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高考试题中等比数列问题的类型与解法
等比数列问题是近几年高考的热点问题之一，可以这样毫不夸张地说，只要是高考试卷，就一定涉及到等比数列的问题，分值一般在五到十二分之间。从题型上看，可能是大题，也可能是选择题（或填空题）；难度系数较低，一般为中档题或低档题。纵观近几年高考试题，归结起来，等比数列问题主要包括：①等比数列基本概念及运用；②等比数列的通项公式及运用；③等比数列前n项和公式及运用；④等比数列的最值等几种类型，各种类型问题结构上具有某些特征，解答方法也有一定的规律可寻。那么在实际解答等差数列问题时，到底应该如何抓住问题的结构特征，快捷，准确地给予解答呢？下面通过典型例题的详细解析来回答这个问题。
【典例1】解答下列问题：
1、在等比数列{ }中，已知>0，则“>”是“>”的（ ）（2022成都市高三二诊）
A充分不必要条件 B必要不充分条件 C充分必要条件D既不充分也不必要条件
【解析】
【考点】①等比数列定义与性质；②充分条件，必要条件和充分必要条件定义与性质；③判断充分条件，必要条件和充分必要条件的基本方法。
【解题思路】根据等比数列和充分条件，必要条件与充分必要条件的性质，结合问题条件，运用判断充分条件，必要条件和充分必要条件的基本方法，判断出“>”是
“>”的所属条件就可得出选项。
【详细解答】设等比数列{ }的公比为q，>0，=q>=, -q<0, 0，“>”是 “>”的
充分条件；>0，=>=，-1<0, q<1，当q<0时，等比数列{ }是摆动数列，不能推出>，“>”不是 “>”的必要条件，综上所述，“>”是 “>”的充分不必要条件，A正确，选A。
2、（理）已知数列{ }和{ }满足=1，=0，4=3-+4，4=3--4。
（1）证明：{ +}是等比数列，{ -}是等差数列；
（2）求数列{ }和{ }的通项公式。
（文）已知{ }是各项均为正数的等比数列，=2，=2+16。
（1）求数列{ }的通项公式；
（2）设= ，求数列{ }的前n项和（2019全国高考新课标II）
【解析】
【考点】①数列的定义；②数列通项公式的定义；③证明数列为等比数列，等差数
列的基本方法；④等差数列前n项和的定义与公式；⑤对数的运算性质；
【解题思路】（理）（1）证明数列{ +}是等比数列，=常数；证明数列{ -}是等差数列，（-）-（-）=常数；问题条件：=1，=0，4 =3-+4，4=3--4，+=1+0=1，-=1-0=1，4（+）=2（+），4（-）=4（-）+8，=，（-）-（-）=2；（2）由（1）得：+
=①，-=1+（n-1）2=2n-1②，联立①②解得；=+n-，=-n+。
（文）（1）求数列｛｝的通项公式求出数列｛｝的首项和公差d，问题条
件：=2，且=2=2+16=4q+16，=2，且-2q-8=0，求出q的值就可求出数
列{ }的通项公式；（2）由（1）可得=.==2n-1，运用求数列前n项和
的基本方法，就可求出。
【详细解答】（理）（1）4=3-+4，4=3--4，4（+）=2（+），
4（-）=4（-）+8，=，（-）-（-）=2；=1，=0，+=1+0=1，-=1-0=1，数列{ +}是以1为首项，为公比的等比数列，数列{ -}是以1为首项，2为公差的等差数列；（2）由（1）得：+=①，
-=1+（n-1）2=2n-1②，联立①②解得：=+n-，=-n+。
（文）（1） =2，且=2=2+16=4q+16， =2，且-2q-8=0 ，q=-2或q=4，数列{ ｝各项均为正数，q=4，即：=2=；（2）由（1）可得
=.==2n-1，=++-----+=1+3+-------+2n-1==。
3、（理）已知数列｛｝满足：=-2，=2+4.
