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高考试题中等差数列问题的类型与解法
等差数列问题是近几年高考的热点问题之一，可以这样毫不夸张地说，只要是高考试卷，就一定涉及到等差数列的问题，分值一般在五到十二分之间。从题型上看，可能是大题，也可能是选择题（或填空题）；难度系数较低，一般为中档题或低档题。纵观近几年高考试题，归结起来，等差数列问题主要包括：①等差数列基本概念及运用；②等差数列的通项公式及运用；③等差数列前n项和公式及运用；④等差数列的最值等几种类型，各种类型问题结构上具有某些特征，解答方法也有一定的规律可寻。那么在实际解答等差数列问题时，到底应该如何抓住问题的结构特征，快捷，准确地给予解答呢？下面通过典型例题的详细解析来回答这个问题。
【典例1】解答下列问题：
1、（理）已知数列{}的各项均为正数，记为{}的前n项和，从下面①②③中选取两个作为条件，证明另外一个成立。①数列{}是等差数列；②数列{}是等差数列；③=3。注：若选择不同组合分别解答，则按第一个解答计分。
（文）记为{}的前n项和，已知>0，=3，且数列{}是等差数列，证明：数列{}是等差数列（2021全国高考甲卷）。
【解析】
【考点】①等差数列的定义与性质；②等差数列通项公式及运用；③等差数列前n项和公式及运用；④证明数列是等差数列的基本方法。
【解题思路】（理）由题意，不妨选择①③为条件，证明②成立，根据等差数列的性质和等差数列通项公式，结合问题条件得到关于等差数列{}首项，公差d的等式，从而把首项表示为关于公差d的式子，运用等差数列前n项和公式得到关于公差d的式子，利用证明数列为等差数列的基本方法就可证明数列{}是等差数列。（文）根据等差数列的性质和等差数列通项公式，结合问题条件得到关于等差数列{}公差d，的等式，从而把公差d表示为关于首项的式子，运用等差数列前n项和公式得到关于数列首项的式子，从而得到关于数列首项的式子，利用证明数列为等差数列的基本方法就可证明数列{}是等差数列。
【详细解答】（理）设等差数列{}的公差为d，=+d，=3，=，=n+d=(+-)d=d，数列{}的各项均为正数，d>0，
==，当n=1时，=，当n2时，=，
=，-=（-）=为常数，数列{}是以
为首项，为公差的等差数列。（文）证明：设等差数列{}的公差为d，>0，=3，=，==2，d=-=2-
=， =+（n-1）=n，=，当n=1时，==，当
n2时，=-=-=（-+2n-1）=（2n-1），=[2（n-1）-1] =（2n-3），-=[2n-1-(2n-3)] =2为常数， -=3
-=2，数列{}是以为首，2为公差的等差数列。
2、（理）记为{}的前n项和，为数列{}的前n项积，已知+=2。
（1）证明：数列{}是等差数列；
（2）求数列{}的通项公式。
（文）设{}是首项为1的等比数列，数列{}满足：=，已知，3，9成等差数列。
（1）求数列{}，{}的通项公式；
（2）记和分别为{}，{}的前n项和，证明：<（2021全国高考乙卷）。
【解析】
【考点】①等差数列的定义与性质；②判断一个数列是等差数列的基本方法；③数列通项与前n项和之间的关系；④等比数列的定义与性质；⑤等差中项的定义与性质；⑥等比数列通项公式及运用；⑦等比数列前n项和公式及运用；⑧裂项相消法求数列前n项和的基本方法。
【解题思路】（理）（1）根据判断一个数列是等差数列的基本方法，结合问题条件就可证明数列{}是等差数列；（2）根据数列通项与前n项和之间的关系，运用（1）的结论就可求出数列｛｝的通项公式。（文）根据等比数列通项公式和等差中项的性质，结合问题条件得到关于等比数列｛｝公比的方程，求解方程求出公比的值就可求出数列{}，{}的通项公式；（2）根据等比数列前n项和公式与裂项相消法求数列前n项和的基本方法分别求出数列｛｝，{}的前n项和与就可证明结论。
【详细解答】（理）（1）证明：当n2时，=，+=2，+=2，
