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第5章 图形与变换 （浙江省专用）
第24节 图形的平移、旋转与轴对、 视图与投影
【考试要求】
1.了解轴对称与轴对称图形的概念，掌握轴对称图形的性质，能利用轴对称图形的性质解决图形的折叠问题；
2.了解平移的概念，掌握平移的规则，理解平移的性质；
3.了解旋转、中心对称及中心对称图形的概念，理解它们的性质；
4.理解轴对称变换、平移变换及旋转变换都不改变原图形的形状与大小，变换后的图形与原图形全等；
5.能利用轴对称、平移及旋转的性质进行有关的计算和证明；
6.了解三视图的概念，会画常见几何体的三视图，能根据视图描述简单的几何体；
7.掌握常见几何体的展开图，理解展开图与视图的区别，能利用展开图将空间几何问题转化为平面几何问题；
【考情预测】
一、轴对称与轴对称图形
1.轴对称的性质
(1)对应线段相等,对应角相等;
(2)对称点的连线被对称轴垂直平分;
(3)轴对称变换的特征是不改变图形的形状和大小,只改变图形的位置.
2.轴对称图形的性质
轴对称的两个图形,他们对应线段的延长线相交,交点在对称轴上.
二、图形的平移
1.定义:在平面内,将一个图形沿某个方向移动一定的距离,图形的这种变换,叫做平移变换,简称平移.确定一个平移变换的条件是平移的方向和距离.
2.性质:(1)平移不改变图形的形状与大小,即平移前后的两个图形是全等图形;(2)连接各组对应点的线段平行(或共线)且相等;(3)对应线段平行(或共线)且相等;(4)对应角相等.
三、图形的旋转
1.定义:在平面内,把一个平面图形绕着一个定点沿着某个方向旋转一定的角度,图形的这种变换叫旋转变换.这个定点叫旋转中心,这个角度叫做旋转角.图形的旋转由旋转中心、旋转方向和旋转角所决定.
2.性质:(1)图形上的每一点都绕着旋转中心沿着相同的方向旋转了同样大小的角度;
(2)旋转后的图形与原来的图形的形状和大小都没有发生变化,即它们是全等的;
(3)旋转前后两个图形的对应点到旋转中心的距离相等;
(4)对应点到旋转中心的连线所成的角相等,并且等于旋转角.
四、投影
1．投影：在光线的照射下，空间中的物体落在平面内的影子能够反映出该物体的形状和大小，这种现象叫做投影现象．影子所在的平面称为投影面．
2．平行投影、中心投影、正投影
（1）中心投影：在点光源下形成的物体的投影叫做中心投影，点光源叫做投影中心．
【注意】灯光下的影子为中心投影，影子在物体背对光的一侧．等高的物体垂直于地面放置时，在灯光下，离点光源近的物体的影子短，离点光源远的物体的影子长．
（2）平行投影：投射线相互平行的投影称为平行投影．
【注意】阳光下的影子为平行投影，在平行投影下，同一时刻两物体的影子在同一方向上，并且物高与影长成正比．
（3）正投影：投射线与投影面垂直时的平行投影，叫做正投影．
五、视图
1．视图：由于可以用视线代替投影线，所以物体的正投影通常也称为物体的视图．
2．三视图：1）主视图：从正面看得到的视图叫做主视图．2）左视图：从左面看得到的视图叫做左视图．
3）俯视图：从上面看得到的视图叫做俯视图．
【注意】在三种视图中，主视图反映物体的长和高，左视图反映了物体的宽和高，俯视图反映了物体的长和宽．
3．三视图的画法
1）画三视图要注意三要素：主视图与俯视图长度相等；主视图与左视图高度相等；左视图与俯视图宽度相等．简记为“主俯长对正，主左高平齐，左俯宽相等”．
2）注意实线与虚线的区别：能看到的线用实线，看不到的线用虚线．
六、几何体的展开与折叠
1．常见几何体的展开图
几何体 立体图形 表面展开图 侧面展开图
圆柱
圆锥
三棱柱
2．正方体的展开图
正方体有11种展开图，分为四类：
第一类，中间四连方，两侧各有一个，共6种，如下图：
第二类，中间三连方，两侧各有一、二个，共3种，如下图：
第三类，中间二连方，两侧各有二个，只有1种，如图10；
第四类，两排各有三个，也只有1种，如图11．
【重难点突破】
考向1. 图形的轴对称
【典例精析】
【例】（2021·湖南衡阳市·中考真题）在以下绿色食品、回收、节能、节水四个标志中，是轴对称图形的是（　　）
A． B． C． D．
【变式训练】
变式1-1．（2021·河北中考真题）如图，直线，相交于点．为这两直线外一点，且．若点关于直线，的对称点分别是点，，则，之间的距离可能是（ ）
A．0 B．5 C．6 D．7
变式1-2．（2021 秀洲区一模）若点A（m，n）和点B（5，﹣7）关于x轴对称，则m+n的值是（　　）
A．2 B．﹣2 C．12 D．﹣12
变式1-3．（2021 吴兴区一模）如图，将长BC＝8cm，宽AB＝4cm的矩形纸片ABCD折叠，使点C与点A重合，则折痕EF的长为（　　）
A．4cm B． C． D．
【考点巩固训练】
1．（2021·四川成都市·中考真题）在平面直角坐标系中，点关于x轴对称的点的坐标是（ ）
A． B． C． D．
2．（2021·江苏盐城市·中考真题）北京2022年冬奥会会徽如图所示，组成会徽的四个图案中是轴对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
3．（2021 江干区二模）下面图形中既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（　　）
A．平行四边形 B．等腰梯形 C．正三角形 D．菱形
4．（2022 台州）如图是用8块A型瓷砖（白色四边形）和8块B型瓷砖（黑色三角形）不重叠、无空隙拼接而成的一个正方形图案，图案中A型瓷砖的总面积与B型瓷砖的总面积之比为（　　）
A．：1 B．3：2 C．：1 D．：2
5．（2021·重庆中考真题）如图，三角形纸片ABC中，点D，E，F分别在边AB，AC，BC上，BF＝4，CF＝6，将这张纸片沿直线DE翻折，点A与点F重合．若DE∥BC，AF＝EF，则四边形ADFE的面积为__________．
考向2. 图形的平移
【典例精析】
【例】（2021·浙江丽水市·中考真题）四盏灯笼的位置如图．已知A，B，C，D的坐标分别是 ( 1，b)，(1，b)，(2，b)，(3.5，b)，平移y轴右侧的一盏灯笼，使得y轴两侧的灯笼对称，则平移的方法可以是（ ）
A．将B向左平移4.5个单位 B．将C向左平移4个单位
C．将D向左平移5.5个单位 D．将C向左平移3.5个单位
【变式训练】
变式2-1. （2021 萧山区期末）点（﹣2，﹣3）向左平移3个单位后所得点的坐标为（　　）
A．（﹣2，0） B．（﹣2，﹣6） C．（﹣5，﹣3） D．（1，﹣3）
变式2-2. （2021 温州二模）如图，将△ABC沿BC方向平移4cm得到△DEF，如果四边形ABFD的周长是28cm，则△DEF的周长是　 　cm．
变式2-3. （2020·湖南湘西土家族苗族自治州·中考真题）在平面直角坐标系中，O为原点，点，点B在y轴的正半轴上，．矩形的顶点D，E，C分别在上，．将矩形沿x轴向右平移，当矩形与重叠部分的面积为时，则矩形向右平移的距离为___________．
【考点巩固训练】
1．（2020·上海中考真题）如果存在一条线把一个图形分割成两个部分，使其中一个部分沿某个方向平移后能与另一个部分重合，那么我们把这个图形叫做平移重合图形．下列图形中，平移重合图形是(　　　)
A．平行四边形 B．等腰梯形 C．正六边形 D．圆
2．（2021·山东临沂市·中考真题）在平面直角坐标系中，的对称中心是坐标原点，顶点、的坐标分别是、，将沿轴向右平移3个单位长度，则顶点的对应点的坐标是___．
3．（2021 萧山区一模）在平面直角坐标系中，有一条线段AB，已知点A（﹣3，0）和B（0，4），平移线段AB得到线段A1B1．若点A的对应点A1的坐标为（0，﹣1），则线段AB平移经过的区域（四边形ABB1A1）的面积为（　　）
A．12 B．15 C．24 D．30
4．（2021 嘉兴期末）如图，在网格中，每个小方格的边长均为1个单位，将图形E平移到另一个位置后能与图形F组合成一个正方形，下面平移步骤正确的是（　　）
A．先把图形E向右平移4个单位，再向上平移3个单位
B．先把图形E向右平移5个单位，再向上平移2个单位
C．先把图形E向右平移5个单位，再向上平移3个单位
D．先把图形E向右平移6个单位，再向上平移2个单位
5．（2021 鄞州区期末）如图，将△ABC沿射线AB平移到△DEF的位置，则以下结论不正确的是（　　）
A．∠C＝∠F B．BC∥EF C．AD＝BE D．AC＝DB
考向3. 图形的旋转
【典例精析】
【例】（2021 温州一模）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝20°．将△ABC绕点C按逆时针方向旋转得△A′B′C，且点B在A′B′上，CA′交AB于点D，则∠BDC的度数为（　　）
A．40° B．50° C．60° D．70°
【变式训练】
变式3-1. （2021 台州）在下列四个新能源汽车车标的设计图中，属于中心对称图形的是（　　）
A． B． C． D．
变式3-2. （2021 舟山）如图，在直角坐标系中，已知菱形OABC的顶点A（1，2），B（3，3）．作菱形OABC关于y轴的对称图形OA'B'C'，再作图形OA'B'C'关于点O的中心对称图形OA″B″C″，则点C的对应点C″的坐标是（　　）
A．（2，﹣1） B．（1，﹣2） C．（﹣2，1） D．（﹣2，﹣1）
变式3-3. （2021·江苏南京市·中考真题）如图，将绕点A逆时针旋转到的位置，使点落在上，与交于点E，若，则的长为________．
【考点巩固训练】
1．（2021·辽宁营口市·中考真题）中国剪纸是一种用剪刀或刻刀在纸上剪刻花纹，用于装点生活或配合其他民俗活动的民间艺术下列四个剪纸图案中，是中心对称图形的是（ ）
A． B．C． D．
2．（2021·青海中考真题）如图所示的图案由三个叶片组成，绕点O旋转120°后可以和自身重合，若每个叶片的面积为4cm2，∠AOB=120°，则图中阴影部分的面积为__________．
3．（2021·四川广安市·中考真题）如图，将绕点逆时针旋转得到，若且于点，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
4．（2021·湖北黄石市·中考真题）如图，的三个顶点都在方格纸的格点上，其中点的坐标是，现将绕点按逆时针方向旋转，则旋转后点的坐标是（ ）
A． B． C． D．
5．（2021 龙岗区校级模拟）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝BC，AB＝8，点D为AB的中点，若直角MDN绕点D旋转，分别交AC于点E，交BC于点F，则下列说法正确的有（　　）
①AE＝CF；②EC+CF＝；③DE＝DF；④若△ECF的面积为一个定值，则EF的长也是一个定值．
A．①② B．①③ C．①②③ D．①②③④
考向4. 常见几何体的三视图
【典例精析】
【例】（2021·浙江嘉兴市·中考真题）如图是由四个相同的小正方体组成的立体图形，它的俯视图为（ ）
A．B．C．D．
【变式训练】
