资源简介

2.3　直线的交点坐标与距离公式
2.3.1　两条直线的交点坐标
2.3.2　两点间的距离公式
学 习 目 标 核 心 素 养
1.会用解方程组的方法求两条相交直线的交点坐标．(重点) 2.会根据方程解的个数判定两条直线的位置关系．(难点)3.掌握两点间距离公式并会应用．(重点) 1. 通过两直线交点坐标的学习，提升数学运算、直观想象的数学素养.2. 通过两点间距离学习，培养逻辑推理和直观想象的数学素养.
点P(x0，y0)在直线Ax＋By＋C＝0上，那么我们会有Ax0＋By0＋C＝0，若P(x0，y0)，同时在两条直线A1x＋B1y＋C1＝0和A2x＋B2y＋C2＝0上时，我们会有Aix0＋Biy0＋Ci＝0(i＝1,2)，那么点P就是这两条直线的交点．
下面我们就来研究两直线的交点问题．
1．两条直线的交点坐标
几何元素及关系 代数表示
点A A(a，b)
直线l l：Ax＋By＋C＝0
点A在直线l上 Aa＋Bb＋C＝0
直线l1与l2的交点是A 方程组的解是
2.直线l1：A1x＋B1y＋C1＝0(A1，B1不同时为0)；l2：A2x＋B2y＋C2＝0(A2，B2不同时为0)的位置关系如表所示：
方程组的解 一组 无数组 无解
直线l1和l2公共点的个数 一个 无数个 零个
直线l1和l2的位置关系 相交 重合 平行
3.两点间的距离公式
(1)平面上的两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)间的距离公式
|P1P2|＝.
(2)两点间距离的特殊情况
①原点O(0,0)与任一点P(x，y)的距离|OP|＝.
②当P1P2∥x轴(y1＝y2)时，|P1P2|＝|x2－x1|.
③当P1P2∥y轴(x1＝x2)时，|P1P2|＝|y2－y1|.
思考：两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)间的距离公式是否可以写成|P1P2|＝的形式？
[提示]　可以，原因是＝，也就是说公式中P1，P2两点的位置没有先后之分．
1．思考辨析(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)若由两条直线的方程组成的方程组只有一个公共解，则两条直线相交． (　　)
(2)若两条直线的斜率都存在且不等，则两条直线相交． (　　)
(3)已知P1(x1，y1)，P2(x2，y2)，当P1P2∥y轴(x1＝x2)时，|P1P2|＝|y2－y1|. (　　)
(4)已知P1(x1，y1)，P2(x2，y2)，当P1P2∥x轴(y1＝y2)时，|P1P2|＝|x2－x1|. (　　)
[提示]　(1)√　(2)√　(3)√　(4)√
2．直线x＝1和直线y＝2的交点坐标是(　　)
A．(2,2)　　　B．(1,1)　　　C．(1,2)　　　D．(2,1)
C　[由得交点坐标为(1,2)，故选C.]
3．已知△ABC的顶点A(2,3)，B(－1,0)，C(2,0)，则△ABC的周长是(　　)
A．2 B．3＋2
C．6＋3 D．6＋
C　[|AB|＝＝3，|BC|＝＝3，|AC|＝＝3，则△ABC的周长为6＋3.]
4．若直线x－ay＋1＝0与直线x＋y－1＝0的交点在y轴上，则a的值是________．
1　[直线x＋y－1＝0与y轴的交点为(0,1)，把(0,1)代入x－ay＋1＝0的－a＋1＝0解得a＝1.]
两条直线的交点问题
【例1】　分别判断下列直线是否相交，若相交，求出它们的交点．
(1)l1：2x－y＝7和l2：3x＋2y－7＝0；
(2)l1：2x－6y＋4＝0和l2：4x－12y＋8＝0；
(3)l1：4x＋2y＋4＝0和l2：y＝－2x＋3.
[解]　法一：(1)方程组的解为
因此直线l1和l2相交，交点坐标为(3，－1)．
(2)方程组有无数个解，
这表明直线l1和l2重合．
(3)方程组无解，
这表明直线l1和l2没有公共点，故l1∥l2.