（1）证明数列｛+4｝是等比数列；
（2）求数列｛｝的前n项和。
（文）在等比数列｛｝中，已知=8，且，+1，成等差数列。
（1）求数列｛｝的通项公式；
（2）求数列｛|-4|｝的前n项和（2017成都市一珍）
【解析】
【考点】①等比数列的定义与性质；②等差中项的定义与性质；③证明数列是等比数列的基本方法；④求等比数列通项公式的基本方法；⑤拆项求数列前n项和的基本方法。
【解题思路】（理）（1）运用证明数列是等比数列的基本方法就可证明数列｛+4｝是等比数列；（2）根据（1）的结论，求出数列｛｝的通项公式，利用拆项求和法求出数列｛｝的前n项和.；（文）（1）运用等比数列通项公式和等差中项的性质，结合问题条件得到关于首项，公比q的方程组，求解方程组求出首项，公比q的值，从而求出数列｛｝的
通项公式；（2）根据（1）的结果，求出数列｛-4｝的通项公式，利用拆项求和法求出数列
｛-4｝的前n项和。
【详细解答】（理）（1）证明：=2+4.，+4=2+8=2（+4），=2，
=-2，+4=-2+4=2，数列｛+4｝是以2为首项，2为公比的等比数列；（2）由（1）知+4=2=，=-4，=2-4+-4+-4+-----+-4=（-4-4--------4）
+（2+++-----+）=-4n+=-4n-2；（文）（1）设等比数列｛｝的公比为q， ==8①，，+1，成等差数列，2q+2=+②，联立
①②解得=2，q=2，数列｛｝的通项公式为：=2=；（2）由（1）知
-4==-4，==2-4+-4+-4+-----+-4=（-4-4--------4）+（2+++-----+）=-4n+=-4n-2。
〖思考问题1〗
（1）【典例1】是等比数列的定义及运用的问题，解答这类问题需要理解等比数列，等比中项的定义，注意等比中项的性质，掌握判断（或证明）一个数列是等比数列的基本方法；
（2）判断（或证明）一个数列是等比数列的基本方法有：①定义法；②等比中项法；③通项公式法；④前n项和公式法；
（3）定义法是判断或证明=q是常数（n)；特别地若问题是判断或证明三项成等比数列，则可以运用等比中项的性质加以解决；
（4）等比中项法是判断或证明=.（n2，n）；
（5）通项公式法是当数列的通项公式容易求出时，只需判断或证明数列的通项公式是关于n的一次函数（即=c，c，q是常数，且均不为0 ，n）；
（6）前n和公式法是当数列的前n项和容易求出时，只需判断或证明数列的前n项和公式是关于n的二次函数，（即=k-k，k0，q0且q1为常数，n）。
【典例2】解答下列问题：
1、若等比数列{ }满足+=2，-=6，则=（ ）（2021成都市高三一诊）
A -32 B -8 C 8 D 64
【解析】
【考点】①等比数列的定义与性质；②等比数列通项公式及运用。
【解题思路】根据等比数列的性质和等比数列通项公式，结合问题条件得到关于等比数列{}的首项，公比的方程组，求解方程组求出等比数列{}的首项，公比的值，从而求出的值就可得出选项。
【详细解答】设等比数列{}的首项为，公比为q，+=2，-=6，q（1+q）=2①；q（1+q）（1-q）=6②，联立①②解得：=1，q=-2，=，=1
=-32，A正确，选A。
2、已知数列｛｝中，=1，=3，+3=4，=-，n。
（1）求数列｛｝的通项公式；
（2）记=（+），数列｛｝的前n项和为，求（2021成都市高三三诊）。
【解析】
【考点】①等比数列的定义与性质；②判断一个数列是等比数列的基本方法；③等比数列通项公式及运用；④对数的定义与性质；⑤等差数列前n项和公式及运用。
【解题思路】（1）根据等比数列的性质和判断一个数列是等比数列的基本方法，结合问题条件得到数列｛｝是等比数列，运用等比数列的通项公式就可求出数列｛｝的通项公式；
（2）根据（1）求出关于n的式子，从而得到=+，运用对数的性质得到数列｛｝
