，圆周角定理等知识，综合程度较高，需要学生灵活运用所学知识．
【考点巩固训练】
1．（2021·江苏连云港·中考真题）如图，中，，以点C为圆心，为半径作，D为上一点，连接、，，平分．（1）求证：是的切线；（2）延长、相交于点E，若，求的值．
【答案】（1）见解析；（2）
【分析】（1）利用SAS证明，可得，即可得证；（2）由已知条件可得，可得出，进而得出即可求得；
【详解】（1）∵平分，∴．
∵，，∴．
∴．∴，∴是的切线．
（2）由（1）可知，，又，∴．
∵，且，∴，∴．
∵，∴．∵∴
【点睛】此题考查了切线的判定与性质，正切的性质，以及相似三角形的性质判定，熟练掌握基础知识是解本题的关键．
2．（2021·辽宁沈阳·中考真题）如图，是的直径，与交于点A，点E是半径上一点（点E不与点O，A重合）．连接交于点C，连接，．若，．
（1）求证：是的切线．（2）若，，则的长是__________．
【答案】（1）见解析；（2）
【分析】（1）根据圆周角定理得到，在利用等腰三角形的性质以及等量代换可得，进而得出结论；
（2）根据等腰三角形的判定可得，再根据勾股定理和相似三角形求出答案即可．
【详解】解：（1）是的直径，，．
又，，又，，即，
是的切线；
（2）由（1）可得，
，，，，
在中，由勾股定理得，，
，，，，即，解得．
【点睛】本题考查切线的判定，圆周角定理以及相似三角形，掌握切线的判定方法和圆周角定理、相似三角形的判定和性质是解决问题的前提．
3．（2021·山东滨州·中考真题）如图，在中，AB为的直径，直线DE与相切于点D，割线于点E且交于点F，连接DF．（1）求证：AD平分∠BAC；（2）求证：．
【答案】（1）见解析；（2）见解析
【分析】（1）连接OD，然后根据切线的性质和平行线的性质，可以得到∠ODA=∠DAC，再根据OA=OD，可以得到∠OAD=∠ODA，从而可以得到∠DAC=∠OAD，结论得证；（2）根据相似三角形的判定和性质，可以得到DB DF=EF AB，再根据等弧所对的弦相等，即可证明结论成立．
【详解】解：（1）证明：连接OD，如图所示，
∵直线DE与⊙O相切于点D，AC⊥DE，
∴∠ODE=∠DEA=90°，∴OD∥AC，∴∠ODA=∠DAC，
∵OA=OD，∴∠OAD=∠ODA，∴∠DAC=∠OAD，∴AD平分∠BAC；
（2）证明：连接OF，BD，如图所示，
∵AC⊥DE，垂足为E，AB是⊙O的直径，∴∠DEF=∠ADB=90°，
∵∠EFD+∠AFD=180°，∠AFD+∠DBA=180°，∴∠EFD=∠DBA，
∴△EFD∽△DBA，∴，∴DB DF=EF AB，
由（1）知，AD平分∠BAC，∴∠FAD=∠DAB，∴DF=DB，∴DF2=EF AB．
【点睛】本题考查相似三角形的判定和性质、切线的性质、角平分线的定义、平行线的性质，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用数形结合的思想解答．
4．（2021·甘肃武威市·中考真题）如图，内接于是的直径的延长线上一点，．过圆心作的平行线交的延长线于点．（1）求证：是的切线；（2）若，求的半径及的值；
【答案】（1）见解析；（2）半径为3，
【分析】（1）证明是的半径，即证明，结合直径所对圆周角是、等腰△OAC和已知即可求解；（2）由（1）中结论和可知，，再由CD、CE和平行线分线段成比例，即可找到BD、OB、BC、OE的关系，最后利用三边的勾股定理即可求解．
【详解】（1）证明：如图，，
，，
是的直径，，，
，即，，
又是的半径，是的切线．
（2），即，
∴设，则，
，解得，，
．即的半径为3，，
在中，，．
【点睛】本题考查圆切线的证明、平行线分线段成比例、勾股定理和锐角三角函数，属于中档几何综合题，解题的关键在于直径所对圆周角是直角和方程思想．
考向9. 切线长定理与三角形的内切圆
【典例精析】
【例】（2021·江苏省盐城中学新洋分校九年级月考）如图，AB、AC、BD是⊙O的切线，切点分别为P、C、D．若AB＝6，AC＝4，求BD的长．
【答案】2
【分析】根据AB、AC、BD是⊙O的切线，则AC＝AP，BP＝BD，求出BP的长即可求出BD的长．
【详解】解：∵AB、AC、BD是⊙O的切线，切点分别为P、C、D，
∴AC＝AP，BP＝BD，∴BD＝BP＝AB AP＝= AB AC= 6 4＝2．
【点睛】本题考查了切线长定理，两次运用切线长定理并利用等式的性质是解题的关键．
【变式训练】
变式9-1. （2021 上城区一模）已知一块等腰三角形钢板的底边长为60cm，腰长为50cm，能从这块钢板上截得最大圆的半径为　 　cm
【思路点拨】作AD⊥BC于D，根据等腰三角形的性质、勾股定理求出AD，根据三角形的面积公式计算即可．
【答案】解：作AD⊥BC于D，设最大圆的圆心为O，半径为r，连接OB、OC，
∵AB＝AC，AD⊥BC，∴BD＝BC＝30，在Rt△ABD中，AD＝＝40，
由S△ABC＝S△AOB+S△BOC+S△AOC得，×60×40＝×60×r+×50×r+×50×r，
解得，r＝15（cm），故答案为：15．
【点睛】本题考查了三角形的内切圆与内心、等腰三角形的性质，解题的关键是熟练掌握内心的性质与等腰三角形的特殊性．
变式9-2. （2021·浙江·九年级专题练习）如图，、为的切线，、为切点，点为弧上一点，过点作的切线分别交、于、，若，则的周长等于（ ）．
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】由切线长定理可得，然后根据线段之间的转化即可求得的周长．
【详解】∵、为的切线，所以，又∵为的切线，∴，
∴的周长．故选：B．
【点睛】此题考查了圆中切线长定理的运用，解题的关键是熟练掌握切线长定理．
变式9-3. （2021 江干区一模）如图，圆O是△ABC的内切圆，分别切BA、BC、AC于点E、F、D，点P在弧DE上，如果∠EPF＝70°，那么∠B＝（　　）
A．40° B．50° C．60° D．70°
【思路点拨】根据圆心角与圆周角的关系得出∠EOF＝140°，进而得出∠B的度数即可．
【答案】解：∵∠EPF＝70°，∴∠EOF＝2∠EPF＝140°，
∵BE、BF是切线，∴∠BEO＝∠BFO＝90°，∴∠B＝360°﹣90°﹣90°﹣140°＝40°，故选：A．
【点睛】此题考查三角形的内切圆与内心，关键是根据圆心角与圆周角的关系得出∠EOF＝140°．
【考点巩固训练】
1．（2021 嘉兴一模）如图，在扇形OAB中，点C是弧AB上任意一点（不与点A，B重合），CD∥OA交OB于点D，点I是△OCD的内心，连结OI，BI，∠AOB＝β，则∠OIB等于（　　）
A． B．180°﹣β C． D．90°+β
【思路点拨】由点I是△OCD的内心，得：∠COI＝∠BOI，连接IC，由圆的对称性可知：∠OIB＝∠OIC＝90°+∠ODC＝180°﹣β．
【答案】解：如图，连接IC，∵CD∥OA∴∠CDB＝∠AOB＝β，∴∠COD+∠OCD＝∠CDB＝β
∵点I是△OCD的内心∴OI、CI分别平分∠COD、∠OCD
∴∠COI＝∠BOI＝∠COD，∠OCI＝∠OCD
∴∠OIC＝180°﹣（∠COI+∠OCI）＝180°﹣（∠COD+∠OCD）＝180°﹣β．
在△COI和△BOI中∴△COI≌△BOI（SAS）
∴∠OIB＝∠OIC∴∠OIB＝180°﹣β．故选：A．
【点睛】本题主要考查了圆的对称性，三角形内切圆与内心，三角形内角和定理，平行线性质等，解题关键是能将这些知识串联起来．
2．（2021·陕西·西安益新中学模拟预测）如图，圆O是四边形ABCD的内切圆，连接AO、BO、CO、DO，记△AOD、△AOB、△COB、△DOC的面积分别为S1、S2、S3、S4，则S1、S2、S3、S4的数量关系为________．
【答案】S1+S3=S2+S4
【分析】设切点分别为E、F、G、H，由切线性质可知，OE⊥AD，OF⊥CD，OG⊥BC OH⊥AB，OE=OF=OG=OH=r，设DE=DF=a，AE=AH=b，BH=BG=c，CG=CF=d，推出S1+S3=r（a+b）r+ r（c+d）=r（a+b+c+d）=S2+S4．
【详解】解：如图设切点分别为E、F、G、H，
由切线性质可知，OE⊥AD，OF⊥CD，OG⊥BC OH⊥AB，OE=OF=OG=OH=r，
设DE=DF=a，AE=AH=b，BH=BG=c，CG=CF=d，
S1=r（a+b）r，S2=r （b+c） S3= r（c+d），S4=r（a+d），
∴S1+S3=r（a+b）r+ r（c+d）=r（a+b+c+d），S2+S4=r（a+d）+r （b+c）=r（a+b+c+d），
∴S1+S3=S2+S4．故答案为：S1+S3=S2+S4．
【点睛】本题考查了内切圆的性质，熟练运用切线的性质和三角形面积公式是解题的关键．
3．（2021·青海西宁·中考真题）如图，的内切圆与分别相切于点D，E，F，连接，，，，，则阴影部分的面积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】连接OD，由题意，先利用勾股定理求出AB的长度，设半径为r，然后求出内切圆的半径，再利用正方形的面积减去扇形的面积，即可得到答案．
【详解】解：连接OD，如图：
在中，，，，由勾股定理，则，
设半径为r，则，∴，∴四边形CEOF是正方形；
由切线长定理，则，，
∵，∴，解得：，∴；
∴阴影部分的面积为：；故选：C．
【点睛】本题考查了三角形的内切圆，切线的性质，切线长定理，求扇形的面积，勾股定理等知识，解题的关键是熟练掌握所学的知识，正确的进行解题．
4．（2021·江苏·苏州市振华中学校九年级阶段练习）如图，点为的内心，，，，则的面积是（ ）
A． B． C．2 D．4
【答案】B
【分析】过点C作CH⊥BO于点H．由点O为△ABC的内心，∠A＝60°，得∠BOC＝120°，则∠COH＝60°，由OC＝4，得CH＝2，BO＝2，于是求出△OBC的面积．
【详解】解：过点C作CH⊥BO于点H．∵点O为△ABC的内心，∠A＝60°，
∴∠BOC＝180°-∠OBC-∠OCB=90°∠A＝90°120°，
则∠COH＝60°，∠OCH＝30°∵CO＝4，∴OH=2∴CH＝2，BO＝2，
∴△OBC的面积为2，故选：B．
【点睛】本题考查了三角形内心的相关计算，熟练运用含30°角的直角三角形的性质是解题的关键．
5．（2021·广东·广州市番禺执信中学二模）如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A、∠B、∠C的对边分别为a、b、c，a=10，⊙O内切于Rt△ABC，且半径为4，则a+b+c=_____．
【答案】60
【分析】设切点分别是D、E、F，连接OD、OE、OF，则OD⊥AC，OE⊥BC，OF⊥AB，Rt△ABC中，AC +BC =AB ，可得b +10 =(b+2) ，解得b=24，进而可得答案．
【详解】解：设切点分别是D、E、F，连接OD、OE、OF，则OD⊥AC，OE⊥BC，OF⊥AB，
∵∠C=90°，∴四边形OECD是正方形，∴CE=CD=r=4，∴AD=b-4，BE=10-4=6，
根据切线长定理可得：AF=AD=b-4，BF=BE=6，AB=c=b-4+6=b+2，
Rt△ABC中，AC +BC =AB ，∴b +10 =(b+2) ，解得b=24，c=b+2=26，
∴a+b+c=10+24+26=60．故答案为：60．
【点睛】本题考查了切线的性质和切线长定理，利用勾股定理列出方程是解题关键．
考向10. 弧长、扇形的面积
【典例精析】
【例】（2021·云南中考真题）如图，等边的三个顶点都在上，是的直径．若，则劣弧的长是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】连接OB，OC，根据圆周角定理得到∠BOC=2∠BAC，证明△AOB≌△AOC，得到∠BAO=∠CAO=30°，得到∠BOD，再利用弧长公式计算．
【详解】解：连接OB，OC，∵△ABC是等边三角形，∴∠BOC=2∠BAC=120°，
又∵AB=AC，OB=OC，OA=OA，∴△AOB≌△AOC（SSS），∴∠BAO=∠CAO=30°，
