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2.4.2　圆的一般方程
学 习 目 标 核 心 素 养
1.正确理解圆的方程的形式及特点，会由一般式求圆心和半径．(重点)2.会在不同条件下求圆的一般方程．(重点) 1. 通过圆的一般方程的推导，提升逻辑推理、数学运算的数学素养.2. 通过学习圆的一般方程的应用，培养数学运算的数学素养.
(1)把(x－a)2＋(y－b)2＝r2展开是一个什么样的关系式？
(2)把x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0配方后，将得到怎样的方程？这个方程一定表示圆吗？在什么条件下一定表示圆？
这就是今天我们将要研究的问题．
圆的一般方程
(1)圆的一般方程的概念
当D2＋E2－4F＞0时，二元二次方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0叫做圆的一般方程．
其中圆心为，圆的半径为r＝.
(2)对方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0的讨论
①D2＋E2－4F＞0时表示圆．
②D2＋E2－4F＝0时表示点.
③D2＋E2－4F＜0时，不表示任何图形．
思考：方程Ax2＋Bxy＋Cy2＋Dx＋Ey＋F＝0表示圆的条件是什么？
[提示]　A＝C≠0，B＝0且D2＋E2－4F＞0.
1．思考辨析(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0表示圆． (　　)
(2)利用圆的一般方程无法判断点与圆的位置关系． (　　)
(3)圆的标准方程与一般方程可以相互转化． (　　)
(4)利用待定系数法求圆的一般方程时，需要三个独立的条件． (　　)
[提示]　(1)×　(2)×　(3)√　(4)√
2．若方程x2＋y2＋2λx＋2λy＋ 2λ2―λ＋1＝0表示圆，则λ的取值范围是(　　)
A．(1，＋∞)　　 B．
C．(1，＋∞)∪ D．R
A　[因为方程x2＋y2＋2λx＋2λy＋2λ2―λ＋1＝0表示圆，所以D2＋E2―4F＞0，
即4λ2＋4λ2―4(2λ2―λ＋1)＞0，解不等式得λ＞1，即λ的取值范围是(1，＋∞)．故选A.]
3．圆的方程为(x－1)(x＋2)＋(y－2)(y＋4)＝0，则它的圆心坐标为________．
　[圆的方程整理为x2＋y2＋x＋2y－10＝0，配方得2＋(y＋1)2＝，所以圆心为.]
4．过点(0,0)，(4,0)和(0,6)三点的圆的一般方程为________．
x2＋y2－4x－6y＝0　[三点构成的三角形为直角三角形，且圆心坐标为(2,3)，半径r＝＝.
∴方程为(x－2)2＋(y－3)2＝13，一般方程为x2＋y2－4x－6y＝0.]
圆的一般方程的认识
【例1】　(1)若方程x2＋y2＋2ax＋2ay＋2a2＋a－1＝0表示圆，则a的取值范围是________．
(2)下列方程各表示什么图形？若表示圆，求出其圆心坐标和半径长．
①x2＋y2－4x＝0；②2x2＋2y2－3x＋4y＋6＝0；③x2＋y2＋2ax＝0.
(1)(－∞，1)　[把方程配方得(x＋a)2＋(y＋a)2＝1－a，由条件可知1－a＞0，即a＜1.]
(2)[解]　①方程可变形为(x－2)2＋y2＝4，故方程表示圆，圆心为C(2,0)，半径r＝2.
②方程可变形为2＋2(y＋1)2＝－，此方程无实数解．故方程不表示任何图形．
③原方程可化为(x＋a)2＋y2＝a2.
当a＝0时，方程表示点(0,0)，不表示圆；
当a≠0时，方程表示以(－a,0)为圆心，|a|为半径的圆．
判断方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0是否表示圆，关键是将其配方＋＝，最后转化为判断D2＋E2－4F的正负问题．
[跟进训练]
1．下列方程能否表示圆？若能表示圆，求出圆心和半径．
(1)2x2＋y2－7y＋5＝0；
(2)x2－xy＋y2＋6x＋7y＝0；
(3)x2＋y2－2x－4y＋10＝0；
(4)2x2＋2y2－5x＝0.