的通项公式，运用等差数列的前n项和公式就可求出的值。
【详细解答】（1）+3=4，=-，-=3（-），
=3，=3，=1，=3，=-=3-1=2，数列｛｝是以2为首项，3为公比的等比数列，数列｛｝的通项公式为：=2；（2）=（-）+（-）+------+（-）+（-）+=++------+++=+1=，
=-，=+，=（+）===n，=+
+------+=1+2+------+（n-1）+n=，即==210。
3、设数列｛｝是等比数列，且++=1，++=2，则++=（ ）（2020全国高考新课标I文）
A 12 B 24 C 30 D 32
【解析】
【考点】①等比数列的定义与性质；②等比数列的通项公式及运用。
【解题思路】运用等比数列通项公式结合问题条件求出等比数列的首项和公比的值，求出++的值就可得出选项。
【详细解答】设等比数列{}的首项为，公比为q，++=1，++=2，
（1+q+）=1①, q（1+q+）=2②,联立①②解得：=，q=2，++=
（1+q+）=132=32，D正确，选D。
4、已知公比大于1的等比数列｛｝满足+=20，=8。
（1）求数列｛｝的通项公式；
（2）记为｛｝在区间（0，m]（m∈）中的项的个数，求数列{}的前100项和（2020全国高考新高考I）
【解析】
【考点】①等比数列的定义与性质；②等比数列通项公式的定义与求法；④等比数列前n项和的定义，公式与求法；⑤任意数列前n项和的定义与求法。
【解题思路】（1）运用等比数列通项公式得到关于首项，公比q的方程组，求解方程组就
可求出首项，公比q的值，从而得出等比数列｛｝的通项公式；（2）根据题意确定出数列{}各项的值，利用任意数列前n项和的定义与求法就可求出数列｛｝的前100项的和。
【详细解答】（1）设等比数列｛｝的首项为，公比为q，=q，=，=， 20，+==8，q+=20①，=8②，联立①②解得：q=2，=2，或=32，
q=，q>1， q=2，=2，=2=；（2）1<=22，2<==44，4<==88，10<==1616，30<==3232，60<==6464，=
=128>100，=0，==1，====2，==-----==3，==-----
==4，==-----==5，==-----=6，=0+12+24+38+416
+532+637=0+2+8+24+64+160+236=484。
5、已知公比大于1的等比数列｛｝满足+=20，=8。
（1）求数列｛｝的通项公式；
（2）求-+------+（2020全国高考新高考II）
【解析】
【考点】①等比数列的定义与性质；②等比数列通项公式的定义与求法；③④对数的定义与性质；⑤等比数列前n项和公式定义与运用；⑥错项相减求数列前n项和的基本方法。
【解题思路】（1）运用等比数列的性质，求等比数列通项公式的基本方法，结合问题条件求出等比数列首项和公比q的值，从而得到等比数列的通项公式；（2）根据（1）得到=.=，从而知道-+------+
中奇次项为正，偶次项为负，将奇次项组合在一起得到一个等比数列，偶次项组合在一起也得到一个等比数列，利用等比数列前n项和公式分别求出两个等比数列的和再相加就可求出-+------+，这里需要注意项数为奇数和偶数两种情况的不同结果。
【详细解答】（1）设等比数列的首项为，公比为q，+=q（1+）=20，==8，
=32，q=，或=2，q=2，q>1，=2，q=2，=2=；（2）
=.=，-+------+=-+-+----
+=（++-------）-（++-------），①当n为奇数时，-+------+=+-=-+++-=8+（1-4）+=8-+；②当n为偶数时，-+------+=-=-++-=8+（1-4）=8-。
6、(理）设数列｛｝满足=3，=3-4n。
（1）计算，，猜想数列｛｝的通项公式并加以证明；
（2）求数列｛｝的前n项和