∴∠BOD=60°，∴劣弧BD的长为=π，故选B．
【点睛】本题考查了等边三角形的性质，圆周角定理，弧长公式，解题的关键是求出圆心角∠BOD的度数．
【变式训练】
变式10-1. （2021 宁波）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝30°，AB＝4，以点B为圆心，BC长为半径画弧，交边AB于点D，则的长为（　　）
A．π B．π C．π D．π
【思路点拨】先根据ACB＝90°，AB＝4，∠A＝30°，得圆心角和半径的长，再根据弧长公式可得到弧CD的长．
【答案】解：∵∠ACB＝90°，AB＝4，∠A＝30°，∴∠B＝60°，BC＝2
∴的长为＝，故选：C．
【点睛】本题主要考查了弧长公式的运用和直角三角形30度角的性质，解题时注意弧长公式为：l＝（弧长为l，圆心角度数为n，圆的半径为R）．
变式10-2. （2021·浙江衢州市·中考真题）已知扇形的半径为6，圆心角为．则它的面积是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】已知扇形的半径和圆心角度数求扇形的面积，选择公式直接计算即可．
【详解】解：．故选：D
【点睛】本题考查扇形面积公式的知识点，熟知扇形面积公式及适用条件是解题的关键．
变式10-3. （2021·广西柳州市·中考真题）如图所示，点A，B，C对应的刻度分别为1，3，5，将线段绕点C按顺时针方向旋转，当点A首次落在矩形的边上时，记为点，则此时线段扫过的图形的面积为（ ）
A． B．6 C． D．
【答案】D
【分析】由题意可知，AC扫过的图形为一个扇形，，半径为4，求出，再根据扇形面积公式求解即可．
【详解】解：由图可知：AC=A’C=4，BC=2，∴，
∴，线段扫过的图形为扇形，此扇形的半径为，
∴，故选：D．
【点睛】本题考查了扇形的面积公式，读懂题目明确AC扫过的图形为一个扇形，且扇形的半径为4是解决本题的关键．
【考点巩固训练】
1．（2021 杭州模拟）如图，点A，B，C在⊙O上，若OB＝3，∠ABC＝60°，则劣弧AC的长为（　　）
A．π B．2π C．3π D．4π
【思路点拨】连接OA、OC，根据圆周角定理得到∠AOC＝2∠ABC＝120°，根据弧长的公式计算即可．
【答案】解：连接OA、OC，如图所示：则OA＝OA＝OB＝3，
∵∠ABC＝60°，∴∠AOC＝2∠ABC＝120°，
∴劣弧AC的长为＝2π；故选：B．
【点睛】本题考查了弧长的计算，圆周角定理，正确的作出辅助线是解题的关键．
2．（2021 温州模拟）已知圆弧的度数为120°，弧长为12πcm，则圆的半径为（　　）
A．2 B．6 C．8 D．18
【思路点拨】根据弧长公式，代入求解即可．
【答案】解：∵L＝，则R＝．故选：D．
【点睛】此题考查了弧长的计算，解答本题的关键是掌握弧长公式L＝．
3．（2021 滨江区一模）今年寒假期间，小芮参观了中国扇博物馆，如图是她看到的折扇和团扇．已知折扇的骨柄长为30cm，扇面的宽度为18cm，某扇张开的角度为120°，若这两把扇子的扇面面积相等，则团扇的半径为（　　）cm．
A．6 B．8 C．6 D．8
【思路点拨】设团扇的半径为xcm．构建方程即可解决问题．
【答案】解：设团扇的半径为xcm．由题意（302﹣122）＝π x2，
解得x＝6或﹣6（舍弃），∴团扇的半径为6cm．故选：A．
【点睛】本题考查扇形的面积，解题的关键是学会利用参数构建方程解决问题，属于中考常考题型．
4．（2021 柯桥区模拟）如图，△ABC为等边三角形，保持各边的长度不变，将BC边向三角形外弯曲得到扇形ABC，设△ABC的面积为S1，扇形ABC的面积为S2，则S1与S2的大小关系为（　　）
A．S1＜S2 B．S1＝S2 C．S1＞S2 D．无法确定
【思路点拨】根据三角形的面积公式以及扇形的面积公式即可直接作出判断．
【答案】解：设三角形的边长是a，高是h，则a＞h．
∵S1＝ah，S2＝ a＝a2，∴S1＜S2．故选：A．
【点睛】本题考查了扇形的面积的计算，理解扇形的弧长等于三角形的边长是本题的关键．
5．（2021 宁波模拟）扇形的圆心角为60°，弧长为4πcm，则此扇形的面积等于　　cm2．
【思路点拨】根据弧长公式求出扇形半径，根据扇形面积公式计算，得到答案．
【答案】解：设扇形的半径为rcm，则＝4π，解得，r＝12，
∴此扇形的面积＝×4π×12＝24π（cm2），故答案为：24π．
【点睛】本题考查的是弧长计算、扇形面积计算，掌握扇形面积公式：S＝lR是解题的关键．
考向11. 圆柱和圆锥
【典例精析】
【例】（2021·江苏南京市·中考真题）在几何体表面上，蚂蚁怎样爬行路径最短？
（1）如图①，圆锥的母线长为，B为母线的中点，点A在底面圆周上，的长为．在图②所示的圆锥的侧面展开图中画出蚂蚁从点A爬行到点B的最短路径，并标出它的长（结果保留根号）．
（2）图③中的几何体由底面半径相同的圆锥和圆柱组成．O是圆锥的顶点，点A在圆柱的底面圆周上．设圆锥的母线长为l，圆柱的高为h．①蚂蚁从点A爬行到点O的最短路径的长为________（用含l，h的代数式表示）．②设的长为a，点B在母线上，．圆柱的侧面展开图如图④所示，在图中画出蚂蚁从点A爬行到点B的最短路径的示意图，并写出求最短路径的长的思路．
【答案】（1）作图如图所示；（2）①h +l；②见解析．
【分析】（1）根据两点之间线段最短，即可得到最短路径；连接OA，AC，可以利用弧长与母线长求出∠AOC，进而证明出△OAC是等边三角形，利用三角函数即可求解；
（2）①由于圆锥底面圆周上的任意一点到圆锥顶点的距离都等于母线长，因此只要蚂蚁从点A爬到圆锥底面圆周上的路径最短即可，因此顺着圆柱侧面的高爬行，所以得出最短路径长即为圆柱的高h加上圆锥的母线长l；②如图，根据已知条件，设出线段GC的长后，即可用它分别表示出OE、BE、GE、AF，进一步可以表示出BG、GA，根据B、G、A三点共线，在Rt△ABH中利用勾股定理建立方程即可求出GC的长，最后依次代入前面线段表达式中即可求出最短路径长．
【详解】解：（1）如图所示，线段AB即为蚂蚁从点A爬行到点B的最短路径；设∠AOC=n°，
∵圆锥的母线长为， 的长为，∴，∴；
连接OA、CA，∵，∴是等边三角形，
∵B为母线的中点，∴，∴．
（2）① 蚂蚁从点A爬行到点O的最短路径为：先沿着过A点且垂直于地面的直线爬到圆柱的上底面圆周上，再沿圆锥母线爬到顶点O上，因此，最短路径长为h+l
② 蚂蚁从点A爬行到点B的最短路径的示意图如下图所示，线段AB即为其最短路径（G点为蚂蚁在圆柱上底面圆周上经过的点，图中两个C点为图形展开前图中的C点）；
求最短路径的长的思路如下：如图，连接OG，并过G点作GF⊥AD，垂足为F，由题可知，，GF=h， OB=b，由的长为a，得展开后的线段AD=a，设线段GC的长为x，则的弧长也为x，由母线长为l，可求出∠COG，作BE⊥OG，垂足为E，
因为OB=b，可由三角函数求出OE和BE，从而得到GE，利用勾股定理表示出BG，
接着由FD=CG=x，得到AF=a-x，利用勾股定理可以求出AG，
将AF+BE即得到AH，将EG+GF即得到HB，因为两点之间线段最短，∴A、G、B三点共线，
利用勾股定理可以得到：,进而得到关于x的方程，即可解出x，
将x的值回代到BG和AG中，求出它们的和即可得到最短路径的长．
【点睛】本题考查的是曲面上的最短路径问题，涉及到圆锥和圆柱以及它们的组合体上的最短路径问题，解题过程涉及到“两点之间、线段最短”以及勾股定理和三角函数等知识，本题为开放性试题，答案形式不唯一，对学生的空间想象能力以及图形的感知力要求较高，蕴含了数形结合等思想方法．
【变式训练】
变式11-1. （2021 金华）如图物体由两个圆锥组成．其主视图中，∠A＝90°，∠ABC＝105°，若上面圆锥的侧面积为1，则下面圆锥的侧面积为（　　）
A．2 B． C． D．
【思路点拨】先证明△ABD为等腰直角三角形得到∠ABD＝45°，BD＝AB，再证明△CBD为等边三角形得到BC＝BD＝AB，利用圆锥的侧面积的计算方法得到上面圆锥的侧面积与下面圆锥的侧面积的比等于AB：CB，从而得到下面圆锥的侧面积．
【答案】解：∵∠A＝90°，AB＝AD，∴△ABD为等腰直角三角形，∴∠ABD＝45°，BD＝AB，
∵∠ABC＝105°，∴∠CBD＝60°，而CB＝CD，∴△CBD为等边三角形，∴BC＝BD＝AB，
∵上面圆锥与下面圆锥的底面相同，∴上面圆锥的侧面积与下面圆锥的侧面积的比等于AB：CB，
∴下面圆锥的侧面积＝×1＝．故选：D．
【点睛】本题考查了圆锥的计算：圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长．也考查了等腰直角三角形和等边三角形的性质．
变式11-2. （2021 长兴县一模）已知圆锥的底面半径为3，侧面展开图的圆心角为180°，则圆锥的母线长是（　　）
A．6 B．3 C． D．9
【思路点拨】利用圆锥的弧长等于底面周长可得圆锥的母线长．
【答案】解：设母线长为R，由题意得：，解得：R＝6，故选：A．
【点睛】此题考查圆锥的计算，关键是利用圆锥的弧长等于底面周长可得圆锥的母线长解答．
变式11-3. （2021·四川广元市·中考真题）如图，从一块直径是2的圆形铁片上剪出一个圆心角为的扇形，将剪下来的扇形围成一个圆锥．那么这个圆锥的底面圆的半径是（ ）
A． B． C． D．1
【答案】B
【分析】先计算的长度，然后围成的圆锥底面周长等同于的长度，根据公式计算即可．
【详解】解：如下图：连接BC，AO，∵，∴BC是直径，且BC=2，
又∵，∴，
又∵， ，∴ ，
∴的长度为：， ∴围成的底面圆周长为，
设圆锥的底面圆的半径为， 则：， ∴．故选：
【点睛】本题考查扇形弧长的计算，圆锥底面半径的计算，解直角三角形等相关知识点，根据条件计算出扇形的半径是解题的关键．
【考点巩固训练】
1．（2021·江苏宿迁市·中考真题）已知圆锥的底面圆半径为4，侧面展开图扇形的圆心角为120°，则它的侧面展开图面积为_____________．
【答案】48π
【分析】首先根据底面圆的半径求得扇形的弧长，然后根据弧长公式求得扇形的半径，然后利用公式求得面积即可．
【详解】解：∵底面圆的半径为4，∴底面周长为8π，∴侧面展开扇形的弧长为8π，
设扇形的半径为r，∵圆锥的侧面展开图的圆心角是120°，∴＝8π，解得：r＝12，
∴侧面积为π×4×12＝48π，故答案为：48π．
【点睛】考查了圆锥的计算，解题的关键是了解圆锥的侧面展开扇形的弧长等于底面圆的周长，难度不大．
2．（2021·内蒙古呼伦贝尔市·中考真题）将圆心角为的扇形围成底面圆的半径为的圆锥，则圆锥的母线长为_________．
【答案】3cm
【分析】设母线长为xcm，根据扇形的弧长等于底面圆的周长列式计算即可得到答案．
【详解】解：设母线长为xcm，，解得r=3，故答案为：3cm．
【点睛】此题考查弧长的计算公式，正确掌握圆锥侧面扇形与底面圆的关系是解题的关键．
3．（2021 金华模拟）已知一个圆锥的底面半径为5cm，高为cm，则这个圆锥的表面积为（　　）
A．5πcm2 B．30πcm2 C．55πcm2 D．85πcm2
【思路点拨】首先求得底面的周长、面积，利用勾股定理求得圆锥的母线长，然后利用扇形的面积公式即可求得圆锥的侧面积，加上底面面积就是表面积．
【答案】解：底面周长是2×5π＝10πcm，底面积是：52π＝25πcm2．
母线长是：＝6（cm），则圆锥的侧面积是：×10π×6＝30π（cm2），
则圆锥的表面积为25π+30π＝55π（cm2）．故选：C．
【点睛】本题考查了圆锥的计算，勾股定理，圆的面积公式，圆的周长公式和扇形面积公式求解．注意圆锥表面积＝底面积+侧面积＝π×底面半径2+底面周长×母线长÷2的应用．
4．（2021 衢州）如图，AB是圆锥的母线，BC为底面直径，已知BC＝6cm，圆锥的侧面积为15πcm2，则sin∠ABC的值为（　　）
A． B． C． D．
【思路点拨】先根据扇形的面积公式S＝L R求出母线长，再根据锐角三角函数的定义解答即可．
【答案】解：设圆锥的母线长为R，由题意得15π＝π×3×R，解得R＝5．