[解]　(1)∵方程2x2＋y2－7y＋5＝0中x2与y2的系数不相同，
∴它不能表示圆．
(2)∵方程x2－xy＋y2＋6x＋7y＝0中含有xy这样的项，
∴它不能表示圆．
(3)∵方程x2＋y2－2x－4y＋10＝0化为(x－1)2＋(y－2)2＝－5，
∴它不能表示圆．
(4)∵方程2x2＋2y2－5x＝0化为＋y2＝，
∴它表示以为圆心，为半径长的圆.
求圆的一般方程
【例2】　已知△ABC的三个顶点为A(1,4)，B(－2,3)，C(4，－5)，求△ABC的外接圆方程、外心坐标和外接圆半径．
[解]　法一：设△ABC的外接圆方程为
x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0，
∵A，B，C在圆上，
∴
∴
∴△ABC的外接圆方程为x2＋y2－2x＋2y－23＝0，
即(x－1)2＋(y＋1)2＝25.
∴外心坐标为(1，－1)，外接圆半径为5.
法二：∵kAB＝＝，kAC＝＝－3，
∴kAB·kAC＝－1，∴AB⊥AC.
∴△ABC是以角A为直角的直角三角形，
∴外心是线段BC的中点，
坐标为(1，－1)，r＝|BC|＝5.
∴外接圆方程为(x－1)2＋(y＋1)2＝25.
确定圆的方程的主要方法是待定系数法，即列出关于a，b，r的方程组，求a、b、r或直接求出圆心(a，b)和半径r，一般步骤为：
(1)根据题意，设所求的圆的标准方程为(x―a)2＋(y―b)2＝r2(r＞0)；
(2)根据已知条件，建立关于a，b，r的方程组；
(3)解方程组，求出a，b，r的值，并把它们代入所设的方程中去，就得到所求圆的方程．
[跟进训练]
2．已知圆C：x2＋y2＋Dx＋Ey＋3＝0，圆心在直线x＋y－1＝0上，且圆心在第二象限，半径长为，求圆的一般方程．
[解]　圆心C，
∵圆心在直线x＋y－1＝0上，
∴－－－1＝0，
即D＋E＝－2. ①
又∵半径长r＝＝，
∴D2＋E2＝20. ②
由①②可得或
又∵圆心在第二象限，∴－＜0，即D＞0.
则
故圆的一般方程为x2＋y2＋2x－4y＋3＝0.
与圆有关的轨迹问题
[探究问题]
1．求轨迹方程与轨迹有什么区别？
[提示]　轨迹是一个图形，比如是直线、圆之类，而轨迹方程是这个图形的方程．
2．已知动点M到点(8,0)的距离等于点M到点(2,0)的距离的2倍，你能求出点M的轨迹方程吗？
[提示]　设M(x，y)，由题意有＝2，整理得点M的轨迹方程为x2＋y2＝16.
【例3】　点A(2,0)是圆x2＋y2＝4上的定点，点B(1,1)是圆内一点，P，Q为圆上的动点．
(1)求线段AP的中点M的轨迹方程；
(2)若∠PBQ＝90°，求线段PQ的中点N的轨迹方程．
[思路探究]　(1)→→
(2)→→→
[解]　(1)设线段AP的中点为M(x，y)，
由中点公式得点P坐标为(2x－2,2y)．
∵点P在圆x2＋y2＝4上，∴(2x－2)2＋(2y)2＝4，
故线段AP的中点M的轨迹方程为(x－1)2＋y2＝1.
(2)设线段PQ的中点为N(x，y)，
在Rt△PBQ中，|PN|＝|BN|.
设O为坐标原点，连接ON(图略)，则ON⊥PQ，
∴|OP|2＝|ON|2＋|PN|2＝|ON|2＋|BN|2，
∴x2＋y2＋(x－1)2＋(y－1)2＝4，
故线段PQ的中点N的轨迹方程为x2＋y2－x－y－1＝0.
1．在本例条件不变的情况下，求过点B的弦的中点T的轨迹方程．
[解]　设T(x，y)．
因为点T是弦的中点，所以OT⊥BT.
