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二次函数之角度问题
教学内容
1、特殊角；
2、等角；
3、二倍角
4、和差角．
一、直线常用公式：
1、斜率公式：经过两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)(x1≠x2)的直线的斜率公式为k= ；
2、夹角公式：tanθ= ；
3、和差角公式：tan（θ±β）= ；
4、二倍角公式：tan2θ= ．
教学过程
考点一：特殊角
例1．（2021 福田区一模）如图1，已知抛物线y＝ax2+bx+3图象与x轴相交于A（﹣3，0），B（1，0）两点，与y轴相交于点C．
（1）请直接写出抛物线的解析式为　　　　　　　　．
（2）如图，连接AC，若点P在y轴上时，AP和AC的夹角为15°，求线段CP的长度．
【解答】解：（1）设抛物线的表达式为y＝a（x﹣x1）（x﹣x2）＝a（x﹣1）（x+3）＝a（x2+2x﹣3），
∴﹣3a＝3，解得a＝﹣1，
故抛物线的表达式为y＝﹣x2﹣2x+3，
故答案为y＝﹣x2﹣2x+3；
（2）当点P在AC下方时，
∵OA＝OC＝3，
∴∠ACO＝∠CAO＝45°，
∵AP和AC的夹角为15°，
∴∠APO＝45°﹣15°＝30°，
则OP＝OA tan30°＝3×＝，
∴PC＝OC﹣OP＝3﹣；
当点P（P′）在AC上方时，
同理可得：PC＝33，
故PC＝33或3﹣；
变式1．（2021 南山区一模）如图所示，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的顶点坐标为C（3，6），并与y轴交于点B（0，3），点A是对称轴与x轴的交点．
（1）求抛物线的解析式；
（2）如图，在对称轴AC的右侧作∠ACD＝30°交抛物线于点D，求出D点的坐标；并探究：在y轴上是否存在点Q，使∠CQD＝60°？若存在，求点Q的坐标；若不存在，请说明理由．
【解答】解：（1）抛物线顶点坐标为C（3，6），∴可设抛物线解析式为y＝a（x﹣3）2+6，
将B（0，3）代入可得a＝﹣，∴y＝﹣x2+2x+3；
（2）存在，设D点的坐标为（t，﹣t2+2t+3），
过D作对称轴的垂线，垂足为G，则DG＝t﹣3，CG＝6﹣（﹣t2+2t+3）＝t2﹣2t+3，
∵∠ACD＝30°，∴2DG＝DC，在Rt△CGD中，CG＝DG，
∴（t﹣3）＝t2﹣2t+3，∴t＝3+3或t＝3（舍）∴D（3+3，﹣3），
∴AG＝3，GD＝3，连接AD，在Rt△ADG中，∴AD＝＝6，
∴AD＝AC＝6，∠CAD＝120°，∴在以A为圆心，AC为半径的圆与y轴的交点为Q点，
此时，∠CQD＝∠CAD＝60°，设Q（0，m），AQ为圆A的半径，
AQ2＝OA2+QO2＝9+m2，
∴AQ2＝AC2，
∴9+m2＝36，
∴m＝3或m＝﹣3，
综上所述：Q点坐标为（0，3）或（0，﹣3）．
考点二：等角