（文）设等比数列｛｝满足+=4，-=8。
（1）求数列｛｝的通项公式；
（2）记为数列｛｝的前n项和，若+=，求m（2020全国高考新课标III）。
【解析】
【考点】①已知数列首项和递推公式求数列通项公式的基本方法；②等比数列的定义与性质；③等比数列通项公式的定义与求法；④对数的定义与性质；⑤等比数列前n项和公式定义与运用；⑥错项相减求数列前n项和的基本方法。
【解题思路】（理）（1）运用数列递推公式，结合问题条件求出，，并作出猜想，根据已知数列首项和递推公式求数列通项公式的基本方法加以证明；（2）运用错项相减求数列前n项和的基本方法就可求出数列｛｝的前n项和。（文）（1）运用等比数列｛｝的通项公式得到关于首项，公比q的方程组，求解方程组求出首项，公比q的值就可得到数列｛｝的通项公式；（2）运用对数的定义与性质求出数列｛｝的通项公式，从而得到数列｛｝的前n项和公式，根据数列｛｝的前n项和公式得到关于m的方程，求解方程就可得出m的值。
【详细解答】（理）（1）=3，=3-4n，=3-41=9-4=5，=3-42=7，
=3=21+1，=5=22+1，=7=23+1，猜想数列｛｝的通项公式为：=2n+1，
证明：=3，=3-4n①，=3-4（n-1)②，①-②得：-=3（-）-4，=3，--2=5-3-2=0，当n2时，数列｛--2｝是以0为首项，3为公比的等比数列，--2=0，-=2；=3，数列｛｝是以3为首项，2为公差的等差数列，=3+（n-1）2=2n+1；（2）数列｛｝的通项=（2n+1），=32+5+7+------（2n-1）+(2n+1) ①
2=3+5+7+------（2n-1）+(2n+1) ②，①-②得：-=32++
++-----+-(2n+1) =2+++++------+-(2n+1) =-
(2n+1) =-（2n+1-2）-2=-(2n-1) -2，=（2n-1）+2。（文）（1）设等比数列｛｝的公比为q，+=（1+q）=4①，-=（-1）=8②，联立①②
解得：q=3，=1，数列｛｝的通项公式为=1=；（2）=
=n-1，=0+1+2+-------+（n-1）=，=，=，
==，+=，+
=，-5m-6=0，m=-1或m=6，m， m=6。
7、已知等比数列｛｝的各项均为正数，若++------+=12，则=（ ）（2020全国高考北京卷）
A 1 B 3 C 6 D 9
【解析】
【考点】①等比数列的定义与性质；②等比数列通项公式及运用；③求等比数列通项公式的基本方法；④对数的定义与性质。
【解答思路】设等比数列｛｝的公比为q，根据等比数列｛｝通项公式和对数的性质，结合问题条件得到关于首项，公比q的等式，把首项表示成关于公比q的式子，运用求等比数列通项公式的基本方法将表示成关于公比q的式子，从而求出的值就可得出选项。
【详细解答】设等比数列｛｝的公比为q，=，++-----+
===12，=，=9，==9，D正确，选D。
8、已知等比数列｛｝的各项均为正数，若++------+=12，则=（ ）（2020成都市高三零诊）
A 1 B 3 C 6 D 9
【解析】
【考点】①等比数列通项公式的定义与性质；②等比数列的定义与性质；③求等比数列通项公式的基本方法；④对数的定义与性质。
【解答思路】设等比数列｛｝的公比为q，根据等比数列｛｝通项公式的性质，结合问题条件得到关于首项，公比q的等式，求出首项关于公比q的式子，运用求等比数列通项公式的基本方法把表示成关于，q的式子，从而求出的值就可得出选项。
【详细解答】设等比数列｛｝的公比为q，=，++------+
===12，=，=9，
==9，D正确，选D。
9、设正项等比数列｛｝满足=81，+=36，则= （2020成都市高三一诊）
【解析】
【考点】①等比数列的定义与性质；②等比数列的通项公式及运用。