变式4-1. （2021·浙江温州市·中考真题）直六棱柱如图所示，它的俯视图是（ ）
A． B． C． D．
变式4-2. （2021·四川雅安市·中考真题）甲和乙两个几何体都是由大小相同的小立方块搭成，它们的俯视图如图，小正方形中数字表示该位置上的小立方块个数（ ）
A．甲和乙左视图相同，主视图相同 B．甲和乙左视图不相同，主视图不相同
C．甲和乙左视图相同，主视图不相同 D．甲和乙左视图不相同，主视图相同
变式4-3. （2021·山东聊城·一模）如图是一个水平放置的全封闭物体，则它的俯视图是（　　　）
A． B． C． D．
【考点巩固训练】
1．（2021·浙江台州市·中考真题）用五个相同的正方体搭成如图所示的立体图形，则该立体图形的主视图是（ ）
A． B． C． D．
2．（2021·浙江宁波市·中考真题）如图所示的几何体是由一个圆柱和一个长方体组成的，它的主视图是（ ）
A． B．C． D．
3．（2021·湖北中考真题）如图所示的几何体的左视图是（ ）
A． B． C． D．
4．（2021·山西大同·一模）如图1所示的华万“HR45T－A”发动机是中国第一款使用正向工程研制的转子发动机，它的轻型动力系统世界领先，其核心零部件之一的转子形状是“曲侧面三棱柱”（三个侧面都是曲面），如图2，它的俯视图是（　　）
A． B． C． D．
5．（2021·山西吕梁·二模）榫卯是指在木构件上所采用的一种凹凸结合的连接方式，中国古建筑以木材、砖瓦为主要建筑材料，各构件之间通过榫卯连接在一起，构成富有弹性而结实的建筑框架．图1所示就是一组榫卯构件，若将②号构件按图2所示方式摆放，则该构件的主视图是（ ）
A． B． C． D．
考向5. 由三视图描述几何体
【典例精析】
【例】（2021·广西来宾市·中考真题）如图是一个几何体的主视图，则该几何体是（ ）
A． B． C． D．
【变式训练】
变式5-1. （2021·江苏南通市·中考真题）如图，根据三视图，这个立体图形的名称是（ ）
A．三棱柱 B．圆柱 C．三棱锥 D．圆锥
变式5-2. （2021·山东日照·中考真题）一张水平放置的桌子上摆放着若干个碟子，其三视图如图所示，则这张桌子上共有碟子的个数为（　　）
A．10 B．12 C．14 D．18
变式5-3. （2021 富阳市期中）如图，是某几何体的三视图，根据图中所标的数据求得该几何体的体积为（　　）
A．120π B．132π C．136π D．236π
【考点巩固训练】
1．（2021·安徽中考真题）几何体的三视图如图所示，这个几何体是（ ）
A． B． C． D．
2．（2021·吉林长春市·中考真题）如图是一个几何体的三视图，这个几何体是（ ）
A．圆锥 B．长方体 C．球 D．圆柱
3．（2020·湖北宜昌市·中考真题）诗句“横看成岭侧成峰，远近高低各不同”，意思是说要认清事物的本质，就必须从不同角度去观察．下图是对某物体从不同角度观察的记录情况，对该物体判断最接近本质的是（ ）．
A．是圆柱形物体和球形物体的组合体，里面有两个垂直的空心管
B．是圆柱形物体和球形物体的组合体，里面有两个平行的空心管
C．是圆柱形物体，里面有两个垂直的空心管
D．是圆柱形物体，里面有两个平行的空心管
4．（2021·江苏常州市·中考真题）如图是某几何体的三视图，该几何体是（ ）
A．正方体 B．圆锥 C．圆柱 D．球
5．（2021 北仑区模拟）如图，是某几何体的三视图及相关数据，则该几何体的侧面积是（　　）
A．40π B．48π C．60π D．80π
考向6. 空间图形的平面展开图
【典例精析】
【例】（2021·浙江中考真题）将如图所示的长方体牛奶包装盒沿某些棱剪开，且使六个面连在一起，然后铺平，则得到的图形可能是（ ）
A． B．C． D．
【变式训练】
变式6-1.（2021 余杭区二模）下列各图中，经过折叠不能围成一个棱柱的是（　　）
A． B． C． D．
变式6-2. （2021·河北中考真题）一个骰子相对两面的点数之和为7，它的展开图如图，下列判断正确的是（ ）
A．代表 B．代表 C．代表 D．代表
变式6-3. （2021·广东中考真题）下列图形是正方体展开图的个数为（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【考点巩固训练】
1．（2021·辽宁大连市·中考真题）某几何体的展开图如图所示，该几何体是（　　）
A． B． C． D．
2．（2021·湖南怀化市·中考真题）下列图形中，可能是圆锥侧面展开图的是（ ）
A． B．C． D．
3．（2021·浙江金华市·中考真题）将如图所示的直棱柱展开，下列各示意图中不可能是它的表面展开图的是（ ）
A． B． C． D．
4．（2021·北京中考真题）如图是某几何体的展开图，该几何体是（ ）
A．长方体 B．圆柱 C．圆锥 D．三棱柱
5．（2021·四川自贡市·中考真题）如图是一个小正方体的展开图，把展开图折叠成小正方体后，有“迎”字一面的相对面上的字是（ ）
A．百 B．党 C．年 D．喜
6．（2020·四川绵阳市·中考真题）下列四个图形中，不能作为正方体的展开图的是（　　）
A． B． C． D．
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第5章 图形与变换 （浙江省专用）
第24节 图形的平移、旋转与轴对、 视图与投影
【考场演练】
一、选择题
1．（2021·浙江绍兴市·中考真题）数学兴趣小组同学从“中国结”的图案（图1）中发现，用相同的菱形放置，可得到更多的菱形．如图2，用2个相同的菱形放置，得到3个菱形．下面说法正确的是（ ）
A．用3个相同的菱形放置，最多能得到6个菱形
B．用4个相同的菱形放置，最多能得到15个菱形
C．用5个相同的菱形放置，最多能得到27个菱形
D．用6个相同的菱形放置，最多能得到41个菱形
【答案】B
【分析】根据平移和大菱形的位置得出菱形的个数进行判定即可
【详解】用2个相同的菱形放置，最多能得到3个菱形，用3个相同的菱形放置，最多能得到8个菱形，
用4个相同的菱形放置，最多能得到15个菱形， 用5个相同的菱形放置，最多能得到22个菱形，
用6个相同的菱形放置，最多能得到29个菱形， 故选：B．
，
【点睛】本题考查了生活中的平移现象，菱形的判定，正确的识别图形是解题的关键．
2．（2021·江苏宿迁市·中考真题）对称美是美的一种重要形式，它能给与人们一种圆满、协调和平的美感，下列图形属于中心对称图形的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】根据中心对称图形的定义即可作出判断．
【详解】解：A、是中心对称图形，故选项正确；B、不是中心对称图形，故选项错误；
C、不是中心对称图形，故选项错误；D、不是中心对称图形，故选项错误．故选：A．
【点睛】本题主要考查了中心对称图形的概念：中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后两部分重合．
3．（2021·四川雅安市·中考真题）在平面直角坐标系中，点关于y轴的对称点的坐标是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】关于y轴对称的两个点的横坐标互为相反数，纵坐标不变，根据此特征即可求得结果．
【详解】点关于y轴的对称点的坐标是故选：C．
【点睛】本题考查了关于y轴对称的两个点的坐标的特征，掌握这一特征是本题的关键．
4．（2021 叙州区期末）正方体的六个面分别标有1，2，3，4，5，6六个数字，如图是其三种不同的放置方式，与数字“2”相对的面上的数字是（　　）
A．1 B．3 C．4 D．5
【思路点拨】正方体的六个面分别标有1，2，3，4，5，6六个数字，这六个数字一一对应，通过三个图形可看出与3相邻的数字有2，4，5，6，所以与3相对的数是1，然后由第一个图和第二个图可看出与4相邻的数有1，3，5，6，所以与4相对的数是2．
【答案】解：由三个图形可看出与3相邻的数字有2，4，5，6，所以与3相对的数是1，
由第一个图和第二个图可看出与4相邻的数有1，3，5，6，所以与2相对的数是4．故选：C．
【点睛】本题主要考查了正方体相对两个面上的文字，利用三个数相邻的两个图形进行判断即可．
5．（2020·青海中考真题）剪纸是我国传统的民间艺术．如图①，②将一张纸片进行两次对折后，再沿图③中的虚线裁剪，最后将图④中的纸片打开铺平，所得图案应该是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】对于此类问题，只要依据翻折变换，将最后一个图中的纸片按顺序打开铺平即可得到答案．
【详解】
还原后只有B符合题意，故选B．
【点睛】此题主要考查了剪纸问题，解答此题的关键是根据折纸的方式及剪的位置进行准确分析，可以直观的得到答案．
6．（2021·浙江丽水市·中考真题）如图是由5个相同的小立方体搭成的几何体，它的主视图是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】找到从正面看所得到的图形即可，注意所有的看到的棱都应表现在主视图中．
【详解】解：从正面看下面一层是三个正方形，上面一层中间是一个正方形．即：
故选：B．
【点睛】本题考查了三视图的知识，主视图是从物体的正面看得到的视图．
7．（2021·辽宁本溪市·中考真题）如图，该几何体的左视图是（ ）
A．B． C． D．
【答案】D
【分析】画出从左面看到的图形即可．
【详解】该几何体的左视图是一个长方形，并且有一条隐藏的线用虚线表示，如图所示：，选：D．
【点睛】本题考查三视图，具备空间想象能力是解题的关键，注意看不见的线要用虚线画出．
8．（2021·江苏苏州市·中考真题）如图，在方格纸中，将绕点按顺时针方向旋转90°后得到，则下列四个图形中正确的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【分析】根据绕点按顺时针方向旋转90°逐项分析即可．
【详解】A、是由关于过B点与OB垂直的直线对称得到，故A选项不符合题意；B、是由绕点按顺时针方向旋转90°后得到，故B选项符合题意；
C、与对应点发生了变化，故C选项不符合题意；
D、是由绕点按逆时针方向旋转90°后得到，故D选项不符合题意．选：B．
【点睛】本题考查旋转变换．解题的关键是弄清旋转的方向和旋转的度数．
9．（2021·四川眉山市·中考真题）我国某型号运载火箭的整流罩的三视图如图所示，根据图中数据（单位：米）计算该整流罩的侧面积（单位：平方米）是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】从三视图分析出运载火箭由上半部分的圆锥和下半部分的圆柱组成，分别求出圆柱和圆锥的侧面积，再求和即可．
【详解】由图可知，运载火箭的上半部分为圆锥，底面圆的半径r为，高为1.6．下半部分为圆柱，底面圆的半径r=1.2，高为4．圆柱的侧面积为：，
圆锥的侧面积为：，
该整流罩的侧面积：．故选：C．
【点睛】本题主要考查圆柱和圆锥的侧面积计算方法．圆柱的侧面展开图是一个矩形，圆锥的侧面展开图是一个扇形．，其中l为扇形的弧长，R为半径．