当斜率存在时有kOT·kBT＝－1.
即×＝－1，整理得x2＋y2－x－y＝0.
当x＝0或1时点(0,0)(0,1)(1,0)(1,1)也都在圆上．
故所求轨迹方程为x2＋y2－x－y＝0.
2．本例条件不变，求BP的中点E的轨迹方程．
[解]　设点E(x，y)，P(x0，y0)．
∵B(1,1)，∴
整理得x0＝2x－1，y0＝2y－1，
∵点P在圆x2＋y2＝4上，
∴(2x－1)2＋(2y－1)2＝4，
整理得点E的轨迹方程为x2＋y2－x－y－＝0.
1．直接法求轨迹方程的一般步骤
(1)建立适当坐标系，设出动点M 的坐标(x，y)；
(2)列出点M 满足条件的集合；
(3)用坐标表示上述条件，列出方程；
(4)将上述方程化简；
(5)证明化简后的以方程的解为坐标的点都是轨迹上的点．
2．代入法求轨迹方程的一般步骤
(1)建立适当坐标系，设出动点M的坐标为(x，y)；
(2)建立x，y与相关点的坐标x0，y0的方程；
(3)用x，y表示x0，y0；
(4)把(x0，y0)代入到相关点满足的方程；
(5)化简方程为最简形式．
1．求圆的方程时，如果由已知条件容易求得圆心坐标、半径或需利用圆心的坐标或半径列方程的问题，一般采用圆的标准方程，再用待定系数法求出a，b，r；如果已知条件与圆心和半径都无直接关系，一般采用圆的一般方程，再用待定系数法求出常数D，E，F.
2．圆的方程的几种特殊情况
一般方程 x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0(D2＋E2－4F＞0)
过原点 x2＋y2＋Dx＋Ey＝0
圆心在x轴上 x2＋y2＋Dx＋F＝0(D2－4F＞0)
圆心在y轴上 x2＋y2＋Ey＋F＝0(E2－4F＞0)
3.求涉及到曲线的轨迹问题时，一般有两种方法：一是直接法，即把动点满足的条件直接用坐标“翻译”过来的方法；二是代入法，代入法也叫相关点法，就是把动点(x，y)与相关点(x0，y0)建立等式，再把x0，y0用x，y表示后代入到它所满足的曲线的方法．解题时要注意条件的限制．
1．方程2x2＋2y2－4x＋8y＋10＝0表示的图形是(　　)
A．一个点　　 B．一个圆
C．一条直线 D．不存在
A　[方程2x2＋2y2－4x＋8y＋10＝0，可化为x2＋y2－2x＋4y＋5＝0，即(x－1)2＋(y＋2)2＝0，∴方程2x2＋2y2－4x＋8y＋10＝0表示点(1，－2)．]
2．若方程x2＋y2－x＋y＋m＝0表示一个圆，则实数m的取值范围是(　　)
A．m＜ B．m≤
C．m＜2 D．m≤2
A　[由D2＋E2－4F＞0得(－1)2＋12－4m＞0，解得m＜，故选A.]
3．若圆x2＋y2－2kx＋2y－4＝0关于直线2x－y＋3＝0对称，则实数k等于________．
－2　[由条件可知，直线经过圆的圆心(k，－1)，∴2k－(－1)＋3＝0，解得k＝－2.]
4．设圆x2＋y2－4x＋2y－11＝0的圆心为A，点P在圆上，则PA的中心M的轨迹方程是________．
x2＋y2－4x＋2y＋1＝0　[由条件知A(2，－1)，设M(x，y)，则P(2x－2,2y＋1)，由于P在圆上，
∴(2x－2)2＋(2y＋1)2－4(2x－2)＋2(2y＋1)－11＝0，
整理得x2＋y2－4x＋2y＋1＝0.]
5．已知△ABC的三个顶点分别为A(－1,5)，B(－2，－2)，C(5,5)，求其外接圆P的方程．
[解]　设所求圆的方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0(D2＋E2－4F＞0)，
由题意可得解得
故所求外接圆P的方程为x2＋y2－4x－2y－20＝0.
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