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二次函数之几何变换
教学内容
1、翻折问题；
2、旋转问题．
教学过程
考点一：翻折问题
例1．（2021春 宝安区校级月考）如图，抛物线y＝ax2+bx+3经过点A（﹣1，0），点B（3，0）与y轴交于点C．
（1）求抛物线的表达式；
（2）如图，点P是抛物线上一点，连接BP，将BP沿直线BC折叠，当点P恰好落在抛物线的对称轴上时，求P点的横坐标．
训练1-1．（2017 坪山区二模）如图，顶点为（1，4）的抛物线y＝ax2+bx+c与直线y＝x+n交于点A（2，2），直线y＝x+n与y轴交于点B与x轴交于点C．
（1）求n的值及抛物线的解析式；
（2）P为抛物线上的点，点P关于直线AB的对称轴点在x轴上，求点P的坐标．
训练1-2．（2021 深圳一模）如图，抛物线y＝ax2﹣2ax﹣3a（a＞0）与x轴交于A，B两点（点A在点B的左边），与y轴交于点C，且OB＝OC．
（1）求抛物线的解析式；
（2）如图，若点P是线段BC（不与B，C重合）上一动点，过点P作x轴的垂线交抛物线于M点，连接CM，将△PCM沿CM对折，如果点P的对应点N恰好落在y轴上，求此时点P的坐标．
例2．（2021 福田区校级开学）如图1，抛物线y＝ax2﹣2ax+1（a＜0）与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C．直线与抛物线交C、D两点，点P是抛物线的顶点．
（1）当点A的坐标是（﹣1，0）时，求抛物线的解析式；
（2）当点P关于直线CD的对称点P′落在x轴上时，求a的值．
训练2-1．（2021 罗湖区校级模拟）如图，抛物线y＝ax2﹣2x+c与x轴相交于A（﹣1，0），B（3，0）两点．
（1）求抛物线的函数表达式；
（2）点C在抛物线的对称轴上，且位于x轴的上方，将△ABC沿直线AC翻折得到△AB'C，点B'恰好落在抛物线的对称轴上．若点G为直线AC下方抛物线上的一点，求当△AB'G面积最大时点G的横坐标．
训练2-2．（2021 罗湖区校级模拟）如图，直角△ACB的直角顶点C在y轴正半轴上，斜边AB在x轴上且AB＝5，点A（﹣1，0），抛物线经过A、B、C三点，CD平行于x轴交抛物线于点D．
（1）求抛物线解析式及点D坐标；
（2）过抛物线上一点P作直线CD的垂线，垂足为Q，若将△CPQ沿CP翻折，点Q的对应点为Q′．是否存在点P，使Q′恰好落在x轴上？若存在，求出此时点P的坐标；若不存在，说明理由．
考点二：旋转问题
例1．（2019 坪山区模拟）如图1，抛物线y＝﹣x2+bx+c与x轴交于点A、点B（4，0），与y轴交于点C；直线y＝﹣x+4经过点C，与x轴交于点D，点P是第一象限内抛物线上一动点．
（1）求抛物线的解析式；
（2）如图，过点C作直线l∥x轴，过点P作PH⊥l于点H，将△CPH绕点C顺时针旋转，使点H的对应点H′恰好落在直线CD上，同时使点P的对应点P′恰好落在坐标轴上，请直接写出此时点P的坐标．
训练1-1．（2020秋 龙岗区期末）已知抛物线y＝ax2﹣3ax﹣4a（a＜0）与x轴交于A、B两点，与y轴交于C点，如图，将△AOC绕原点O顺时针旋转得△DOE，且使得点D落在线段AC上．当OE⊥BC时，请求出a的值和CE的长．
训练1-2．（2021 龙岗区二模）如图1，直线l：y＝x﹣4与x轴、y轴分别交于A、B两点，二次函数y＝ax2﹣2ax+3（a＜0）的图象经过点A，交y轴于点C．