例1．（2021 南山区校级三模）如图，已知抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）与y轴相交于点C（0，﹣2），与x轴分别交于点B（3，0）和点A，且tan∠CAO＝1．
（1）求抛物线解析式．
（2）抛物线上是否存在一点Q，使得∠BAQ＝∠ABC，若存在，请求出点Q坐标，若不存在，请说明理由．
【解答】解：（1）∵C（0，﹣2），∴OC＝2，∵tan∠CAO＝1，∴＝1，∴OA＝2，A（﹣2，0），
将A（﹣2，0），B（3，0），C（0，﹣2）代入y＝ax2+bx+c得：
，解得，∴抛物线解析式为y＝x2﹣x﹣2；
（2）存在一点Q，使得∠BAQ＝∠ABC，理由如下：
过A作AM∥BC交y轴于M，交抛物线于Q，作M关于x轴的对称点M'，作直线AM'交抛物线于Q'，如图：
∵AM∥BC，∴∠QAB＝∠ABC，即Q是满足题意的点，∵B（3，0），C（0，﹣2），∴直线BC解析式是y＝x﹣2，设直线AM解析式为y＝x+m，将A（﹣2，0）代入得﹣+m＝0，∴m＝，
∴直线AM解析式为y＝x+，M（0，），解得（与A重合，舍去）或，
∴Q（5，），∵M、M'关于x轴对称，∴∠Q'AB＝∠QAB＝∠ABC，M'（0，﹣），
∴Q'是满足题意的点，设直线AQ'为y＝kx﹣，将A（﹣2，0）代入得﹣2k﹣＝0，
∴k＝﹣，∴直线AQ'为y＝﹣x﹣，解得（舍去）或，
∴Q（1，﹣2）；综上所述，点Q坐标是（5，）或（1，﹣2）；
变式1．（2022 龙岗区一模）已知，抛物线y＝ax2+bx+c经过A（﹣1，0）、B（3，0）、C（0，3）三点，点P是抛物线上一点．
（1）求抛物线的解析式；
（2）当点P位于第四象限时，连接AC，BC，PC，若∠PCB＝∠ACO，求直线PC的解析式；
（3）如图2，当点P位于第二象限时，过P点作直线AP，BP分别交y轴于E，F两点，请问的值是否为定值？若是，请求出此定值；若不是，请说明理由．
【解答】解：（1）将A（﹣1，0）、B（3，0）、C（0，3）代入y＝ax2+bx+c，
∴，∴，∴y＝﹣x2+2x+3；
（2）过点B作MB⊥CB交于点M，过点M作MN⊥x轴交于点N，
∵A（﹣1，0）、C（0，3），B（3，0），∴OA＝1，OC＝3，BC＝3，
∴tan∠ACO＝，
∵∠PCB＝∠ACO，∴tan∠BCM＝＝，∴BM＝，
∵OB＝OC，∴∠CBO＝45°，
∴∠NBM＝45°，
∴MN＝NB＝1，
∴M（2，﹣1），
设直线CM的解析式为y＝kx+b，
∴，∴，
∴直线PC的解析式为y＝﹣2x+3；
考点三：二倍角
例1．（2021 广东模拟）如图，二次函数y＝ax2+bx+c的图象经过点A（﹣1，0），且与直线y＝x﹣2交于坐标轴上的B，C两点，动点P在直线BC下方的二次函数图象上．
（1）求此二次函数解析式；
（2）如图，抛物线上是否存在点Q，使得∠ABQ＝2∠ABC？若存在，则求出直线BQ的解析式及Q点坐标；若不存在，请说明理由．
【解答】解：（1）∵直线y＝x﹣2分别交x轴、y轴于点B、点C，
∴B（4，0），C（0，﹣2），把A（﹣1，0）、B（4，0）、C（0，﹣2）代入y＝ax2+bx+c，
得，解得，∴此二次函数解析式为.
