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第5章 图形与变换 （浙江省专用）
第25节 相似三角形与位似
【考试要求】
1.了解比例的基本性质、线段的比和成比例线段的概念；
2.理解黄金分割及平行线分线段成比例定理
3.了解相似三角形的概念；
4.掌握相似三角形的判定与性质；
5.会综合运用图形的相似解决一些实际问题.
【考情预测】
该板块内容主要考查相似的性质和判定，2022年各地中考仍以考查基础为主，在选择题中单独考查，是广大考生的得分点，相似应用的考查，主要体现在综合题中，作为综合题的一部分，在解决求线段长问题时和勾股定理、三角函数一起运用，此时解答题的难度变大，综合性就较强了，分值在15分左右，为避免丢分，应扎实掌握，灵活应用。
【考点梳理】
1．比和比例的有关概念及性质：
(1)若＝或a∶b＝c∶d，其中b，c称为内项，a，d称为外项．
(2)若＝或a∶b＝b∶c，则b叫做a，c的比例中项．
(3)把一条线段(AB)分成两条线段，使其中较长线段(AC)是原线段(AB)与较短线段(BC)的比例中项，这就叫做把这条线段黄金分割，即AC2＝AB·BC，其中AC＝ AB≈ 0.618 AB．
（4）比例的基本性质及定理：(1)＝ ad＝ bc ．
2.平行线分线段成比例定理及推论
（1）三条平行线截两条直线,所得的对应线段成比例.
（2）平行于三角形一边的直线与其他两边(或两边的延长线)相交,截得的对应线段成比例.
3、相似多边形
（1）定义:各角分别相等,各边成比例的两个多边形叫做相似多边形.相似多边形对应边的比叫做相似比,相似比为1的两个多边形全等.
（2）性质:①相似多边形的对应角相等,对应边的成比例;②相似多边形周长的比等于相似比;③相似多边形面积的比等于相似比的平方.
4.相似三角形
（1）定义:三角分别相等,三边成比例的两个三角形叫做相似三角形.
（2）判定:①平行于三角形一边的直线与其他两边相交,所构成的三角形与原三角形相似;
②两角对应相等,两三角形相似;③两边对应成比例且夹角相等,两三角形相似;
④三边对应成比例,两三角形相似;⑤斜边和一条直角边对应成比例,两直角三角形相似.
（3）性质
①相似三角形的对应角相等,对应边的成比例;
②相似三角形对应高的比、对应中线的比、对应角平分线的比都等于相似比;
③相似三角形周长的比等于相似比;④相似三角形面积的比等于相似比的平方.
5、位似图形
1．定义：如果两个图形不仅是相似图形而且每组对应点的连线交于一点，对应边互相平行（或在同一条直线上），那么这样的两个图形叫做位似图形，这个点叫做位似中心，相似比叫做位似比．
2．性质：
1）在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为中心，相似比为k，那么位似图形对应点的坐标的比等于k或–k；2）位似图形上任意一对对应点到位似中心的距离之比等于位似比或相似比．
3．找位似中心的方法：将两个图形的各组对应点连接起来，若它们的直线或延长线相交于一点，则该点即是位似中心．
4．画位似图形的步骤：
1）确定位似中心；2）确定原图形的关键点；3）确定位似比，即要将图形放大或缩小的倍数；
4）作出原图形中各关键点的对应点；5）按原图形的连接顺序连接所作的各个对应点．
【重难点突破】
考向1. 比例线段
【典例精析】
【例】（2021·湖南中考真题）下图是一架梯子的示意图，其中，且．为使其更稳固，在，间加绑一条安全绳（线段），量得，则________．
【答案】1.2
【分析】根据平行线分线段成比例定理，可得，进而即可求解．
【详解】解：∵，，∴，
∵，∴3，故答案是：1.2．
【点睛】本题考查平行线分线段成比例定理，掌握“平行线所截得的对应线段成比例”，是解题的关键．
【变式训练】
变式1-1．（2021·黑龙江大庆市·中考真题）已知，则________
【答案】
【分析】设，再将分别用的代数式表示，再代入约去即可求解．
【详解】解：设，则，
故，故答案为：．
【点睛】本题考查了比例的性质，正确用同一字母表示各数是解决此类题的关键．
变式1-2．（2021·福建南平·一模）数学中，把宽与长之比为的矩形称为黄金矩形，这个比例被称为黄金分割比例．如图，名画《蒙娜丽莎的微笑》的整个画面的主体部分很好地体现了黄金分割比例，其中矩形ABCD是黄金矩形，若我们把一个正方形AEFD嵌入黄金矩形ABCD中（正方形的边长等于黄金矩形的宽），这样就创造了一个新的黄金矩形BEFC．如果把这个过程重复数次，接着我们要在每个正方形内画一条圆弧，让每个圆弧的半径等于它所在正方形的边长就会得到下面这张图，若，则图中弧HF的长为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据黄金矩形的定义，求出BE长，再用弧长公式求解即可．
【详解】解：∵矩形ABCD是黄金矩形，，∴，，
∵矩形BEFC是黄金矩形，∴，，
弧HF的长为，故选：C．
【点睛】本题考查黄金分割和弧计算，解题关键是利用黄金分割求出半径，再熟练运用弧长公式进行计算．
变式1-3．（2021·江苏如皋·二模）如图，在中，D在AC边上，，O是BD的中点，连接AO并延长交BC于E，记的面积为，四边形CDOE的面积为，则____________．
【答案】
【分析】作DF∥AE交BC于F，连接CO，利用OE∥DF得到，所以BE＝EF，利用DF∥AE得到，所以CF＝2EF，然后计算，进而即可求解．
【详解】解：作DF∥AE交BC于F，连接CO，如图，
∵OE∥DF，O是BD的中点，∴，即BE＝EF，
∵DF∥AE，，∴，∴CF＝2EF，∴，∴，
又∵O是BD的中点，∴，∴，∴故答案为：．
【点睛】本题考查了平行线分线段成比例：三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例．过分点作平行线构建平行线分线段成比例定理的基本图形是解决问题的关键．
【考点巩固训练】
1．（2021 下城区期末）已知线段c为线段a，b的比例中项，若a＝1，b＝2，则c＝（　　）
A．1 B． C． D．
【思路点拨】根据线段比例中项的概念，可得a：c＝c：b，可得c2＝ab＝4，故c的值可求，注意线段不能为负．
【答案】解：∵线段c是a、b的比例中项，∴c2＝ab＝1×2，解得c＝±，
又∵线段是正数，∴c＝．故选：B．
【点睛】本题考查了比例中项的概念，注意：求两个数的比例中项的时候，应开平方．求两条线段的比例中项的时候，负数应舍去．
2．（2021 临安区期末）如果用线段a、b、c，求作线段x，使a：b＝c：x，那么下列作图正确的是（　　）
A． B． C． D．
【思路点拨】利用比例式a：b＝c：x，与已知图形作对比，可以得出结论．
【答案】解：A、a：b＝x：c与已知a：b＝c：x不符合，故选项A不正确；
B、a：b＝c：x与已知a：b＝c：x符合，故选项B正确；
C、a：c＝x：b与已知a：b＝c：x不符合，故选项C不正确；
D、a：x＝b：c与已知a：b＝c：x不符合，故选项D不正确；故选：B．
【点睛】本题考查了平行线分线段成比例定理、复杂作图，熟练掌握平行于三角形一边的直线截其他两边（或两边的延长线），所得的对应线段成比例．