（1）求该二次函数的表达式；
（2）已知点M是抛物线上的一个动点，经过点M作x轴的垂线MD，交直线l于点E，过点C作CD⊥MD，垂足为D，连接CM．设点M的横坐标为m．
①若CE∥OM，求m的值．
②如图2，将△CDM绕点C顺时针旋转得到△CD'M'，且旋转角∠MCM'＝∠OAB，当点M的对应点M'落在坐标轴上时，求m的值．
挑战过关
1．（2018 龙岗区一模）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2﹣3ax﹣4a的图象经过点C（0，2），交x轴于点A、B（A点在B点左侧），顶点为D．
（1）求抛物线的解析式及点A、B的坐标；
（2）将△ABC沿直线BC对折，点A的对称点为A′，试求A′的坐标；
（3）抛物线的对称轴上是否存在点P，使∠BPC＝∠BAC？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
2．（2019 福田区三模）矩形OABC的边OC、OA分别位于x、y轴上，点A（0，﹣4）、B（6，﹣4）、C（6，0），抛物线y＝ax2+bx经过点O和点C，顶点M（3，﹣），点N是抛物线上一动点，直线MN交直线AB于点E，交y轴于F，△A′EF是将△AEF沿直线MN翻折后的图形．
（1）求抛物线的解析式；
（2）当四边AEA′F是正方形时，求点N的坐标．
（3）连接CA′，求CA′的最小值．
3．（2020秋 坪山区期末）如图1，抛物线y＝ax2+2x+c与x轴交于点A、B（点A在点B左侧），与y轴交于点C（0，3），连接BC，抛物线的对称轴直线x＝1与BC交于点D，与x轴交于点E．
（1）求抛物线的解析式；
（2）如图2，把△DEB绕点D顺时针旋转60°得到△DMN，求证：点M在抛物线上；
（3）如图3，点P是抛物线上的动点，连接PN，BN，当∠PNB＝30°时，请直接写出直线PN的解析式．
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二次函数之几何变换
教学内容
1、翻折问题；
2、旋转问题．
教学过程
考点一：翻折问题
例1．（2021春 宝安区校级月考）如图，抛物线y＝ax2+bx+3经过点A（﹣1，0），点B（3，0）与y轴交于点C．
（1）求抛物线的表达式；
（2）如图，点P是抛物线上一点，连接BP，将BP沿直线BC折叠，当点P恰好落在抛物线的对称轴上时，求P点的横坐标．
【解答】解：（1）∵抛物线y＝ax2+bx+3经过点A（﹣1，0），点B（3，0），
∴，解得，故抛物线的表达式为：y＝﹣x2+2x+3；
（2）如图2，设抛物线对称轴MN交x轴于N，交直线BC于Q，则将直线MN沿BC折叠得到直线l，则直线l与抛物线的交点P即为所求点，
∵y＝﹣x2+2x+3，∴对称轴为直线x＝﹣＝1，∴N（1，0），F（1，2），
设直线NN′为y＝x+n，代入N（1，0）得，n＝﹣1，∴直线NN′为y＝x﹣1，
由得，∴Q（2，1），
∵Q是线段NN′的中点，∴N′（3，2），∴直线l为y＝2，
把y＝2代入y＝﹣x2+2x+3得，2＝﹣x2+2x+3，
解得x＝1±，
故点P（ 1+，2）或（1﹣，2）．
训练1-1．（2017 坪山区二模）如图，顶点为（1，4）的抛物线y＝ax2+bx+c与直线y＝x+n交于点A（2，2），直线y＝x+n与y轴交于点B与x轴交于点C．