10．（2021·江苏南京市·中考真题）如图，正方形纸板的一条对角线重直于地面，纸板上方的灯（看作一个点）与这条对角线所确定的平面垂直于纸板，在灯光照射下，正方形纸板在地面上形成的影子的形状可以是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】因为中心投影物体的高和影长成比例，正确的区分中心投影和平行投影，依次分析选项即可找到符合题意的选项
【详解】因为正方形的对角线互相垂直，且一条对角线垂直地面，光源与对角线组成的平面垂直于地面，则有影子的对角线仍然互相垂直，且由于光源在平板的的上方，则上方的边长影子会更长一些，故选D
【点睛】本题考查了中心投影的概念，应用，利用中心投影的特点，理解中心投影物体的高和影长成比例是解题的关键．
11．（2021 嘉善县模拟）如图，等边△AOB中，点B在x轴正半轴上，点A坐标为（1，），将△AOB绕点O顺时针旋转15°，此时点A对应点A′的坐标是（　　）
A．（2，2） B．（，1） C．（） D．（）
【思路点拨】如图，作AE⊥OB于E，A′H⊥OB于H．求出A′H，OH即可解决问题．
【答案】解：如图，作AE⊥OB于E，A′H⊥OB于H．
∵A（1，），∴OE＝1，AE＝，∴OA＝＝2，
∵△OAB是等边三角形，∴∠AOB＝60°，∵∠AOA′＝15°，∴∠A′OH＝60°﹣15°＝45°，
∵OA′＝OA＝2，A′H⊥OH，∴A′H＝OH＝，∴A′（，），故选：D．
【点睛】本题考查旋转变换，等边三角形的性质，解直角三角形等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题．
12．（2021 湖州）如图，已知在△ABC中，∠BAC＞90°，点D为BC的中点，点E在AC上，将△CDE沿DE折叠，使得点C恰好落在BA的延长线上的点F处，连结AD，则下列结论不一定正确的是（　　）
A．AE＝EF B．AB＝2DE
C．△ADF和△ADE的面积相等 D．△ADE和△FDE的面积相等
【思路点拨】先判断出△BFC是直角三角形，再利用三角形的外角判断出A正确，进而判断出AE＝CE，得出DE是△ABC的中位线判断出B正确，利用等式的性质判断出D正确．
【答案】解：如图，连接CF，∵点D是BC中点，∴BD＝CD，
由折叠知，∠ACB＝∠DFE，CD＝DF，∴BD＝CD＝DF，∴△BFC是直角三角形，∴∠BFC＝90°，
∵BD＝DF，∴∠B＝∠BFD，∴∠EAF＝∠B+∠ACB＝∠BFD+∠DFE＝∠AFE，
∴AE＝EF，故A正确，由折叠知，EF＝CE，∴AE＝CE，
∵BD＝CD，∴DE是△ABC的中位线，∴AB＝2DE，故B正确，
∵AE＝CE，∴S△ADE＝S△CDE，由折叠知，△CDE≌△FDE，
∴S△CDE＝S△FDE，∴S△ADE＝S△FDE，故D正确，
当AD＝AC时，△ADF和△ADE的面积相等∴C选项不一定正确，故选：C．
【点睛】此题主要考查了折叠的性质，直角三角形的判定和性质，三角形的中位线定理，作出辅助线是解本题的关键．
13．（2020·四川绵阳市·中考真题）如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，∠ABC＝90°，AB＝2，AD＝2，将△ABC绕点C顺时针方向旋转后得△，当恰好经过点D时，△CD为等腰三角形，若B＝2，则A＝（　　）
A． B．2 C． D．
【答案】A
【分析】过作于，则，根据矩形的性质得，，根据旋转的性质得到，，，，推出△为等腰直角三角形，得到，设，则，，根据勾股定理即可得到结论．
【详解】解：过作于，
则，，，
，四边形是矩形，，，
将绕点顺时针方向旋转后得△，
，，，，
△△，，△为等腰三角形，△为等腰直角三角形，，
设，则，，
，，（负值舍去），，
，，，故选：．
【点睛】本题考查了旋转的性质，等腰直角三角形的性质，矩形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，勾股定理，正确的识别图形是解题的关键．
二、填空题
14．（2020·江苏镇江市·中考真题）点O是正五边形ABCDE的中心，分别以各边为直径向正五边形的外部作半圆，组成了一幅美丽的图案（如图）．这个图案绕点O至少旋转_____°后能与原来的图案互相重合．
【答案】72
【分析】直接利用旋转图形的性质进而得出旋转角．
【详解】连接OA，OE，则这个图形至少旋转∠AOE才能与原图象重合，∠AOE＝＝72°．
【点睛】本题主要考查了旋转图形．正确掌握旋转图形的性质是解题的关键．
15．（2021·湖北随州市·中考真题）如图，在中，，，，将绕点逆时针旋转角（）得到，并使点落在边上，则点所经过的路径长为______．（结果保留）
【答案】．
【分析】利用勾股定理求出AB=2，根据旋转的性质得到旋转角为∠=60°，再由弧长计算公式，计算出结果．
【详解】解：∵，，，∴AB=2AC，
设AC=x，则AB=2x，由勾股定理得：，解得：x=1，则：AC=1，AB=2，
∵将绕点逆时针旋转角（）得到，且点落在边上，
∴旋转角为60°，∴∠=60°，∴点所经过的路径长为： ，答案：．
【点睛】本题主要考查了勾股定理、旋转的性质和弧长的计算公式，解题关键在于找到旋转角，根据弧长公式进行计算．
16．（2020·山东烟台市·中考真题）如图，已知点A(2，0)，B(0，4)，C(2，4)，D(6，6)，连接AB，CD，将线段AB绕着某一点旋转一定角度，使其与线段CD重合（点A与点C重合，点B与点D重合），则这个旋转中心的坐标为_____．
【答案】(4，2)
【分析】画出平面直角坐标系，作出新的AC，BD的垂直平分线的交点P，点P即为旋转中心．
【详解】解：平面直角坐标系如图所示，旋转中心是P点，P（4，2），
故答案为：（4，2）．
【点睛】本题考查坐标与图形变化﹣旋转，解题的关键是理解对应点连线段的垂直平分线的交点即为旋转中心．
17．（2020·江苏镇江市·中考真题）如图，在△ABC中，BC＝3，将△ABC平移5个单位长度得到△A1B1C1，点P、Q分别是AB、A1C1的中点，PQ的最小值等于_____．
【答案】
【分析】取的中点，的中点，连接，，，，根据平移的性质和三角形的三边关系即可得到结论．
【详解】解：取的中点，的中点，连接，，，，
将平移5个单位长度得到△，，，
点、分别是、的中点，，，
即，的最小值等于，故答案为：．
【点睛】本题考查了平移的性质，三角形的三边关系，熟练掌握平移的性质是解题的关键．
18．（2022 杭州）折叠矩形纸片ABCD时，发现可以进行如下操作：①把△ADE翻折，点A落在DC边上的点F处，折痕为DE，点E在AB边上；②把纸片展开并铺平；③把△CDG翻折，点C落在线段AE上的点H处，折痕为DG，点G在BC边上，若AB＝AD+2，EH＝1，则AD＝　 　．
【思路点拨】设AD＝x，则AB＝x+2，利用折叠的性质得DF＝AD，EA＝EF，∠DFE＝∠A＝90°，则可判断四边形AEFD为正方形，所以AE＝AD＝x，再根据折叠的性质得DH＝DC＝x+2，当AH＝AE﹣HE＝x﹣1，然后根据勾股定理得到x2+（x﹣1）2＝（x+2）2，再解方程求出x即可．
【答案】解：设AD＝x，则AB＝x+2，∵把△ADE翻折，点A落在DC边上的点F处，
∴DF＝AD，EA＝EF，∠DFE＝∠A＝90°，∴四边形AEFD为正方形，∴AE＝AD＝x，
∵把△CDG翻折，点C落在直线AE上的点H处，折痕为DG，点G在BC边上，∴DH＝DC＝x+2，
∵HE＝1，当AH＝AE﹣HE＝x﹣1，在Rt△ADH中，∵AD2+AH2＝DH2，
∴x2+（x﹣1）2＝（x+2）2，整理得x2﹣6x﹣3＝0，解得x1＝3+2，x2＝3﹣2（舍去），
即AD的长为3+2．故答案为：3+2．
【点睛】本题考查了折叠的性质：折叠是一种对称变换，它属于轴对称，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等．也考查了矩形的性质和勾股定理．
三、解答题
19．（2021 温州二模）作图：如图，请按要求在8×8的正方形网格中作图
（1）请在图1中画一个钝角△ABC，使它有一边与该边上的高线长度相等；
（2）请在图2画一个五边形ABCDE，是轴对称图形，且∠ABC＝90°．
【思路点拨】（1）利用面积公式计算，以AC为底，点B做高列方程获得AC长度，从而获得点C坐标位置．（2）在坐标系内作一条直线为对称轴，作线段AB的对称线段，或者从A、B两点位置作垂线，符合要求的图形有很多种．
【答案】解：（1）
（2）
【点睛】本题考查了轴对称作图以及面积法，答案不唯一，作图方法很多，很好的检验了学生的创新能力．
20．（2020·天津中考真题）如图，在每个小正方形的边长为1的网格中，的顶点均落在格点上，点B在网格线上，且．
（Ⅰ）线段的长等于___________；（Ⅱ）以为直径的半圆与边相交于点D，若分别为边上的动点，当取得最小值时，请用无刻度的直尺，在如图所示的网格中，画出点，并简要说明点的位置是如何找到的（不要求证明）．
【答案】（1）；（2）见解析
【分析】（1）将AC放在一个直角三角形，运用勾股定理求解；
（2）取格点M，N，连接MN，连接BD并延长，与MN相交于点；连接，与半圆相交于点E，连接BE，与AC相交于点P，连接并延长，与BC相交于点Q，则点P，Q即为所求．
【详解】解：（Ⅰ）如图，在Rt△AEC中，CE=3,AE=2,则由勾股定理，得AC==；
（Ⅱ）如图，取格点M，N，连接MN，连接BD并延长，与MN相交于点；连接，与半圆相交于点E，连接BE，与AC相交于点P，连接并延长，与BC相交于点Q，则点P，Q即为所求．
【点睛】本题考查作图-应用与设计，勾股定理，轴对称-最短问题，垂线段最短等知识，解题的关键是学会利用轴对称，根据垂线段最短解决最短问题，属于中考常考题型．
21．（2021 北仑区期末）已知△ABC在平面直角坐标系中的位置如图所示，将△ABC向右平移5个单位长度，再向下平移3个单位长度得到△A1B1C1．（图中每个小方格边长均为1个单位长度）
（1）在图中画出平移后的△A1B1C1；
（2）直接写出△A1B1C1各顶点的坐标．A1　 　，B1　 　，C1　 　 ．
（3）在x轴上找到一点M，当AM+A1M取最小值时，M点的坐标是　 　．
【思路点拨】（1）、（2）利用点平移的坐标变换规律写出A1、B1、C1的坐标，然后描点即可；
（3）作A点关于x轴的对称点A′，连接A′A1交x轴于M，如图，从而得到M点的坐标．
【答案】解：（1）如图，△A1B1C1为所作；
（2）A1（3，1），B1（0，﹣1），C1（1，2）；
（3）作A点关于x轴的对称点A′，连接A′A1交x轴于M，如图，M点的坐标为（2，0）．
故答案为（3，1），（0，﹣1），（1，2）；（2，0）．
【点睛】本题考查了作图﹣平移变换：确定平移后图形的基本要素有两个：平移方向、平移距离．作图时要先找到图形的关键点，分别把这几个关键点按照平移的方向和距离确定对应点后，再顺次连接对应点即可得到平移后的图形．