3．（2021·巴中·中考真题）两千多年前，古希腊数学家欧多克索斯发现了黄金分割，即：如图，点P是线段AB上一点（AP＞BP），若满足，则称点P是AB的黄金分割点．黄金分割在日常生活中处处可见，例如：主持人在舞台上主持节目时，站在黄金分割点上，观众看上去感觉最好．若舞台长20米，主持人从舞台一侧进入，设他至少走x米时恰好站在舞台的黄金分割点上，则x满足的方程是（　　）
A．（20﹣x）2＝20x B．x2＝20（20﹣x）
C．x（20﹣x）＝202 D．以上都不对
【答案】A
【分析】点P是AB的黄金分割点，且PB＜PA，PB＝x，则PA＝20 x，则，即可求解．
【详解】解：由题意知，点P是AB的黄金分割点，且PB＜PA，PB＝x，则PA＝20 x，
∴，∴（20 x）2＝20x，故选：A．
【点睛】本题考查黄金分割，理解黄金分割的概念，找出黄金分割中成比例的对应线段是解决问题的关键．
4．（2021·黑龙江中考真题）如图，在中，，，，，则的长为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】由，得，进而即可求解．
【详解】解：∵在中，，，，，
∴，即：，∴AE=4，故选B．
【点睛】本题主要考查平行线分线段成比例定理，列出比例式，是解题的关键．
5．（2022·福建三明·一模）如图，已知直线a∥b∥c，直线m，n与直线a，b，c分别交于点A，B，C，D，E，F，若DE＝7，EF＝10，则的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据平行线分线段成比例定理：两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例，求解即可．
【详解】解：∵DE=7，EF=10，a∥b∥c，∴，故选A．
【点睛】本题考查的是平行线分线段成比例定理，灵活运用定理、找准对应关系是解题的关键．
考向2. 相似三角形的判定
【典例精析】
【例】（2021 临安区期末）如图，点B、D、E在一条直线上，BE交AC于点F，＝，且∠BAD＝∠CAE．（1）求证：△ABC∽△ADE；（2）求证：△AEF∽△BFC．
【思路点拨】（1）根据相似三角形的判定定理证明；
（2）根据相似三角形的性质定理得到∠C＝∠E，结合图形，证明即可．
【答案】（1）∵∠BAD＝∠CAE∴∠BAD+∠CAD＝∠CAE+∠CAD即∠BAC＝∠DAE
在△ABC和△ADE中＝，∠BAC＝∠DAE，∴△ABC∽△ADE；
（2）∵△ABC∽△ADE，∴∠C＝∠E、
在△AEF和△BFC中，∠C＝∠E，∠AFE＝∠BFC，∴△AEF∽△BFC．
【点睛】本题考查相似三角形的判定和性质，掌握相似三角形的判定定理和性质定理是解题的关键．
【变式训练】
变式2-1. （2021 上城区二模）如图，在△ABC中，∠A＝75°，AB＝6，AC＝8，将△ABC沿图中的虚线剪开，剪下的阴影三角形与原三角形不相似的是（　　）
A． B． C． D．
【思路点拨】根据相似三角形的判定定理对各选项进行逐一判定即可．
【答案】解：A、根据平行线截得的三角形与原三角形有两个角相等，故两三角形相似，故本选项错误；B、阴影部分的三角形与原三角形有两个角相等，故两三角形相似，故本选项错误；
C、两三角形对应边成比例且夹角相等，故两三角形相似，故本选项错误．
D、两三角形的对应边不成比例，故两三角形不相似，故本选项正确；故选：D．
【点睛】本题考查了相似三角形的判定，熟练掌握相似三角形的判定定理是解题的关键．
变式2-2. （2021·湖南湘潭·中考真题）如图，在中，点D，E分别为边，上的点，试添加一个条件：_____，使得与相似．（任意写出一个满足条件的即可）
【答案】
【分析】根据相似三角形的判定方法：两边成比例，夹角相等解题．
【详解】解：根据题意，添加条件，故答案为：．
【点睛】本题考查相似三角形的判定，是重要考点，难度较易，掌握相关知识是解题关键．
变式2-3. （2021·浙江·诸暨市滨江初级中学九年级期中）如图，P为线段AB上一点，AD与BC交与点E，∠CPD＝∠A＝∠B，BC交PD与点F，AD交PC于点G，则下列结论中错误的是（　　）
A．△CGE∽△CBP B．△APD∽△PGD C．△APG∽△BFP D．△PCF∽△BCP
【答案】A
【分析】根据∠CPD＝∠A＝∠B，∠D=∠D，∠C=∠C即可得到△APD∽△PGD，△PCF∽△BCP，再根据∠APG=∠C+∠P，∠BFP=∠C+∠CPD，可以得到∠APG=∠BFP，即可证明△APG∽△BFP，由此即可求解．
【详解】解：∵∠CPD＝∠A＝∠B，∠D=∠D，∠C=∠C
∴△APD∽△PGD，△PCF∽△BCP故B、D选项不符合题意，
∵∠APG=∠C+∠P，∠BFP=∠C+∠CPD，∴∠APG=∠BFP，
∴△APG∽△BFP，故C选项不符合题意，对于A选项不能得到两个三角形相似，故选A．
【点睛】本题主要考查了相似三角形的判定，三角形外角的性质，解题的关键在于能够熟练掌握相关知识进行求解.
【考点巩固训练】
1．（2021·浙江温州·九年级期末）如图，下列条件不能判定与相似的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据相似三角形的判定即可求出答案．
【详解】A、当时，无法得出，符合题意；
B、，，能判定相似，不符合题意；
C、，，能判定相似，不符合题意；
D、，，能判定相似，不符合题意；故选：A．
【点睛】本题主要考查了相似三角形的判定，正确掌握相似三角形的判定方法是解题关键．
2．（2021 萧山区期末）如图，∠ACB＝∠BDC＝Rt∠．要使△ABC∽△BCD，给出下列需要添加的条件：①AB∥CD；②BC2＝AC CD；③，其中正确的是（　　）
A．①② B．①③ C．②③ D．①②③
【思路点拨】利用相似三角形的判定依次判断即可求解．
【答案】解：①若AB∥CD，∴∠ABC＝∠BCD，且∠ACB＝∠BDC＝Rt∠，
∴△ABC∽△BCD，故①符合题意；
②若BC2＝AC CD，∴，且∠ACB＝∠BDC＝Rt∠，
无法判定△ABC∽△BCD，故②不符合题意；
③若，且∠ACB＝∠BDC＝Rt∠，∴△ABC∽△BCD，故③符合题意；故选：B．
【点睛】本题考查了相似三角形的判定，灵活掌握相似三角形的判定方法是本题的关键．
3．（2021 下城区期末）如图，在△ABC中，E，G分别是AB，AC上的点，∠AEG＝∠C，∠BAC的平分线AD交EG于点F，若，则（　　）
A． B． C． D．
【思路点拨】根据两组对应角相等可判断△AEF∽△ACD，可得，则可得出结论．
【答案】解：∵，∴，
∵∠AEG＝∠C，∠EAF＝∠DAC，∴△AEF∽△ACD，∴＝．故选：C．
【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质，灵活运用定理是关键．
4．（2021·四川南充市·中考真题）如图，在中，D为BC上一点，，则的值为________．
【答案】．
【分析】证明△ABD∽△CBA，根据相似三角形的性质即可解答．
【详解】∵，∴，，∴，
∵∠B=∠B，∴△ABD∽△CBA，∴．故答案为：．
【点睛】本题考查了相似三角形的判定及性质，证明△ABD∽△CBA是解决问题的关键．
5．（2020·上海中考真题）已知：如图，在菱形ABCD中，点E、F分别在边AB、AD上，BE=DF，CE的延长线交DA的延长线于点G，CF的延长线交BA的延长线于点H．