∴圆锥的高为4，∴sin∠ABC＝＝，故选：C．
【点睛】本题考查圆锥侧面积公式的运用，注意一个角的正弦值等于这个角的对边与斜边之比．
5．（2021 永康市一模）已知，如图将圆心角为120°，半径为9cm的扇形，围成了圆锥侧面，则圆锥的底面半径为（　　）
A．3 B．6 C．6 D．6
【思路点拨】根据扇形弧长公式求出弧长，根据圆的周长公式计算即可．
【答案】解：扇形的弧长＝＝6π，则圆锥的底面半径＝6π÷2π＝3（cm）故选：A．
【点睛】本题考查的是圆锥的计算，理解圆锥的侧面展开图与原来的扇形之间的关系是解决本题的关键，理解圆锥的母线长是扇形的半径，圆锥的底面圆周长是扇形的弧长．
考向12. 不规则图形的面积
【典例精析】
【例】（2021·湖北宜昌市·中考真题）“莱洛三角形”是工业生产中加工零件时广泛使用的一种图形．如图，以边长为2厘米的等边三角形的三个顶点为圆心，以边长为半径画弧，三段圆弧围成的图形就是“莱洛三角形”，该“莱洛三角形”的面积为____________平方厘米．（圆周率用表示）
【答案】
【分析】根据等边三角形性质求出相关的边、角数值，计算出扇形面积和弓形面积，从而推算出阴影面积即可．
【详解】解：如下图：
过点作于点D，∵为等边三角形，，
∴，，
在中，，∴，
∴， ，
∴，∴，
故答案为：
【点睛】本题考查的圆内阴影面积的求法、扇形面积的计算、等边三角形性质与面积计算、锐角三角函数等相关知识点，根据题意找见相关的等量是解题关键．
【变式训练】
变式12-1. （2021·重庆中考真题）如图，矩形ABCD的对角线AC，BD交于点O，分别以点A，C为圆心，AO长为半径画弧，分别交AB，CD于点E，F．若BD＝4，∠CAB＝36°，则图中阴影部分的面积为___________．（结果保留π）．
【答案】
【分析】利用矩形的性质求得OA=OC=OB=OD=2，再利用扇形的面积公式求解即可．
【详解】解：∵矩形ABCD的对角线AC，BD交于点O，且BD=4，
∴AC=BD＝4，OA=OC=OB=OD=2，∴，故答案为：．
【点睛】本题考查了矩形的性质，扇形的面积等知识，正确的识别图形是解题的关键．
变式12-2. （2021·湖北荆州市·中考真题）如图，在菱形中，，，以为圆心、长为半径画，点为菱形内一点，连接，，．当为等腰直角三角形时，图中阴影部分的面积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】以点B为原点，BC边所在直线为x轴，以过点B且与BC垂直的直线为y轴建立平面直角坐标系，判断出，再根据∠BCP=90°和∠BPC=90°两种情况判断出点P的位置，启动改革免费进行求解即可．
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第4章 图形与性质（浙江省专用）
第23节 圆
【考场演练】
一、选择题
1．（2022·江苏镇江初三月考）下列说法：①直径是弦；②长度相等的两条弧是等弧；③圆是中心对称图形；④任何一条直径都是圆的对称轴，其中说法正确的有（ ）个
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】B
【分析】根据圆的性质依次判断即可得到答案.
【解析】①直径是圆中最长的弦，故正确；②在同圆或等圆中，能够完全重合的两条弧是等弧，故②错误；
③圆是中心对称图形，故正确；④任何一条直径所在的直线都是圆的对称轴，故④错误，
正确的有2个，故选：B.
【点睛】此题考查圆的性质，正确掌握弦、等弧的定义，圆的对称性是解题的关键.
2．（2022·浙江柯桥·九年级期末）已知O与点P在同一平面内，如果O的直径为6，线段OP的长为4，则下列说法正确的是（ ）
A．点P在O上 B．点P在O内 C．点P在O外 D．无法判断点P与O的位置关系
【答案】C
【分析】要确定点与圆的位置关系，主要确定点与圆心的距离与半径的大小关系；则d>r时，点在圆外；当d=r时，点在圆上；当d 【详解】解：∵⊙O的直径为6，∴r=3，∵OP=4>3，∴点P在⊙O外，故选：C．
【点睛】本题考查了对点与圆的位置关系的判断，关键要记住若半径为r，点到圆心的距离为d，则有：当d>r时，点在圆外；当d =r时，点在圆上，当d3．（2021·安徽芜湖·模拟）如图，在平面直角坐标系中，过格点A，B，C作一圆弧，点B与下列格点的连线中，能够与该圆弧相切的是( )
A．点(0，3) B．点(1，3) C．点(6，0) D．点(6，1)
【答案】B
【分析】根据垂径定理的性质得出圆心所在位置，再根据切线的性质得出，当O'B⊥BF时F点的位置即可．
【详解】∵过格点A，B，C作一圆弧，∴由垂径定理可得圆心为：O'(2,0)，如图所示，
由切线性质可知当O'B⊥BF时，BF与圆相切，
当△BO'D≌△BFA时，∠O'BF=∠FBA+∠O'BA=∠O'BD+∠O'BA=90°，
此时O'B⊥BF，BF与圆相切，AF=O'D=1，AB=BD=2，
∴F坐标为（1,3），同理可得F'（5,1），所以满足条件的F点的坐标为：(5,1)或(1,3)，故选B.
【点睛】本题考查由垂径定理确定圆心和切线的性质，确定圆心是本题的关键.
4．（2021·浙江嘉兴市·中考真题）已知平面内有和点，，若半径为，线段，，则直线与的位置关系为（ ）
A．相离 B．相交 C．相切 D．相交或相切
【答案】D
【分析】根据点与圆的位置关系的判定方法进行判断．
【详解】解：∵⊙O的半径为2cm，线段OA=3cm，线段OB=2cm，
即点A到圆心O的距离大于圆的半径，点B到圆心O的距离等于圆的半径，
∴点A在⊙O外．点B在⊙O上，∴直线AB与⊙O的位置关系为相交或相切，故选：D．
【点睛】本题考查了直线与圆的位置关系，正确的理解题意是解题的关键．
5．（2021 南沙区一模）如图，四边形ABCD内接于⊙O，E为DC延长线上一点．若∠BCE＝105°，则∠BOD的度数是（　　）
A．150° B．105° C．75° D．165°
【分析】首先利用邻补角求得∠BCD的度数，然后利用圆周角定理求得答案即可．
【解析】∵∠BCE＝105°，∴∠BCD＝180°﹣∠BCE＝180°﹣105°＝75°，
∴∠BOD＝2∠BCD＝150°，故选：A．
【点评】考查了圆周角定理的知识，解题的关键是了解同弧所对的圆心角是圆周角的2倍，难度不大．
6．（2021·浙江绍兴市·中考真题）如图，正方形ABCD内接于，点P在上，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】连接OB，OC，由正方形ABCD的性质得，再根据圆周角与圆心角的关系即可得出结论．
【详解】解：连接OB，OC，如图，
∵正方形ABCD内接于，∴ ∴ 故选：B．
【点睛】此题主要考查了圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．
7．（2021 金华一模）如图，AB是半圆O的直径，点C在半圆O上，把半圆沿弦AC折叠，恰好经过点O，则与的关系是（　　）
A．＝ B．＝ C．＝ D．不能确定
【思路点拨】连接OC，BC，过O作OE⊥AC于D交圆O于E，根据折叠的性质得到OD＝OE，根据圆周角定理得到∠ACB＝90°，根据三角形的中位线的性质得到OD＝BC，求得∠COB＝60°，得到∠AOC＝120°，于是得到结论．
【答案】解：连接OC，BC，过O作OE⊥AC于D交圆O于E，
∵把半圆沿弦AC折叠，恰好经过点O，∴OD＝OE，
∵AB是半圆O的直径，∴∠ACB＝90°，∴OD∥BC，
∵OA＝OB，∴OD＝BC，∴BC＝OE＝OB＝OC，
∴∠COB＝60°，∴∠AOC＝120°，∴＝，故选：A．
【点睛】本题考查了圆心角，弧，弦的关系，垂径定理，三角形的中位线的性质，折叠的性质，正确的作出辅助线是解题的关键．
8．（2021·浙江丽水市·中考真题）如图，是的直径，弦于点E，连结．若的半径为，则下列结论一定成立的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据垂径定理、锐角三角函数的定义进行判断即可解答．
【详解】解：∵是的直径，弦于点E，∴
在中，，∴
∴，故选项A错误，不符合题意；
又 ∴ ∴，故选项B正确，符合题意；
又 ∴
∵ ∴，故选项C错误，不符合题意；
∵，
∴，故选项D错误，不符合题意；故选B．
【点睛】本题考查了垂径定理，锐角三角函数的定义以及三角形面积公式的应用，解本题的关键是熟记垂径定理和锐角三角函数的定义．
9．（2021·四川成都市·中考真题）如图，正六边形的边长为6，以顶点A为圆心，的长为半径画圆，则图中阴影部分的面积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据正多边形内角和公式求出∠FAB，利用扇形面积公式求出扇形ABF的面积计算即可．
【详解】解：∵六边形ABCDEF是正六边形，∴∠FAB=，AB=6，
∴扇形ABF的面积=，故选择D．
【点睛】本题考查的是正多边形和圆、扇形面积计算，掌握多边形内角的计算公式、扇形面积公式是解题的关键．
10．（2021·四川泸州市·中考真题）如图，⊙O的直径AB=8，AM，BN是它的两条切线，DE与⊙O相切于点E，并与AM，BN分别相交于D，C两点，BD，OC相交于点F，若CD=10，则BF的长是
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】过点D作DG⊥BC于点G，延长CO交DA的延长线于点H，根据勾股定理求得，即可得AD=BG=2，BC= 8，再证明△HAO≌△BCO，根据全等三角形的性质可得AH=BC=8，即可求得HD= 10；在Rt△ABD中，根据勾股定理可得；证明△DHF∽△BCF，根据相似三角形的性质可得，由此即可求得．
【详解】过点D作DG⊥BC于点G，延长CO交DA的延长线于点H，
∵AM，BN是它的两条切线，DE与⊙O相切于点E，∴AD=DE，BC=CE，∠DAB=∠ABC=90°，
∵DG⊥BC，∴四边形ABGD为矩形，∴AD=BG，AB=DG=8，
在Rt△DGC中，CD=10，∴，
∵AD=DE，BC=CE，CD=10，∴CD= DE+CE = AD+BC =10，
∴AD+BG +GC=10，∴AD=BG=2，BC=CG+BG=8，
∵∠DAB=∠ABC=90°，∴AD∥BC，∴∠AHO=∠BCO，∠HAO=∠CBO，
∵OA=OB，∴△HAO≌△BCO，∴AH=BC=8，
∵AD=2，∴HD=AH+AD=10；在Rt△ABD中，AD=2，AB=8，
∴，
∵AD∥BC，∴△DHF∽△BCF，∴，
∴，解得，．故选A．
【点睛】本题是圆的综合题，考查了切线长定理、勾股定理、全等三角形的判定及性质、相似三角形的判定于性质，熟练运用相关知识是解决问题的关键．
二、填空题
11．（2021·浙江宁波市·中考真题）抖空竹在我国有着悠久的历史，是国家级的非物质文化遗产之一．如示意图，分别与相切于点C，D，延长交于点P．若，的半径为，则图中的长为________．（结果保留）
【答案】
【分析】连接OC、OD，利用切线的性质得到，根据四边形的内角和求得，再利用弧长公式求得答案．
【详解】连接OC、OD，∵分别与相切于点C，D，∴，
∵，，
∴，∴的长=（cm），故答案为：．
．
【点睛】此题考查圆的切线的性质定理，四边形的内角和，弧长的计算公式，熟记圆的切线的性质定理及弧长的计算公式是解题的关键．
12．（2021·江苏徐州市·中考真题）如图，沿一条母线将圆锥侧面剪开并展平，得到一个扇形，若母线长为，扇形的圆心角，则圆锥的底面圆半径为__________．
【答案】2
【分析】结合题意，根据弧长公式，得圆锥的底面圆周长；再根据圆形周长的性质计算，即可得到答案．
【详解】∵母线长为，扇形的圆心角
∴圆锥的底面圆周长
∴圆锥的底面圆半径故答案为：2．
【点睛】本题考查了弧长、圆周长的知识；解题的关键是熟练掌握弧长计算的性质，从而完成求解．
13．（2021·贵州黔东南苗族侗族自治州·中考真题）小明很喜欢钻研问题，一次数学杨老师拿来一个残缺的圆形瓦片（如图所示）让小明求瓦片所在园的半径，小明连接瓦片弧线两端AB，量的弧AB的中心C到AB的距离CD＝1.6cm，AB＝6.4cm，很快求得圆形瓦片所在园的半径为 _________cm．