（1）求n的值及抛物线的解析式；
（2）P为抛物线上的点，点P关于直线AB的对称轴点在x轴上，求点P的坐标．
【解答】解：（1）A（2，2）代入得n＝1
设抛物线的解析式y＝a（x﹣1）2+4代入点A（2，2），可得a＝﹣2
所以抛物线的解析式y＝2（x﹣1）2+4＝﹣2x2+4x+2，
（2）如图1．设PP'与AC的交点为H，作HM⊥x轴于M，作PN⊥HM与N
设，
∵点P'是点P关于AC的对称点，∴PH＝P'H，
易得，△HNP≌△HMP'，∴MH＝NH，∴NM＝2NH，∴﹣2x2+4x+2＝m+2，
∴m＝﹣2x2+4x①
∵直线AC的解析式为y＝x+1，∴B（0，1），C（﹣2，0），∴OB＝1，OC＝2，
∵OB∥HM，∴△COB∽△CMH，∴，∴CM＝2MH，
易证，△HMP'∽△CMH，∴，
∴＝，
∴MH＝2P'M＝2PN
∴，
∴4x＝3m﹣2②
联立①②解得x＝1或，
∴点P的坐标（1，4）或，
训练1-2．（2021 深圳一模）如图，抛物线y＝ax2﹣2ax﹣3a（a＞0）与x轴交于A，B两点（点A在点B的左边），与y轴交于点C，且OB＝OC．
（1）求抛物线的解析式；
（2）如图，若点P是线段BC（不与B，C重合）上一动点，过点P作x轴的垂线交抛物线于M点，连接CM，将△PCM沿CM对折，如果点P的对应点N恰好落在y轴上，求此时点P的坐标．
【解答】解：（1）在y＝ax2﹣2ax﹣3a（a＞0）中，
令y＝0，得：ax2﹣2ax﹣3a＝0，解得：x1＝3，x2＝﹣1，∴A（﹣1，0），B（3，0），
∴OB＝3，∵OB＝OC，∴OC＝3，∴C（0，﹣3），∴﹣3a＝﹣3，∴a＝1，
∴抛物线解析式为：y＝x2﹣2x﹣3．
（2）设直线BC解析式为y＝kx+b，
∵B（3，0），C（0，﹣3），
∴，解得：，∴直线BC解析式为：y＝x﹣3，
设M点坐标为（m，m2﹣2m﹣3），
∵PM⊥x轴，∴P（m，m﹣3），∴PM＝m﹣3﹣（m2﹣2m﹣3）＝﹣m2+3m，
∵OB＝OC，∠BOC＝90°，∴CB＝OB，∴CP＝m，
∵△PCM沿CM对折，点P的对应点N恰好落在y轴上，∴∠PCM＝∠NCM，
∵PM∥y轴，∴∠NCM＝∠PMC，∴∠PCM＝∠PMC，∴PC＝PM，
∴m＝﹣m2+3m，整理得：m2+（﹣3）m＝0，
解得：m1＝0（舍去），m2＝3﹣，
∴当m＝3﹣时，m﹣3＝﹣，
∴P（3﹣，﹣）．
例2．（2021 福田区校级开学）如图1，抛物线y＝ax2﹣2ax+1（a＜0）与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C．直线与抛物线交C、D两点，点P是抛物线的顶点．
（1）当点A的坐标是（﹣1，0）时，求抛物线的解析式；
（2）当点P关于直线CD的对称点P′落在x轴上时，求a的值．
【解答】解：（1）把点A（﹣1，0）代入抛物线y＝ax2﹣2ax+1中得：a+2a+1＝0，
解得：a＝﹣，∴抛物线的解析式为：y＝﹣x2+x+1；
（3）如图3，连接PP'交直线CD于点Q，连接CP'，
∵点P和P'关于直线CD的对称，
∴PQ＝P'Q，CP＝CP'，
∵点P关于直线CD的对称点P′落在x轴上，
∴设P'（x0，0），
∵P（1，1﹣a），C（0，1），
∴CP＝＝＝CP'＝，
∴x0＝±a，
∴Q（，）或（，），
当Q的坐标为（，）时，﹣+1＝，