（1）求证：△BEC∽△BCH；（2）如果BE2=AB AE，求证：AG=DF．
【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析．
【分析】(1)先证明△CDF≌△CBE，进而得到∠DCF=∠BCE，再由菱形对边CDBH，得到∠H=∠DCF，进而∠BCE=∠H即可求解．(2) 由BE2=AB AE，得到=，再利用AGBC，平行线分线段成比例定理得到=，再结合已知条件即可求解．
【详解】解：(1)∵四边形ABCD是菱形，∴CD=CB，∠D=∠B，CDAB．
∵DF=BE，∴△CDF≌△CBE(SAS)，∴∠DCF=∠BCE．
∵CDBH，∴∠H=∠DCF，∴∠BCE=∠H．且∠B=∠B，∴△BEC∽△BCH．
(2)∵BE2=AB AE，∴=，∵AGBC，∴=，∴=，
∵DF=BE，BC=AB，∴BE=AG=DF，即AG=DF．
【点睛】本题考查相似三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，平行线分线段成比例定理等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．
考向3. 相似三角形的性质
【典例精析】
【例】（2021 诸暨市期末）如图，△ABC中，点D是AB的中点，点E是AC边上的动点，若△ADE与△ABC相似，则下列结论一定成立的是（　　）
A．E为AC的中点 B．DE∥BC或∠BDE+∠C＝180°
C．∠ADE＝∠C D．DE是中位线或AD AC＝AE AB
【思路点拨】根据相似三角形的性质即可得到结论．
【答案】解：A、∵△ADE与△ABC相似，∴∠ADE＝∠B或∠ADE＝∠C，
∴当∠ADE＝∠C时，DE与BC不平行，∴点E不一定为AC中点，故A错误；
B、当△ADE∽△ABC时，∠ADE＝∠B，∴DE∥BC，
当△ADE∽△ACB时，∠ADE＝∠C，∴∠BDE+∠C＝180°，故B正确；
C、当∠ADE＝∠C时，DE与BC不平行，∴DE不一定是中位线，
当△ADE∽△ACB时，AD AB＝AE AC，故C错误；
D、当△ADE∽△ABC时，∠ADE＝∠B，故D错误；故选：B．
【点睛】此题考查相似三角形的性质．此题难度适中，注意掌握分类讨论思想与数形结合思想的应用．
【变式训练】
变式3-1. （2021 拱墅区二模）如图，已知AB，CD相交于点O，AC∥BD，＝，CO＝6，则DO＝（　　）
A．21 B．15 C．9 D．5
【思路点拨】由AC∥BD，易证△AOC∽△BOD，得＝，结合已知条件，则可求DO的值
【答案】解：∵AC∥BD∴∠C＝∠D，∠A＝∠B∴△AOC∽△BOD∴＝，
∵＝，CO＝6，∴DO＝15故选：B．
【点睛】此题主要考查相似三角形的性质，本题关键是要懂得找相似三角形，利用相似三角形的性质求解．
变式3-2. （2021·四川巴中·中考真题）如图，ABC中，点D、E分别在AB、AC上，且，下列结论正确的是（　　）
A．DE：BC＝1：2 B．ADE与ABC的面积比为1：3
C．ADE与ABC的周长比为1：2 D．DEBC
【答案】D
【分析】根据相似三角形的判定与性质进行逐一判断即可．
【详解】解：∵，∴AD：AB=AE：AC=1：3，
∵∠A=∠A，∴△ADE∽△ABC，∴DE：BC=1：3，故A错误；
∵△ADE∽△ABC，∴△ADE与△ABC的面积比为1：9，周长的比为1：3，故B和C错误；
∵△ADE∽△ABC，∴∠ADE=∠B，∴DE∥BC．故D正确．故选：D．
【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质，解决本题的关键是掌握相似三角形的判定与性质．
变式3-3. （2021·湖南湘西土家族苗族自治州·中考真题）已知点在第一象限，且，点在轴上，当为直角三角形时，点的坐标为（ ）
A．，或 B．，或
C．，或 D．，或
【答案】C
【分析】由题意可分当时和当时，然后根据题意进行分类求解即可．
【详解】解：由题意得：当时，如图所示：
∵，，∴，∵，∴，∴；
当时，过点M作MB⊥x轴于点B，如图所示：
∴，∴，∴，即，
∵，，∴，
∵，∴，
∴，解得：，
∴当时，则；当时，则，∴或；故选C．
【点睛】本题主要考查相似三角形的性质与判定及平面直角坐标系点的坐标，熟练掌握相似三角形的性质与判定及平面直角坐标系点的坐标是解题的关键．
【考点巩固训练】
1．（2021 清江浦区校级月考）如图，DE∥BC，AD：DB＝2：1，那么△ADE与△ABC的相似比为（　　）
A． B． C． D．2
【思路点拨】先求出的值，再由相似三角形的对应边成比例即可得出结论．
【答案】解：∵AD：DB＝2：1，∴＝．
∵DE∥BC，∴△ADE∽△ABC，∴△ADE与△ABC的相似比＝＝．故选：B．
【点睛】本题考查的是相似三角形的性质，熟知相似三角形对应边的比等于相似比是解答此题的关键．
2．（2021 慈溪市期末）如图，在△ABC中，D，E，F分别为BC，AB，AC上的点，且EF∥BC，FD∥AB，则下列各式正确的是（　　）
A．＝ B．＝ C．＝ D．＝
【思路点拨】证得四边形EBDF是平行四边形，得到BE＝DF，EF＝BD，根据平行线分线段成比例定理，由EF∥BC得到＝，＝＝，则＝，可对以B、D进行判断；再由DF∥AB得＝，＝，则＝，于是可对A、C进行判断．
【答案】解：∵EF∥BC，FD∥AB，∴四边形EBDF是平行四边形，∴BE＝DF，EF＝BD，
∵EF∥BC，∴＝，＝＝，∴＝，故B错误，D正确；
∵DF∥AB，∴＝，＝，∴＝，故A错误；
∵＝，＝，故C错误；故选：D．
【点睛】本题考查了相似三角形的判定和性质，平行四边形的判定和性质，熟练掌握性质定理是解题的关键．
3．（2021 杭州）如图，在△ABC中，点D，E分别在AB和AC上，DE∥BC，M为BC边上一点（不与点B，C重合），连接AM交DE于点N，则（　　）
A．＝ B．＝ C．＝ D．＝
【思路点拨】先证明△ADN∽△ABM得到＝，再证明△ANE∽△AMC得到＝，则＝，从而可对各选项进行判断．
【答案】解：∵DN∥BM，∴△ADN∽△ABM，∴＝，
∵NE∥MC，∴△ANE∽△AMC，∴＝，∴＝．故选：C．
【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质：三在判定两个三角形相似时，应注意利用图形中已有的公共角、公共边等隐含条件，以充分发挥基本图形的作用，寻找相似三角形的一般方法是通过作平行线构造相似三角形；灵活运用相似三角形的性质表示线段之间的关系．
4．（2021·辽宁营口市·中考真题）如图，是的中位线，F为中点，连接并延长交于点G，若，则________．
【答案】24
【分析】连接AE、BF，根据中位线的性质推理得到，设，则，根据等底同高的三角形面积相等得到，即可求解．
【详解】解：连接AE、BF，
∵是的中位线， ∴，，∴，∴，
∵F为中点，∴，∴，
设，则，∴，∴，∴，∴
∵D、F分别是AB、DE的中点，∴，
∴，∴，故答案为：24．
【点睛】本题考查三角形的综合，利用中点的提示做出合适的辅助线，并掌握等底同高的三角形面积相等是解题的关键．