2（-）=1，-=，当n=1时，+=2，=2，=，数列{}是以为首项，为公差的等差数列；（2）由（1）得：=+（n-1）=，
+=2，+=2，=，=，当n=1时，=
=，当n2时，=-=-=-， 当n=1时，=-，
数列{}的通项公式为：= ，n=1，
-，n2。
（文）设等比数列{}的公比为q，数列{}首项为1，，3，9成等差数列，6q=1+9，=0，q=，=，==n，数列{}，{}的通项公式分别为：=，=n；（2）==-，
=+2+3+------+（n-1）+n①，=+2+3+-----+（n-1）+ n ②，①-②得：=+++-----+- n =
- n =-- n =-（+），=-（+），
-=-（+）-+=（--）=-<0，<。
『思考问题1』
（1）【典例1】是等差数列概念及运用的问题，解答这类问题需要理解等差数列，等差中项的定义，掌握判断（或证明）一个数列是等差数列的基本方法；
（2）判断（或证明）一个数列是等差数列的基本方法有：①定义法；②等差中项；③通项公式法；④前n项和公式法；
（3）定义法是判断（或证明）-=d是常数（n)；特别地，若问题是判断（或证明）三项成等差数列，则可以运用等差中项的性质加以解决；
（4）等差中项法是判断（或证明）2=+ (n≥2,n)；
（5）通项公式法是当数列的通项公式容易求出时，只需判断或证明数列的通项公式是关于n的一次函数；
（6）前n项和公式法是当数列的前n项和容易求出时，只需判断或证明数列的前n项和公式是关于n的二次函数，且常数项为0。
【典例2】解答下列问题：
1、已知等差数列{}满足2+=0，=2-2。
（1）求数列{}的通项公式；
（2）设=，求数列{}的前n项和（2022成都市高三一诊）。
【解析】
【考点】①等差数列定义与性质；②等差数列通项公式及运用；③数列前n项和定义与性质；④求数列前n项和的基本方法。
【解题思路】（1）根据等差数列的性质，运用等差数列通项公式得到关于等差数列{}的首项，公差的方程组，求解方程组求出数列{}的首项，公差的值就可得出数列{}的通项公式；（2）根据数列前n项和的性质，运用求数列前n项和的基本方法就可求出数列{}的前n项和。
【详细解答】（1）设等差数列{}的首项为，公差为d， 2+=0，=2-2，
3+6d=0①，+6d=2+6d-2②，联立①②解得：=2，d=-1，数列{}的通项公式为
=2+（n-1）(-1)=-n+3；（2）===， 数列{}的前n项和为=+2+1+
++------+==8（1-）=8-。
+1，n为奇数，
2、已知数列｛｝满足：=1，= +2，n为偶数。
（1）记=，写出，，并求数列{}的通项公式；
（2）求｛｝的前20项和（2021全国高考新高考I）。
【解析】
【考点】①数列递推公式及运用；②等差数列的定义与性质；③等差数列通项公式及运用；
④等差数列前n项和公式及运用；⑤判断一个数列是等差数列的基本方法。
【解题思路】（1）根据数列递推公式，结合问题条件求出，，运用判断一个数列是等差数列的基本方法，判断数列{}为等差数列，利用等差数列的通项公式就可求出数列{}的通项公式；（2）由（1）知求数列｛｝的奇项数列和偶项数列都是以3为公差的等差数列，运用等差数列的前n项和公式就可求出｛｝的前20项和。
【详细解答】（1）=1，=，==+1=1+1=2，==+1=+2+1=2+2+1=5，
==+1=+2+1=+3，=，-=+3-=3，数列{}是以2为首项，3为公差的等差数列，=2+3（n-1）=3n-1，即数列{}的通项公式为：
=3n-1；（2）由（1）知数列｛｝的奇项数列和偶项数列都是以3为公差的等差数列，=101+3+102+3=30+1093=300，即数列｛｝的前20项和为300。
3、（理）为数列｛｝的前n项和，已知>0，+2=4+3。
（1）求数列｛｝的通项公式；
（2）设=，求数列｛｝的前n项和。
（文）已知等差数列｛｝的前n项和满足：=0，=-5。
（1）数列｛｝的通项公式；
（2）求数列{}的前n项和（2021全国高考乙卷）。
【解析】