【答案】4
【分析】圆的两弦的中垂线的交点，就是圆心；连接AC，作AC的中垂线，与直线CD的交点就是圆心，已知圆心即可作出圆；连接圆心与A，根据勾股定理即可求得半径．
【详解】如图，
连接OA，∵CD是弦AB的垂直平分线，∴，
设圆的半径是r．在直角△ADO中， ．
根据勾股定理得， ，∴故答案为：4
【点睛】本题主要考查圆的确定和垂径定理，熟练掌握垂径定理得出关于半径的方程是解题的关键．
14．（2021 秀洲区期中）如图，四边形ABCD内接于圆O，E为边AD延长线上一点，已知弧AC的度数为120°，则∠CDE＝　 　．
【思路点拨】由弧AC的度数为120°可求出∠B的度数，再根据圆的内接四边形的性质，即可求得∠ADC的度数，继而求得答案．
【答案】解：∵弧AC的度数为120°，∴∠B＝×120°＝60°，
∵四边形ABCD内接于圆O，∴∠ADC＝180°﹣∠B＝120°，
∴∠ADE＝180°﹣∠ADC＝60°．故答案为：60°．
【点睛】此题考查了圆的内接多边形的性质．注意圆的内接四边形的对角互补是解题的关键．
15．（2021·陕西中考真题）如图，正方形的边长为4，的半径为1．若在正方形内平移（可以与该正方形的边相切），则点A到上的点的距离的最大值为______．
【答案】
【分析】由题意易得当与BC、CD相切时，切点分别为F、G，点A到上的点的距离取得最大，进而根据题意作图，则连接AC，交于点E，然后可得AE的长即为点A到上的点的距离为最大，由题意易得，则有△OFC是等腰直角三角形，，根据等腰直角三角形的性质可得，最后问题可求解．
【详解】解：由题意得当与BC、CD相切时，切点分别为F、G，点A到上的点的距离取得最大，如图所示：
连接AC，OF，AC交于点E，此时AE的长即为点A到上的点的距离为最大，如图所示，
∵四边形是正方形，且边长为4，∴，
∴△OFC是等腰直角三角形，，∵的半径为1，∴，
∴，∴，∴，
即点A到上的点的距离的最大值为；故答案为．
【点睛】本题主要考查正方形的性质、切点的性质定理及等腰直角三角形的性质与判定，熟练掌握正方形的性质、切点的性质定理及等腰直角三角形的性质与判定是解题的关键．
16．（2021·广西河池·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，以为圆心，AB为直径的圆与x轴相切，与y轴交于A，C两点，则点B的坐标是____________．
【答案】
【分析】如图，连接，设圆与x轴相切于点，连接交与点，结合已知条件，则可得，勾股定理求解，进而即可求得的坐标．
【详解】如图，连接，设圆与x轴相切于点，连接交与点，
则轴，为直径，则，，轴，
，，，，，
，轴，．故答案为：．
【点睛】本题考查了圆的性质，直径所对的圆周角是直角，垂径定理，切线的性质，勾股定理，坐标与图形，掌握以上知识是解题的关键．
17．（2021·浙江温州市·中考真题）如图，与的边相切，切点为．将绕点按顺时针方向旋转得到，使点落在上，边交线段于点．若，则______度．
【答案】85
【分析】连结OO′，先证△BOO′为等边三角形，求出∠AOB=∠OBO′=60°，由与的边相切，可求∠CBO==30°，利用三角形内角和公式即可求解．
【详解】解：连结OO′，∵将绕点按顺时针方向旋转得到，
∴BO′=BO=OO′，∴△BOO′为等边三角形，∴∠OBO′=60°，
∵与的边相切，∴∠OBA=∠O′BA′=90°，∴∠CBO=90°-∠OBO′=90°-60°=30°，
∵∠A′=25°∴∠A′O′B=90°-∠A′=90°-25°=65°∴∠AOB=∠A′O′B=65°，
∴∠OCB=180°-∠COB-∠OBC=180°-65°-30°=85°．故答案为85．
【点睛】本题考查图形旋转性质，切线性质，等边三角形判定与性质，直角三角形性质，掌握图形旋转性质，切线性质，等边三角形判定与性质，直角三角形性质是解题关键．
18．（2021·浙江拱墅·二模）如图，点O是△ABC的内心，AO的延长线交△ABC的外接圆于点D，交BC于点E，设＝a，则＝___．（用含a的代数式表示）
【答案】
【分析】过点O作OF∥BD交AB于点F，连接BD，通过三角形内心的性质可得出∠FAO=∠EAC，然后证明△FBO≌△EBO，然后根据成比例线段的性质，根据＝a，得出，BF=BE，，从而得到＝．
【详解】解：过点O作OF∥BD交AB于点F，连接BD，∴∠AOF=∠ADB=∠ACE，
∵点O是△ABC的内心，∴∠FAO=∠EAC，
∴∠AFO=180°-∠FAO-∠AOF=180°-∠EAC-∠ACE=∠AEC，∴∠BFO=∠BEO，
在△FBO和△EBO中，，∴△FBO≌△EBO（AAS），∴OF=OE，BF=BE，
∵∠OBD=∠OBE+∠CBD=∠ABO+∠CAD，∠OBD=∠ABO+∠BAO=∠BOD，
∴OD=OB，∴，∴，∴，
∵∠BAE=∠OAE，∴，∴，
∵＝a，∴，∴，
∵BF=BE，∴， ∴＝．故答案为．
【点睛】本题考查了三角形的内心的性质，成比例线段的性质，全等三角形的判定与性质，圆周角定理．关键是成比例线段的性质的应用．
三、解答题
19.（2021 建湖县初三模拟）如图，⊙O的弦AB、CD的延长线相交于点P，且PA＝PC．求证：．
【分析】连接AC、OA、OB、OC、OD，根据等腰三角形的性质得到∠PAC＝∠PCA，根据圆周角定理得到∠BOC＝∠AOD，根据圆心角、弧、弦的关系定理证明结论．
【解答】证明：连接AC、OA、OB、OC、OD，∵PA＝PC，∴∠PAC＝∠PCA，
∵∠PAC∠BOC，∠PCA∠AOD，∴∠BOC＝∠AOD，
∴，∴，即．
【点评】本题考查的是圆心角、弧、弦的关系定理，在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等．
20.（2021 张家港市模拟）如图，四边形ABCD内接于⊙O，AB＝AC，BD⊥AC，垂足为E．
（1）若∠BAC＝40°，则∠ADC＝　 　°；（2）求证：∠BAC＝2∠DAC；
【分析】（1）根据等腰三角形的性质和圆内接四边形的性质即可得到结论；
（2）根据等腰三角形的性质和三角形的内角和即可得到结论；
【解答】（1）解：∵AB＝AC，∠BAC＝40°，∴∠ABC＝∠ACB＝70°，
∵四边形ABCD是⊙O的内接四边形，∴∠ADC＝180°﹣∠BAC＝110°，故答案为：110；
（2）证明：∵BD⊥AC，∴∠AEB＝∠BEC＝90°，∴∠ACB＝90°﹣∠CBD，
∵AB＝AC，∴∠ABC＝∠ACB＝90°﹣∠CBD，∴∠BAC＝180°﹣2∠ABC＝2∠CBD，
∵∠DAC＝∠CBD，∴∠BAC＝2∠DAC；
【点评】本题考查了圆内接四边形，全等三角形的判定和性质，等腰三角形的性质．
21．（2021·山西孝义·二模）阅读下列材料，并完成相应的学习任务：
我们知道三角形外接圆的圆心叫做三角形的外心，三角形内切圆的圆心叫做三角形的内心．由于三角形的三条高（或高所在的直线）相交于一点，因此我们把三角形三条高的交点叫做三角形的垂心．下面我们以锐角三角形为例，证明三角形的三条高相交于一点．
如图，在△ABC中，AD，BE分别是BC，AC边上的高，且AD与BE相交于点P．连接CP并延长，交AB于点F．
求证：CF⊥AB．
证明：分别过点A，B，C作它们所对边的平行线，三条平行线两两相交于点M，N，Q．分别连接PM，PN，PQ．
∵MNBC，MQAB，NQAC，
∴四边形MABC，四边形ANBC，四边形ABQC都是平行四边形．
∴BC=AM=AN，AC=BN=BQ，AB=MC=CQ．
∵AD⊥BC，
∴∠MAD=∠ADB=90°，即AD⊥MN．
∴PM=PN．…
学习任务：（1）请将上面剩余的证明过程补充完整；
（2）点P是△MNQ的 ．（填出字母代号即可）
A．内心 B．外心 C．垂心 D．重心
（3）若∠CAB=40°，则∠MPN= °．
【答案】（1）见解析；（2）B；（3）80°
【分析】（1）根据等腰三角形三线合一以及中垂线的性质，即可得到结论；（2）根据三角形外心的定义，即可得到答案；（3）构造△MNQ的外接圆，根据平行四边形的性质和圆周角定理，即可求解．
【详解】（1）∵BE⊥AC，∴∠EBQ=∠BEA=90°，即EB⊥NQ．
∴PN=PQ．∴PM=PQ．∴PC⊥MQ，∴∠CFB=∠FCM=90°． ∴CF⊥AB．
（2）∵PM=PQ=PN，∴点P是△MNQ的外心，故选B．
（3）∵四边形ABQC都是平行四边形，∴∠BQC=∠CAB=40°，
∵点P是△MNQ的外心，∴∠MPN=2∠BQC=2×40°=80°，故答案是：80°．
【点睛】本题主要考查三角形的垂心，外心，平行四边形的性质，等腰三角形的性质，圆周角定理，添加合适的辅助线构造平行四边形和三角形的外接圆，是解题的关键．
22．（2021·湖南邵阳市·中考真题）某种冰激凌的外包装可以视为圆锥，它的底面圆直径与母线长之比为．制作这种外包装需要用如图所示的等腰三角形材料，其中，．将扇形围成圆锥时，，恰好重合．（1）求这种加工材料的顶角的大小
（2）若圆锥底面圆的直径为5cm，求加工材料剩余部分（图中阴影部分）的面积．（结果保留）
【答案】（1）=90°；（2）S阴影=（100-）cm2．
【分析】（1）设ED=x，则AD=2x，根据圆的周长求 弧长，利用弧长公式求即可；（2）由，=90°，可得△ABC为等腰直角三角形，由可求BD=CD=AD=10cm， 利用三角形面积公式求S△BAC=，利用扇形面积公式求，利用面积差求S阴影即可．
【详解】解：（1）设ED=x，则AD=2x，∴弧长，∴，∴=90°；
（2）∵ED=5cm，∴AD=2ED=10cm，
∵，=90°，∴△ABC为等腰直角三角形，
∵，∴BD=CD=AD=10cm，∴BC=BD+CD=20cm，
∴S△BAC=cm2，∴，
∴S阴影= S△BAC-=（100-）cm2．
【点睛】本题考查圆锥，侧面展开图，扇形面积公式，等腰直角三角形判定与性质，利用割补法求阴影面积，掌握圆锥，侧面展开图，扇形面积公式，等腰直角三角形判定与性质，利用割补法求阴影面积是解题关键．
23．（2021·湖北随州市·中考真题）如图，是以为直径的上一点，过点的切线交的延长线于点，过点作交的延长线于点，垂足为点．（1）求证：；（2）若的直径为9，．①求线段的长；②求线段的长．
【答案】（1）见解析；（2）①；②
【分析】（1）连接，由是的切线，可得，可证，可得．由，可得即可； （2）①连接，由的直径为9，，可求．可证，由，． ②由（1）可知，可证∽，由性质可得， 解方程得．
【详解】（1）证明：连接，∵是的切线，∴，
又∵，∴，∴．
又∵在中，，∴，∴，∴；
（2）①连接，∵的直径为9，∴，
在中，∵，∴．
又∵，且，∴，
在中，∵，∴．
②由（1）可知，∴∠DOE=∠FBE，∠ODE=∠BFE，
∴∽，∴，即， 解得．经检验符合题意．
【点睛】本题考查圆的切线性质，平行线性质，等腰三角形判定与性质，直径所对圆周角性质，锐角三角函数，三角形相似判定与性质，利用相似的性质构造方程是解题关键．
24．（2021·浙江金华市·中考真题）在扇形中，半径，点P在OA上，连结PB，将沿PB折叠得到．
（1）如图1，若，且与所在的圆相切于点B．①求的度数．②求AP的长．（2）如图2，与相交于点D，若点D为的中点，且，求的长．
【答案】（1）①60°；②；（2）
【分析】(1)根据图像折叠的性质，确定角之间的关系，通过已知的角度来间接求所求角的角度；求的长，先连接，先在中，求出；再在中，求出即可得到答案；
（2）要求的长，扇形的半径已知，就转化成求的度数，连接，通过条件找到角之间的等量关系，再根据三角形内角和为，建立等式求出，最后利用弧长的计算公式进行计算．
【详解】解：（1）①如图1，为圆的切线．
由题意可得，，．
，
②如图1，连结，交BP于点Q．则有．
在中，．在中，，
．
（2）如图2．连结OD．设．∵点D为的中点．
．
由题意可得，．
又
，，解得．
．
【点睛】本题考查了求线段的长度和弧长的长度问题，解题的关键是：根据题目中的条件，找到边角之间的等量关系，通过等量代换的思想间接求出所需要求的量．