（2）存在．
如图2，连接并延长AC到点A′，使A′C＝AC，连接A′B交抛物线于点Q，作A′D⊥y轴于点D．
∵OA＝1，OC＝2，OB＝4，∴，∵∠AOC＝∠COB＝90°，∴△AOC∽△COB，
∴∠ACO＝∠CBO，∴∠ACB＝∠ACO+∠OCB＝∠CBO+∠OCB＝90°∴BC垂直平分AA′，
∴AB＝A′B，∠ABQ＝2∠ABC．
∵∠A′DC＝∠AOC＝90°，∠A′CD＝∠ACO，A′C＝AC，
∴△A′DC≌△AOC（AAS），∴DA′＝OA＝1，DC＝OC＝2，OD＝4，
∴A′（1，﹣4）．设直线BQ的解析式为y＝kx+d，则，解得，
∴y＝x．由，得，，
∴Q（，）；
作点A′关于x轴的对称点A″，则A″（1，4），连接并延长BA″交抛物线于点Q′，则∠ABQ′＝∠ABQ＝2∠ABC．设直线BQ′的解析式为y＝mx+n，则，解得，
∴y＝x+．
由，得，，
∴Q′（，）．
综上所述，直线BQ的解析式为，Q（，）或直线BQ的解析式为，Q（，）．
变式1．（2020 龙岗模拟）如图，在平面直角坐标系中，一次函数y＝x﹣2的图象分别交x、y轴于点A、B，抛物线y＝x2+bx+c经过点A、B，点P为第四象限内抛物线上的一个动点．
（1）求此抛物线对应的函数表达式；
（2）如图，过点P作PQ⊥AB于点Q，连接PB，当△PBQ中有某个角的度数等于∠OAB度数的2倍时，请直接写出点P的横坐标．
【解答】解：（1）令x＝0，得y＝x﹣2＝﹣2，则B（0，﹣2），
令y＝0，得0＝x﹣2，解得x＝4，则A（4，0），
把A（4，0），B（0，﹣2）代入y＝x2+bx+c（a≠0）中，得：，
解得：，∴抛物线的解析式为：y＝x2﹣x﹣2；
（2）∵OA＝4，OB＝2，∠AOB＝90°，∴∠BOA≠45°，∴∠BQP≠2∠BOA，
∴分两种情况：
①当∠PBQ＝2∠OAB时，如图3，取AB的中点E，连接OE，过P作PG⊥x轴于G，交直线AB于H，
∴OE＝AE，∴∠OAB＝∠AOE，∴∠OEB＝2∠OAB＝∠PBQ，
∵OB∥PG，∴∠OBE＝∠PHB，∴△BOE∽△HPB，∴，
由勾股定理得：AB＝＝2，∴BE＝，
∵GH∥OB，∴，即，∴BH＝x，
设P（x，x2﹣x﹣2），则H（x，x﹣2），
∴PH＝x﹣2﹣（x2﹣x﹣2）＝﹣x2+4x，
∴，解得：x1＝0，x2＝3，
∴点P的横坐标是3；
②当∠BPQ＝2∠OAB时，如图4，取AB的中点E，连接OE，过P作PG⊥x轴于G，交直线AB于H，过O作OF⊥AB于F，连接AP，则∠BPQ＝∠OEF，
设点P（t，t2﹣t﹣2），则H（t，t﹣2），∴PH＝t﹣2﹣（t2﹣t﹣2）＝﹣t2+4t，
∵OB＝2，OA＝4，∴AB＝2，∴OE＝BE＝AE＝，OF＝＝＝，
∴EF＝＝＝，
S△ABP＝＝，
∴2PQ＝4（﹣t2+4t），PQ＝，
∵∠OFE＝∠PQB＝90°，∴△PBQ∽△EOF，
∴，即，∴BQ＝，
∵BQ2+PQ2＝PB2，∴＝，
化简得，44t2﹣388t+803＝0，
即：（2t﹣11）（22t﹣73）＝0，
解得：t1＝5.5（舍），t2＝；
综上，存在点P，使得△PBQ中有某个角的度数等于∠OAB度数的2倍时，其P点的横坐标为3或．
考点四：和差角
例1．（2021 罗湖区校级模拟）如图，抛物线y＝﹣x2+bx+c交x轴于A，B两点，交y轴于有求点C．直线y＝﹣x+2经过点B，C．
（1）求抛物线的解析式；
（2）点P是抛物线上一动点，设点P的横坐标为m，直接写出当∠PCB+∠ABC＝45°时，m的值．
【解答】解：（1）y＝﹣x+2，令x＝0，则y＝2，令y＝0，则x＝4，
故点B（4，0）、点C（0，2），