5．（2021·江苏淮安·中考真题）如图，方格纸上每个小正方形的边长均为1个单位长度，△ABC的顶点A、B、C都在格点上（两条网格线的交点叫格点）．请仅用无刻度的直尺按下列要求画图，并保留画图痕迹（不要求写画法）．（1）将△ABC绕点A按顺时针方向旋转90°，点B的对应点为B1，点C的对应点为C1，画出△AB1C1；（2）连接CC1，△ACC1的面积为 　　；（3）在线段CC1上画一点D，使得△ACD的面积是△ACC1面积的．
【答案】（1）见解析；（2）；（3）见解析
【分析】（1）将A、B、C三点分别绕点A按顺时针方向旋转90°画出依次连接即可；
（2）勾股定理求出AC，由面积公式即可得到答案；（3）利用相似构造△CFD∽△C1ED即可．
【详解】解：（1）如图：图中△AB1C1即为要求所作三角形；
（2）∵AC＝＝，由旋转知AC＝AC1，∠CAC1＝90°，
∴△ACC1的面积为×AC×AC1＝，故答案为：；
（3）连接EF交CC1于D，即为所求点D，理由如下：
∵CF∥C1E，∴△CFD∽△C1ED，∴＝，∴CD＝CC1，
∴△ACD的面积＝△ACC1面积的．
【点睛】本题考查了网格作图，旋转的性质，勾股定理，相似三角形的判定与性质，解题的关键是构造△CFD∽△C1ED得到CD＝CC1．
考向4. 相似三角形的应用
【典例精析】
【例】（2021 滨江区期末）如图，有一块三角形余料ABC，它的面积为36cm2，边BC＝12cm，要把它加工成正方形零件，使正方形的一边在BC上，其余两个顶点分别在AB，AC上，则加工成的正方形零件的边长为（　　）cm．
A．8 B．6 C．4 D．3
【思路点拨】作BC边上的高AM交EF于点N，根据面积为36cm2，边BC＝12cm得到AM＝6cm，然后设正方形的边长为xmm，则EF＝FP＝NM＝x，通过证明△AEF∽△ABC利用相似比可得比例式，然后根据比例性质求出x即可；
【答案】解：作BC边上的高AM交EF于点N，∵面积为36cm2，边BC＝12cm，∴AM＝6cm，
设正方形的边长为xmm，则EF＝FP＝NM＝x，∴AN＝AM﹣MN＝6﹣x，
∵EF∥BC，∴△AEF∽△ABC，∴，即，解得x＝4．故选：C．
【点睛】本题考查了相似三角形的应用，根据相似三角形对应高的比等于对应边的比列式表示出正方形的边长与三角形的边与这边上的高的关系是解题的关键．
【变式训练】
变式4-1. （2021 绍兴）学校门口的栏杆如图所示，栏杆从水平位置BD绕O点旋转到AC位置，已知AB⊥BD，CD⊥BD，垂足分别为B，D，AO＝4m，AB＝1.6m，CO＝1m，则栏杆C端应下降的垂直距离CD为（　　）
A．0.2m B．0.3m C．0.4m D．0.5m
【思路点拨】由∠ABO＝∠CDO＝90°、∠AOB＝∠COD知△ABO∽△CDO，据此得＝，将已知数据代入即可得．
【答案】解：∵AB⊥BD，CD⊥BD，∴∠ABO＝∠CDO＝90°，
又∵∠AOB＝∠COD，∴△ABO∽△CDO，则＝，
∵AO＝4m，AB＝1.6m，CO＝1m，∴＝，解得：CD＝0.4，故选：C．
【点睛】本题主要考查相似三角形的应用，解题的关键是熟练掌握相似三角形的判定与性质．
变式4-2. （2021·吉林中考真题）如图，为了测量山坡的护坡石坝高，把一根长为的竹竿斜靠在石坝旁，量出竿上长为时，它离地面的高度为，则坝高为__________．
【答案】2.7
【分析】根据，可得，进而得出即可．
【详解】解：如图，过作于，则，
∴，即，解得，故答案为：2.7
【点睛】本题考查了相似三角形应用，解决本题的关键是掌握相似三角形的性质．
变式4-3. （2021·辽宁朝阳·中考真题）一数学兴趣小组去测量一棵周围有围栏保护的古树的高，在G处放置一个小平面镜，当一位同学站在F点时，恰好在小平面镜内看到这棵古树的顶端A的像，此时测得FG＝3m，这位同学向古树方向前进了9m后到达点D，在D处安置一高度为1m的测角仪CD，此时测得树顶A的仰角为30°，已知这位同学的眼睛与地面的距离EF＝1.5m，点B，D，G，F在同一水平直线上，且AB，CD，EF均垂直于BF，求这棵古树AB的高．（小平面镜的大小和厚度忽略不计，结果保留根号）
【答案】（9＋4）m
【分析】过点C作CH⊥AB于点H，则CH＝BD，BH＝CD＝1m，由锐角三角函数定义求出BD＝CH＝AH，再证△EFG∽△ABG，得，求出AH＝（8＋4）m，即可求解．
【详解】解：如图，过点C作CH⊥AB于点H，则CH＝BD，BH＝CD＝1m，
由题意得：DF＝9m，∴DG＝DF﹣FG＝6（m），
在Rt△ACH中，∠ACH＝30°，∵tan∠ACH＝＝tan30°＝，∴BD＝CH＝AH，
∵EF⊥FB，AB⊥FB，∴∠EFG＝∠ABG＝90°．由反射角等于入射角得∠EGF＝∠AGB，
∴△EFG∽△ABG，∴，即，
解得：AH＝（8＋4）m，∴AB＝AH＋BH＝（9＋4）m，即这棵古树的高AB为（9＋4）m．
【点睛】本题考查了解直角三角形的应用 仰角俯角问题，相似三角形的应用等知识，正确作出辅助线构造直角三角形，证明△EFG∽△ABG是解题的关键．
【考点巩固训练】
1．（2021·河北中考真题）图1是装了液体的高脚杯示意图（数据如图），用去一部分液体后如图2所示，此时液面（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】先求出两个高脚杯液体的高度，再通过三角形相似，建立其对应边的比与对应高的比相等的关系，即可求出AB．
【详解】解：由题可知，第一个高脚杯盛液体的高度为：15-7=8（cm），
第二个高脚杯盛液体的高度为：11-7=4（cm），
因为液面都是水平的，图1和图2中的高脚杯是同一个高脚杯，
所以图1和图2中的两个三角形相似，∴，∴（cm），故选：C．
【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质，解决本题的关键是读懂题意，与图形建立关联，能灵活运用相似三角形的判定得到相似三角形，并能运用其性质得到相应线段之间的关系等，本题对学生的观察分析的能力有一定的要求．
2．（2021·四川内江·中考真题）在同一时刻，物体的高度与它在阳光下的影长成正比．在某一时刻，有人测得一高为的竹竿的影长为，某一高楼的影长为，那么这幢高楼的高度是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】设此高楼的高度为x米，再根据同一时刻物高与影长成正比列出关于x的比例式，求出x的值即可．
【详解】解：设这幢高楼的高度为米，依题意得：，
解得：．故这栋高楼的高度为36米．故选：．
【点睛】本题考查的是相似三角形的应用，熟知同一时刻物高与影长成正比是解答此题的关键．
3．（2021·江苏南通·中考真题）如图，利用标杆测量楼高，点A，D，B在同一直线上，，，垂足分别为E，C．若测得，，，楼高是多少？
【答案】楼高是9米．
【分析】先求出AC的长度，由∥，得到，即可求出BC的长度．
【详解】解：∵，，∴m，
∵，，∴∥，∴△ADE∽△ABC，∴，
∵，∴，∴；∴楼高是9米．
【点睛】此题主要考查了相似三角形的应用，熟练掌握相似三角形的判定和性质是解题关键．
4．（2021 西湖区校级月考）如图，△ABC是一块锐角三角形材料，BC＝200mm，高AD＝150mm，要把它加工成一矩形零件，使矩形一边在BC上，其余两个顶点分别在AB、AC上．（1）设PN＝x，矩形PQMN的面积为S，求S关于x的函数表达式，并指出x的取值范围．（2）当x为何值时，矩形PQMN的面积最大？最大值是多少？