22．（2021·福建厦门·三模）如图是某校校史荣誉室的正方形网格平面图，实线表示墙体或门．在点处安装了360度旋转摄像头，由于墙体的的遮挡，阴影部分无法监控，这部分无法监控到的区域通常称为监控盲区．
（1）小红同学进入校史荣誉室随意参观，站在监控盲区的概率是多少？
（2）为了监控效果更好，使得监控盲区最小，请你帮助学校在墙体上重新设计摄像头安装的位置，画出示意图，并说明理由．
【答案】（1）；（2）见详解
【分析】（1）分别求出荣誉室面积和盲区面积，再利用概率公式，即可求解；
（2）把摄像头安装在AB的中点处，计算出监控盲区的面积，然后把摄像头安装在AB的其他位置，表达出监控盲区的面积，即可得到结论．
【详解】解：（1）设小正方形的边长为1，
∴荣誉室面积=2×2+2×2+2×6=20，盲区面积=2×2-×2×1=3，∴站在监控盲区的概率=3÷20=；
（2）如图所示：摄像头安装在AB的中点处，监控盲区的面积最小，此时，监控盲区面积=2××1×2=2，
若摄像头不安装在AB的中点处，则监控盲区面积=×(CM+2)×2＞2．
【点睛】本题主要考查几何概率，掌握概率公式和方格纸的面积的计算，是解题的关键．
23．（2020·山东枣庄市·中考真题）欧拉（Euler，1707年~1783年）为世界著名的数学家、自然科学家，他在数学、物理、建筑、航海等领域都做出了杰出的贡献．他对多面体做过研究，发现多面体的顶点数（Vertex）、棱数E（Edge）、面数F（Flat surface）之间存在一定的数量关系，给出了著名的欧拉公式．
（1）观察下列多面体，并把下表补充完整：
名称 三棱锥 三棱柱 正方体 正八面体
图形
顶点数V 4 6 8
棱数E 6 12
面数F 4 5 8
（2）分析表中的数据，你能发现V、E、F之间有什么关系吗？请写出关系式：____________________________．
【答案】（1）表格详见解析；（2）
【分析】（1）通过认真观察图象，即可一一判断；（2）从特殊到一般探究规律即可．
【详解】解：（1）填表如下：
名称 三棱锥 三棱柱 正方体 正八面体
图形
顶点数V 4 6 8 6
棱数E 6 9 12 12
面数F 4 5 6 8
（2）据上表中的数据规律发现，多面体的顶点数V、棱数E、面数F之间存在关系式：．
【点睛】本题考查规律型问题，欧拉公式等知识，解题的关键是学会从特殊到一般探究规律的方法，属于中考常考题型．
24．（2021·江苏苏州·二模）测量金字塔高度：如图1，金字塔是正四棱锥，点O是正方形的中心垂直于地面，是正四棱锥的高，泰勒斯借助太阳光．测量金字塔影子的相关数据，利用平行投影测算出了金字塔的高度，受此启发，人们对甲、乙、丙三个金字塔高度也进行了测量．甲、乙、丙三个金字塔都用图1的正四棱锥表示．
（1）测量甲金字塔高度：如图2，是甲金字塔的俯视图，测得底座正方形的边长为，金字塔甲的影子是，此刻，1米的标杆影长为0.7米，则甲金字塔的高度为_____m．
（2）测量乙金字塔高度：如图1，乙金字塔底座正方形边长为，金字塔乙的影子是，，此刻1米的标杆影长为0.8米，请利用已测出的数据，计算乙金字塔的高度．
【答案】（1）100；（2）．
【分析】（1）如图2中，连接交于，勾股定理求得，再根据物体的长度与影子的长度成比例，即可求得；
（2）如图1中，连接，,过点作交的延长线于,勾股定理求得，再根据物体的长度与影子的长度成比例，即可求得．
【详解】（1）如图2中，连接交于，
四边形是正方形，， ，
， 垂直平分，，
，，
设金子塔的高度为，物体的长度与影子的长度成比例，
，，故答案为：100．
（2）如图，根据图1作出俯视图，连接，,过点作交的延长线于,
，，
，四边形是正方形，，
，，
，，
，．乙金字塔的高度为．
【点睛】本题考查了正方形的性质，解直角三角形，俯视图，物长与影长成正比等知识，正确的添加辅助线构造直角三角形是解题的关键．
25．（2021·山东济宁市·中考真题）研究立体图形问题的基本思路是把立体图形问题转化为平面图形问题．（1）阅读材料:立体图形中既不相交也不平行的两条直线所成的角，就是将直线平移使其相交所成的角．例如，正方体（图1）．因为在平面中，，与相交于点A，所以直线与所成的就是既不相交也不平行的两条直线与所成的角．解决问题:如图1，已知正方体，求既不相交也不平行的两条直线与所成角的大小．
（2）如图2，M，N是正方体相邻两个面上的点．
①下列甲、乙、丙三个图形中，只有一个图形可以作为图2的展开图，这个图形是 ；
②在所选正确展开图中，若点M到，的距离分别是2和5，点N到，的距离分别是4和3，P是上一动点，求的最小值．
【答案】（1）；（2）①丙；②10
【分析】（1）连接，则为等边三角形，即可求得既不相交也不平行的两条直线与所成角的大小；（2）①根据正方体侧面展开图判断即可；②据对称关系作辅助线即可求得的最小值．
【详解】解：（1）连接，
∵，与相交与点，即既不相交也不平行的两条直线与所成角为，
根据正方体性质可得：，∴为等边三角形，∴，
即既不相交也不平行的两条直线与所成角为；
（2）①据正方体展开图可以判断，甲中与原图形中对应点位置不符，乙图形不能拼成正方体，故答案为丙；
②如图：作M关于直线AB的对称点，连接，与交于点P，连接MP，
则，过点N作BC垂线，并延长与交于点E，
∵点M到的距离是5，点N到的距离是3，∴，
∵点M到的距离是2，点N到的距离是4，∴，
∴，故最小值为10．
【点睛】本题主要考查正方形的性质、正方体的侧面展开图、根据对称关系求最短距离、勾股定理等知识点，读懂题意，明确最小时的情况是解题的关键．
26．（2021·山东中考真题）如图1，在△ABC中，∠C=90°，∠ABC=30°，AC=1，D为△ABC内部的一动点（不在边上），连接BD，将线段BD绕点D逆时针旋转60°，使点B到达点F的位置；将线段AB绕点B顺时针旋转60°，使点A到达点E的位置，连接AD，CD，AE，AF，BF，EF．
（1）求证：△BDA≌△BFE；
（2）①CD+DF+FE的最小值为 ；
②当CD+DF+FE取得最小值时，求证：AD∥BF．
（3）如图2，M，N，P分别是DF，AF，AE的中点，连接MP，NP，在点D运动的过程中，请判断∠MPN的大小是否为定值．若是，求出其度数；若不是，请说明理由．
【答案】（1）见解答；（2）①；②见解答；（3）是，∠MPN=30°．
【分析】（1）由旋转60°知，∠ABD=∠EBF、AB=AE、BD=BF，故由SAS证出全等即可；
（2）①由两点之间，线段最短知C、D、F、E共线时CD+DF+FE最小，且CD+DF+FE最小值为CE，再由∠ACB=90°，∠ABC=30°，AC=1求出BC和AB，再由旋转知AB=BE，∠CBE=90°，最后根据勾股定理求出CE即可；②先由△BDF为等边三角形得∠BFD=60°，再由C、D、F、E共线时CD+DF+FE最小，∠BFE=120°=∠BDA，最后ADF=∠ADB-∠BDF=120°-60°=60°，即证；
（3）由中位线定理知道MN∥AD且PN∥EF，再设∠BEF=∠BAD=α，∠PAN=β，则∠PNF=60°-α+β，∠FNM=∠FAD=60°+α-β，得∠PNM=120°．
【详解】解：（1）证明：∵∠DBF=∠ABE=60°，∴∠DBF-∠ABF=∠ABE-∠ABF，∴∠ABD=∠EBF，
在△BDA与△BFE中，，∴△BDA≌△BFE（SAS）；
（2）①∵两点之间，线段最短，即C、D、F、E共线时CD+DF+FE最小，∴CD+DF+FE最小值为CE，
∵∠ACB=90°，∠ABC=30°，AC=1，∴BE=AB=2，BC=，
∵∠CBE=∠ABC+∠ABE=90°，∴CE=，故答案为：；
②证明：∵BD=BF，∠DBF=60°，∴△BDF为等边三角形，即∠BFD=60°，
∵C、D、F、E共线时CD+DF+FE最小，∴∠BFE=120°，
∵△BDA≌△BFE，∴∠BDA=120°，∴∠ADF=∠ADB-∠BDF=120°-60°=60°，
∴∠ADF=∠BFD，∴AD∥BF；
（3）∠MPN的大小是为定值，理由如下：如图，连接MN，
∵M，N，P分别是DF，AF，AE的中点，∴MN∥AD且PN∥EF，
∵AB=BE且∠ABE=60°，∴△ABE为等边三角形，设∠BEF=∠BAD=α，∠PAN=β，
则∠AEF=∠APN=60°-α，∠EAD=60°+α，∴∠PNF=60°-α+β，∠FNM=∠FAD=60°+α-β，
∴∠PNM=∠PNF+∠FNM=60°-α+β+60°+α-β=120°，
∵△BDA≌△BFE，∴MN=AD=FE=PN，∴∠MPN=(180°-∠PNM)=30°．
【点睛】本题是三角形与旋转变换的综合应用，熟练掌握旋转的性质、三角形全等的判定与性质、平行线的判定、勾股定理的应用、中位线的性质及等腰、等边三角形的判定与性质是解题关键 ．
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第5章 图形与变换 （浙江省专用）
第24节 图形的平移、旋转与轴对、 视图与投影
【考场演练】
一、选择题
1．（2021·浙江绍兴市·中考真题）数学兴趣小组同学从“中国结”的图案（图1）中发现，用相同的菱形放置，可得到更多的菱形．如图2，用2个相同的菱形放置，得到3个菱形．下面说法正确的是（ ）
A．用3个相同的菱形放置，最多能得到6个菱形
B．用4个相同的菱形放置，最多能得到15个菱形
C．用5个相同的菱形放置，最多能得到27个菱形
D．用6个相同的菱形放置，最多能得到41个菱形
2．（2021·江苏宿迁市·中考真题）对称美是美的一种重要形式，它能给与人们一种圆满、协调和平的美感，下列图形属于中心对称图形的是（ ）
A．B．C．D．
3．（2021·四川雅安市·中考真题）在平面直角坐标系中，点关于y轴的对称点的坐标是（ ）
A． B． C． D．
4．（2021 叙州区期末）正方体的六个面分别标有1，2，3，4，5，6六个数字，如图是其三种不同的放置方式，与数字“2”相对的面上的数字是（　　）
A．1 B．3 C．4 D．5
5．（2020·青海中考真题）剪纸是我国传统的民间艺术．如图①，②将一张纸片进行两次对折后，再沿图③中的虚线裁剪，最后将图④中的纸片打开铺平，所得图案应该是（ ）
A． B． C． D．
6．（2021·浙江丽水市·中考真题）如图是由5个相同的小立方体搭成的几何体，它的主视图是（ ）
A． B． C． D．
7．（2021·辽宁本溪市·中考真题）如图，该几何体的左视图是（ ）
A．B． C． D．
8．（2021·江苏苏州市·中考真题）如图，在方格纸中，将绕点按顺时针方向旋转90°后得到，则下列四个图形中正确的是（ ）
A．B．
C．D．
9．（2021·四川眉山市·中考真题）我国某型号运载火箭的整流罩的三视图如图所示，根据图中数据（单位：米）计算该整流罩的侧面积（单位：平方米）是（ ）
A． B． C． D．
10．（2021·江苏南京市·中考真题）如图，正方形纸板的一条对角线重直于地面，纸板上方的灯（看作一个点）与这条对角线所确定的平面垂直于纸板，在灯光照射下，正方形纸板在地面上形成的影子的形状可以是（ ）
A． B． C． D．
11．（2021 嘉善县模拟）如图，等边△AOB中，点B在x轴正半轴上，点A坐标为（1，），将△AOB绕点O顺时针旋转15°，此时点A对应点A′的坐标是（　　）