25.（2021·湖北随州市·中考真题）等面积法是一种常用的、重要的数学解题方法．它是利用“同一个图形的面积相等”、“分割图形后各部分的面积之和等于原图形的面积”、“同底等高或等底同高的两个三角形面积相等”等性质解决有关数学问题，在解题中，灵活运用等面积法解决相关问题，可以使解题思路清晰，解题过程简便快捷．
（1）在直角三角形中，两直角边长分别为3和4，则该直角三角形斜边上的高的长为_____，其内切圆的半径长为______；
（2）①如图1，是边长为的正内任意一点，点为的中心，设点到各边距离分别为，，，连接，，，由等面积法，易知，可得_____；（结果用含的式子表示）
②如图2，是边长为的正五边形内任意一点，设点到五边形各边距离分别为，，，，，参照①的探索过程，试用含的式子表示的值．（参考数据：，）
（3）①如图3，已知的半径为2，点为外一点，，切于点，弦，连接，则图中阴影部分的面积为______；（结果保留）
②如图4，现有六边形花坛，由于修路等原因需将花坛进行改造．若要将花坛形状改造成五边形，其中点在的延长线上，且要保证改造前后花坛的面积不变，试确定点的位置，并说明理由．
【答案】（1），1；（2）①；②；（3）①；②见解析．
【分析】（1）根据等积法解得直角三角形斜边上的高的长，及利用内切圆的性质解题即可；
（2）①先求得边长为的正的面积，再根据解题即可；②设点为正五边形的中心，连接，，过作于，先由正切定义，解得的长，由①中结论知，，继而得到，据此解题；（3）①由切线性质解得，再由平行线性质及等腰三角形性质解得，根据平行线间的距离相等，及同底等高或等底同高的两个三角形面积相等的性质，可知图中阴影部分的面积等于扇形OBC的面积，最后根据扇形面积公式解题；②连接，过点作交的延长线于点，根据，据此解题．
【详解】解：（1）直角三角形的面积为：，直角三角形斜边为：，
设直角三角形斜边上的高为，则
设直角三角形内切圆的半径为，则，故答案为：，1；
（2）①边长为的正底边的高为，面积为：
，故答案为：；
②类比①中方法可知，
设点为正五边形的中心，连接，，
由①得，过作于，，
故，，
故，从而得到：
．
（3）①是的切线，
过点作
，是的高，
故答案为：；
②如图，连接，过点作交的延长线于点，则点即为所求，
连接，∵，
∵，∴，∴．
【点睛】本题考查正多边形和圆的知识，涉及含30°角的直角三角形、正切、切线的性质、扇形面积公式、平行线的性质等知识，是重要考点，有难度，掌握相关知识是解题关键．
26．（2021·四川绵阳·中考真题）如图，四边形是⊙的内接矩形，过点的切线与的延长线交于点，连接与交于点，，．（1）求证：；（2）设，求的面积（用的式子表示）；（3）若，求的长．
【答案】（1）见解析；（2）；（3）
【分析】（1）由矩形性质可得,然后证明即可得出结论；
（2）根据勾股定理得出，根据相似三角形性质得出，则，根据勾股定理得出的值，运用三角形面积公式表示即可；
（3）记与圆弧交于点，连接，证明，即可得出，求出的值，过作于，过作于．运用等面积法得出，根据勾股定理得出，代入数据联立的值，解方程得出，，设，则，根据相似三角形性质即可得出结论．
【详解】解：（1）∵四边形为的内接矩形，∴，过圆心，且．
∵,∴,又∵是的切线，故，
由此可得， 又∵与都是圆弧所对的圆周角，
∴，∴，又∵，∴；
（2）解：由，，则，由题意．
由（1）知，则，代入，，，
可得，解得． 在直角中，，
所以；
（3）解：记与圆弧交于点，连接．
∵，，，∴．
又，所以，∴． ∴，故．
由（2）知，由，，则，由题意可得，
代入数据，，，
得到，解得①．
过作于，过作于．
易知．由等面积法可得，
代入数据得，即．
在直角三角形中，．②
由①②可得，得，解得，（舍去）．
所以，．由，故，故．
设，则，代入得，解得，即的长为．
【点睛】本题考查了圆的综合问题，相似三角形判定与性质，圆切线的性质，勾股定理，解一元二次方程等知识点，熟练运用相似三角形性质列出方程是解题的关键．
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第4章 图形与性质（浙江省专用）
第23节 圆
【考场演练】
一、选择题
1．（2022·江苏镇江初三月考）下列说法：①直径是弦；②长度相等的两条弧是等弧；③圆是中心对称图形；④任何一条直径都是圆的对称轴，其中说法正确的有（ ）个
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
2．（2022·浙江柯桥·九年级期末）已知O与点P在同一平面内，如果O的直径为6，线段OP的长为4，则下列说法正确的是（ ）
A．点P在O上 B．点P在O内 C．点P在O外 D．无法判断点P与O的位置关系
3．（2021·安徽芜湖·模拟）如图，在平面直角坐标系中，过格点A，B，C作一圆弧，点B与下列格点的连线中，能够与该圆弧相切的是( )
A．点(0，3) B．点(1，3) C．点(6，0) D．点(6，1)
4．（2021·浙江嘉兴市·中考真题）已知平面内有和点，，若半径为，线段，，则直线与的位置关系为（ ）
A．相离 B．相交 C．相切 D．相交或相切
5．（2021 南沙区一模）如图，四边形ABCD内接于⊙O，E为DC延长线上一点．若∠BCE＝105°，则∠BOD的度数是（　　）
A．150° B．105° C．75° D．165°
6．（2021·浙江绍兴市·中考真题）如图，正方形ABCD内接于，点P在上，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
7．（2021 金华一模）如图，AB是半圆O的直径，点C在半圆O上，把半圆沿弦AC折叠，恰好经过点O，则与的关系是（　　）
A．＝ B．＝ C．＝ D．不能确定
8．（2021·浙江丽水市·中考真题）如图，是的直径，弦于点E，连结．若的半径为，则下列结论一定成立的是（ ）
A． B． C． D．
9．（2021·四川成都市·中考真题）如图，正六边形的边长为6，以顶点A为圆心，的长为半径画圆，则图中阴影部分的面积为（ ）
A． B． C． D．
10．（2021·四川泸州市·中考真题）如图，⊙O的直径AB=8，AM，BN是它的两条切线，DE与⊙O相切于点E，并与AM，BN分别相交于D，C两点，BD，OC相交于点F，若CD=10，则BF的长是
A． B． C． D．
二、填空题
11．（2021·浙江宁波市·中考真题）抖空竹在我国有着悠久的历史，是国家级的非物质文化遗产之一．如示意图，分别与相切于点C，D，延长交于点P．若，的半径为，则图中的长为________．（结果保留）
12．（2021·江苏徐州市·中考真题）如图，沿一条母线将圆锥侧面剪开并展平，得到一个扇形，若母线长为，扇形的圆心角，则圆锥的底面圆半径为__________．
13．（2021·贵州黔东南苗族侗族自治州·中考真题）小明很喜欢钻研问题，一次数学杨老师拿来一个残缺的圆形瓦片（如图所示）让小明求瓦片所在园的半径，小明连接瓦片弧线两端AB，量的弧AB的中心C到AB的距离CD＝1.6cm，AB＝6.4cm，很快求得圆形瓦片所在园的半径为 _________cm．
14．（2021 秀洲区期中）如图，四边形ABCD内接于圆O，E为边AD延长线上一点，已知弧AC的度数为120°，则∠CDE＝　 　．
15．（2021·陕西中考真题）如图，正方形的边长为4，的半径为1．若在正方形内平移（可以与该正方形的边相切），则点A到上的点的距离的最大值为______．
16．（2021·广西河池·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，以为圆心，AB为直径的圆与x轴相切，与y轴交于A，C两点，则点B的坐标是____________．
17．（2021·浙江温州市·中考真题）如图，与的边相切，切点为．将绕点按顺时针方向旋转得到，使点落在上，边交线段于点．若，则______度．
18．（2021·浙江拱墅·二模）如图，点O是△ABC的内心，AO的延长线交△ABC的外接圆于点D，交BC于点E，设＝a，则＝___．（用含a的代数式表示）
三、解答题
19.（2021 建湖县初三模拟）如图，⊙O的弦AB、CD的延长线相交于点P，且PA＝PC．求证：．
20.（2021 张家港市模拟）如图，四边形ABCD内接于⊙O，AB＝AC，BD⊥AC，垂足为E．
（1）若∠BAC＝40°，则∠ADC＝　 　°；（2）求证：∠BAC＝2∠DAC；
21．（2021·山西孝义·二模）阅读下列材料，并完成相应的学习任务：
我们知道三角形外接圆的圆心叫做三角形的外心，三角形内切圆的圆心叫做三角形的内心．由于三角形的三条高（或高所在的直线）相交于一点，因此我们把三角形三条高的交点叫做三角形的垂心．下面我们以锐角三角形为例，证明三角形的三条高相交于一点．
如图，在△ABC中，AD，BE分别是BC，AC边上的高，且AD与BE相交于点P．连接CP并延长，交AB于点F．
求证：CF⊥AB．
证明：分别过点A，B，C作它们所对边的平行线，三条平行线两两相交于点M，N，Q．分别连接PM，PN，PQ．
∵MNBC，MQAB，NQAC，
∴四边形MABC，四边形ANBC，四边形ABQC都是平行四边形．
∴BC=AM=AN，AC=BN=BQ，AB=MC=CQ．
∵AD⊥BC，
∴∠MAD=∠ADB=90°，即AD⊥MN．
∴PM=PN．…
学习任务：（1）请将上面剩余的证明过程补充完整；
（2）点P是△MNQ的 ．（填出字母代号即可）
A．内心 B．外心 C．垂心 D．重心
（3）若∠CAB=40°，则∠MPN= °．
22．（2021·湖南邵阳市·中考真题）某种冰激凌的外包装可以视为圆锥，它的底面圆直径与母线长之比为．制作这种外包装需要用如图所示的等腰三角形材料，其中，．将扇形围成圆锥时，，恰好重合．（1）求这种加工材料的顶角的大小.（2）若圆锥底面圆的直径为5cm，求加工材料剩余部分（图中阴影部分）的面积．（结果保留）
23．（2021·湖北随州市·中考真题）如图，是以为直径的上一点，过点的切线交的延长线于点，过点作交的延长线于点，垂足为点．（1）求证：；（2）若的直径为9，．①求线段的长；②求线段的长．
24．（2021·浙江金华市·中考真题）在扇形中，半径，点P在OA上，连结PB，将沿PB折叠得到．
（1）如图1，若，且与所在的圆相切于点B．①求的度数．②求AP的长．（2）如图2，与相交于点D，若点D为的中点，且，求的长．
25.（2021·湖北随州市·中考真题）等面积法是一种常用的、重要的数学解题方法．它是利用“同一个图形的面积相等”、“分割图形后各部分的面积之和等于原图形的面积”、“同底等高或等底同高的两个三角形面积相等”等性质解决有关数学问题，在解题中，灵活运用等面积法解决相关问题，可以使解题思路清晰，解题过程简便快捷．
（1）在直角三角形中，两直角边长分别为3和4，则该直角三角形斜边上的高的长为_____，其内切圆的半径长为______；
（2）①如图1，是边长为的正内任意一点，点为的中心，设点到各边距离分别为，，，连接，，，由等面积法，易知，可得_____；（结果用含的式子表示）
②如图2，是边长为的正五边形内任意一点，设点到五边形各边距离分别为，，，，，参照①的探索过程，试用含的式子表示的值．（参考数据：，）
（3）①如图3，已知的半径为2，点为外一点，，切于点，弦，连接，则图中阴影部分的面积为______；（结果保留）
②如图4，现有六边形花坛，由于修路等原因需将花坛进行改造．若要将花坛形状改造成五边形，其中点在的延长线上，且要保证改造前后花坛的面积不变，试确定点的位置，并说明理由．
26．（2021·四川绵阳·中考真题）如图，四边形是⊙的内接矩形，过点的切线与的延长线交于点，连接与交于点，，．（1）求证：；（2）设，求的面积（用的式子表示）；（3）若，求的长．
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第4章 图形与性质（浙江省专用）
第23节 圆
【考试要求】
1.了解圆的概念，点与圆、直线与圆的位置关系，理解与圆有关的概念；
2.理解垂径定理、圆心角定理、圆周角定理以及圆内接四边形的有关性质；
3.理解切线及切线长的有关性质，会过一点作圆的切线；
4.了解三角形内切圆及内心的定义，掌握内心有关性质.