【考点】①等差数列的定义与性质；②等差数列通项公式及运用；③数列通项公式与前n项和公式之间的关系；④判断一个数列是等差数列的基本方法；⑤等差数列前n项和公式及运用；⑥裂项相消求数列前n项和的基本方法。
【解题思路】（理）（1）根据数列通项公式与前n项和公式之间的关系，结合问题条件求出，从而得到关于，的等式，运用判断一个数列是等差数列的基本方法判断数列｛｝是等差数列，利用等差数列的通项公式就可求出数列｛｝的通项公式；（2）根据裂项相消求数列前n项和的基本方法就可求出数列｛｝的前n项和。（文）（1）设等差数列｛｝的首项为，公差为d，根据等差数列前n项和公式，结合问题条件得到关于等差数列｛｝的首项为，公差为d的方程组，求解方程组求出等差数列｛｝的首项为，公差为d的值就可求出数列｛｝的通项公式；（2）根据裂项相消求数列前n项和的基本方法就可求出数列｛｝的前n项和。
【详细解答】（理）（1）当n=1时， +2=4+3，=4，=3或=-1，>0，=3；当n2时，+2=4+3①，+2=4+3②，①-②得：
-+2-2=4（-）=4，（+）（-）-2（+）=（+）
（--2）=0，+>0，--2=0，-,=2，+2=4（+）+3，=16，=5或=-3，>0，=5，当n2时，数列｛｝是以5为首项，2为公差的等差数列，=5+2（n-2）=2n+1（n2），当n=1时，=21+1
2+1=3成立，数列｛｝的通项公式为： =2n+1；（2）==
=（-），=++------+=（-+-+-------+-
+-）=（-）=，即数列｛｝的前n项和为。
（文）（1）设等差数列｛｝的首项为，公差为d，=3+3d=0①，=5+10d=-5②，联立①②解得：=1，d=-1，=1-（n-1）=2-n，即数列｛｝的通项公式为： =2-n；
（2）===（-），=（-1-1+1-+-+-+-------+-+-）=（-1-）
=-，即数列｛｝的前n项和为-。
4、记为等差数列{ }的前n项和，已知=0，=5，则（ ）（2019全国高考新课标I（理））
A =2n-5 B =3n-10 C =2-8n D =-2n
【解析】
【考点】①等差数列的定义与性质；②等差数列通项公式及运用；③等差数列前n项和公式及运用。
【解答思路】设等差数列｛｝的首项为，公差为d，根据等差数列｛｝通项公式和前n项和公式，结合问题条件得到关于首项，公差d的方程组，求解方程组求出公差d，首项的值，运用求等差数列通项（或前n项和）的基本方法把（或）表示成关于n的函数就可得出选项。
【详细解答】设等差数列｛｝的首项为，公差为d，=4+6d=0①， =+4d=5②，联立①②解得：=-3，d=2，=-3+（n-1）2=2n-5，=-3n+2=-4n，A正确，选A。
5、设等差数列{ }的前n项和为，若=-3，=-10，则= ，的最小值为 （2019全国高考北京（理））
【解析】
【考点】①等差数列的定义与性质；②等差数列通项公式及运用；③等差数列前n项和公式及运用；④求函数最值的基本方法。
【解答思路】设等差数列｛｝的首项为，公差为d，根据等差数列｛｝通项公式和前n项和公式，结合问题条件得到关于首项，公差d的方程组，求解方程组求出公差d，首项的值，运用求等差数列通项公式（或前n项和）的基本方法求出的值，并把表示成关于n的函数，利用求函数最值的基本方法就可求出的最小值。
【详细解答】设等差数列｛｝的首项为，公差为d，=+d=-3①，=5+10d=-10②，联立①②解得：=-4，d=1，=-4+（5-1）1=0，=-4n+
1=-n，n∈，当且仅当n=-=5时，=25-5=-10。
6、已知等差数列｛｝的前n项和为，且=，=15，则=（ ）（2019成都市高三零诊）
A B 1 C D 2
【解析】
【考点】①等差数列的定义与性质；②等差数列通项公式及运用；③等差数列前n项和公式及运用。
【解答思路】设等差数列｛｝的首项为，公差为d，根据等差数列｛｝通项公式和前n项和公式，结合问题条件得到关于首项，公差d的方程组，求解方程组求出公差d，首项的值，运用求等差数列通项公式的基本方法求出的值就可得出选项。