【解题思路】运用等比数列通项公式结合问题条件求出等比数列的首项和公比，再根据求等比数列通项公的基本方法求出结果。
【详细解答】设等比数列{}的首项为，公比为q，==84+=q+
=36， 4-9q-9=0，q=3或q=-，等比数列{}为正项等比数列， q=3，=3，=3=。
10、已知｛｝是递增的等比列数，=1，且2，，成等差数列。
（1）求数列｛｝的通项公式；
（2）设=（n∈），求数列｛｝的前n项和（2020成都市高三二珍）
【解析】
【考点】①等比数列的定义与性质；②等差中项的定义与性质；③等比数列通项公式的定义
与求法；④对数的定义与性质；⑤裂项相消求数列前n项和的基本方法。
【解题思路】（1）运用等比数列通项公式和等差中项的性质得到关于公比q的方程，求解方程求出等比数列｛｝的公比就可得到等比数列｛｝的通项公式；（2）根据裂项相消求数列前n项和的基本方法就可求出数列｛｝的前n项和。
【详细解答】（1）设等比数列｛｝的公比为q， =q，=，=，
2，，成等差数列，3=2q+，-3+2q=0，q=0或q=1或q=2，=1，｛｝是递增的等比列数，q=2，=1=；
（2）===-，=1-+-+-------+-
+-=1-=。
11、在等比数列｛｝中，已知=，则该数列的公比是（）（2020成都市高三三诊）
A -3 B 3 C 3 D 9
【解析】
【考点】①等比数列的定义与性质；②等比数列的通项公式及运用。
【解题思路】运用等比数列通项公式，结合问题条件得到关于等比数列的首项和公比的等式，求出等比数列的公比就可得出选项。
【详细解答】设等比数列{}的首项为，公比为q，=.=
==，=，当且仅当=时，q=3，B正确，选B。
12、已知各项均为正数的等比数列{ }的前4项和为15，且=3+4，则=（ ）（2019全国高考新课标III）
A 16 B 8 C 4 D 2
【解析】
【考点】①等比数列的定义与性质；②等比数列通项公式及运用；③等比数列前n项和公式及运用。
【解答思路】设等比数列｛｝的首项为，公比为q，根据等比数列｛｝通项公式和前n项公式，结合问题条件得到关于，q的方程组，解方程组求出，q的值，从而求出的值就可得出选项。
【详细解答】设等比数列｛｝的首项为，公比为q，， （1+q++）=15①，==3+4②，联立①②解得：q=2，=1或q=-2，=-3，数列{ }各项均为正数，q=2，=1，==4，C正确，选C。
13、已知等比数列｛｝的前n项和为，公比q＞1，且+1为，的等差中项，=14。
（1）求数列｛｝的通项公式；
(2)记=.，求数列｛｝的前n项和（2019成都市高三二诊）
【解析】
【考点】①等比数列的定义；②等比数列前n项和的定义与公式；③等比数列通项的定义与公式；④等差中项的定义与性质；⑤对数的运算性质；⑥数列前n项和的错项相减求和法；
【解题思路】（1）求数列｛｝的通项公式求出数列｛｝的首项和公比q，问题条件： （-2q+1）=2， 2（+1）=+，
（+q+1）=14， =；
（2）由（1）可得=.=n，=12+2+3+--------+n①
2=1+2+--------+（n-1）+n②①-②得：-=2+++--------+-n
求出；
【详细解答】（1）等比数列｛｝的前n项和为，+1为，的等差中项，=14，
2（+1）=+，（-2q+1）=2，=7，2-5q+2=0，
=； （+q+1）=14，q=2或q=，q>1， q=2， =2，,=2.= ；
（2）由（1）可得=.=n，=12+2+3+--------+n①
2=1+2+--------+（n-1）+n②①-②得：-=2+++--------+-n
=-n=-2-n=（1-n）.-2，=（n-1）+2。
『思考问题2』
（1）【典例2】是等比数列通项公式及运用的问题，解答这类问题需要理解等比数列通项公式的定义，掌握求等比数列通项公式的基本方法；