法二：(1)∵kl1＝2，kl2＝－，kl1≠kl2，
∴l1与l2相交，
由得
故l1与l2的交点为(3，－1)．
(2)由＝＝，知l1与l2重合．
(3)l2方程为2x＋y－3＝0，
由＝≠知两直线l1与l2平行．
两条直线相交的判定方法
方法一：联立直线方程解方程组，若有一解，则两直线相交．
方法二：两直线斜率都存在且斜率不等．
方法三：两直线的斜率一个存在，另一个不存在．
[跟进训练]
1．若直线l1：y＝kx＋k＋2与直线l2：y＝－2x＋4的交点在第一象限内，则实数k的取值范围是(　　)
A．k＞－　　　 B．k＜2
C．－＜k＜2 D．k＜－或k＞2
C　[法一：由题意知，直线l1过定点P(－1,2)，斜率为k，直线l2与x轴、y轴分别交于点A(2,0)、B(0,4)，若直线l1与l2的交点在第一象限内，则l1必过线段AB上的点(不包括A，B)，因为kPA＝－，kPB＝2，所以－＜k＜2.故选C.
法二：由直线l1，l2有交点，得k≠－2.
由
得
又交点在第一象限内，所以解得－＜k＜2.]
两点间距离公式
【例2】　已知△ABC的三个顶点坐标分别是A(1，－1)，B(－1,3)，C(3,0)．
(1)判断△ABC的形状；
(2)求△ABC的面积．
[思路探究]　先把三个顶点描在平面直角坐标系中，观察出三角形的形状，再用距离公式及斜率的关系验证．
[解]　(1)如图所示，△ABC为直角三角形，下面进行验证．
法一：∵|AB|＝＝2，
|AC|＝＝，|BC|＝＝5.
∴|AB|2＋|AC|2＝|BC|2，即△ABC是以A为直角顶点的直角三角形．
法二：∵kAB＝＝－2，kAC＝＝.
∴kAB·kAC＝－1，∴AB⊥AC.
∴△ABC是以A为直角顶点的直角三角形．
(2)由(1)中法一得|AB|＝2，|AC|＝.
又∵∠A＝90°，∴S△ABC＝|AB||AC|＝×2×＝5.
1．判断三角形的形状，要采用数形结合的方法，大致明确三角形的形状，以确定证明的方向．
2．在分析三角形的形状时，要从两方面考虑：一是要考虑角的特征，主要考察是否为直角或等角；二是要考虑三角形的长度特征，主要考察边是否相等或是否满足勾股定理．
[跟进训练]
2．已知点A(－3,4)，B(2，)，在x轴上找一点P，使|PA|＝|PB|，并求|PA|的值．
[解]　设点P(x,0)，
则有|PA|＝＝，
|PB|＝＝.
由|PA|＝|PB|，得x2＋6x＋25＝x2－4x＋7，
解得x＝－.即所求点P为，
且|PA|＝eq \r(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(9,5)＋3))＋ 0－4 2)＝.
过两条直线交点的直线系方程应用
[探究问题]
1. 如何求两条直线的交点坐标？
[提示]　求两条直线的交点坐标只需将两条直线方程联立解方程组即可．
2．怎样表示过两条直线交点的直线系方程？
[提示]　过两条直线l1：A1x＋B1y＋C1＝0与l2：A2x＋B2y＋C2＝0的交点的直线系方程A1x＋B1y＋C1＋λ(A2x＋B2y＋C2)＝0(不包括l2的方程)．
3．方程(a－1)x－y＋(2a－1)＝0表示过哪两条直线的直线系方程．
[提示]　方程可化为a(x＋2)＋(－x－y－1)＝0，所以该方程可表示为过直线x＋2＝0和－x－y－1＝0的交点的直线系方程．
【例3】　求过两直线2x－3y－3＝0和x＋y＋2＝0的交点且与直线3x＋y－1＝0平行的直线方程．
[思路探究]　→→条件确定系数
[解]　法一：解方程组
得所以两直线的交点坐标为.