【详细解答】设等差数列｛｝的首项为，公差为d， =+3d=①， =10+45d=15②，联立①②解得：=，d=-，=+（7-1）（-）
=，A正确，选A。
7、已知公差大于零的等差数列｛｝中，，，依次成等比数列，则的值是 （2019成都市高三一诊）
【解析】
【考点】①等差数列的定义与性质；②等差数列通项公式及运用；③等比中项的定义与性质。
【解答思路】设等差数列｛｝的首项为，公差为d，根据等差数列｛｝通项公式和等比中项的性质，结合问题条件得到关于首项，公差d的等式，从而得到首项关于公差d表示式，运用求等差数列通项公式的基本方法表示出，关于公差d的式子就可求出的值。
【详细解答】设等差数列｛｝的首项为，公差为d， ，，，=（+d）(+11d)，5-4d=d(5d-4)=0, 公差d＞0，=d，
=d+11d=d，=d+d=d，=。
『思考问题2』
（1）【典例2】是等差数列通项公式及运用的问题，解答这类问题需要理解等差数列通项公式的定义，掌握求等差数列通项公式的基本方法；
（2）求等差数列的通项公式的关键是由条件求出：①等差数列的首项；②等差数列的公差；
（3）求等差数列的首项，公差的基本思想是方程思想，其基本方法是：①根据条件列出关于首项，公差d的方程组；②求解方程组求出首项，公差d的值；③把求得的首项，公差d的值代入等差数列的通项公式。
【典例3】解答下列问题：
1、已知数列{ }的前n项和为，若=，=++，则=（ ）（2022成都市高三二诊）
A 10 B 20 C 100 D 400
【解析】
【考点】①数列定义与性质；②数列通项公式及运用；③数列前n项和公式及运用；④数列前n项和公式与通项公式之间的关系及运用；⑤等差数列定义与性质；⑥求等差数列前n项
和的基本方法。
【解题思路】根据数列通项公式与前n项和公式，得到数列{ }是以为首项，为公差的等差数列，运用等差数列的性质和求等差数列前n项和的基本方法求的值就可得出选项。
【详细解答】=，=++， -=+，-=，数列{ }是以为首项，为公差的等差数列，=20+=5+519
=100，C正确，选C。
2、记为等差数列｛｝的前n项和，若=-2，+=2，则= （2020全国高考新课标II文）
【解析】
【考点】①等差数列的定义与性质；②数列通项公式及运用；③数列前n项和公式及运用。
【解答思路】设等差数列｛｝的公差为d，结合问题条件得到关于d的方程，求解方程得出d的值，从而求出数列前n项和就可求出的值。
【详细解答】设等差数列｛｝的公差为d，=-2，+=2，-4+6d=2，d=1，=10（-2）+1=-20+45=25。
3、（理）北京天坛的国丘坛为古代祭天的场所，分上，中，下三层，上层中心有一块圆形石板（称为天心石），环绕天心石砌9块扇面形石板构成第一环，向外每环依次增加9块，下一层的第一环比上一层的最后一环多9块，向外每环也依次增加9块，已知每层环数相同，且下层比中层多729块，则三层共有扇面形石板（不含天心石）（ ）
A 3699块 B 3474块 C 3402块 D 3339块
（文）如图，将钢琴上的12个键依次记为，，------，设1 iA 5 B 8 C 10 D 15
（理科图） （文科图）
【解析】
【考点】①等差数列的定义与性质；②数列通项公式及运用；③数列前n项和公式及运用。
【解答思路】（理）设国丘坛每层的环数为m，结合问题条件分别得到中层，下层扇面形石板数关于m的式子，从而得到关于m的方程，求解方程求出m的值，利用数列前n项和公式求出三层共有扇面形石板数就可得出选项；（文）根据原位大三和弦的定义，运用k-j=3且j-i=4，求出，，的所有可能取值就可得出原位大三和弦的个数，根据原位小三和弦的定义，运用k-j=4且j-i=3，求出，，的所有可能取值就可得出原位小三和弦的个数，从而求出原位大三和弦与原位小三和弦的个数之和就可得出选项。
【详细解答】设国丘坛每层的环数为m，上层的第m环扇面形石板数为9+9（m-1）=9m，