（2）求等比数列的通项公式关键是由条件求出：①等比数列的首项；②等比数列的公比；
（3）求等比数列的首项，公比的基本思想是方程思想；其基本方法是：①根据条件列出关于等比数列首项，公比的方程组组；②求解方程组求出等比数列首项，公比的值；③把求出等比数列首项，公比的值代入等比数列通项公式。
【典例3】解答下列问题：
1、（理）等比数列{}的公比为q，前n项和为，设甲：q>0，乙：{}是递增数列，则（ ）
A 甲是乙的充分条件但不是必要条件 B 甲是乙的必要条件但不是充分条件
C 甲是乙的充分必要条件 D 甲既不是乙的充分条件也表示乙的必要条件
（文）记为等比数列{}的前n项和，若=4，=6，则=（ ）（2021全国高考甲卷）
A 7 B 8 C 9 D 10
【解析】
【考点】①等比数列的定义与性质；②等比数列前n项和公式及运用；③充分条件，必要条件，充分必要条件的定义与性质，④判断充分条件，必要条件，充分必要条件的基本方法。
【解题思路】（理）根据等比数列的性质和等比数列前n项和公式，运用充分条件，必要条件，充分必要条件的性质和判断充分条件，必要条件，充分必要条件的基本方法对甲与乙之间的关系给出正确判断就可得出选项。（文）根据等比数列的性质和等比数列前n项和公式，结合问题条件得到关于等比数列{}首项，公比的方程组，求解方程组求出等比数列{}首项，公比的值，运用等比数列前n项和公式求出的值就可得出选项。
【详细解答】（理）由q>0，不能判断等比数列{}是递增数列，也不能判断数列{}是递增数列，但由数列{}是递增数列，能够判断等比数列{}是递增数列，从而推出q>0，甲是乙的必要条件但不是充分条件，B正确，选B。（文）设等比数列{}的首项为，公比为q， =（1+q）=4①，=（1+q++）=6②，联立①②解得：=8-4，q=，==7，A正确，选A。
2、设｛｝是公比不为1的等比数列，为，的等差中项。
（1）求｛｝的公比；
（2）若=1，求数列｛｝的前n项和（2020全国高考新课标I理）。
【解析】
【考点】①等比数列的定义与性质；②等差中项的定义与性质；③等比数列通项公式的定义与性质；④等比数列前n项和的定义，公式与求法。
【解题思路】（1）运用等比数列通项公式和等差中项的性质得到关于公比q的方程，求解方程就可求出等比数列｛｝的公比；（2）根据等比数列前n项和公式通过运算就可得出等比数列｛｝的前n项和。
【详细解答】（1）设等比数列｛｝的公比为q，=q，=，为，的等差中项，2=q+ ，+q-2=0，q=1或q=-2，q1，q=-2；（2）=1，
q=-2，==-。
3、记为等比数列｛｝前n项和，若-=12，-=24，则=（ ）（2020全国高考新课标II文）
A -1 B 2- C 2- D -1
【解析】
【考点】①等比数列的定义与性质；②等比数列通项公式及运用；③等比数列前n项和公式及运用。
【解题思路】运用等比数列通项公式结合问题条件求出等比数列的首项和公比的值，求出等比数列通项与前n项和，从而求出的值就可得出选项。
【详细解答】设等比数列{}的首项为，公比为q，-=12，-=24，（-1）=12①，（-1）=24②，联立①②解得：=1，q=2，=，==-1，==2-，B正确，选B。
4、（理）记为等比数列{ }的前n项和，若= ，=，则= ；（文）记为等比数列{ }的前n项和，若=1，=，则= （2019全国高考新课标I）
【解析】
【考点】①等比数列的定义与性质；②等比数列通项公式及运用；③等比数列前n项和公式及运用。
【解答思路】（理）设等比数列｛｝的公比为q，根据等比数列｛｝通项公式的性质，前n项的求法，结合问题条件得到关于，q的方程组，解方程组求出，q的值，从而求出的值；（文）设等比数列｛｝的公比为q，根据等比数列｛｝通项公式的性质，前n项的求法，结合问题条件得到关于，q的方程组，解方程组求出，q的值，从而求出的值.