A．（2，2） B．（，1） C．（） D．（）
12．（2021 湖州）如图，已知在△ABC中，∠BAC＞90°，点D为BC的中点，点E在AC上，将△CDE沿DE折叠，使得点C恰好落在BA的延长线上的点F处，连结AD，则下列结论不一定正确的是（　　）
A．AE＝EF B．AB＝2DE
C．△ADF和△ADE的面积相等 D．△ADE和△FDE的面积相等
13．（2020·四川绵阳市·中考真题）如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，∠ABC＝90°，AB＝2，AD＝2，将△ABC绕点C顺时针方向旋转后得△，当恰好经过点D时，△CD为等腰三角形，若B＝2，则A＝（　　）
A． B．2 C． D．
二、填空题
14．（2020·江苏镇江市·中考真题）点O是正五边形ABCDE的中心，分别以各边为直径向正五边形的外部作半圆，组成了一幅美丽的图案（如图）．这个图案绕点O至少旋转_____°后能与原来的图案互相重合．
15．（2021·湖北随州市·中考真题）如图，在中，，，，将绕点逆时针旋转角（）得到，并使点落在边上，则点所经过的路径长为______．（结果保留）
16．（2020·山东烟台市·中考真题）如图，已知点A(2，0)，B(0，4)，C(2，4)，D(6，6)，连接AB，CD，将线段AB绕着某一点旋转一定角度，使其与线段CD重合（点A与点C重合，点B与点D重合），则这个旋转中心的坐标为_____．
17．（2020·江苏镇江市·中考真题）如图，在△ABC中，BC＝3，将△ABC平移5个单位长度得到△A1B1C1，点P、Q分别是AB、A1C1的中点，PQ的最小值等于_____．
18．（2022 杭州）折叠矩形纸片ABCD时，发现可以进行如下操作：①把△ADE翻折，点A落在DC边上的点F处，折痕为DE，点E在AB边上；②把纸片展开并铺平；③把△CDG翻折，点C落在线段AE上的点H处，折痕为DG，点G在BC边上，若AB＝AD+2，EH＝1，则AD＝　 　．
三、解答题
19．（2021 温州二模）作图：如图，请按要求在8×8的正方形网格中作图
（1）请在图1中画一个钝角△ABC，使它有一边与该边上的高线长度相等；
（2）请在图2画一个五边形ABCDE，是轴对称图形，且∠ABC＝90°．
20．（2020·天津中考真题）如图，在每个小正方形的边长为1的网格中，的顶点均落在格点上，点B在网格线上，且．
（Ⅰ）线段的长等于___________；（Ⅱ）以为直径的半圆与边相交于点D，若分别为边上的动点，当取得最小值时，请用无刻度的直尺，在如图所示的网格中，画出点，并简要说明点的位置是如何找到的（不要求证明）．
21．（2021 北仑区期末）已知△ABC在平面直角坐标系中的位置如图所示，将△ABC向右平移5个单位长度，再向下平移3个单位长度得到△A1B1C1．（图中每个小方格边长均为1个单位长度）
（1）在图中画出平移后的△A1B1C1；
（2）直接写出△A1B1C1各顶点的坐标．A1　 　，B1　 　，C1　 　 ．
（3）在x轴上找到一点M，当AM+A1M取最小值时，M点的坐标是　 　．
22．（2021·福建厦门·三模）如图是某校校史荣誉室的正方形网格平面图，实线表示墙体或门．在点处安装了360度旋转摄像头，由于墙体的的遮挡，阴影部分无法监控，这部分无法监控到的区域通常称为监控盲区．
（1）小红同学进入校史荣誉室随意参观，站在监控盲区的概率是多少？
（2）为了监控效果更好，使得监控盲区最小，请你帮助学校在墙体上重新设计摄像头安装的位置，画出示意图，并说明理由．
23．（2020·山东枣庄市·中考真题）欧拉（Euler，1707年~1783年）为世界著名的数学家、自然科学家，他在数学、物理、建筑、航海等领域都做出了杰出的贡献．他对多面体做过研究，发现多面体的顶点数（Vertex）、棱数E（Edge）、面数F（Flat surface）之间存在一定的数量关系，给出了著名的欧拉公式．
（1）观察下列多面体，并把下表补充完整：
名称 三棱锥 三棱柱 正方体 正八面体
图形
顶点数V 4 6 8
棱数E 6 12
面数F 4 5 8
（2）分析表中的数据，你能发现V、E、F之间有什么关系吗？请写出关系式：____________________________．
24．（2021·江苏苏州·二模）测量金字塔高度：如图1，金字塔是正四棱锥，点O是正方形的中心垂直于地面，是正四棱锥的高，泰勒斯借助太阳光．测量金字塔影子的相关数据，利用平行投影测算出了金字塔的高度，受此启发，人们对甲、乙、丙三个金字塔高度也进行了测量．甲、乙、丙三个金字塔都用图1的正四棱锥表示．
（1）测量甲金字塔高度：如图2，是甲金字塔的俯视图，测得底座正方形的边长为，金字塔甲的影子是，此刻，1米的标杆影长为0.7米，则甲金字塔的高度为___m．
（2）测量乙金字塔高度：如图1，乙金字塔底座正方形边长为，金字塔乙的影子是，，此刻1米的标杆影长为0.8米，请利用已测出的数据，计算乙金字塔高度．
25．（2021·山东济宁市·中考真题）研究立体图形问题的基本思路是把立体图形问题转化为平面图形问题．（1）阅读材料:立体图形中既不相交也不平行的两条直线所成的角，就是将直线平移使其相交所成的角．例如，正方体（图1）．因为在平面中，，与相交于点A，所以直线与所成的就是既不相交也不平行的两条直线与所成的角．解决问题:如图1，已知正方体，求既不相交也不平行的两条直线与所成角的大小．
（2）如图2，M，N是正方体相邻两个面上的点．
①下列甲、乙、丙三个图形中，只有一个图形可以作为图2的展开图，这个图形是 ；
②在所选正确展开图中，若点M到，的距离分别是2和5，点N到，的距离分别是4和3，P是上一动点，求的最小值．
26．（2021·山东中考真题）如图1，在△ABC中，∠C=90°，∠ABC=30°，AC=1，D为△ABC内部的一动点（不在边上），连接BD，将线段BD绕点D逆时针旋转60°，使点B到达点F的位置；将线段AB绕点B顺时针旋转60°，使点A到达点E的位置，连接AD，CD，AE，AF，BF，EF．
（1）求证：△BDA≌△BFE；
（2）①CD+DF+FE的最小值为 ；
②当CD+DF+FE取得最小值时，求证：AD∥BF．
（3）如图2，M，N，P分别是DF，AF，AE的中点，连接MP，NP，在点D运动的过程中，请判断∠MPN的大小是否为定值．若是，求出其度数；若不是，请说明理由．
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第5章 图形与变换 （浙江省专用）
第24节 图形的平移、旋转与轴对、 视图与投影
【考试要求】
1.了解轴对称与轴对称图形的概念，掌握轴对称图形的性质，能利用轴对称图形的性质解决图形的折叠问题；
2.了解平移的概念，掌握平移的规则，理解平移的性质；
3.了解旋转、中心对称及中心对称图形的概念，理解它们的性质；
4.理解轴对称变换、平移变换及旋转变换都不改变原图形的形状与大小，变换后的图形与原图形全等；
5.能利用轴对称、平移及旋转的性质进行有关的计算和证明；
6.了解三视图的概念，会画常见几何体的三视图，能根据视图描述简单的几何体；
7.掌握常见几何体的展开图，理解展开图与视图的区别，能利用展开图将空间几何问题转化为平面几何问题；
【考情预测】
一、轴对称与轴对称图形
1.轴对称的性质
(1)对应线段相等,对应角相等;
(2)对称点的连线被对称轴垂直平分;
(3)轴对称变换的特征是不改变图形的形状和大小,只改变图形的位置.
2.轴对称图形的性质
轴对称的两个图形,他们对应线段的延长线相交,交点在对称轴上.
二、图形的平移
1.定义:在平面内,将一个图形沿某个方向移动一定的距离,图形的这种变换,叫做平移变换,简称平移.确定一个平移变换的条件是平移的方向和距离.
2.性质:(1)平移不改变图形的形状与大小,即平移前后的两个图形是全等图形;(2)连接各组对应点的线段平行(或共线)且相等;(3)对应线段平行(或共线)且相等;(4)对应角相等.
三、图形的旋转
1.定义:在平面内,把一个平面图形绕着一个定点沿着某个方向旋转一定的角度,图形的这种变换叫旋转变换.这个定点叫旋转中心,这个角度叫做旋转角.图形的旋转由旋转中心、旋转方向和旋转角所决定.
2.性质:(1)图形上的每一点都绕着旋转中心沿着相同的方向旋转了同样大小的角度;
(2)旋转后的图形与原来的图形的形状和大小都没有发生变化,即它们是全等的;
(3)旋转前后两个图形的对应点到旋转中心的距离相等;
(4)对应点到旋转中心的连线所成的角相等,并且等于旋转角.
四、投影
1．投影：在光线的照射下，空间中的物体落在平面内的影子能够反映出该物体的形状和大小，这种现象叫做投影现象．影子所在的平面称为投影面．
2．平行投影、中心投影、正投影
（1）中心投影：在点光源下形成的物体的投影叫做中心投影，点光源叫做投影中心．
【注意】灯光下的影子为中心投影，影子在物体背对光的一侧．等高的物体垂直于地面放置时，在灯光下，离点光源近的物体的影子短，离点光源远的物体的影子长．
（2）平行投影：投射线相互平行的投影称为平行投影．
【注意】阳光下的影子为平行投影，在平行投影下，同一时刻两物体的影子在同一方向上，并且物高与影长成正比．
（3）正投影：投射线与投影面垂直时的平行投影，叫做正投影．
五、视图
1．视图：由于可以用视线代替投影线，所以物体的正投影通常也称为物体的视图．
2．三视图：1）主视图：从正面看得到的视图叫做主视图．2）左视图：从左面看得到的视图叫做左视图．
3）俯视图：从上面看得到的视图叫做俯视图．
【注意】在三种视图中，主视图反映物体的长和高，左视图反映了物体的宽和高，俯视图反映了物体的长和宽．
3．三视图的画法
1）画三视图要注意三要素：主视图与俯视图长度相等；主视图与左视图高度相等；左视图与俯视图宽度相等．简记为“主俯长对正，主左高平齐，左俯宽相等”．
2）注意实线与虚线的区别：能看到的线用实线，看不到的线用虚线．
六、几何体的展开与折叠
1．常见几何体的展开图
几何体 立体图形 表面展开图 侧面展开图
圆柱
圆锥
三棱柱
2．正方体的展开图
正方体有11种展开图，分为四类：
第一类，中间四连方，两侧各有一个，共6种，如下图：
第二类，中间三连方，两侧各有一、二个，共3种，如下图：
第三类，中间二连方，两侧各有二个，只有1种，如图10；
第四类，两排各有三个，也只有1种，如图11．
【重难点突破】
考向1. 图形的轴对称
【典例精析】
【例】（2021·湖南衡阳市·中考真题）在以下绿色食品、回收、节能、节水四个标志中，是轴对称图形的是（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据轴对称图形的概念求解．如果一个图形沿着一条直线对折后两部分完全重合，这样的图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴．
【详解】A、不是轴对称图形，故A不符合题意；B、不是轴对称图形，故B不符合题意；
C、不是轴对称图形，故C不符合题意；D、是轴对称图形，故D符合题意．故选D.