中层的第m环扇面形石板数为（9m+9）+9（m-1）=18m，中层的扇面形石板数为（9m + 9）m+9=+m，下层的扇面形石板数为m（18m+9）+ 9=
+m，(+m)-( +m)=9=729，m=9，上层的扇面形石板数为
99+9=405，中层的扇面形石板数为81+9=1134，下层的扇面形石板数为
81+9=1863，三层共有扇面形石板数为405+1134+1863=3402，C正确，选C；（文）当i=1时， k-j=3且j-i=4，j=5，k=8；当i=2时， k-j=3且j-i=4，j=6，k=9；当i=3时， k-j=3且j-i=4，j=7，k=10；当i=4时， k-j=3且j-i=4，j=8，k=11；
当i=5时， k-j=3且j-i=4，j=9，k=12；所有原位大三和弦有：，，；，，；，，；，，；，，共5个；原位小三和弦满足：k-j=4且j-i=3，k-i=7，k=8，9，10，11，12也是5个，用这12个键可以构成的原位大三和弦与原位小三和弦的个数之和为5+5=10，C正确，选C。
4、设等差数列｛｝的前n项和为，且0，=3，则=（ ）（2020成都市高三一诊）
A B C D
【解析】
【考点】①等差数列的定义与性质；②数列通项公式及运用；③数列前n项和公式及运用。
【解答思路】设等差数列｛｝的首项为，公差为d，结合问题条件得到关于，d的等式，从而把d表示成关于的式子，得出数列前n项和，求出的值就可得出选项。
【详细解答】设等差数列｛｝的首项为，公差为d，=+4d=3=3+6d，
d=-,=n+=n(n+1), ==,C正确，选C。
5、（理）记为等差数列{ }的前n项和，0，=3，则= ；（文）记为等差数列{ }的前n项和，若=5，=13，则= （2019全国高考新课标III）
【解析】
【考点】①等差数列的定义与性质；②等差数列通项公式及运用；③等差数列前n项和公式及运用；④求等差数列前n项和的基本方法。
【解答思路】（理）设等差数列｛｝的公差为d，根据等差数列｛｝通项公式，结合问题条件得到关于首项，公差d的等式，从而得出公差d关于首项的表示式，运用求等差数列前n项和的基本方法把表示成关于n的函数，得出，关于公差d的表示式，从而求出的值；（文）设等差数列｛｝的首项为，公差为d，结合问题条件得到关于，d的方程组，求解方程组求出，d的值，利用等差数列前n项和公式就可求出的值。
【详细解答】（理）设等差数列｛｝的公差为d，0，=3，+d=3，=，=+（n-1）d=（n-）d，=（10-）d=d，=（5-）d=d，=；（文）设等差数列｛｝的首项为，公差为d，=+2d=5①，=+6d=13②，联立①②解得：=1，d=2，=1+（10-1）2=19。
6、设为等差数列｛｝的前n项和，且2+=+，则=（ ）（2019成都市高三一诊）
A 28 B 14 C 7 D 2
【解析】
【考点】①等差数列的定义与性质；②等差数列通项公式及运用；③等差数列前n项和公式及运用。
【解答思路】设等差数列｛｝的首项为，公差为d，根据等差数列｛｝通项公式和前n项和公式，结合问题条件得到关于首项，公差d的等式，从而得到首项关于公差d表示式，运用求等差数列前n项和的基本方法求出的值就可得出选项。
【详细解答】设等差数列｛｝的首项为，公差为d， 2+=+， +4d+2=2+7d，+3d=2，=7+21d=7（+3d）=72=14，B正确，选B。
『思考问题3』
（1）【典例3】是等差数列前n项和公式及运用的问题，解答这类问题需要理解等差数列前n项和的定义，掌握求等差数列前n项和的基本方法；
（2）求等差数列的前n项和公式关键是由条件求出：①等差数列的首项；②等差数列的公差；
（3）求等差数列的首项，公差的基本思想是方程思想；其基本方法是：①根据条件列出关于等差数列首项，公差的方程组；②求解方程组求出等差数列首项，公差的值；③把求得的值代入等差数列的前n项和公式并求出结果。
【典例4】解答下列问题：
1、记是公差不为0的等差数列{}的前n项和，若=，.=。