【详细解答】（理）设等比数列｛｝的公比为q， = ，===，= ，q=3， ==，（文）设等比数列｛｝的公比为q，， =1，=1+q+=，=1，q=-，==。
『思考问题3』
（1）【典例3】是与等比数列前n项和相关的问题，解答这类问题需要理解等比数列前n项和的定义，掌握求等比数列前n项和的基本方法；
（2）求等比数列前n项和的关键是：①求出等比数列的首项；②求出等比数列的公比；
（3）求等比数列的首项，公比的基本思想是方程思想；其基本方法是：①根据条件列出关于等比数列首项，公比的方程组；②求解方程组求出等比数列首项，公比的值；③ 运用等比数列前n项和公式求出结果。
【典例4】解答下列问题：
1、设{ }是等差数列，=-10，+10，+8，+6成等比数列。
（1）求数列{ }的通项公式；
（2）记{ }的前n项和为，求的最小值（2019全国高考北京（文））
【解析】
【考点】①等差数列的定义与性质；②等比中项的定义与性质；③等差数列通项公式及运用；④等差数列前n项和公式及运用；⑤求函数最值的基本方法。
【解题思路】（1）运用等差数列｛｝的通项公式和等比中项的性质得到关于公差d的方程，求解方程求出公差d的值，从而求出数列｛｝的通项公式；（2）由（1）得到关于n的函数，利用求函数最值的基本方法就可求出的最小值。
【详细解答】（1）设等差数列｛｝的公差为d，=-10，+10，+8，+6成等比数列，（2d-2）=d（3d-4），d=2，数列{ }的通项公式为：=-10+（n-1）2
=2n-12，（2）由（1）得=-10n+2=-11n，当且仅当n=-=5时，=25
-105=-25为最小，的最小值是-25。
2、设1------，其中，，，成公比为q的等比数列，，，成公差为1的等差数列，则q的最小值是 （2019全国高考江苏）
【解析】
【考点】①等比数列的定义与性质；②等差数列的定义与性质；③等比数列通项公式及运用；④等差数列通项公式及运用。
【解答思路】根据等差数列和等比数列的通项公式，结合问题条件得到1+23，=3，从而得到关于q的不等式，求解不等式求出公比q的取值范围就可求出q的最小值。
【详细解答】1------，，，成公差为1的等差数列，1+23，，，，成公比为q的等比数列，=，3，q，即q的最小值是。
『思考问题4』
(1) 【典例4】是与等比数列相关的最值问题，解答这类问题需要理解最值的定义，掌握运用等比数列相关知识求最值的基本方法；
（2）求等差数列前n项和的最值问题的基本方法是：①运用等差数列前n项和公式得到关于n的一元二次函数；②运用一元二次函数的性质和求一元二次函数最值的基本方法求出函数的最值；③得出等差数列前n项和的最值；
（3）求等比数列公比最值的基本方法是：①运用等比数列图像公式，结合问题条件得到关于等比数列公比q的不等式；②求解不等式求出等比数列公比q的取值范围；③求出等比数列公比q的最值。

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