【思路点拨】（1）根据矩形的对边平行可以得到△APN∽△ABC，然后用相似三角形对应高的比等于相似比，可以得出S与x的关系．（2）根据矩形面积公式得到关于x的二次函数，根据二次函数求出矩形的最大值．
【答案】解：（1）∵PN∥BC，∴△APN∽△ABC，∴＝，
∵QM＝PN＝x，MN＝ED＝y，AE＝150﹣y，
∴，∴y＝150﹣x∴S＝xy＝﹣x2+150x；
150﹣x＞0，解得：x＜200，则0＜x＜200；
（2）设矩形的面积为S，则S＝﹣x2+150x＝﹣（x﹣100）2+7500．
故当x＝100时，此时矩形的面积最大，最大面积为7500mm2．
【点睛】本题考查的是相似三角形的判定与相似，利用矩形的面积公式得到关于x的二次函数，根据二次函数的性质，确定x的取值和面积的最大值是解题关键
5．（2021·山西中考真题）阅读与思考，请阅读下列科普材料，并完成相应的任务．
图算法图算法也叫诺模图，是根据几何原理，将某一已知函数关系式中的各变量，分别编成有刻度的直线（或曲线），并把它们按一定的规律排列在一起的一种图形，可以用来解函数式中的未知量．比如想知道10摄氏度相当于多少华氏度，我们可根据摄氏温度与华氏温度之间的关系：得出，当时，．但是如果你的温度计上有华氏温标刻度，就可以从温度计上直接读出答案，这种利用特制的线条进行计算的方法就是图算法．再看一个例子：设有两只电阻，分别为5千欧和7.5千欧，问并联后的电阻值是多少？我们可以利用公式求得的值，也可以设计一种图算法直接得出结果：我们先来画出一个的角，再画一条角平分线，在角的两边及角平分线上用同样的单位长度进行刻度，这样就制好了一张算图．我们只要把角的两边刻着7.5和5的两点连成一条直线，这条直线与角平分线的交点的刻度值就是并联后的电阻值．图算法得出的数据大多是近似值，但在大多数情况下是够用的，那些需要用同一类公式进行计算的测量制图人员，往往更能体会到它的优越性．
任务：（1）请根据以上材料简要说明图算法的优越性；
（2）请用以下两种方法验证第二个例子中图算法的正确性：①用公式计算：当，时，的值为多少；②如图，在中，，是的角平分线，，，用你所学的几何知识求线段的长．
【答案】（1）图算法方便；直观；或不用公式计算即可得出结果等；（2）①；②
【分析】（1）根据题意可直接进行求解问题；（2）①利用公式可直接把，代入求解即可；②过点作，交的延长线于点，由题意易得，则有，，然后可得为等边三角形，则，所以可得，最后利用相似三角形的性质可求解．
【详解】（1）解：答案不唯一，如：图算法方便；直观；或不用公式计算即可得出结果等．
（2）①解：当，时，，∴．
②解：过点作，交的延长线于点，如图所示：
∵平分，∴，
∵，∴，，∴，
∴，∴为等边三角形，∴，
∵，，∴，∴，∴，∴．
【点睛】本题主要考查相似三角形的性质与判定及等边三角形的性质与判定，熟练掌握相似三角形的性质与判定及等边三角形的性质与判定是解题的关键．
考向5. 位似变换
【典例精析】
【例】（2021·山东东营市·中考真题）如图，中，A、B两个顶点在x轴的上方，点C的坐标是（1，0），以点C为位似中心，在x轴的下方作的位似图形，并把的边长放大到原来的2倍，设点B的横坐标是a，则点B的对应点的横坐标是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】设点的横坐标为，然后表示出、的横坐标的距离，再根据位似比列式计算即可得解.
【详解】设点的横坐标为，则、间的横坐标的差为，、间的横坐标的差为，
放大到原来的倍得到，，解得：.故选：A.
【点睛】本题考查了位似变换，坐标与图形的性质，根据位似比的定义，利用两点间的横坐标的距离等于对应边的比列出方程是解题的关键.
【变式训练】
变式5-1. （2021·重庆中考真题）如图，△ABC与△BEF位似，点O是它们的位似中心，其中OE=2OB，则△ABC与△DEF的周长之比是（ ）
A．1：2 B．1：4 C．1：3 D．1：9
【答案】A
【分析】利用位似的性质得△ABC∽△DEF，OB：OE= 1：2，然后根据相似三角形的性质解决问题．
【详解】解：∵△ABC与△DEF位似，点O为位似中心．∴△ABC∽△DEF，OB：OE= 1：2，
∴△ABC与△DEF的周长比是：1：2．故选：A．
【点睛】本题主要考查了位似变换，正确掌握位似图形的性质是解题关键．
变式5-2. （2021·贵州黔东南苗族侗族自治州·中考真题）已知在平面直角坐标系中，△AOB的顶点分别为点A（2，1）、点B（2，0）、点O（0，0），若以原点O为位似中心，相似比为2，将△AOB放大，则点A的对应点的坐标为________．
【答案】（4，2）或（－4，－2）
【分析】根据位似变换的定义，作出图形，可得结论．
【详解】解：如图，观察图象可知，点A的对应点的坐标为（4，2）或（-4，-2）．
故答案为：（4，2）或（-4，-2）．
【点睛】本题考查作图-位似变换，解题的关键是正确作出点A的对应点E，G，点B的对应点F，H．
变式5-3. （2020·辽宁盘锦市·中考真题）如图，三个顶点的坐标分别为，以点为位似中心，相似比为，将缩小，则点的对应点的坐标是____________．
【答案】或
【分析】利用以原点为位似中心，相似比为k，位似图形对应点的坐标的比等于k或-k，把B点的横纵坐标分别乘以或即可得到点B′的坐标．
【详解】解：∵以点为位似中心，相似比为，将缩小，
∴点的对应点B′的坐标是（2，4）或（-2，-4）．故答案为：（2，4）或（-2，-4）．
【点睛】本题考查了位似变换：在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为位似中心，相似比为k，那么位似图形对应点的坐标的比等于k或-k．
【考点巩固训练】
1．（2021·辽宁沈阳·中考真题）如图，与位似，位似中心是点O，若，则与的周长比是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据位似图形的概念得到△，，进而得出△，根据相似三角形的性质解答即可．
【详解】解：与△位似，△，，
△，，与△的周长比为，故选：．
【点睛】本题考查的是位似图形的概念、相似三角形的性质，掌握位似图形是相似图形、位似图形的对应边平行是解题的关键．
2．（2020·湖南郴州市·中考真题）在平面直角坐标系中，将以点为位似中心，为位似比作位似变换，得到．已知，则点的坐标是__________．
【答案】．
【分析】直接利用位似图形的性质进而得出对应点坐标即可．
【详解】解：∵将△AOB以点O为位似中心，为位似比作位似变换，得到△A1OB1，A（2，3），
∴点A1的坐标是：，即A1．故答案为：．
【点睛】此题主要考查了位似变换，正确掌握位似图形的性质是解题关键．
3．（2021·重庆中考真题）如图，在平面直角坐标系中，将以原点O为位似中心放大后得到，若，，则与的相似比是（ ）
A．2：1 B．1：2 C．3：1 D．1：3
【答案】D
【分析】直接利用对应边的比等于相似比求解即可．
【详解】解：由B、D两点坐标可知：OB=1，OD=3；
△OAB 与△OCD的相似比等于；故选D．