（1）求数列{}的通项公式；
（2）求使>成立的n的最小值（2021全国高考新高考II卷）。
【解析】
【考点】①等差数列的定义与性质；②等差数列通项公式及运用；③等差数列前n项和公式及运用。
【解题思路】（1）根据等差数列的通项公式与前n项和公式，结合问题条件得到关于等差数列{}首项，公差的方程组，求解方程组求出等差数列{}首项，公差的值就可求出数列{}的通项公式；（2）由（1）得到等差数列{}的通项公式与前n
项和公式，从而得到关于n的不等式，求解不等式就可求出使>成立的n的最
小值。
【详细解答】（1）设等差数列{}的首项为，公比为q，=，.=，
+2d=3+3d①，（+d）（+3d）=4+6d②，联立①②解得：=0，d=0或=-，d=，d0，=-，d=，=-+（n-1）=n-，数列{}的通项公式=n-；（2）由（1）得：=-n+=-n，>，
-n>n-，-4n+3>0，n<1或n>3，n， n>3，即使>成立的n的最小值为4。
2、（文）记为等差数列{ }的前n项和，已知=-。
（1）若=4，求数列{ }的通项公式；
（2）若＞0，求使得的n的取值范围（2019全国高考新课标I）
【解析】
【考点】①等差数列的定义；②等差数列前n项和的定义与公式；③等差数列通项的定义与公式；④不等式的解法；
【解题思路】（1）求数列｛｝的通项公式求出数列｛｝的首项和公差d，问题条件：+4d=0， =9+36d=-(+4d)，
+2d=4， =+2d=4；
（2）=9+36d=-(+4d)，+4d=0，=-4d，>0，d<0，=n+
d=d-dn，=+（n-1）d=nd-5d， d-dn nd-5d，
-11n+100，解这个不等式即可。
【详细解答】（1）设等差数列{ }的首项为，公差为d，根据题意有：
=9+36d=-(+4d)，+4d=0，=8，=8+（n-1）（-2）=-2n+10；
=+2d=4， +2d=4， d=-2，
（2）=9+36d=-(+4d)，+4d=0，=-4d，>0，d<0，=n+
d=d-dn，=+（n-1）d=nd-5d， d-dn nd-5d，
-11n+100，1n10，当时，n的取值范围是[1，10]。
3、设为等差数列｛｝的前n项和，已知=-7，=-15。
（1）求数列｛｝的通项公式；
（2）求，并求的最小值（2018全国高考新课标II卷（理））
【解析】
【考点】①等差数列的定义与性质；②等差数列前n项和公式及运用；③等差数列通项公式及运用；④求函数最值的基本方法。
【解题思路】（1）运用等差数列｛｝的前n项和公式得到关于公差d的方程，求解方程求出公差d的值，从而求出数列｛｝的通项公式；（2）由（1）得到关于n的函数，利用求函数最值的基本方法就可求出的最小值。
【详细解答】（1）设等差数列｛｝的公差为d，=-7，=3+3d=-15，d=2，数列｛｝的通项公式为：=-7+（n-1）2=2n-9；（2）由（1）得=-7n+2
=-8n，当且仅当n=-=4时，=16-84=-16为最小，的最小值是-16。
『思考问题4』
（1）【典例4】是等差数列前n项和最值的问题，解答这类问题需要理解等差数列前n项和存在最值的条件，掌握求等差数列前n项和最值的基本方法；
（2）求等差数列前n项和的最大值和最小值问题的常用方法有：①一元二次函数求最值的基本方法；②通项公式法；③不等式法；
（3）一元二次函数求最值的基本方法是：①运用公式=n+d得到=+（-）n=A+Bn，当d0时A0， 是关于n的一元二次函数；②根据（n，）是抛物线y=A+Bn上一群孤立的点，利用二次函数的性质求出｛｝的前n项和的最大值或最小值；
（4）通项公式法是直接运用等差数列的常用性质1解答问题；
（5）不等式法是运用当最大时，必有不等式组 （n2，n∈）成立，解这 ，不等式组确定n的取值范围，
进而确定n的值，再求出与n对应的的值。

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