【点睛】本题主要考查轴对称图形的知识点．确定轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合．
【变式训练】
变式1-1．（2021·河北中考真题）如图，直线，相交于点．为这两直线外一点，且．若点关于直线，的对称点分别是点，，则，之间的距离可能是（ ）
A．0 B．5 C．6 D．7
【答案】B
【分析】连接根据轴对称的性质和三角形三边关系可得结论．
【详解】解：连接，如图，
∵是P关于直线l的对称点，∴直线l是的垂直平分线，∴
∵是P关于直线m的对称点，∴直线m是的垂直平分线，∴
当不在同一条直线上时，即
当在同一条直线上时，故选：B
【点睛】此题主要考查了轴对称变换，熟练掌握轴对称变换的性质是解答此题的关键
变式1-2．（2021 秀洲区一模）若点A（m，n）和点B（5，﹣7）关于x轴对称，则m+n的值是（　　）
A．2 B．﹣2 C．12 D．﹣12
【思路点拨】直接利用关于x轴对称点的性质得出m，n的值，进而得出答案．
【答案】解：∵点A（m，n）和点B（5，﹣7）关于x轴对称，
∴m＝5，n＝7，则m+n的值是：12．故选：C．
【点睛】此题主要考查了关于x轴对称点的性质，正确记忆横纵坐标的符号是解题关键．
变式1-3．（2021 吴兴区一模）如图，将长BC＝8cm，宽AB＝4cm的矩形纸片ABCD折叠，使点C与点A重合，则折痕EF的长为（　　）
A．4cm B． C． D．
【思路点拨】连接AC交EF于点O，由勾股定理先求出AC的长度，根据折叠的性质可判断出Rt△EOC∽Rt△ABC，从而利用相似三角形的对应边成比例可求出OE，再由EF＝2OE可得出EF的长度．
【答案】解：如图，连接AC交EF于点O，由勾股定理知AC＝＝4cm，
又∵折叠矩形使C与A重合时有EF⊥AC，AO＝CO＝2cm，EO＝FO，
∴Rt△EOC∽Rt△ABC，∴＝，∴OE＝OC＝×2＝cm，
故EF＝2OE＝2cm．故选：C．
【点睛】此题考查了翻折变换、勾股定理及矩形的性质，难度一般，解答本题的关键是判断出Rt△EOC∽Rt△ABC，利用相似三角形的性质得出OE的长．
【考点巩固训练】
1．（2021·四川成都市·中考真题）在平面直角坐标系中，点关于x轴对称的点的坐标是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】关于轴对称的两个点的坐标特点：横坐标不变，纵坐标互为相反数，根据规律解答即可．
【详解】解：点关于x轴对称的点的坐标是： 故选：
【点睛】本题考查的是关于轴对称的两个点的坐标关系，掌握“关于轴对称的两个点的坐标特点：横坐标不变，纵坐标互为相反数．”是解题的关键．
2．（2021·江苏盐城市·中考真题）北京2022年冬奥会会徽如图所示，组成会徽的四个图案中是轴对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据轴对称图形的定义判断即可
【详解】A,B,C都不是轴对称图形，故不符合题意；D是轴对称图形，故选D.
【点睛】本题考查了轴对称图形的定义，准确理解定义是解题的关键．
3．（2021 江干区二模）下面图形中既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（　　）
A．平行四边形 B．等腰梯形 C．正三角形 D．菱形
【思路点拨】根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解．
【答案】解：A、平行四边形不是轴对称图形，是中心对称图形．故错误；
B、等腰梯形是轴对称图形，不是中心对称图形．故错误；
C、正三角形是轴对称图形，不是中心对称图形．故错误；
D、菱形是轴对称图形，也是中心对称图形．故正确．故选：D．
【点睛】本题考查了中心对称图形与轴对称图形的概念：轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分沿对称轴折叠后可重合；中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与原图重合．
4．（2022 台州）如图是用8块A型瓷砖（白色四边形）和8块B型瓷砖（黑色三角形）不重叠、无空隙拼接而成的一个正方形图案，图案中A型瓷砖的总面积与B型瓷砖的总面积之比为（　　）
A．：1 B．3：2 C．：1 D．：2
【思路点拨】如图，作DC⊥EF于C，DK⊥FH于K，连接DF．求出△DFN与△DNK的面积比即可．
【答案】解：如图，作DC⊥EF于C，DK⊥FH于K，连接DF．
由题意：四边形DCFK是正方形，∠CDM＝∠MDF＝∠FDN＝∠NDK，
∴∠CDK＝∠DKF＝90°，DK＝FK，DF＝DK，
∴＝＝＝（角平分线的性质定理，可以用面积法证明），∴＝＝，
∴图案中A型瓷砖的总面积与B型瓷砖的总面积之比为：1，故选：A．
【点睛】本题考查图形的拼剪，正方形的性质等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．
5．（2021·重庆中考真题）如图，三角形纸片ABC中，点D，E，F分别在边AB，AC，BC上，BF＝4，CF＝6，将这张纸片沿直线DE翻折，点A与点F重合．若DE∥BC，AF＝EF，则四边形ADFE的面积为__________．
【答案】
【分析】根据折叠的性质得到DE为的中位线，利用中位线定理求出DE的长度，再解求出AF的长度，即可求解．
【详解】解：∵将这张纸片沿直线DE翻折，点A与点F重合，
∴DE垂直平分AF，，，，
∵DE∥BC，∴，，，
∴，∴，∴，即D为AB的中点，
∴DE为的中位线，∴，
∵AF＝EF，∴是等边三角形，在中，，，
∴，∴，∴四边形ADFE的面积为，
故答案为：．
【点睛】本题考查解直角三角形、中位线定理、折叠的性质等内容，掌握上述基本性质定理是解题的关键．
考向2. 图形的平移
【典例精析】
【例】（2021·浙江丽水市·中考真题）四盏灯笼的位置如图．已知A，B，C，D的坐标分别是 ( 1，b)，(1，b)，(2，b)，(3.5，b)，平移y轴右侧的一盏灯笼，使得y轴两侧的灯笼对称，则平移的方法可以是（ ）
A．将B向左平移4.5个单位 B．将C向左平移4个单位
C．将D向左平移5.5个单位 D．将C向左平移3.5个单位
【答案】C
【分析】直接利用利用关于y轴对称点的性质得出答案．
【详解】解：∵点A ( 1，b) 关于y轴对称点为B (1，b)，C (2，b)关于y轴对称点为(-2，b)，
需要将点D (3.5，b) 向左平移3.5+2=5.5个单位，故选：C．
【点睛】本题主要考查了关于y轴对称点的性质，正确记忆横纵坐标的关系是解题关键．
【变式训练】
变式2-1. （2021 萧山区期末）点（﹣2，﹣3）向左平移3个单位后所得点的坐标为（　　）
A．（﹣2，0） B．（﹣2，﹣6） C．（﹣5，﹣3） D．（1，﹣3）
【思路点拨】根据平移中点的变化规律是：横坐标右移加，左移减；纵坐标上移加，下移减．即可得出平移后点的坐标．
【答案】解：点（﹣2，﹣3）向左平移3个单位后所得点的坐标为（﹣2﹣3，﹣3），
即（﹣5，﹣3），故选：C．
【点睛】本题考查了点的平移及平移特征，掌握平移中点的变化规律是关键．
变式2-2. （2021 温州二模）如图，将△ABC沿BC方向平移4cm得到△DEF，如果四边形ABFD的周长是28cm，则△DEF的周长是　 　cm．
【思路点拨】先利用平移的性质得AC＝DF，AD＝CF＝4，然后利用AB+BC+CF+DF+AD＝28得到AB+BC+AC＝20，从而得到△ABC的周长为20cm．
【答案】解：∵△ABC沿BC方向平移4cm得到△DEF，∴AC＝DF，AD＝CF＝4，
∵四边形ABFD的周长是28cm，即AB+BC+CF+DF+AD＝28，
∴AB+BC+AC+4+4＝28，即AB+BC+AC＝20，
∴△ABC的周长为20cm．∴△DEF的周长是20cm，故答案为20
【点睛】本题考查了平移的性质：把一个图形整体沿某一直线方向移动，会得到一个新的图形，新图形与原图形的形状和大小完全相同；新图形中的每一点，都是由原图形中的某一点移动后得到的，这两个点是对应点．连接各组对应点的线段平行（或共线）且相等．
变式2-3. （2020·湖南湘西土家族苗族自治州·中考真题）在平面直角坐标系中，O为原点，点，点B在y轴的正半轴上，．矩形的顶点D，E，C分别在上，．将矩形沿x轴向右平移，当矩形与重叠部分的面积为时，则矩形向右平移的距离为___________．
【答案】2
【分析】先求出点B的坐标（0， ），得到直线AB的解析式为： ，根据点D的坐标求出OC的长度，利用矩形与重叠部分的面积为列出关系式求出，再利用一次函数关系式求出=4，即可得到平移的距离.
【详解】∵，∴OA=6，在Rt△AOB中，，∴，∴B（0， ），
∴直线AB的解析式为： ，当x=2时，y=，∴E（2，），即DE=，
∵四边形CODE是矩形，∴OC=DE=，
设矩形沿x轴向右平移后得到矩形， 交AB于点G，
∴∥OB，∴△∽△AOB，∴∠=∠AOB=30°，
∴∠=∠=30°，∴,
∵平移后的矩形与重叠部分的面积为，∴五边形的面积为,
∴,∴,∴,
∴矩形向右平移的距离=，故答案为：2.
【点睛】此题考查了锐角三角函数，求一次函数的解析式，矩形的性质，图形平移的性质，是一道综合多个知识点的综合题型，且较为基础的题型.