则y＝﹣x2+bx+2，将点B的坐标代入上式并解得：b＝，
则抛物线的表达式为：y＝﹣x2+x+2；
（2）当点P在BC上方时，∠PCB+∠ABC＝45°，即：α+β＝45°，
在x轴上取OM＝OC＝2，则∠CMO＝45°＝α+β，即：∴∠NCB＝∠BCM＝α，
过点M作MN⊥BC交CP于点N，则BC是线段MN的中垂线，
点M（2，0）、B（4，0）、C（0，2），设点N（s，t），则CM＝CN，MB＝NB，即：，整理得：5s2﹣24s+28＝0，
解得：s＝2或（舍去2），则点N（，），
将点C、N的坐标代入一次函数表达式：y＝kx+b并解得：
直线CN的表达式为：y＝﹣x+2…②，
联立①②并解得：m＝x＝；当点P在BC下方时，
同理可得：m＝；
综上，m＝或．
变式1．（2021 罗湖区校级模拟）如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线y＝ax2+bx+3（a≠0）与x轴交于A（﹣1，0），B（3，0）两点，与y轴交于点C．
（1）求该抛物线的解析式；
（2）抛物线上是否存在点P，使∠CBP+∠ACO＝∠ABC？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
【解答】解：（1）设抛物线的表达式为y＝a（x﹣x1）（x﹣x2）＝a（x+1）（x﹣3）＝a（x2﹣2x﹣3），
故﹣3a＝3，解得a＝﹣1，故抛物线的表达式为y＝﹣x2+2x+3①；
（3）存在，理由：
①当点P在BC上方时，由点B、C的坐标知，OB＝OC＝3，则∠OCB＝∠OBC＝45°，
过点C作CH∥PB交x轴于点H，则∠PBC＝∠BCH，
则∠OCB＝∠OCH+∠BCH＝45°，
∵∠CBP+∠ACO＝∠ABC＝45°，即∠OCA＝∠OCH，
而CO⊥AH，故OA＝OH＝1，故点H（1，0），
由点C、H的坐标得，直线CH的表达式为y＝﹣3x+3，
∵PB∥CH，则直线PB的表达式为y＝﹣3（x﹣3）②，
联立①②并解得，
故点P的坐标为（2，3）；
②当点P在BC下方时，同理可得PB的表达式为y＝﹣x+1③，
联立①③并解得，故点P的坐标为（﹣，），
综上，点P的坐标为（2，3）或（﹣，）．
变式2．（★）（2021 龙岗区模拟）如图1，抛物线y＝x2+bx+c与x轴负半轴交于点A，与x轴正半轴交于点B，与y轴的负半轴交于点C，OC＝OB＝10．
（1）求抛物线的解析式；
（2）点P、Q在第四象限内抛物线上，点P在点Q下方，连接CP，CQ，∠OCP+∠OCQ＝180°，设点Q的横坐标为m，点P的横坐标为n，求m与n的函数关系式；
（3）如图2，在（2）条件下，连接AP交CO于点D，过点Q作QE⊥AB于E，连接BQ，DE，是否存在点P，使∠AED＝2∠EQB，若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
【解答】解：（1）∵OC＝OB＝10，∴C（0，﹣10），B（10，0），
把C，B两点坐标代入y＝x2+bx+c，得到，解得，
∴抛物线的解析式为y＝x2﹣x﹣10．
（2）如图1中，过点Q作QN⊥OC于N，过点P作PM⊥OC于M．
∵∠OCP+∠OCQ＝180°，∠OCP+∠PCM＝180°，
∴∠QCN＝∠PCM，
∵∠QNC＝∠PMC＝90°，∴△QNC∽△PMC，∴＝，
∴＝，
整理得m＝12﹣n．
（3）如图2中，作ET平分∠OED，交OD于T，过点T作TR⊥DE于R．
由题意A（﹣4，0），P（n，n2﹣n﹣10），∴直线PA的解析式为y＝（n﹣10）x+n﹣10，
∴D（0，n﹣10），∵m＝12﹣n，∴D（0，2﹣m），∴OD＝m﹣2，