【点睛】本题考查了在平面直角坐标系中求两个位似图形的相似比的概念，同时涉及到了位似图形的概念、平面直角坐标系中点的坐标、线段长度的确定等知识；解题关键是牢记相似比等于对应边的比，准确求出对应边的比即可完成求解，考查了学生对概念的理解与应用等能力．
4．（2020·辽宁朝阳市·中考真题）如图所示的平面直角坐标系中，的三个顶点坐标分别为，请按如下要求画图：（1）以坐标原点O为旋转中心，将顺时针旋转90°，得到，请画出；（2）以坐标原点O为位似中心，在x轴下方，画出的位似图形，使它与的位似比为．
【答案】（1）见解析；（2）见解析
【分析】（1）根据网格结构找出点A、B、C关于原点O对称的点A1、B1、C1的位置，然后顺次连接即可；
（2）利用位似的性质，找出点A2、B2、C2的位置，然后画出图形即可．
【详解】解：（1）位置正确；用直尺画图；（2）位置正确；用直尺画图．
【点睛】本题考查了位似图形的性质，旋转的性质，解题的关键是掌握所学的性质正确的做出图形．
5．（2020·内蒙古鄂尔多斯市·中考真题）（1）（操作发现）
如图1，在边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中，的三个顶点均在格点上．
①请按要求画图：将绕点A顺时针方向旋转90°，点B的对应点为点，点C的对应点为点．连接；②在①中所画图形中，＝　　°．
（2）（问题解决）如图2，在中，BC＝1，∠C＝90°，延长CA到D，使CD＝1，将斜边AB绕点A顺时针旋转90°到AE，连接DE，求∠ADE的度数．
（3）（拓展延伸）
如图3，在四边形ABCD中，AE⊥BC，垂足为E，∠BAE＝∠ADC，BE＝CE＝1，CD＝3，AD＝kAB（k为常数），求BD的长（用含k的式子表示）．
【答案】（1）①见解析，②45；（2）135°；（3）
【分析】（1）①根据旋转角，旋转方向画出图形即可．②只要证明△ABB′是等腰直角三角形即可．
（2）如图2，过点E作EH⊥CD交CD的延长线于H．证明△ABC≌△EAH（AAS）即可解决问题．
（3）如图3中，由AE⊥BC，BE＝EC，推出AB＝AC，将△ABD绕点A逆时针旋转得到△ACG，连接DG．则BD＝CG，只要证明∠GDC＝90°，可得CG＝，由此即可解决问题．
【详解】解：（1）①如图，△AB′C′即为所求．
②由作图可知，△ABB′是等腰直角三角形，∴∠AB′B＝45°，故答案为45．
（2）如图2中，过点E作EH⊥CD交CD的延长线于H．
∵∠C＝∠BAE＝∠H＝90°，∴∠B+∠CAB＝90°，∠CAB+∠EAH＝90°，∴∠B＝∠EAH，
∵AB＝AE，∴△ABC≌△EAH（AAS），∴BC＝AH，EH＝AC，
∵BC＝CD，∴CD＝AH，∴DH＝AC＝EH，∴∠EDH＝45°，∴∠ADE＝135°．
（3）如图③中，∵AE⊥BC，BE＝EC，
∴AB＝AC，将△ABD绕点A逆时针旋转得到△ACG，连接DG．则BD＝CG，
∵∠BAD＝∠CAG，∴∠BAC＝∠DAG，
∵AB＝AC，AD＝AG，∴∠ABC＝∠ACB＝∠ADG＝∠AGD，∴△ABC∽△ADG，
∵AD＝kAB，∴DG＝kBC＝2k，∵∠BAE+∠ABC＝90°，∠BAE＝∠ADC，∴∠ADG+∠ADC＝90°，
∴∠GDC＝90°，∴CG＝＝．∴BD＝CG＝．
【点睛】本题属于几何变换综合题，考查了等边三角形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，勾股定理，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会用旋转法添加辅助线，构造全等三角形或相似三角形解决问题，属于中考压轴题．
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第5章 图形与变换 （浙江省专用）
第25节 相似三角形与位似
【考场演练】
一、选择题
1．（2021 吴兴区期末）如图，直线l1∥l2∥l3，直线AC，DF分别与l1，l2，l3相交于点A，B，C和点D，E，F，若＝，DE＝3，则EF等于（　　）
A．6 B．8 C．9 D．12
【思路点拨】根据平行线分线段成比例定理解答即可．
【答案】解：∵直线l1∥l2∥l3，＝，∴，即，解得：EF＝9，故选：C．
【点睛】本题考查平行线分线段成比例定理，注意：一组平行线截两条直线，所截的线段对应成比例．
2．（2021·浙江温州市·中考真题）如图，图形甲与图形乙是位似图形，是位似中心，位似比为，点，的对应点分别为点，．若，则的长为（ ）
A．8 B．9 C．10 D．15
【答案】B
【分析】直接利用位似图形的性质得出线段比进而得出答案．
【详解】解：∵图形甲与图形乙是位似图形，是位似中心，位似比为，∴，
∵，∴，∴故答案为：B．
【点睛】此题主要考查了位似变换，正确掌握位似图形的性质是解题关键．
3．（2021·浙江绍兴·中考真题）如图，树AB在路灯O的照射下形成投影AC，已知路灯高，树影，树AB与路灯O的水平距离，则树的高度AB长是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】利用相似三角形的性质得到对应边成比例，列出等式后求解即可．
【详解】解：由题可知，，∴,∴，∴，故选A．
【点睛】本题考查了相似三角形的判定与应用，解决本题的关键是能读懂题意，建立相似关系，得到对应边成比例，完成求解即可，本题较基础，考查了学生对相似的理解与应用等．
4．（2021·河北河北·九年级月考）如图，一位同学借助镜子测量一棵树的高度，他与树的距离为，当他在镜子中看到树的顶端时，该同学与镜子的距离是远，已知这位同学眼睛到地面的距离是，则树高为（ ）m．
A．3.4 B．5.1 C．6.8 D．8.5
【答案】B
【分析】由入射角等于反射角可以证明再证明再利用相似三角形的性质可得答案.
【详解】解：如图，由题意得：
而
所以树高为 故选：
【点睛】本题考查的是相似三角形的应用，熟悉实际问题中存在的相似三角形是解题的关键.
5．（2021·浙江·宁波市海曙外国语学校九年级开学考试）下列每个矩形都是由五个同样的小正方形拼合组成，其中和的顶点都在小正方形的顶点上，则与一定相似的图形是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】由已知根据相似三角形的判定和性质对每个选项分析论证得出正确选项．
【详解】解：已知每个矩形都是由五个同样的小正方形拼合组成．
A：∠ABC=90°+45°=135°，∠CDE=90°+45°=135°，∴∠ABC=∠CDE，BC=DC=，
∴，，∴△ABC∽△CDE；
B：△ABC为等腰三角形，则△CDE不是等腰三角形，所以不相似；
C：△ABC中∠ABC=90°+45°=135°，而△CDE中∠CDE=∠135°，对应角不相等，所以不相似；
D：，，∴，所以不相似．故选：A．
【点睛】此题考查的知识点是相似三角形的判定，解题的关键是根据相似三角形的判定和性质对每个选项分析论证得出正确选项．
6．（2021·浙江·乐清市英华学校九年级月考）若△ABC∽△DEF，且对应高线比为4：9，则△ABC与△DEF的面积比为（ ）
A．2：3 B．3：2 C．4：9 D．16：81
【答案】D
【分析】直接利用相似三角形的性质求解．
【详解】解：∵△ABC∽△DEF，且对应高线比为4：9，
∴△ABC与△DEF的周长比为4：9，面积比为16:81故选C.