【考点巩固训练】
1．（2020·上海中考真题）如果存在一条线把一个图形分割成两个部分，使其中一个部分沿某个方向平移后能与另一个部分重合，那么我们把这个图形叫做平移重合图形．下列图形中，平移重合图形是(　　　)
A．平行四边形 B．等腰梯形 C．正六边形 D．圆
【答案】A
【分析】证明平行四边形是平移重合图形即可．
【详解】如图，平行四边形ABCD中，取BC，AD的中点E，F，连接EF．
则有：AF=FD，BE=EC，AB=EF=CD，
∴四边形ABEF向右平移可以与四边形EFCD重合，∴平行四边形ABCD是平移重合图形．故选：A．
【点睛】本题考查平移的性质，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．
2．（2021·山东临沂市·中考真题）在平面直角坐标系中，的对称中心是坐标原点，顶点、的坐标分别是、，将沿轴向右平移3个单位长度，则顶点的对应点的坐标是___．
【答案】（4，-1）
【分析】根据平行四边形的性质得到点C坐标，再根据平移的性质得到C1坐标．
【详解】解：在平行四边形ABCD中，
∵对称中心是坐标原点，A（-1，1），B（2，1），∴C（1，-1），
将平行四边形ABCD沿x轴向右平移3个单位长度，∴C1（4，-1），故答案为：（4，-1）．
【点睛】本题考查了坐标与图形变化-平移，平移中点的变化规律是：横坐标右移加，左移减；纵坐标上移加，下移减．
3．（2021 萧山区一模）在平面直角坐标系中，有一条线段AB，已知点A（﹣3，0）和B（0，4），平移线段AB得到线段A1B1．若点A的对应点A1的坐标为（0，﹣1），则线段AB平移经过的区域（四边形ABB1A1）的面积为（　　）
A．12 B．15 C．24 D．30
【思路点拨】首先根据A点和A1的坐标可得点A向右平移了3个单位，又向下平移了1个单位，进而利用面积公式解答即可．
【答案】解：∵点A（﹣3，0），点A的对应点A1的坐标为（0，﹣1），
∴点A向右平移了3个单位，又向下平移了1个单位，
∴B的平移方式也是向右平移了3个单位，又向下平移了1个单位，∵B（0，4），∴B1的点（3，3），
线段AB平移经过的区域（四边形ABB1A1）的面积为，故选：B．
【点睛】此题主要考查了坐标与图形的变化，关键是掌握横坐标，右移加，左移减；纵坐标，上移加，下移减．
4．（2021 嘉兴期末）如图，在网格中，每个小方格的边长均为1个单位，将图形E平移到另一个位置后能与图形F组合成一个正方形，下面平移步骤正确的是（　　）
A．先把图形E向右平移4个单位，再向上平移3个单位
B．先把图形E向右平移5个单位，再向上平移2个单位
C．先把图形E向右平移5个单位，再向上平移3个单位
D．先把图形E向右平移6个单位，再向上平移2个单位
【思路点拨】根据网格结构，可以利用一对对应点的平移关系解答．
【答案】解：根据网格结构，观察对应点A、A′，点A向右平移6个单位，再向上平移2个单位即可到达点A′的位置，所以平移步骤是：先把图形E向右平移6个单位，再向上平移2个单位．
故选：D．
【点睛】本题考查了利用平移设计图案，利用对应点的平移规律确定图形的平移规律是解题的关键．
5．（2021 鄞州区期末）如图，将△ABC沿射线AB平移到△DEF的位置，则以下结论不正确的是（　　）
A．∠C＝∠F B．BC∥EF C．AD＝BE D．AC＝DB
【思路点拨】根据平移的性质，对应角相等，对应线段平行（或在同一直线上）且相等，对应点的连线互相平行（或在同一直线上）且相等，对各选项分析判断后利用排除法求解．
【答案】解：A、∠C与∠F是对应角，∴∠C＝∠F，故本选项正确；
B、BC与EF是对应边，∴BC∥EF，故本选项正确；
C、AD与BE都是对应点所连的线段，∴AD＝BE，故本选项正确；
D、AC与DB不是对应线段，也不是对应点所连的线段，∴AC≠DB，故本选项错误．故选：D．
【点睛】本题考查了平移的性质，熟练掌握平移性质是解题的关键．把一个图形整体沿某一直线方向移动，会得到一个新的图形，新图形与原图形的形状和大小完全相同．
考向3. 图形的旋转
【典例精析】
【例】（2021 温州一模）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝20°．将△ABC绕点C按逆时针方向旋转得△A′B′C，且点B在A′B′上，CA′交AB于点D，则∠BDC的度数为（　　）
A．40° B．50° C．60° D．70°
【思路点拨】由旋转的性质可得△ABC≌△A'B'C'，∠ACA'＝∠BCB'，由全等三角形的性质可得CB＝CB'，由三角形内角和定理和三角形的外角性质可求∠BDC的度数．
【答案】解：∵∠ACB＝90°，∠A＝20°∴∠ABC＝70°
∵旋转∴△ABC≌△A'B'C'，∠ACA'＝∠BCB'∴CB＝CB'
∴∠B'＝∠CBB'＝70°∴∠BCB'＝40°＝∠ACA'∴∠BDC＝∠A+∠ACA'＝60°故选：C．
【点睛】本题考查了旋转的性质，全等三角形的性质，熟练运用旋转的性质是本题的关键．
【变式训练】
变式3-1. （2021 台州）在下列四个新能源汽车车标的设计图中，属于中心对称图形的是（　　）
A． B． C． D．
【思路点拨】根据中心对称图形的概念求解．在同一平面内，如果把一个图形绕某一点旋转180度，旋转后的图形能和原图形完全重合，那么这个图形就叫做中心对称图形．这个旋转点，就叫做中心对称点．
【答案】解：A、不是中心对称图形，本选项错误；B、不是中心对称图形，本选项错误；
C、不是中心对称图形，本选项错误；D、是中心对称图形，本选项正确．故选：D．
【点睛】此题主要考查了中心对称图形的概念．中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后两部分重合．
变式3-2. （2021 舟山）如图，在直角坐标系中，已知菱形OABC的顶点A（1，2），B（3，3）．作菱形OABC关于y轴的对称图形OA'B'C'，再作图形OA'B'C'关于点O的中心对称图形OA″B″C″，则点C的对应点C″的坐标是（　　）
A．（2，﹣1） B．（1，﹣2） C．（﹣2，1） D．（﹣2，﹣1）
【思路点拨】根据题意可以写出点C的坐标，然后根据与y轴对称和与原点对称的点的特点即可得到点C″的坐标，本题得以解决．
【答案】解：∵点C的坐标为（2，1），∴点C′的坐标为（﹣2，1），
∴点C″的坐标的坐标为（2，﹣1），故选：A．
【点睛】本题考查旋转变化、轴对称变化，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．
变式3-3. （2021·江苏南京市·中考真题）如图，将绕点A逆时针旋转到的位置，使点落在上，与交于点E，若，则的长为________．
【答案】
【分析】过点C作CM//交于点M，证明求得，根据AAS证明可求出CM=1，再由CM//证明△，由相似三角形的性质查得结论．
【详解】解：过点C作CM//交于点M，
∵平行四边形ABCD绕点A逆时针旋转得到平行四边形
∴，，
∴，∴∴
∵∴∴
∴∠
∵∴∵∴∠
∵，∴∴∠∴∠
在和中，∴∴
∵ ∴△∴∴
∴故答案为：．
【点睛】此题主要考查了旋转的性质，平行四边形的性质，全等三角形的判定与性质以及相似三角形的判定与性质，正确作出辅助线构造全等三角形和相似三角形是解答本题的关键．
【考点巩固训练】
1．（2021·辽宁营口市·中考真题）中国剪纸是一种用剪刀或刻刀在纸上剪刻花纹，用于装点生活或配合其他民俗活动的民间艺术下列四个剪纸图案中，是中心对称图形的是（ ）
A． B．C． D．
【答案】D
【分析】利用中心对称图形的定义即可求解．
【详解】根据中心对称图形的定义可知只有D中的图形是中心对称图形，故选：D．
【点睛】本题考查中心对称图形的识别，掌握中心对称图形的定义是解题的关键．
2．（2021·青海中考真题）如图所示的图案由三个叶片组成，绕点O旋转120°后可以和自身重合，若每个叶片的面积为4cm2，∠AOB=120°，则图中阴影部分的面积为__________．
【答案】4 cm2
【分析】根据旋转的性质和图形的特点解答．
【详解】每个叶片的面积为4cm2，因而图形的面积是12cm2．
∵图案绕点O旋转120°后可以和自身重合，∠AOB为120°，∴图形中阴影部分的面积是图形的面积的，因而图中阴影部分的面积之和为4cm2．故答案为4cm2．
【点睛】本题考查了图形的旋转与重合，理解旋转对称图形的定义是解决本题的关键．注：旋转对称图形的概念：把一个图形绕着一个定点旋转一个角度后，与初始图形重合，这种图形叫做旋转对称图形，这个定点叫做旋转对称中心，旋转的角度叫做旋转角．
3．（2021·四川广安市·中考真题）如图，将绕点逆时针旋转得到，若且于点，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】由旋转的性质可得∠BAD=55°，∠E=∠ACB=70°，由直角三角形的性质可得∠DAC=20°，即可求解．
【详解】解：∵将△ABC绕点A逆时针旋转55°得△ADE，∴∠BAD=55°，∠E=∠ACB=70°，
∵AD⊥BC，∴∠DAC=20°，∴∠BAC=∠BAD+∠DAC=75°．故选C．
【点睛】本题考查了旋转的性质，掌握旋转的性质是本题的关键．
4．（2021·湖北黄石市·中考真题）如图，的三个顶点都在方格纸的格点上，其中点的坐标是，现将绕点按逆时针方向旋转，则旋转后点的坐标是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】在网格中绘制出CA旋转后的图形，得到点C旋转后对应点．
【详解】如图，绘制出CA绕点A逆时针旋转90°的图形，
由图可得：点C对应点的坐标为(-2，3) ．故选B．
【点睛】本题考查旋转，需要注意题干中要求顺时针旋转还是逆时针旋转．
5．（2021 龙岗区校级模拟）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝BC，AB＝8，点D为AB的中点，若直角MDN绕点D旋转，分别交AC于点E，交BC于点F，则下列说法正确的有（　　）
①AE＝CF；②EC+CF＝；③DE＝DF；④若△ECF的面积为一个定值，则EF的长也是一个定值．
A．①② B．①③ C．①②③ D．①②③④
【思路点拨】①如果连接CD，可证△ADE≌△CDF，得出AE＝CF；
②由①知，EC+CF＝EC+AE＝AC，而AC为等腰直角△ABC的直角边，由于斜边AB＝8，由勾股定理可求出AC＝BC＝4；③由①知DE＝DF；
④△ECF的面积＝×CE×CF，如果这是一个定值，则CE CF是一个定值，又EC+CF＝，从而可唯一确定EC与EF的值，由勾股定理知EF的长也是一个定值．
【答案】解：①连接CD．
∵在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝BC，点D为AB的中点，∴CD⊥AB，CD＝AD＝DB，
在△ADE与△CDF中，∠A＝∠DCF＝45°，AD＝CD，∠ADE＝∠CDF，
∴△ADE≌△CDF，∴AE＝CF．说法正确；
②∵在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝BC，AB＝8，∴AC＝BC＝4．
由①知AE＝CF，∴EC+CF＝EC+AE＝AC＝4．说法正确；
③由①知△ADE≌△CDF，∴DE＝DF．说法正确；
④∵△ECF的面积＝×CE×CF，如果这是一个定值，则CE CF是一个定值，
又∵EC+CF＝，∴可唯一确定EC与EF的值，
再由勾股定理知EF的长也是一个定值，说法正确．故选：D．
【点睛】本题综合考查了等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定及方程的思想，有一定难度．
考向4. 常见几何体的三视图
【典例精析】
【例】（2021·浙江嘉兴市·中考真题）如图是由四个相同的小正方体组成的立体图形，它的俯视图为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】根据俯视图是从上边看得到的图形，可得答案．
【详解】解：从上边看第一行是两个小正方形，第二行是一个小正方形并且在第二列，故选：C．
【点睛】本题考查了简单组合体的三视图，俯视图是从上边看得到的图形．
【变式训练】
变式4-1. （2021·浙江温州市·中考真题）直六棱柱如图所示，它的俯视图是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】直接从上往下看，得到的是一个六边形，即可选出正确选项．
【详解】解:从上往下看直六棱柱，看到的是个六边形；故选：C．
【点睛】本题考查了三视图的相关内容，要求学生明白俯视图是对几何体进行从上往下看得到的视图，实际上也是从上往下得到的正投影，本题较为基础，考查了学生对三视图概念的理解与应用等．
变式4-2. （2021·四川雅安市·中考真题）甲和乙两个几何体都是由大小相同的小立方块搭成，它们的俯视图如图，小正方形中数字表示该位置上的小立方块个数（ ）
A．甲和乙左视图相同，主视图相同 B．甲和乙左视图不相同，主视图不相同
C．甲和乙左视图相同，主视图不相同 D．甲和乙左视图不相同，主视图相同
【答案】D
【分析】根据俯视图，即可判断左视图和主视图的形状．
【详解】由甲俯视图知，其左视图为，由乙俯视图知，其左视图为，故它们的左 视图不相同，但它们两个的主视图相同，都是．故选：D．
【点睛】本题考查了三视图的知识，关键是根据俯视图及题意确定几何体的形状，从而可确定其左视图和主视图．