∵∠TEO＝∠TER，∠EOT＝∠ERT＝90°，ET＝ET，∴△EOT≌△ERT（AAS），
∴OT＝TR，EO＝ER＝m，设OT＝TR＝x，在Rt△DTR中，∵DT2＝TR2+DR2，
∴（m﹣2﹣x）2＝x2+（﹣m）2，∴x＝，
∵∠OED＝2∠EQB，∠OET＝∠TED，∴∠OET＝∠EQB，
∵∠EOT＝∠QEB＝90°，∴△OET∽△EQB，
∴＝，∴＝，
∴＝，
∴＝，
整理得，m3﹣4m2﹣44m+96＝0，
可得（m﹣2）（m﹣8）（m+6）＝0，
解得，m＝8或﹣6（舍弃）或2（舍弃），
∵m＝12﹣n，
∴n＝4，
∴P（4，﹣12），
变式3．（★）（2021 宝安区模拟）如图，二次函数y＝ax2+5ax+7与x轴交于A、C两点，与y轴交于B点，若OB：OC＝7：2．点P是抛物线第二象限内的一个动点．连接PC交y轴于点D，连接PB．
（1）求抛物线的解析式；
（2）如图，作PE⊥x轴于E，连接ED，点F为ED上一个动点，连接AF交PE于点G，若2∠GAO+∠EDO＝90°，DF＝2EG，求P点坐标．
【解答】解析：（1）∵B点是二次函数y＝ax2+5ax+7与y轴交点，
∵当x＝0时，y＝7，
∴B（0，7），OB＝7，
∵OB：OC＝7：2，
∴OC＝2，
∴C（2，0），
把C点坐标代入解析式得4a+10a+7＝0，
解得：a＝﹣，
∴函数解析式为：；
（3）∵∠EDO+∠DEO＝90°，∠EDO+2∠GAO＝90°，
∴∠DEO＝2∠GAO，
∴∠GAO＝∠GFE，
∵A点是抛物线与x轴的交点坐标，
∴A（﹣7，0），
∴AE＝EF＝7+t，
∵OD＝7+t，
即AE＝EF＝OD，
设EG＝y，则DF＝2y，延长EA至K，使AK＝2y，
则EK＝DE，
∴△AFE和△KED为同顶角的等腰三角形，
∴∠FAE＝∠DKE，
又∵∠GEA＝∠DOK＝90°，
∴△AGE∽△KDO，
∴＝，
∴①
在Rt△EDO中，
OE2+OD2＝DE2，
∴（﹣t）2+（7+t）2＝（2y+7+t）2，即t2＝4y（7+t）+4y2②，
联立①②得，t1＝0（舍去），t2＝﹣4，
∴P（﹣4，9）．
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二次函数之角度问题
教学内容
1、特殊角；
2、等角；
3、二倍角
4、和差角．
一、直线常用公式：
1、斜率公式：经过两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)(x1≠x2)的直线的斜率公式为k= ；
2、夹角公式：tanθ= ；
3、和差角公式：tan（θ±β）= ；
4、二倍角公式：tan2θ= ．
教学过程
考点一：特殊角
例1．（2021 福田区一模）如图1，已知抛物线y＝ax2+bx+3图象与x轴相交于A（﹣3，0），B（1，0）两点，与y轴相交于点C．
（1）请直接写出抛物线的解析式为　　　　　　　　．
（2）如图，连接AC，若点P在y轴上时，AP和AC的夹角为15°，求线段CP的长度．
变式1．（2021 南山区一模）如图所示，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的顶点坐标为C（3，6），并与y轴交于点B（0，3），点A是对称轴与x轴的交点．
（1）求抛物线的解析式；
（2）如图，在对称轴AC的右侧作∠ACD＝30°交抛物线于点D，求出D点的坐标；并探究：在y轴上是否存在点Q，使∠CQD＝60°？若存在，求点Q的坐标；若不存在，请说明理由．
考点二：等角