解得：a1＝6（舍），a2＝﹣1（此时Q与C重合，舍），
当Q的坐标为（，）时，﹣+1＝，
解得：a1＝﹣2，a2＝﹣3，
综上，a＝﹣2或﹣3．
训练2-1．（2021 罗湖区校级模拟）如图，抛物线y＝ax2﹣2x+c与x轴相交于A（﹣1，0），B（3，0）两点．
（1）求抛物线的函数表达式；
（2）点C在抛物线的对称轴上，且位于x轴的上方，将△ABC沿直线AC翻折得到△AB'C，点B'恰好落在抛物线的对称轴上．若点G为直线AC下方抛物线上的一点，求当△AB'G面积最大时点G的横坐标．
【解答】解：（1）由题意得：，解得：，
∴抛物线的函数表达式为y＝x2﹣2x﹣3．
（2）存在．取（2）中的点B′，B，连接BB′，
∵AB′＝AB，∠B′AB＝60°，
∴△ABB′为等边三角形．分类讨论如下：
①当点P在x轴的上方时，点Q在x轴上方，连接BQ，B′P．
∵△PBQ，△ABB′为等边三角形，
∴BQ＝BP，AB＝BB′，∠PBQ＝∠B′BA＝60°，
∴∠ABQ＝∠B′BP，
∴△ABQ≌△B′BP（SAS），
∴AQ＝B′P．
∵点Q在抛物线的对称轴上，
∴AQ＝BQ，
∴B′P＝BQ＝BP，
又∵AB′＝AB，
∴AP垂直平分BB′，
由翻折可知AC垂直平分BB′，
∴点C在直线AP上，
设直线AP的函数表达式为y＝k1x+b1，
则，解得：，∴直线AP的函数表达式为y＝x+．
②当点P在x轴的下方时，点Q在x轴下方．
∵△PBQ，△ABB′为等边三角形，
∴BP＝BQ，AB＝BB′，∠BB′A＝∠QBP＝∠B′BA＝60°．
∴∠ABP＝∠B′BQ，
∴△ABP≌△B′BQ（SAS），
∴∠BAP＝∠BB′Q，
∵AB′＝BB′，B′H⊥AB，
∴∠BB′Q＝∠BB′A＝30°，∴∠BAP＝30°，
设AP与y轴相交于点E，
在Rt△AOE中，OE＝OA tan∠BAP＝OA tan30°＝1×＝，
∴点E的坐标为（0，﹣）．设直线AP的函数表达式为y＝mx+n，
则，解得：，
∴直线AP的函数表达式为y＝x．
综上所述，直线AP的函数表达式为y＝x+或y＝x．
训练2-2．（2021 罗湖区校级模拟）如图，直角△ACB的直角顶点C在y轴正半轴上，斜边AB在x轴上且AB＝5，点A（﹣1，0），抛物线经过A、B、C三点，CD平行于x轴交抛物线于点D．
（1）求抛物线解析式及点D坐标；
（2）过抛物线上一点P作直线CD的垂线，垂足为Q，若将△CPQ沿CP翻折，点Q的对应点为Q′．是否存在点P，使Q′恰好落在x轴上？若存在，求出此时点P的坐标；若不存在，说明理由．
【解答】解：（1）∵A点坐标为（﹣1，0），AB的长为5，B在x轴上．∴B点坐标为（4，0）
又∵∠ACB＝90°，CO⊥AB．∴△ACO∽△CBO．∴＝，即OC2＝OA OB．
∴OC＝2．又∵C在y轴正半轴上∴C（0，2）∴设y＝ax2+bx+2．
把A（﹣1，0），B（4，0）代入上式得，，解得，．
∴抛物线解析式为，y＝x2+x+2．又∵CD∥x轴，C、D两点都在抛物线上．∴C、D两点关于直线x＝﹣＝对称．故D点坐标为（3，2）．
（3）存在．
如图3﹣1，
过P作PM∥x轴，过Q'作MN∥y轴交直线CD于点N．
由折叠的性质，∠Q＝∠CQ'P＝90°∴∠CQ'N+PQ'M＝90°
又∵在Rt△CQ'N中，∠CQ'N+∠Q'CN＝90°∴∠Q'CN＝∠PQ'M．
又∵∠CNQ'＝∠PMQ'＝90°∴△CNQ∽△PMQ．∴＝＝
∴＝∴PM＝QN＝3﹣p．