变式4-3. （2021·山东聊城·一模）如图是一个水平放置的全封闭物体，则它的俯视图是（　　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据俯视图是从物体上面看，从而得到出物体的形状．
【详解】解：从上面观察可得到：故选：B．
【点睛】本题考查了三视图的概简单几何体的三视图，本题的关键是要考虑到俯视图中看见的棱用实线表示．
【考点巩固训练】
1．（2021·浙江台州市·中考真题）用五个相同的正方体搭成如图所示的立体图形，则该立体图形的主视图是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】从正面看所得到的图形即为主视图，因此选项B的图形符合题意．
【详解】解：根据主视图的意义可知，从正面看到四个正方形，故选：B．
【点睛】考查简单组合体的三视图的画法，从不同方向对物体进行正投影所得到的图形分别为主视图、左视图、俯视图．
2．（2021·浙江宁波市·中考真题）如图所示的几何体是由一个圆柱和一个长方体组成的，它的主视图是（ ）
A． B．C． D．
【答案】C
【分析】根据主视图是从物体的正面看到的图形解答即可．
【详解】解：由于圆柱的主视图是长方形，长方体的主视图是长方形，所以该物体的主视图是：
．故选：C．
【点睛】本题考查了简单组合体的三视图，属于常考题型，熟知主视图是从物体的正面看到的图形是解题关键．
3．（2021·湖北中考真题）如图所示的几何体的左视图是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据左视图的定义即可得．
【详解】解：左视图是指从左面看物体所得到的视图，则这个几何体的左视图是由两个大小不一的同心圆组成，观察四个选项可知，只有选项A符合，故选：A．
【点睛】本题考查了左视图，熟记定义是解题关键．
4．（2021·山西大同·一模）如图1所示的华万“HR45T－A”发动机是中国第一款使用正向工程研制的转子发动机，它的轻型动力系统世界领先，其核心零部件之一的转子形状是“曲侧面三棱柱”（三个侧面都是曲面），如图2，它的俯视图是（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】转子形状是“曲侧面三棱柱”，它的三个侧面都是曲面，根据三视图看到方向，可以确定三个视图的形状，判断答案．
【详解】解：∵转子形状是“曲侧面三棱柱”，∴它的三个侧面都是曲面，
∴俯视图的三条线都是曲线，故选：A．
【点睛】本题考查了几何体的三视图，属于基础题．
5．（2021·山西吕梁·二模）榫卯是指在木构件上所采用的一种凹凸结合的连接方式，中国古建筑以木材、砖瓦为主要建筑材料，各构件之间通过榫卯连接在一起，构成富有弹性而结实的建筑框架．图1所示就是一组榫卯构件，若将②号构件按图2所示方式摆放，则该构件的主视图是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据三视图的定义，主视图是从正面看到的图形，即可得到答案．
【详解】解：构件的主视图是：，故选B．
【点睛】本题主要考查几何体的三视图，熟练掌握三视图的定义，是解题的关键．
考向5. 由三视图描述几何体
【典例精析】
【例】（2021·广西来宾市·中考真题）如图是一个几何体的主视图，则该几何体是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】主视图、左视图、俯视图是分别从物体正面、左面和上面看，所得到的图形．依题意，由几何体的主视图即可判断该几何体的形状．
【详解】解：由该几何体的主视图可知，该几何体是选项C中的图形．故选：C．
【点睛】本题考查了由三视图判断几何体，考查学生对三视图掌握程度和灵活运用能力，同时也考查了空间想象能力．
【变式训练】
变式5-1. （2021·江苏南通市·中考真题）如图，根据三视图，这个立体图形的名称是（ ）
A．三棱柱 B．圆柱 C．三棱锥 D．圆锥
【答案】A
【分析】由主视图和左视图确定是柱体，锥体还是球体，再由俯视图确定具体形状．
【详解】解：根据主视图和左视图为矩形判断出是柱体，根据俯视图是三角形可判断出这个几何体应该是三棱柱．故选：A．
【点睛】本题由物体的三种视图推出原来几何体的形状，考查了学生的思考能力和对几何体三种视图的空间想象能力和综合能力．
变式5-2. （2021·山东日照·中考真题）一张水平放置的桌子上摆放着若干个碟子，其三视图如图所示，则这张桌子上共有碟子的个数为（　　）
A．10 B．12 C．14 D．18
【答案】B
【分析】从俯视图看只有三列碟子，主视图中可知左侧碟子有6个，右侧有2个，根据三视图的思路可解答该题．
【详解】解：从俯视图可知该桌子共摆放着三列碟子．主视图可知左侧碟子有6个，右侧有2个，
而左视图可知左侧有4个，右侧与主视图的左侧碟子相同，共计12个，故选：B．
【点睛】本题的难度不大，主要是考查三视图的基本知识以及在现实生活中的应用．
变式5-3. （2021 富阳市期中）如图，是某几何体的三视图，根据图中所标的数据求得该几何体的体积为（　　）
A．120π B．132π C．136π D．236π
【思路点拨】根据给出的几何体的三视图可知几何体是由大小两个圆柱组成，从而根据三视图的特点得知高和底面直径，代入体积公式计算即可．
【答案】解：由三视图可知，几何体是由大小两个圆柱组成，
故该几何体的体积为：π×22×2+π×42×8＝8π+128π＝136π．故选：C．
【点睛】本题考查的是由三视图判断几何体的形状并计算几何体的体积，由该三视图中的数据确定圆柱的底面直径和高是解本题的关键，本题体现了数形结合的数学思想．
【考点巩固训练】
1．（2021·安徽中考真题）几何体的三视图如图所示，这个几何体是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据三视图，该几何体的主视图可确定该几何体的形状，据此求解即可．
【详解】解：根据A，B，C，D三个选项的物体的主视图可知，与题图有吻合的只有C选项，选：C．
【点睛】本题考查了由三视图判断几何体的知识，熟练掌握三视图并能灵活运用，是解题的关键．
2．（2021·吉林长春市·中考真题）如图是一个几何体的三视图，这个几何体是（ ）
A．圆锥 B．长方体 C．球 D．圆柱
【答案】D
【分析】根据三视图的定义及性质：“长对正，宽相等、高平齐”，可知该几何体为圆柱
【详解】主视图和俯视图为矩形，则该几何体为柱体，根据左视图为圆，可知该几何体为：圆柱
A、B、C选项不符合题意，D符合题意．故选D．
【点睛】考查几何体的三视图的知识，从正面看的图形是主视图，从左面看到的图形是左视图，从上面看到的图象是俯视图．掌握以上知识是解题的关键．
3．（2020·湖北宜昌市·中考真题）诗句“横看成岭侧成峰，远近高低各不同”，意思是说要认清事物的本质，就必须从不同角度去观察．下图是对某物体从不同角度观察的记录情况，对该物体判断最接近本质的是（ ）．
A．是圆柱形物体和球形物体的组合体，里面有两个垂直的空心管
B．是圆柱形物体和球形物体的组合体，里面有两个平行的空心管
C．是圆柱形物体，里面有两个垂直的空心管
D．是圆柱形物体，里面有两个平行的空心管
【答案】D
【分析】由三视图的图形特征进行还原即可．
【详解】由三视图可知：几何体的外部为圆柱体，内部为两个互相平行的空心管 故选：D
【点睛】本题考查了根据三视图还原简单几何体，熟知其还原过程是解题的关键．
4．（2021·江苏常州市·中考真题）如图是某几何体的三视图，该几何体是（ ）
A．正方体 B．圆锥 C．圆柱 D．球
【答案】D
【分析】首先根据俯视图将正方体淘汰掉，然后根据主视图和左视图将圆锥和圆柱淘汰，即可求解．
【详解】解：∵俯视图是圆，∴排除A，∵主视图与左视图均是圆，∴排除B、C，故选：D．
【点睛】此题主要考查了简单几何体的三视图，用到的知识点为：三视图分为主视图、左视图、俯视图，分别是从物体正面、左面和上面看，所得到的图形．
5．（2021 北仑区模拟）如图，是某几何体的三视图及相关数据，则该几何体的侧面积是（　　）
A．40π B．48π C．60π D．80π
【思路点拨】几何体是圆锥，根据三视图判断圆锥的母线长与底面半径，把数据代入圆锥的侧面积公式计算．
【答案】解：由三视图知：几何体是圆锥，∵底面直径为12，高为8，圆锥的母线长为10，
∴圆锥的侧面积S＝π×6×10＝60π． 故选：C．
【点睛】本题考查了由三视图求几何体的侧面积，根据三视图判断几何体的形状是关键．
考向6. 空间图形的平面展开图
【典例精析】
【例】（2021·浙江中考真题）将如图所示的长方体牛奶包装盒沿某些棱剪开，且使六个面连在一起，然后铺平，则得到的图形可能是（ ）
A． B．C． D．
【答案】A
【分析】依据长方体的展开图的特征进行判断即可．
【详解】解：A、符合长方体的展开图的特点，是长方体的展开图，故此选项符合题意；
B、不符合长方体的展开图的特点，不是长方体的展开图，故此选项不符合题意；
C、不符合长方体的展开图的特点，不是长方体的展开图，故此选项不符合题意；
D、不符合长方体的展开图的特点，不是长方体的展开图，故此选项不符合题意．故选：A．
【点睛】本题考查了长方体的展开图，熟练掌握长方体的展开图的特点是解题的关键．
【变式训练】
变式6-1.（2021 余杭区二模）下列各图中，经过折叠不能围成一个棱柱的是（　　）
A． B． C． D．
【思路点拨】由平面图形的折叠及正方体的展开图解题．
【答案】解：A、C、D可以围成四棱柱，B选项不能围成一个棱柱．故选：B．
【点睛】此题主要考查了展开图折成几何体，同学们应熟知常见几种几何体的展开图及其变式图形．
变式6-2. （2021·河北中考真题）一个骰子相对两面的点数之和为7，它的展开图如图，下列判断正确的是（ ）
A．代表 B．代表 C．代表 D．代表
【答案】A
【分析】根据正方体展开图的对面，逐项判断即可．
【详解】解：由正方体展开图可知，的对面点数是1；的对面点数是2；的对面点数是4；
∵骰子相对两面的点数之和为7，∴代表，故选：A．
【点睛】本题考查了正方体展开图，解题关键是明确正方体展开图中相对面间隔一个正方形，判断哪两个面相对．
变式6-3. （2021·广东中考真题）下列图形是正方体展开图的个数为（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】C
【分析】根据正方体的展开图的特征，11种不同情况进行判断即可．
【详解】解：根据正方体的展开图的特征，只有第2个图不是正方体的展开图，故四个图中有3个图是正方体的展开图．故选：C．
【点睛】考查正方体的展开图的特征，“一线不过四，田凹应弃之”应用比较广泛简洁．
【考点巩固训练】
1．（2021·辽宁大连市·中考真题）某几何体的展开图如图所示，该几何体是（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据几何体的展开图可直接进行排除选项．
【详解】解：由该几何体的展开图可知该几何体是圆锥；故选D．
【点睛】本题主要考查几何体的展开图，熟练掌握简单几何体的展开图是解题的关键．
2．（2021·湖南怀化市·中考真题）下列图形中，可能是圆锥侧面展开图的是（ ）
A． B．C． D．
【答案】B
【分析】根据圆锥的侧面展开图为扇形判断即可．
【详解】解：由圆锥的侧面展开图是扇形可知选B，故选：B．
【点睛】本题主要考查圆锥侧面展开图的形状，题型比较简单，熟知关于圆锥的知识点是解决本题的关键．
3．（2021·浙江金华市·中考真题）将如图所示的直棱柱展开，下列各示意图中不可能是它的表面展开图的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】由直棱柱展开图的特征判断即可．
【详解】解：图中棱柱展开后，两个三角形的面不可能位于同一侧，因此D选项中的图不是它的表面展开图；故选D．
【点睛】本题考查了常见几何体的展开图，解决本题的关键是牢记三棱柱展开图的特点，即其两个三角形的面不可能位于展开图中侧面长方形的同一侧即可．
4．（2021·北京中考真题）如图是某几何体的展开图，该几何体是（ ）
A．长方体 B．圆柱 C．圆锥 D．三棱柱
【答案】B
【分析】根据几何体的展开图可直接进行排除选项．
【详解】解：由图形可得该几何体是圆柱；故选B．
【点睛】本题主要考查几何体的展开图，熟练掌握几何体的展开图是解题的关键．
5．（2021·四川自贡市·中考真题）如图是一个小正方体的展开图，把展开图折叠成小正方体后，有“迎”字一面的相对面上的字是（ ）
A．百 B．党 C．年 D．喜
【答案】B
【分析】正方体的表面展开图“一四一”型，相对的面之间一定相隔一个正方形，根据这一特点解答．
【详解】解：正方体的表面展开图，相对的面之间一定相隔一个正方体，“迎”与“党”是相对面，“建”与“百”是相对面，“喜”与“年”是相对面．故答案为：B．
【点睛】本题主要考查了正方体相对两个面上的文字，注意正方体的空间图形，从相对面入手，分析及解答问题．
6．（2020·四川绵阳市·中考真题）下列四个图形中，不能作为正方体的展开图的是（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据正方体的展开图的11种不同情况进行判断即可．
【详解】解：正方体展开图的11种情况可分为“1﹣4﹣1型”6种，“2﹣3﹣1型”3种，“2﹣2﹣2型”1种，“3﹣3型”1种，因此选项D符合题意，故选：D．
【点睛】本题考查正方体的展开图，理解和掌握正方体的展开图的11种不同情况，是正确判断的前提．
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