例1．（2021 南山区校级三模）如图，已知抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）与y轴相交于点C（0，﹣2），与x轴分别交于点B（3，0）和点A，且tan∠CAO＝1．
（1）求抛物线解析式．
（2）抛物线上是否存在一点Q，使得∠BAQ＝∠ABC，若存在，请求出点Q坐标，若不存在，请说明理由．
变式1．（2022 龙岗区一模）已知，抛物线y＝ax2+bx+c经过A（﹣1，0）、B（3，0）、C（0，3）三点，点P是抛物线上一点．
（1）求抛物线的解析式；
（2）当点P位于第四象限时，连接AC，BC，PC，若∠PCB＝∠ACO，求直线PC的解析式；
（3）如图2，当点P位于第二象限时，过P点作直线AP，BP分别交y轴于E，F两点，请问的值是否为定值？若是，请求出此定值；若不是，请说明理由．
考点三：二倍角
例1．（2021 广东模拟）如图，二次函数y＝ax2+bx+c的图象经过点A（﹣1，0），且与直线y＝x﹣2交于坐标轴上的B，C两点，动点P在直线BC下方的二次函数图象上．
（1）求此二次函数解析式；
（2）如图，抛物线上是否存在点Q，使得∠ABQ＝2∠ABC？若存在，则求出直线BQ的解析式及Q点坐标；若不存在，请说明理由．
变式1．（2020 龙岗模拟）如图，在平面直角坐标系中，一次函数y＝x﹣2的图象分别交x、y轴于点A、B，抛物线y＝x2+bx+c经过点A、B，点P为第四象限内抛物线上的一个动点．
（1）求此抛物线对应的函数表达式；
（2）如图，过点P作PQ⊥AB于点Q，连接PB，当△PBQ中有某个角的度数等于∠OAB度数的2倍时，请直接写出点P的横坐标．
考点四：和差角
例1．（2021 罗湖区校级模拟）如图，抛物线y＝﹣x2+bx+c交x轴于A，B两点，交y轴于有求点C．直线y＝﹣x+2经过点B，C．
（1）求抛物线的解析式；
（2）点P是抛物线上一动点，设点P的横坐标为m，直接写出当∠PCB+∠ABC＝45°时，m的值．
变式1．（2021 罗湖区校级模拟）如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线y＝ax2+bx+3（a≠0）与x轴交于A（﹣1，0），B（3，0）两点，与y轴交于点C．
（1）求该抛物线的解析式；
（2）抛物线上是否存在点P，使∠CBP+∠ACO＝∠ABC？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
变式2．（★）（2021 龙岗区模拟）如图1，抛物线y＝x2+bx+c与x轴负半轴交于点A，与x轴正半轴交于点B，与y轴的负半轴交于点C，OC＝OB＝10．
（1）求抛物线的解析式；
（2）点P、Q在第四象限内抛物线上，点P在点Q下方，连接CP，CQ，∠OCP+∠OCQ＝180°，设点Q的横坐标为m，点P的横坐标为n，求m与n的函数关系式；
（3）如图2，在（2）条件下，连接AP交CO于点D，过点Q作QE⊥AB于E，连接BQ，DE，是否存在点P，使∠AED＝2∠EQB，若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
变式3．（★）（2021 宝安区模拟）如图，二次函数y＝ax2+5ax+7与x轴交于A、C两点，与y轴交于B点，若OB：OC＝7：2．点P是抛物线第二象限内的一个动点．连接PC交y轴于点D，连接PB．
（1）求抛物线的解析式；
（2）如图，作PE⊥x轴于E，连接ED，点F为ED上一个动点，连接AF交PE于点G，若2∠GAO+∠EDO＝90°，DF＝2EG，求P点坐标．
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