∴CN＝QN﹣CQ＝3﹣P﹣（﹣P）＝3．
在Rt△CNQ'中，CN2+QN2＝CQ'2
即9+4＝（﹣p）2
解得，p＝±
又∵p＜0
∴此时P点坐标为（﹣，）．
如图3﹣2，
过P作PN⊥x轴于点N．
同理得，QP＝Q'P＝p2﹣p．
＝，即＝
∴Q'N＝p﹣3
∴OQ'＝p﹣（p﹣3）＝3．
∴CQ'＝＝＝．
∴此时，P点坐标为（，）．
综上所述，满足题意的P点坐标可以为（﹣，）或（，）．
考点二：旋转问题
例1．（2019 坪山区模拟）如图1，抛物线y＝﹣x2+bx+c与x轴交于点A、点B（4，0），与y轴交于点C；直线y＝﹣x+4经过点C，与x轴交于点D，点P是第一象限内抛物线上一动点．
（1）求抛物线的解析式；
（2）如图，过点C作直线l∥x轴，过点P作PH⊥l于点H，将△CPH绕点C顺时针旋转，使点H的对应点H′恰好落在直线CD上，同时使点P的对应点P′恰好落在坐标轴上，请直接写出此时点P的坐标．
【解答】解：（1）∵当x＝0时，y＝﹣x+4＝4
∴C（0，4）
∵抛物线y＝﹣x2+bx+c过点B（4，0）、C
∴ 解得：
∴抛物线解析式为y＝﹣x2+x+4
（2）①若点P'落在y轴上，如图2，
∵△CPH绕点C旋转得△CP'H'，H'在直线CD上
∴∠PCH＝∠P'CH'
∵∠OCB＝∠BCH＝45°
∴∠OCB﹣∠OCH'＝∠BCH﹣∠PCH
即∠DCB＝∠PCB
由（2）可得此时点P（，）．
②若点P'落在x轴上，如图3，过点H'作MN⊥x轴于点M，交直线l于点N
∴四边形OCNM是矩形
∴MN＝OC＝4，
∵OD＝3，∠COD＝90°
∴CD＝
∴sin∠OCD＝，cos∠OCD＝，
设点P坐标（p，﹣p2+p+4）（0＜p＜4）
∴CH'＝CH＝p，P'H'＝PH＝4﹣（﹣p2+p+4）＝p2﹣p
∵MN∥y轴
∴∠CH'N＝∠OCD
∴Rt△CNH'中，cos∠CH'N＝
∴NH'＝CH'＝p
∴MH'＝MN﹣NH'＝4﹣p
∵∠P'MH'＝∠P'H'C＝90°
∴∠P'H'M+∠CH'N＝∠P'H'M+∠H'P'M＝90°
∴∠H'P'M＝∠CH'N
∴Rt△H'P'M中，sin∠H'P'M＝
∴
解得：p1＝﹣4（舍去），p2＝
∴﹣p2+p+4＝﹣++4＝
∴P（，）
综上所述，点P坐标为（，）或（，）．
训练1-1．（2020秋 龙岗区期末）已知抛物线y＝ax2﹣3ax﹣4a（a＜0）与x轴交于A、B两点，与y轴交于C点，如图，将△AOC绕原点O顺时针旋转得△DOE，且使得点D落在线段AC上．当OE⊥BC时，请求出a的值和CE的长．
【解答】解：如图2，过点O作HO⊥AD于H，
当y＝ax2﹣3ax﹣4a＝0时，解得：x1＝﹣1，x2＝4，∴点A（﹣1，0），点B（4，0）；
∵将△AOC绕原点O顺时针旋转得△DOE，∴OA＝OD，∠DOE＝∠AOC＝90°，
∵OE⊥BC，∴OD∥BC，∴∠DAO＝∠ADO＝∠ACB，∴BA＝BC＝5，
∴OC＝＝＝3，AC＝＝＝，
∴OC＝﹣4a＝3，∴a＝﹣，
∵cos∠OAC＝，∴，∴AH＝DH＝，∴AD＝，
∵，∠AOD＝∠COE，
∴△AOD∽△COE，
∴＝，
∴CE＝．
训练1-2．（2021 龙岗区二模）如图1，直线l：y＝x﹣4与x轴、y轴分别交于A、B两点，二次函数y＝ax2﹣2ax+3（a＜0）的图象经过点A，交y轴于点C．
（1）求该二次函数的表达式；