又所求直线与直线3x＋y－1＝0平行，所以所求直线的斜率为－3.
故所求直线方程为y＋＝－3，
即15x＋5y＋16＝0.
法二：设所求直线方程为(2x－3y－3)＋λ(x＋y＋2)＝0，
即(2＋λ)x＋(λ－3)y＋(2λ－3)＝0.(*)
由于所求直线与直线3x＋y－1＝0平行，
所以有得λ＝.
代入(*)式，得x＋y＋＝0，
即15x＋5y＋16＝0.
1．本例中将“3x＋y－1＝0”改为“x＋3y－1＝0”，则如何求解？
[解]　由例题知直线2x－3y－3＝0和x＋y＋2＝0的交点坐标为，直线l与x＋3y－1＝0平行，故斜率为－，所以直线l的方程为y＋＝－，即5x＋15y＋24＝0.
2．本例中若将“平行”改为“垂直”，又如何求解？
[解]　设所求直线方程为(2x－3y－3)＋λ(x＋y＋2)＝0，
即(2＋λ)x＋(λ－3)y＋(2λ－3)＝0，
由于所求直线与直线3x＋y－1＝0垂直，
则3(2＋λ)＋(λ－3)×1＝0，得λ＝－，
所以所求直线方程为5x－15y－18＝0.
过两条直线交点的直线方程的求法
(1)常规解法(方程组法)：一般是先解方程组求出交点坐标，再结合其他条件写出直线方程．
(2)特殊解法(直线系法)：先设出过两条直线交点的直线方程，再结合其他条件用待定系数法求出参数，最后确定直线方程．
1．方程组有唯一解的等价条件是A1B2－A2B1≠0.亦即两条直线相交的等价条件是A1B2－A2B1≠0.直线A1x＋B1y＋C1＋λ(A2x＋B2y＋C2)＝0(λ∈R)是过直线l1：A1x＋B1y＋C1＝0与l2：A2x＋B2y＋C2＝0交点的直线(不含l2)．
2．解析法又称为坐标法，它就是通过建立直角坐标系，用坐标代替点、用方程代替曲线、用代数的方法研究平面图形的几何性质的方法．
3．两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)间的距离公式|P1P2|＝与两点的先后顺序无关，其反映了把几何问题代数化的思想．
1．直线2x＋y＋8＝0和直线x＋y－1＝0的交点坐标是(　　)
A．(－9，－10) B．(－9,10)
C．(9,10) D．(9，－10)
B　[解方程组得
故两直线的交点坐标为(－9,10)．]
2．已知点A(－2，－1)，B(a,3)，且|AB|＝5，则a的值为(　　)
A．1 B．－5
C．1或－5 D．－1,5
C　[由两点间距离公式得＝5.
解得a＝1或－5，故选C.]
3．若三条直线2x＋3y＋8＝0，x－y－1＝0和x＋ky＝0相交于一点，则k的值等于________．
－　[由
得
把(－1，－2)代入x＋ky＝0并解得k＝－.]
4．不论a取何值时，直线(a－3)x＋2ay＋6＝0，恒过第________象限．
四　[方程可化为a(x＋2y)＋(－3x＋6)＝0，
由得，∵(2，－1)在第四象限，故直线恒过第四象限．]
5．在直线l：3x－y＋1＝0上求一点P，使点P到两点A(1，－1)，B(2,0)的距离相等．
[解]　法一：设点P的坐标为(x，y)，则由|PA|＝|PB|，得解得，
所以点P的坐标为(0,1)．
法二：由题意知，线段AB的中点M的坐标为，AB所在直线的斜率为kAB＝＝1，故线段AB的垂直平分线的方程为x＋y－1＝0　 ①.
设P(x，y)，又3x－y＋1＝0　 ②，
联立①②得解得所以点P的坐标为(0,1)．
7/9

展开更多......

收起↑