5.会利用与圆有关的性质进行圆中简单的计算和证明.
6.理解弧长、扇形面积计算公式的推导过程，掌握弧长、扇形面积公式并能熟练应用于计算；
7.了解正多边形的概念及正多边形与圆的关系；
8.能运用图形割补、等积变形等方法将不规则图形转化为规则图形求面积.
【考情预测】
该板块内容以考查综合题为主，也是考查重点，除了填空题和选择题外，年年都会考查综合题，对多数考生来说也是难点，分值为12分左右。预计2022年各地中考肯定还是考查的重点在选择、填空题中考查三角形的外心、正多边形、弧长、扇形面积，在解答题中想必还会考查切线的性质和判定，和直角三角形结合的求线段长的问题和三角函数结合的求角度的问题等知识点综合，考查形式多样，多以动点、动图的形式给出，难度较大。关键是掌握基础知识、基本方法，力争拿到全分。
【考点梳理】
一、圆的有关概念
1．与圆有关的概念和性质
1）圆：平面上到定点的距离等于定长的所有点组成的图形．
2）弦与直径：连接圆上任意两点的线段叫做弦，过圆心的弦叫做直径，直径是圆内最长的弦．
3）弧：圆上任意两点间的部分叫做弧，小于半圆的弧叫做劣弧，大于半圆的弧叫做优弧．
4）圆心角：顶点在圆心的角叫做圆心角．
5）圆周角：顶点在圆上，并且两边都与圆还有一个交点的角叫做圆周角．
6）弦心距：圆心到弦的距离．
2．注意
1）经过圆心的直线是该圆的对称轴，故圆的对称轴有无数条；
2）3点确定一个圆，经过1点或2点的圆有无数个．
3）任意三角形的三个顶点确定一个圆，即该三角形的外接圆．
二、垂径定理及其推论
1．垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧．
关于垂径定理的计算常与勾股定理相结合，解题时往往需要添加辅助线，一般过圆心作弦的垂线，构造直角三角形．
2．推论
1）平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧；
2）弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧．
三、圆心角、弧、弦的关系
1．定理：在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等．圆心角、弧和弦之间的等量关系必须在同圆等式中才成立．
2．推论：在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等．
四、圆周角定理及其推论
1．定理：一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半．
2．推论：1）在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等． 2）直径所对的圆周角是直角．
圆内接四边形的对角互补．在圆中求角度时，通常需要通过一些圆的性质进行转化．比如圆心角与圆周角间的转化；同弧或等弧的圆周角间的转化；连直径，得到直角三角形，通过两锐角互余进行转化等．
五、与圆有关的位置关系
1．点与圆的位置关系
设点到圆心的距离为d．(1)dr 点在⊙O外．
判断点与圆之间的位置关系，将该点的圆心距与半径作比较即可．
2．直线和圆的位置关系
位置关系 相离 相切 相交
图形
公共点个数 0个 1个 2个
数量关系 d>r d=r d由于圆是轴对称和中心对称图形，所以关于圆的位置或计算题中常常出现分类讨论多解的情况．
六、切线的性质与判定
1．切线的性质
1）切线与圆只有一个公共点．2）切线到圆心的距离等于圆的半径．3）切线垂直于经过切点的半径．
利用切线的性质解决问题时，通常连过切点的半径，利用直角三角形的性质来解决问题．
2．切线的判定
1）与圆只有一个公共点的直线是圆的切线（定义法）．
2）到圆心的距离等于半径的直线是圆的切线．
3）经过半径外端点并且垂直于这条半径的直线是圆的切线．
切线判定常用的证明方法：①知道直线和圆有公共点时，连半径，证垂直；②不知道直线与圆有没有公共点时，作垂直，证垂线段等于半径．
七、三角形与圆
1．三角形的外接圆相关概念
经过三角形各顶点的圆叫做三角形的外接圆，外接圆的圆心叫做三角形的外心，这个三角形叫做圆的内接三角形．外心是三角形三条垂直平分线的交点，它到三角形的三个顶点的距离相等．
2．三角形的内切圆
与三角形各边都相切的圆叫做三角形的内切圆，内切圆的圆心叫做三角形的内心，这个三角形叫做圆的外切三角形．内心是三角形三条角平分线的交点，它到三角形的三条边的距离相等．
八、正多边形的有关概念
正多边形中心：正多边形的外接圆的圆心叫做这个正多边形的中心．
正多边形半径：正多边形外接圆的半径叫做正多边形半径．
正多边形中心角：正多边形每一边所对的圆心角叫做正多边形中心角．
正多边形边心距：正多边形中心到正多边形的一边的距离叫做正多边形的边心距．
九、与圆有关的计算公式
1．弧长和扇形面积的计算：扇形的弧长l=；扇形的面积S==．
2．圆锥与侧面展开图
1）圆锥侧面展开图是一个扇形，扇形的半径等于圆锥的母线，扇形的弧长等于圆锥的底面周长．
2）若圆锥的底面半径为r，母线长为l，则这个扇形的半径为l，扇形的弧长为2πr，
圆锥的侧面积为S圆锥侧=．圆锥的表面积：S圆锥表=S圆锥侧+S圆锥底=πrl+πr2=πr·（l+r）．
在求不规则图形的面积时，注意利用割补法与等积变化方法归为规则图形，再利用规则图形的公式求解．
【重难点突破】
考向1. 圆的基本概念
【典例精析】
【例】（2021 东阳市校级期中）下列说法中，不正确的是（　　）
A．直径是弦，弦是直径 B．半圆周是弧
C．圆上的点到圆心的距离都相等 D．同圆或等圆中，优弧一定比劣弧长
【变式训练】
变式1-1．（2021·浙江中考模拟）在中，AB，CD为两条弦，下列说法：①若，则；②若，则；③若，则弧AB=2弧CD；④若，则.其中正确的有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
变式1-2．（2021·湖南娄底·中考真题）弧度是表示角度大小的一种单位，圆心角所对的弧长和半径相等时，这个角就是1弧度角，记作．已知，则与的大小关系是__．
变式1-3．（2021 湖州期末）如图，AB是半圆O的直径，D是半圆上的一点，∠DOB＝75°，DC交BA的延长线于E，交半圆于C，且CE＝AO，求∠E的度数．
【考点巩固训练】
1．（2021·杭州初三月考）下列说法中,正确的是(　　)
A．两个半圆是等弧 B．同圆中优弧与半圆的差必是劣弧
C．长度相等的弧是等弧 D．同圆中优弧与劣弧的差必是优弧
2．（2021·广东）如图，在等腰中，，点P在以斜边AB为直径的半圆上，M为PC的中点．当点P沿半圆从点A运动至点B时，点M运动的路径长是________．
3．（2021·山东九年级期中）下列说法：①弦是直径；②半圆是弧；③过圆心的线段是直径；④圆心相同半径相同的两个圆是同心圆，其中错误的有 。（填序号）
4．（2021·鄞州区中考模拟）已知在中，半径，弦，则的值不可以是（ ）
A．6 B．8 C．10 D．12
5．（2022 西湖区校级月考）有下列说法：①半径是弦；②半圆是弧，但弧不一定是半圆；③面积相等的两个圆是等圆，其中正确的是　　（填序号）
考向2. 圆心(周)角、弧、弦之间的关系
【典例精析】
【例】（2021·湖北武汉市·中考真题）如图，是的直径，是的弦，先将沿翻折交于点．再将沿翻折交于点．若，设，则所在的范围是（ ）
A． B． C． D．
【变式训练】
变式2-1. （2021 余杭区期中）如图，在△ABC中，∠C＝90°，的度数为α，以点C为圆心，BC长为半径的圆交AB于点D，交AC于点E，则∠A的度数为（　　）
A．45°﹣α B．α C．45°+α D．25°+α
变式2-2. （2021 衢州一模）如图，已知AB和CD是⊙O的两条等弦．OM⊥AB，ON⊥CD，垂足分别为点M、N，BA、DC的延长线交于点P，联结OP．下列四个说法中：
①；②OM＝ON；③PA＝PC；④∠BPO＝∠DPO，正确的个数是（　　）
A．1 B．2 C．3 D．4
变式2-3. （2021·浙江·九年级专题练习）已知，，是等圆，内接于，点C，E分别在，上．如图，①以C为圆心，长为半径作弧交于点D，连接；②以E为圆心，长为半径作弧交于点F，连接；下面有四个结论：①；②；③；④，所有正确结论的个数是（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【考点巩固训练】
1．（2021·绵阳市九年级课时练习）在中，AB，CD为两条弦，下列说法：①若，则；②若，则；③若，则弧AB=2弧CD；④若，则.其中正确的有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
2．（2021·广东九年级期中）如果在中的两条弦和的弦心距分别为和，且，那么两弦和的大小关系为（ ）
A． B． C． D．无法确定
3．（2020·江苏盐城初三月考）如图，⊙中，弦与相交于点,,连接.
求证：⑴；⑵.