（2）已知点M是抛物线上的一个动点，经过点M作x轴的垂线MD，交直线l于点E，过点C作CD⊥MD，垂足为D，连接CM．设点M的横坐标为m．
①若CE∥OM，求m的值．
②如图2，将△CDM绕点C顺时针旋转得到△CD'M'，且旋转角∠MCM'＝∠OAB，当点M的对应点M'落在坐标轴上时，求m的值．
【解答】解：（1）∵与x轴交于点A，∴A（3，0），
又∵y＝ax2﹣2ax+3（a＜0）过点A，∴0＝a×32﹣2×3a+3，∴a＝﹣1，
∴y＝﹣x2+2x+3；
（2）①如图，若CE∥OM，因为OC∥EM，
则四边形COME为平行四边形（其中点E在点M上侧），
∴CO＝EM，
∵抛物线y＝﹣x2+2x+3，∴EM＝OC＝3，
设点M（m，﹣m2+2m+3）则点E（m，），∴，
解得m＝；
②第一种情况：如图若点M（m，﹣m2+2m+3），则MN＝m，ON＝﹣m2+2m+3，
又∵tan∠MCM′＝tan∠OAB＝，∴CN＝，∵ON+CN＝3，∴，
解得；
第二种情况：如图过M作MH⊥CM′交CM′于点H，过点H作NQ∥x轴交y轴于点N交MD于点Q，
∵tan∠MCM′＝tan∠OAB＝，在Rt△CHM中，设CH＝3a，则MH＝4a，CM＝5a，
又∵CM′＝CM＝5a，∴HM′＝CM′﹣CH＝2a，∵△CNH∽△COM′，∴，
∴，，又∵△CNH∽△HQM，∴，∴，∴，∴，
又∵ON+MQ＝yM∴，
解得；
综上所述：，，．
挑战过关
1．（2018 龙岗区一模）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2﹣3ax﹣4a的图象经过点C（0，2），交x轴于点A、B（A点在B点左侧），顶点为D．
（1）求抛物线的解析式及点A、B的坐标；
（2）将△ABC沿直线BC对折，点A的对称点为A′，试求A′的坐标；
（3）抛物线的对称轴上是否存在点P，使∠BPC＝∠BAC？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
【解答】解：（1）把C（0，2）代入y＝ax2﹣3ax﹣4a得﹣4a＝2，
解得．
所以抛物线的解析式为．
令，可得：x1＝﹣1，x2＝4．
所以A（﹣1，0），B（4，0）．
（2）如图2，作A'H⊥x轴于H，
因为，且∠AOC＝∠COB＝90°，
所以△AOC∽△COB，
所以∠ACO＝∠CBO，可得∠ACB＝∠OBC+∠BCO＝90°，
由A'H∥OC，AC＝A'C得OH＝OA＝1，A'H＝2OC＝4；
所以A'（1，4）；
（3）分两种情况：
①如图3，以AB为直径作⊙M，⊙M交抛物线的对称轴于P（BC的下方），
由圆周角定理得∠CPB＝∠CAB，
易得：MP＝AB．所以P（，）．
②如图4，类比第（2）小题的背景将△ABC沿直线BC对折，
点A的对称点为A'，以A'B为直径作⊙M'，⊙M'交抛物线的对称轴于P'（BC的上方），
则∠CP2B＝∠CA'B＝∠CAB．
作M'E⊥A'H于E，交对称轴于F．
则M'E＝BH＝，EF＝＝．
所以M'F＝＝1．
在Rt△M'P'F中，P'F＝，
所以P'M＝2+．
所以P'（，2+）．
综上所述，P的坐标为（，）或（，2+）．
2．（2019 福田区三模）矩形OABC的边OC、OA分别位于x、y轴上，点A（0，﹣4）、B（6，﹣4）、C（6，0），抛物线y＝ax2+bx经过点O和点C，顶点M（3，﹣），点N是抛物线上一动点，直线MN交直线AB于点E，交y轴于F，△A′EF是将△AEF沿直线MN翻折后的图形．