【点睛】本题主要考查了相似三角形的性质，熟练掌握相关性质是解题关键．
7．（2021·甘肃兰州·中考真题）如图，小明探究课本“综合与实践”板块“制作视力表”的相关内容：当测试距离为时，标准视力表中最大的“”字高度为，当测试距离为时，最大的“”字高度为（ ）mm
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据题意，得、，结合相似三角形的性质，通过相似比计算，即可得到答案．
【详解】根据题意，得，且
∴ ∴ ∴ 故选：C．
【点睛】本题考查了相似三角形的知识；解题的关键是熟练掌握相似三角形的性质，从而完成求解．
8．（2021·湖南湘西土家族苗族自治州·中考真题）如图，在中，，于点，，，，则的长是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】由题意易得，，则有，然后可得，然后根据相似三角形的性质可求解．
【详解】解：∵，，∴，∴，
∴，∴，∵，，，
∴，∴，∴；故选C．
【点睛】本题主要考查相似三角形的性质与判定，熟练掌握相似三角形的性质与判定是解题的关键．
9．（2021 镇海区校级期中）如图，已知AB∥CD∥EF，AD：AF＝3：5，BE＝12，那么BC的长等于（　　）
A．2 B．4 C．4.8 D．7.2
【思路点拨】根据平行线分线段成比例得到＝＝，即可求出BC．
【答案】解：∵AB∥CD∥EF，∴＝＝，即＝，解得：BC＝7.2；故选：D．
【点睛】本题考查了平行线分线段成比例；熟练掌握三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例是本题的关键．
10．（2020·黑龙江哈尔滨市·中考真题）如图，在中，点D在BC上，连接AD，点E在AC上，过点E作，交AD于点F，过点E作，交BC于点G，则下列式子一定正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据由平行线易得△AEF∽△ACD，△CEG∽△CAB，再根据相似三角形的性质和平行线分线段成比例定理逐个判断即可．
【详解】解：∵，∴△AEF∽△ACD，
∴，故选项A错误；∴，
∵，∴△CEG∽△CAB，∴，
∴，故选项B错误；，故选项D错误；
∵，∴，∵，∴，
∴，故选项正确C． 故选：C．
【点睛】本题考查了平行线分线段成比例定理和相似三角形的性质和判定，能得出正确的比例式是解此题的关键．
11．（2021·山东·阳谷县实验中学九年级月考）如图所示，一张等腰三角形纸片，底边长，底边上的高为，现沿底边依次从下往上裁剪宽度均为的矩形纸条，已知剪得的纸条中有一张是正方形，则这张正方形纸条是（ ）
A．第4张 B．第5张 C．第6张 D．第7张
【答案】B
【分析】根据相似三角形的相似比求得顶点到这个正方形的长，再根据矩形的宽求得是第几张．
【详解】解：已知剪得的纸条中有一张是正方形，则该正方形的边长为，
设从顶点到这个正方形顶边的距离为，
根据相似三角形的性质可得，解得（张），
所以这张正方形纸条是第5张，故选B．
【点睛】本题主要考查了相似三角形的性质及等腰三角形的性质的综合运用；由相似三角形的性质得出比例式是解决问题的关键．
12．（2021·四川金牛·九年级期末）如图，路灯距离地面7.5米若身高1.5米的小明在距离路灯的底部（点O）8米的A处，则小明的影子AM的长为（　　）
A．1.25米 B．2米 C．4米 D．6米
【答案】B
【分析】易得：△ABM∽△OCM，利用相似三角形对应边成比例可得出小明的影子AM的长．
【详解】解：如图，根据题意，得△MBA∽△MCO，
∴∴即解得AM＝2．
则小明的影子AM的长为2米．故选B．
【点睛】本题考查了相似三角形的应用，利用相似三角形对应边成比例列出比例式是解题的关键．
二、填空题
13．（2021·河北海港·九年级期中）如图，与是位似图形，点是它们的位似中心，已知，的面积为3，那么的面积是______．
【答案】12
【分析】由△ABC与△A1B1C1为位似图形，，即可得△ABC与△A1B1C1为相似三角形，且相似比为1：2，又由相似三角形面积的比等于相似比的平方，即可求得答案．
【详解】解：∵△ABC与△A1B1C1为位似图形，∴△ABC∽△A1B1C1，
∵，∴相似比是1：2，∴△ABC与△A1B1C1的面积比为：1：4，
∵△ABC的面积为3，∴△A1B1C1的面积是：3×4=12．故答案为：12．
【点睛】此题考查了位似图形的性质．注意位似图形是相似图形的特殊情况，注意相似三角形面积的比等于相似比的平方定理的应用．
14．（2021·浙江嘉兴市·中考真题）如图，在直角坐标系中，与是位似图形，则位似中心的坐标为__________________．
【答案】
【分析】根据位似图形的对应顶点的连线交于一点并结合网格图中的格点特征确定位似中心．
【详解】解：连接DB，OA并延长，交于点M，点M即为位似中心
∴M点坐标为故答案为：．
【点睛】本题考查的是位似变换的概念、坐标与图形性质，掌握如果两个图形不仅是相似图形，而且对应顶点的连线相交于一点，对应边互相平行，那么这样的两个图形叫做位似图形，这个点叫做位似中心是解题的关键．
15．（2021 西湖区期末）已知点E是线段AB的黄金分割点，且BE＞AE，若AB＝2，则BE＝　　．
【思路点拨】根据黄金分割点的定义求解．
【答案】解：∵E是线段AB的黄金分割点，且BE＞AE，
∴，BE＝＝＝﹣1，故答案为﹣1．
【点睛】此题考查了黄金分割点的概念，要熟记黄金比的值．
16．（2021·浙江台州市·中考真题）如图，点E， F，G分别在正方形ABCD的边AB，BC，AD上，AF⊥EG．若AB＝5，AE＝DG＝1，则BF＝_____．
【答案】
【分析】先证明，得到，进而即可求解．
【详解】∵在正方形ABCD中，AF⊥EG，∴∠AGE+∠GAM =90°，∠FAB+∠GAM=90°，∴∠FAB =∠AGE，
又∵∠ABF=∠GAE=90°，∴，∴，即：，∴BF=．答案：．
【点睛】本题主要考查正方形的性质，相似三角形的判定和性质，证明，是解题的关键．
17．（2021·贵州毕节市·中考真题）学习投影后，小华利用灯光下自己的影子长度来测量一路灯的高度．如图，身高1.7m的小明从路灯灯泡A的正下方点B处，沿着平直的道路走8m到达点D处，测得影子DE长是2m，则路灯灯泡A离地面的高度AB为_______________m．
【答案】8.5
【分析】根据题意得，利用相似三角形的性质求解即可．
【详解】解，根据题意得，
∴ ∴ ∴ 故答案为：8.5
【点睛】此题主要考查了相似三角形的应用，正确得出BE的长是解题关键．
18．（2021·山东·济宁学院附属中学八年级期末）学楼旁边有一棵树，数学小组的同学想利用树影来测量树高．在阳光下他们测得一根长为1m的竹竿的影长是0.9m，但当他们马上测量树高时，发现树的影子不全落在地面上，有部分影子落在教学楼的墙壁上，测得落在地面的影长2.7m，落在墙壁上的影长1.2m，那么树高应为____________．
【答案】4.2m
【分析】作CD⊥AB于E，连接AD，根据四边形BCDE是矩形，得到DE=BC=2.7m，CD=BE=1.2m，根据同一时刻物高与影长成正比例，即可求出AE，问题得解．
【详解】解：如图，作CD⊥AB于E，连接AD，
由题意得AB⊥BC，DC⊥BC，∴四边形BCDE是矩形，∴DE=BC=2.7m，CD=BE=1.2m，
∵同一时刻物高与影长成正比例，∴，即，
∴AE=3m，∴AB=AE+BD=4.2m，即树高为4.2m．故答案为：4.2m
【点睛】本题考查了相似三角形的性质及应用，明确同一时刻物高与影长成正比例，根据题意添加辅助线构造三角形是解题关键．
三、解答题
19．（2021·黑龙江绥化市·中考真题）如图所示，在网格中，每个小正方形的边长均为1个单位长度，把小正方形的顶点叫做格点，为平面直角坐标系的原点，矩形的4个顶点均在格点上，连接对角线．（1）在平面直角坐标系内，以原点为位似中心，把缩小，作出它的位似图形，并且使所作的位似图形与的相似比等于；（2）将以为旋转中心，逆时针旋转，得到，作出，并求出线段旋转过程中所形成扇形的周长．
【答案】（1）见详解；（2）见详解； 弧长是