4.（2021 建湖县初三模拟）如图，⊙O的弦AB、CD的延长线相交于点P，且PA＝PC．求证：．
5．（2021 黄岩区二模）如图，AB，DE为⊙O的直径，过点D作弦DC⊥AB于点H，连接AE并延长交DC的延长线于点F．（1）求证：＝；（2）若sinD＝，求tanF．
考向3. 垂径定理及推论
【典例精析】
【例】（2021·浙江中考真题）如图，已知是⊙的直径，是所对的圆周角，．（1）求的度数；（2）过点作，垂足为，的延长线交⊙于点．若，求的长．
【变式训练】
变式3-1. （2021·湖北鄂州市·中考真题）筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具，明朝科学家徐光启在《农政全书》中用图画描绘了筒车的工作原理，如图1，筒车盛水桶的运行轨道是以轴心为圆心的圆，如图2，已知圆心在水面上方，且被水面截得的弦长为6米，半径长为4米．若点为运行轨道的最低点，则点到弦所在直线的距离是（ ）
A．1米 B．米 C．2米 D．米
变式3-2. （2022·浙江·中考模拟）如图，AB为⊙O的直径，弦于点F，于点E，若，，则CD的长度是（ ）
A．9.6 B． C． D．19
变式3-3. （2021·杭州·九年级月考）如图，公园内有一个半径为18米的圆形草坪，从地走到地有观赏路（劣弧）和便民路（线段）.已知、是圆上的点，为圆心，，小强从走到，走便民路比走观赏路少走（ ）米.
A． B． C． D．
【考点巩固训练】
1．（2021·广西玉林市·中考真题）学习圆的性质后，小铭与小熹就讨论起来，小铭说：“被直径平分的弦也与直径垂直”，小熹说：“用反例就能说明这是假命题” ．下列判断正确的是（ ）
A．两人说的都对 B．小铭说的对，小燕说的反例不存在
C．两人说的都不对 D．小铭说的不对，小熹说的反例存在
2．（2021 衢州）如图，AC是⊙O的直径，弦BD⊥AO于E，连接BC，过点O作OF⊥BC于F，若BD＝8cm，AE＝2cm，则OF的长度是（　　）
A．3cm B．cm C．2.5cm D．cm
3．（2021 临安区）如图，⊙O的半径OA＝6，以A为圆心，OA为半径的弧交⊙O于B、C点，则BC＝（　　）
A． B． C． D．
4．（2021 金华）如图，在半径为13cm的圆形铁片上切下一块高为8cm的弓形铁片，则弓形弦AB的长为（　　）
A．10cm B．16cm C．24cm D．26cm
5．（2021 鹿城区校级二模）如图，AB是半圆O的直径，AB＝12，AC为弦，OD⊥AC于D，OE∥AC交半圆O于点E，EF⊥AB于F，若BF＝3，则AC的长为　 　．
6．（2021·山东·郯城县第三中学一模）如图，半径为4的⊙O中，CD为直径，弦AB⊥CD且过半径OD的中点，点E为⊙O上一动点，CF⊥AE于点F，当点E从点B出发顺时针运动到点D时，点F所经过的路径长为____．
考向4. 圆周角定理及推论
【典例精析】
【例】（2021 临海市一模）如图，点A，B，C在⊙O上，AB∥OC．
（1）求证：∠ACB+∠BOC＝90°；（2）若⊙O的半径为5，AC＝8，求BC的长度．
【变式训练】
变式4-1. （2021·广西贵港市·中考真题）如图，点A，B，C，D均在⊙O上，直径AB＝4，点C是的中点，点D关于AB对称的点为E，若∠DCE＝100°，则弦CE的长是（ ）
A． B．2 C． D．1
变式4-2. （2021·山东泰安市·中考真题）如图，四边形是的内接四边形，，，，，则的长为（ ）
A． B． C． D．2
变式4-3. （2021 柯桥区期末）如图，△ABC的顶点A、B、C均在⊙O上，若∠ABC+∠AOC＝75°，则∠OAC的大小是（　　）
A．25° B．50° C．65° D．75°
【考点巩固训练】
1．（2021 乐清市模拟）如图，C，D是⊙O上位于直径AB异侧的两点，若∠ACD＝20°，则∠BAD的度数是（　　）
A．40° B．50° C．60° D．70°
2．（2021 温州模拟）如图，AB是⊙O的直径，CD是⊙O的弦，若∠ADC＝54°，则∠CAB的度数是（　　）
A．52° B．36° C．27° D．26°
3．（2022 诸暨市模拟）如图，四边形ABCD内接于⊙O，若四边形ABCO是平行四边形，则∠DAO+∠DCO的大小为（　　）
A．45° B．50° C．60° D．75°
4．（2021·湖北云梦·九年级期中）如图，是等边的外接圆，点是弧上的点，且，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
5．（2021 杭州模拟）如图，AB是⊙O的直径，EF，EB是⊙O的弦，连接OF，若∠AOF＝40°，则∠E的度数是（　　）
A．40° B．50° C．55° D．70°
6．（2021 温州校级期中）如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，DB平分∠ADC，连结OC，OC⊥BD．（1）求证：AB＝CD．（2）若∠A等于66°，求∠ADB的度数．
考向5. 点与圆的位置关系
【典例精析】
【例】（2021 奉化区期末）在同一平面上，⊙O外有一定点P到圆上的距离最长为10，最短为2，则⊙O的半径是（　　）
A．5 B．3 C．6 D．4
【变式训练】
变式5-1. （2021 长兴县二模）已知⊙O的半径为5，在同一平面内有三个点A，B，C，且OA＝2，OB＝3，OC＝5，则这三个点，在⊙O内的点是　 　．
变式5-2. （2021·青海中考真题）点是非圆上一点，若点到上的点的最小距离是，最大距离是，则的半径是______．
变式5-3. （2021·上海市民办新北郊初级中学九年级期末）如图，在中，，，，是它的中线，以C为圆心，为半径作，则点M与的位置关系为（ ）
A．点M在上 B．点M在内 C．点M在外 D．点M不在内
【考点巩固训练】
1．（2021 绍兴一模）已知⊙O的半径为5，若PO＝4，则点P与⊙O的位置关系是（　　）
A．点P在⊙O内 B．点P在⊙O上 C．点P在⊙O外 D．无法判断
2．（2022 滨江区期末）在△ABC中，已知AB＝AC＝4cm，BC＝6cm，P是BC的中点，以点P为圆心，3cm为半径画⊙P，则点A与⊙P的位置关系是　 　．
3．（2021·江苏省锡山高级中学实验学校二模）已知，⊙O半径为5，圆心O为坐标原点，点P的坐标为（4，3），则点P与⊙O的位置关系是（ ）．
A．点在圆内 B．点在圆上 C．点在圆外 D．不能确定
4．(2021.福建初三月考)已知⊙O的面积为36π，若PO＝7，则点P在⊙O_____．
5．（2021.绵阳市期中）体育课上，小悦在点O处进行了四次铅球试投，铅球分别落在图中的M，N，P，Q四个点处，则表示他最好成绩的点是（ ）
A．M B．N C．P D．Q
考向6. 直线与圆的位置关系
【典例精析】
【例】（2021 上城区一模）已知∠BAC＝45°，一动点O在射线AB上运动（点O与点A不重合），设OA＝x，如果半径为1的⊙O与射线AC有公共点，那么x的取值范围是（　　）
A．0＜x≤1 B．1≤x＜ C．0＜x≤ D．x＞
【变式训练】
变式6-1. （2021·福建·厦门双十中学九年级期中）⊙O的半径为3，点O到直线l的距离为4，则反映直线l与圆O位置关系的图形（ ）
A． B． C． D．
变式6-2. （2021·四川外国语大学附属外国语学校八年级期末）在平面直角坐标系中，以点(3，﹣4)为圆心，2为半径的圆，与直线x＝1的位置关系为（　　）
A．相交 B．相切 C．相离 D．不能确定
变式6-3. （2021·四川成都市·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，直线与相交于A，B两点，且点A在x轴上，则弦的长为_________．
【考点巩固训练】
1．（2021·辽宁沙河口·九年级期末）中，，，，以点为圆心，为半径作，则正确的是（ ）
A．当时，直线与相交 B．当时，直线与相离
C．当时，直线与相切 D．当时，直线与相切
2．（2021·河北·滦南县宋道口镇初级中学九年级期末）Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝6，AB＝10，若以点C为圆心r为半径的圆与AB所在直线相交，则r可能为（　　）
A．3 B．4 C．4.8 D．5
3．（2021·浙江慈溪·初二期末）已知，在中，，，，作.小亮的作法如下：①作，②在上截取，③以为圆心，以5为半径画弧交于点，连结.如图，给出了小亮的前两步所画的图形.则所作的符合条件的（ ）
A．是不存在的 B．有一个 C．有两个 D．有三个及以上
4．（2021·黑龙江龙凤·九年级期末）如图，平行四边形中，，，，点在边上运动以为圆心，为半径作，若与平行四边形的边有四个公共点，则的长度满足条件是_______．
5．（2021·湖南娄底市·中考真题）如图，直角坐标系中，以5为半径的动圆的圆心A沿x轴移动，当⊙与直线只有一个公共点时，点A的坐标为（ ）
A． B． C． D．
考向7. 切线的性质的应用
【典例精析】
【例】（2021·河南中考真题）在古代，智慧的劳动人民已经会使用“石磨”，其原理为在磨盘的边缘连接一个固定长度的“连杆”，推动“连杆”带动磨盘转动，将粮食磨碎，物理学上称这种动力传输工具为“曲柄连杆机构”．小明受此启发设计了一个“双连杆机构”，设计图如图1，两个固定长度的“连杆”，的连接点在上，当点在上转动时，带动点，分别在射线，上滑动，．当与相切时，点恰好落在上，如图2．
请仅就图2的情形解答下列问题．（1）求证：；（2）若的半径为，，求的长．
【变式训练】
变式7-1.（2022 舟山模拟）如图，AB是⊙O直径，点C在AB的延长线上，CD与⊙O相切于点D，若∠A＝25°，则∠C的度数是（　　）
A．40° B．50° C．65° D．25°
变式7-2. （2021 宁波）如图，正方形ABCD的边长为8，M是AB的中点，P是BC边上的动点，连结PM，以点P为圆心，PM长为半径作⊙P．当⊙P与正方形ABCD的边相切时，BP的长为　．
变式7-3. （2021 绍兴）在屏幕上有如下内容：
如图，△ABC内接于⊙O，直径AB的长为2，过点C的切线交AB的延长线于点D．张老师要求添加条件后，编制一道题目，并解答．
（1）在屏幕内容中添加条件∠D＝30°，求AD的长．请你解答．
（2）以下是小明、小聪的对话：
小明：我加的条件是BD＝1，就可以求出AD的长
小聪：你这样太简单了，我加的是∠A＝30°，连结OC，就可以证明△ACB与△DCO全等．
参考此对话，在屏幕内容中添加条件，编制一道题目（可以添线添字母），并解答．
【考点巩固训练】
1．（2021·山东泰安市·中考真题）如图，在中，，以点A为圆心，3为半径的圆与边相切于点D，与，分别交于点E和点G，点F是优弧上一点，，则的度数是（ ）
A．50° B．48° C．45° D．36°
2．（2021 金华模拟）如图所示，在直角坐标系中，A点坐标为（﹣3，4），⊙A的半径为2，P为x轴上一动点，PB切⊙A于点B，则当PB最小时，P点的坐标为（　　）
A．（﹣3，0） B．（﹣1，0） C．（﹣5，0） D．（﹣4，0）或（﹣2，0）
3．（2021·江苏镇江·中考真题）如图，∠BAC＝36°，点O在边AB上，⊙O与边AC相切于点D，交边AB于点E，F，连接FD，则∠AFD等于（ ）
A．27° B．29° C．35° D．37°
4．（2021·重庆一中九年级期中）如图，、分别与相切于、两点，是圆上一点，连接、，若，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
5．（2021·广西百色·中考真题）如图，PM、PN是⊙O的切线，切点分别是A、B，过点O的直线CE∥PN，交⊙O于点C、D，交PM于点E，AD的延长线交PN于点F，若BC∥PM．（1）求证：∠P＝45°；（2）若CD＝6，求PF的长．
考向8. 切线的判定
【典例精析】
【例】（2021·广东普宁·一模）如图，是⊙O的直径，交⊙O于点，于点，下列说法不正确的是（ ）