（1）求抛物线的解析式；
（2）当四边AEA′F是正方形时，求点N的坐标．
（3）连接CA′，求CA′的最小值．
【解答】解：（1）由已知可知C（6，0），M（3，﹣），代入y＝ax2+bx，得
，∴∴y＝x2﹣3x；
（2）当四边AEA′F是正方形时，直线MF与x轴成角45°，
∴MF直线解析式为y＝﹣x﹣，联立y＝﹣x﹣与y＝x2﹣3x，可得x＝1或x＝3（舍）
∴N（1，﹣）；
（3）连接AA'，AM，A'M，由，△A′EF是将△AEF沿直线MN翻折后的图形，
∴AA'⊥EM，AE＝A'E，∴△AME≌△A'ME（SAS），∴AM＝A'M，
∴A'的运动轨迹是以M为圆心MA为半径的圆，∵MA＝，MC＝，
∴CA'最小值为﹣；
3．（2020秋 坪山区期末）如图1，抛物线y＝ax2+2x+c与x轴交于点A、B（点A在点B左侧），与y轴交于点C（0，3），连接BC，抛物线的对称轴直线x＝1与BC交于点D，与x轴交于点E．
（1）求抛物线的解析式；
（2）如图2，把△DEB绕点D顺时针旋转60°得到△DMN，求证：点M在抛物线上；
（3）如图3，点P是抛物线上的动点，连接PN，BN，当∠PNB＝30°时，请直接写出直线PN的解析式．
【解答】解：（1）由题意得：，解得，
故抛物线的表达式为y＝﹣x2+2x+3；
（2）∵△DEB绕点D顺时针旋转60°得到△DMN，
则DN＝BD，∠BDN＝60°，则△DNB为等边三角形，
对于y＝﹣x2+2x+3，令y＝﹣x2+2x+3＝0，解得x＝3或﹣1，
故点B的坐标为（3，0），
由B、C的坐标得，直线BC的表达式为y＝﹣x+3，
当x＝1时，y＝﹣x+3＝2，故点D（1，2），则点E（1，0），
则EB＝2＝DE，故△DBE为等腰直角三角形，则BD＝2，
过点N作直线NP⊥BD交BD于点H，交抛物线于点P，
∵DN＝NB，DE＝BE，则NP为BD的中垂线，
由BC的表达式知，∠OBC＝∠OCB＝45°，则∠PEB＝45°，
故设直线NP的表达式为y＝x+p，将点E的坐标代入上式得：0＝1+p，解得p＝﹣1，
故直线NP的表达式为y＝x﹣1，设点N的坐标为（m，m﹣1），
由BN＝DB得：（m﹣3）2+（m﹣1）2＝（2）2，解得m＝2±（舍去2+），
故点N的坐标为（2﹣，1﹣）；
过点M作y轴的平行线交过点D与x轴的平行线于点G，交过点N与x轴的平行线于点K，
设点M的坐标为（s，t），
∵∠DMG+∠KMN＝90°，∠DMG+∠GDM＝90°，∴∠KMN＝∠GDM，
∴∠MKN＝∠DGM＝90°，MD＝MN，∴△MKN≌△DGM（AAS），
∴GD＝MK，MG＝KN，∴，解得，
故点M的坐标为（1﹣，1），
当x＝s＝1﹣时，y＝﹣x2+2x+3＝﹣（1﹣）2+2（1﹣）+3＝1，
故点M在抛物线上；
（3）由（2）知，∠PNB＝30°，
①故当点P在x轴上方时，直线NP的表达式为y＝x﹣1，
②当点P（P′）在x轴下方时，∵∠P′NB＝30°，∠BND＝60°，则∠P′ND＝90°，
由点D、N的坐标得，直线ND的表达式为y＝（2+）x﹣，
则设直线NP′的表达式为y＝（﹣2）x+r，将点N的坐标代入上式并解得r＝8﹣5，
故直线NP′的表达式为y＝（﹣2）x+8﹣5；
综上，直线NP的表达式为y＝x﹣1或y＝（﹣2）x+8﹣5．
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