A．若，则是⊙O的切线 B．若，则是⊙O的切线
C．若，则是⊙O的切线 D．若是⊙O的切线，则
【变式训练】
变式8-1. （2021·湖北江汉·九年级期中）已知：如图，P为⊙O外一点，射线PO交⊙O于点A，B，C为⊙O上一点，连AC，BC，过点O作OD⊥AC于点E，交直线PC于点D，∠AOD＝∠PCA．
（1）求证：PC为⊙O的切线；（2）若BC＝4，DE＝1，求⊙O的半径．
变式8-2. （2021 衢州中考模拟）如图，在等腰△ABC中，AB＝AC，以AC为直径作⊙O交BC于点D，过点D作DE⊥AB，垂足为E．（1）求证：DE是⊙O的切线．（2）若DE＝，∠C＝30°，求的长．
变式8-3. （2021 宁波模拟）如图，AB是⊙O的直径，F是⊙O外一点，过点F作FD⊥AB于点D，交弦AC于点E，且FC＝FE．（1）求证：FC是⊙O的切线；（2）若⊙O的半径为5，cos∠FCE＝，求弦AC的长．
【考点巩固训练】
1．（2021·江苏连云港·中考真题）如图，中，，以点C为圆心，为半径作，D为上一点，连接、，，平分．（1）求证：是的切线；（2）延长、相交于点E，若，求的值．
2．（2021·辽宁沈阳·中考真题）如图，是的直径，与交于点A，点E是半径上一点（点E不与点O，A重合）．连接交于点C，连接，．若，．
（1）求证：是的切线．（2）若，，则的长是__________．
3．（2021·山东滨州·中考真题）如图，在中，AB为的直径，直线DE与相切于点D，割线于点E且交于点F，连接DF．（1）求证：AD平分∠BAC；（2）求证：．
4．（2021·甘肃武威市·中考真题）如图，内接于是的直径的延长线上一点，．过圆心作的平行线交的延长线于点．（1）求证：是的切线；（2）若，求的半径及的值；
考向9. 切线长定理与三角形的内切圆
【典例精析】
【例】（2021·江苏省盐城中学新洋分校九年级月考）如图，AB、AC、BD是⊙O的切线，切点分别为P、C、D．若AB＝6，AC＝4，求BD的长．
【变式训练】
变式9-1. （2021 上城区一模）已知一块等腰三角形钢板的底边长为60cm，腰长为50cm，能从这块钢板上截得最大圆的半径为　 　cm
变式9-2. （2021·浙江·九年级专题练习）如图，、为的切线，、为切点，点为弧上一点，过点作的切线分别交、于、，若，则的周长等于（ ）．
A． B． C． D．
变式9-3. （2021 江干区一模）如图，圆O是△ABC的内切圆，分别切BA、BC、AC于点E、F、D，点P在弧DE上，如果∠EPF＝70°，那么∠B＝（　　）
A．40° B．50° C．60° D．70°
【考点巩固训练】
1．（2021 嘉兴一模）如图，在扇形OAB中，点C是弧AB上任意一点（不与点A，B重合），CD∥OA交OB于点D，点I是△OCD的内心，连结OI，BI，∠AOB＝β，则∠OIB等于（　　）
A． B．180°﹣β C． D．90°+β
2．（2021·陕西·西安益新中学模拟预测）如图，圆O是四边形ABCD的内切圆，连接AO、BO、CO、DO，记△AOD、△AOB、△COB、△DOC的面积分别为S1、S2、S3、S4，则S1、S2、S3、S4的数量关系为________．
3．（2021·青海西宁·中考真题）如图，的内切圆与分别相切于点D，E，F，连接，，，，，则阴影部分的面积为（ ）
A． B． C． D．
4．（2021·江苏·苏州市振华中学校九年级阶段练习）如图，点为的内心，，，，则的面积是（ ）
A． B． C．2 D．4
5．（2021·广东·广州市番禺执信中学二模）如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A、∠B、∠C的对边分别为a、b、c，a=10，⊙O内切于Rt△ABC，且半径为4，则a+b+c=_____．
考向10. 弧长、扇形的面积
【典例精析】
【例】（2021·云南中考真题）如图，等边的三个顶点都在上，是的直径．若，则劣弧的长是（ ）
A． B． C． D．
【变式训练】
变式10-1. （2021 宁波）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝30°，AB＝4，以点B为圆心，BC长为半径画弧，交边AB于点D，则的长为（　　）
A．π B．π C．π D．π
变式10-2. （2021·浙江衢州市·中考真题）已知扇形的半径为6，圆心角为．则它的面积是（ ）
A． B． C． D．
变式10-3. （2021·广西柳州市·中考真题）如图所示，点A，B，C对应的刻度分别为1，3，5，将线段绕点C按顺时针方向旋转，当点A首次落在矩形的边上时，记为点，则此时线段扫过的图形的面积为（ ）
A． B．6 C． D．
【考点巩固训练】
1．（2021 杭州模拟）如图，点A，B，C在⊙O上，若OB＝3，∠ABC＝60°，则劣弧AC的长为（　　）
A．π B．2π C．3π D．4π
2．（2021 温州模拟）已知圆弧的度数为120°，弧长为12πcm，则圆的半径为（　　）
A．2 B．6 C．8 D．18
3．（2021 滨江区一模）今年寒假期间，小芮参观了中国扇博物馆，如图是她看到的折扇和团扇．已知折扇的骨柄长为30cm，扇面的宽度为18cm，某扇张开的角度为120°，若这两把扇子的扇面面积相等，则团扇的半径为（　　）cm．
A．6 B．8 C．6 D．8
4．（2021 柯桥区模拟）如图，△ABC为等边三角形，保持各边的长度不变，将BC边向三角形外弯曲得到扇形ABC，设△ABC的面积为S1，扇形ABC的面积为S2，则S1与S2的大小关系为（　　）
A．S1＜S2 B．S1＝S2 C．S1＞S2 D．无法确定
5．（2021 宁波模拟）扇形的圆心角为60°，弧长为4πcm，则此扇形的面积等于　　cm2．
考向11. 圆柱和圆锥
【典例精析】
【例】（2021·江苏南京市·中考真题）在几何体表面上，蚂蚁怎样爬行路径最短？
（1）如图①，圆锥的母线长为，B为母线的中点，点A在底面圆周上，的长为．在图②所示的圆锥的侧面展开图中画出蚂蚁从点A爬行到点B的最短路径，并标出它的长（结果保留根号）．（2）图③中的几何体由底面半径相同的圆锥和圆柱组成．O是圆锥的顶点，点A在圆柱的底面圆周上．设圆锥的母线长为l，圆柱的高为h．①蚂蚁从点A爬行到点O的最短路径的长为________（用含l，h的代数式表示）．②设的长为a，点B在母线上，．圆柱的侧面展开图如图④所示，在图中画出蚂蚁从点A爬行到点B的最短路径的示意图，并写出求最短路径的长的思路．
【变式训练】
变式11-1. （2021 金华）如图物体由两个圆锥组成．其主视图中，∠A＝90°，∠ABC＝105°，若上面圆锥的侧面积为1，则下面圆锥的侧面积为（　　）
A．2 B． C． D．
变式11-2. （2021 长兴县一模）已知圆锥的底面半径为3，侧面展开图的圆心角为180°，则圆锥的母线长是（　　）
A．6 B．3 C． D．9
变式11-3. （2021·四川广元市·中考真题）如图，从一块直径是2的圆形铁片上剪出一个圆心角为的扇形，将剪下来的扇形围成一个圆锥．那么这个圆锥的底面圆的半径是（ ）
A． B． C． D．1
【考点巩固训练】
1．（2021·江苏宿迁市·中考真题）已知圆锥的底面圆半径为4，侧面展开图扇形的圆心角为120°，则它的侧面展开图面积为_____________．
2．（2021·内蒙古呼伦贝尔市·中考真题）将圆心角为的扇形围成底面圆的半径为的圆锥，则圆锥的母线长为_________．
3．（2021 金华模拟）已知一个圆锥的底面半径为5cm，高为cm，则这个圆锥的表面积为（　　）
A．5πcm2 B．30πcm2 C．55πcm2 D．85πcm2
4．（2021 衢州）如图，AB是圆锥的母线，BC为底面直径，已知BC＝6cm，圆锥的侧面积为15πcm2，则sin∠ABC的值为（　　）
A． B． C． D．
5．（2021 永康市一模）已知，如图将圆心角为120°，半径为9cm的扇形，围成了圆锥侧面，则圆锥的底面半径为（　　）
A．3 B．6 C．6 D．6
考向12. 不规则图形的面积
【典例精析】
【例】（2021·湖北宜昌市·中考真题）“莱洛三角形”是工业生产中加工零件时广泛使用的一种图形．如图，以边长为2厘米的等边三角形的三个顶点为圆心，以边长为半径画弧，三段圆弧围成的图形就是“莱洛三角形”，该“莱洛三角形”的面积为____________平方厘米．（圆周率用表示）
【变式训练】
变式12-1. （2021·重庆中考真题）如图，矩形ABCD的对角线AC，BD交于点O，分别以点A，C为圆心，AO长为半径画弧，分别交AB，CD于点E，F．若BD＝4，∠CAB＝36°，则图中阴影部分的面积为___________．（结果保留π）．
变式12-2. （2021·湖北荆州市·中考真题）如图，在菱形中，，，以为圆心、长为半径画，点为菱形内一点，连接，，．当为等腰直角三角形时，图中阴影部分的面积为（ ）
A． B． C． D．
变式12-3. （2021·湖南张家界市·中考真题）如图，正方形内的图形来自中国古代的太极图，正方形内切圆中的黑色部分和白色部分关于正方形的中心成中心对称，设正方形的面积为，黑色部分面积为，则的比值为（ ）
A． B． C． D．
【考点巩固训练】
1．（2021·湖北十堰市·中考真题）如图，在边长为4的正方形中，以为直径的半圆交对角线于点E，以C为圆心、长为半径画弧交于点F，则图中阴影部分的面积是_________．
2．（2021·四川凉山彝族自治州·中考真题）如图，将绕点C顺时针旋转得到．已知，则线段AB扫过的图形（阴影部分）的面积为__________________．
3．（2021·山东泰安市·中考真题）若为直角三角形，，以为直径画半圆如图所示，则阴影部分的面积为________．
4．（2021 龙湾区二模）如图所示，在扇形AOC中，∠AOC＝120°，OA＝4，以点O为圆心在其同侧画扇形BOD，∠BOD＝60°，OB＝2，且△AOB≌△COD，则阴影部分的面积是　 。　
5．（2021 临海市一模）如图，在一张直径为20cm的半圆形纸片上，剪去一个最大的等腰直角三角形，剩余部分恰好组成一片树叶图案，则这片树叶的面积是　 　cm2．
考向13正多边形的有关计算
【典例精析】
【例】（2021·上海中考真题）六个带角的直角三角板拼成一个正六边形，直角三角板的最短边为1，求中间正六边形的面积_________．
【变式训练】
变式13-1. （2021·河北中考真题）如图，点为正六边形对角线上一点，，，则的值是（ ）
A．20 B．30 C．40 D．随点位置而变化
变式13-2. （2021·湖南湘西土家族苗族自治州·中考真题）如图，面积为的正方形内接于⊙O，则的长度为（ ）
A． B． C． D．
变式13-3. （2021·贵州安顺市·中考真题）如图，与正五边形的两边相切于两点，则的度数是（ ）
A． B． C． D．
【考点巩固训练】
1．（2021·黑龙江绥化市·中考真题）边长为的正六边形，它的外接圆与内切圆半径的比值是_______．
2．（2021·山西中考真题）如图，正六边形的边长为2，以为圆心，的长为半径画弧，得，连接，，则图中阴影部分的面积为（ ）
A． B． C． D．
3．（2021·内蒙古呼伦贝尔市·中考真题）一个正多边形的中心角为，这个正多边形的边数是（ ）
A．8 B．12 C．3 D．6
4．（2021 宁波模拟）如图，⊙O是正六边形ABCDEF的外接圆，P是弧EF上一点，则∠BPD的度数是（　　）
A．30° B．60° C．55° D．75°
5．（2021 拱墅区校级模拟）一个圆形餐桌直径为2米，高1米，铺在上面的一个正方形桌布的四个角恰好刚刚接触地面，则这块桌布的每边长度（米）为（　　）
A．2 B．4 C．4 D．4π
6．（2021 路桥区一模）如图，在圆内画正六边形、正五边形，则∠ABC＝　 　．
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