【分析】（1）根据位似图形的定义作图即可；（定义：如果两个图形不仅相似，而且对应点的连线交于一点，这两个图形叫做位似图形，交点叫做位似中心；）（2）根据图形旋转的方法：将顶点与旋转中心的连线旋转即可得旋转后的图形；OB旋转后扇形的半径为OB长度，在坐标网格中，根据直角三角形勾股定理可得OB长度，然后代入扇形弧长公式,同时加上扇形两半径即可求出答案．
【详解】（1）位似图形如图所示
（2）作出旋转后图形，，
周长是．
【点睛】题目主要考察位似图形的画法、旋转图形画法、勾股定理及弧长公式的计算，难点是对定义的理解及对公式的运用．
20．（2021·广东黄埔·一模）如图1所示，点C把线段分成与，若，则称线段被点C黄金分割（goldensection），点C叫做线段的黄金分割点，与的比叫做黄金比．
（1）根据上述定义求黄金比；（2）在图2中，利用尺规按以下步骤作图，井保留作图痕迹．①作线段的垂直平分线，得线段的中点M；②过点B作垂线l；③以点B为圆心，以为半径作圆交l于N；④连接、，以N为圆心，以为半径作圆交于P；⑤以点A为圆心，以为半径作圆交于C．（3）证明你按以上步骤作出的C点就是线段的黄金分割点．
【答案】（1）；（2）见解析；（3）见解析
【分析】（1）设AB=a，AC=x，根据黄金分割的概念列出比例式，得到一元二次方程，解方程得到答案．
（2）根据要求作出图形即可．（3）设AB=a，根据题意表示出BN、NP，根据勾股定理求出AN，求出AC与AB的比值，根据黄金比值进行判断即可．
【详解】解：（1）如图，设，，．
由，得．∴，即，
解这个方程，得，（不合题意，舍去）．
所以，黄金比．
（2）（1）如图所示．①作线段的垂直平分线，得线段的中点M；②过点B作垂线l；
方法2：如图所示，用圆规过点B作垂线l．③以点B为圆心，以为半径作圆交l于N；
④连接、，以N为圆心，以为半径作圆交于P；⑤以点A为圆心，以为半径作圆交于C．
（2）证明：设 ，由以上作法可知，，
在中，，∴．
∴，所以点C是线段的黄金分割点．
【点睛】本题考查作图-复杂作图，黄金分割等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．
21．（2021·山西实验中学模拟预测）阅读下列材料，完成相关任务
我们知道，利用尺规作已知线段的垂直平分线可以得到该线段的中点，四等分点，怎样得到线段的三等分点呢？
如图，已知线段MN，用尺规在MN上求作点P，使．
操作探究：
晓彤的作法是：①作射线MK（点K不在直线MN上）；
②在射线MK上依次截取线段MA，AB，使AB＝2MA，连接BN；
③以A为顶点，MA为一边，如图，作∠MAP，使∠MAP＝∠MBN，射线AP交MN于点P．
所以点P为求作的点．
晓彤作法的理由是：
∵∠MAP＝∠MBN，
∴AP∥BN（同位角相等，两直线平行）．
∴（依据）．
∵AB＝2MA（已知），
∴（等量代换）．
∴（等量代换）．
数学思考：晓彤作法理由中所缺的依据是：　　；
拓展应用：如图，已知线段a，b，c，
求作：线段d，使a：b＝c：d．（要求：保留作图痕迹，不写作法）
【答案】数学思考：两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例；拓展应用：见解析．
【分析】数学思考：由题意根据平行线分线段成比例，即可得到答案；
拓展应用：根据题意由顶点A做两条射线，在一条射线上截取AB＝a，BC＝b，在另一条射线上截取AD＝c，连接BD，过点C作CE∥BD，交点为E，则DE＝d即为所求线段．
【详解】解：数学思考：由题意可得：晓彤作法理由中所缺的依据是：两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例；
拓展应用：如图，线段DE即为所求作的线段d．
【点睛】本题考查的是作图-复杂作图，熟练掌握平行线分线段成比例的作法是解答此题的关键．
22．（2021·浙江金华市·中考真题）如图1是一种利用镜面反射，放大微小变化的装置．木条BC上的点P处安装一平面镜，BC与刻度尺边MN的交点为D，从A点发出的光束经平面镜P反射后，在MN上形成一个光点E．已知，．
（1）ED的长为____________．（2）将木条BC绕点B按顺时针方向旋转一定角度得到（如图2），点P的对应点为，与MN的交点为D′，从A点发出的光束经平面镜反射后，在MN上的光点为．若，则的长为____________．
【答案】13
【分析】（1）由题意，证明△ABP∽△EDP，根据相似三角形的性质，即可求出ED的长度；
（2）过A作AH⊥BN交NB延长线于H，过E′作E′F⊥BN于F，设E′D=x,E′D′=5+x,在Rt△BDN中，由勾股定理D′B，可证△ABH∽△BD′D∽△E′D′F,，从A点发出的光束经平面镜P′反射后，在MN上形成一个光点E′．△AHP′∽△E′FP′，，解得x=1.5．
【详解】解：（1）由题意，∵，∴，
∵从A点发出的光束经平面镜P反射后，在MN上形成一个光点E．
∴，∴△ABP∽△EDP，∴，即，∴；故答案为：13．
（2）过A作AH⊥BN交NB延长线于H，过E′作E′F⊥BN于F，设E′D=x,E′D′=5+x,
在Rt△BDN中，∵BD=12，DD′=5，由勾股定理D′B=，
∵∠AHB=∠ABD=∠E′FN=∠BDD′=90°，∴∠ABH+∠DBD′=∠DBD′+∠DD′B=+∠E′D′F,
∴∠ABH=∠BD′D=∠E′D′F,∴△ABH∽△BD′D∽△E′D′F,
∴，，∴,，
∴，
∵从A点发出的光束经平面镜P′反射后，在MN上形成一个光点E′．∴，
∴△AHP′∽△E′FP′，HP′=HB+BP=2.5+4=6.5，P′D′=BD′-BP′=13-4=9，P′F= P′D′-FD′=9-，
∴即，解得x=1.5，经检验x=1.5是方程的解，
EE′=DE-DE′=13-1.5=11.5=．故答案为．
【点睛】本题考查相似三角形性质与判定，勾股定理，光束经平面镜P性质，掌握相似三角形性质与判定，勾股定理，光束经平面镜P性质，用相似三角形的性质构造方程是解题关键．
23．（2021·陕西韩城·一模）青龙寺是西安最著名的櫻花观赏地，品种达到了13种之多，每年3、4月陆续开放的櫻花让这里成为了花的海洋．一天，小明和小刚去青龙寺游玩，想利用所学知识测量一棵樱花树的高度（櫻花树四周被围起来了，底部不易到达）．小明在F处竖立了一根标杆，小刚走到C处时，站立在C处看到标杆顶端E和树的顶端B在一条直线上．此时测得小刚的眼睛到地面的距离米；然后，小刚在C处蹲下，小明平移标杆到H处时，小刚恰好看到标杆顶端G和树的顶端B在一条直线上，此时测得小刚的眼睛到地面的距离米.已知米，米，米，点C、F、H、A在一条直线上，点M在上，，，，．根据以上测量过程及测量数据，请你求出这棵樱花树的高度．
【答案】8.8米
【分析】过点D作DP⊥AB于点P，交EF于点N，过点M作MQ⊥AB于点Q，交GH于点K，构造相似三角形：△DEN∽△DBP，△GMK∽△BMQ，利用相似三角形的对应边成比例求得相关线段的长度即可．
【详解】解：过点D作于点P，交于点N，过点M作于点Q，交于点K，
由题意可得：，米，，米，米．
，，，，
，，，．
，．（米）．
答：这棵樱花树的高度是8.8米．
【点睛】本题考查相似三角形的判定与性质的实际应用及分析问题、解决问题的能力．利用数学知识解决实际问题是中学数学的重要内容．解决此问题的关键在于正确理解题意的基础上建立数学模型，把实际问题转化为数学问题．
24．（2021·辽宁瓦房店·九年级月考）在△ABC中，AB＝AC，D、E分别是AB、AC上的点，∠ADE＝∠AEB，AF平分∠BAC交DE于G，交BE于F（1）在图1中找1条和EF相等得线段，并证明；（2）如图2，延长DE与BC交于点H，若AG＝kGF，猜想并验证BC与CH的数量关系（用含k得式子表示）
【答案】（1）见详解；（2）
【分析】（1）根据三角形内角和定理以及角平分线的定义∠AGD=∠AFE，从而得∠AFE=∠EGF，进而即可得到结论；（2）先证明，可得，再证明，可得，最后证明，进而可得结论．
【详解】解：（1）EF=EG，理由如下：∵∠DAG+∠ADE+∠AGD=∠EAF+∠AEB+∠AFE=180°，
∵AF平分∠BAC，∴∠DAG=∠EAF，又∵∠ADE＝∠AEB，∴∠AGD=∠AFE，
∵∠AGD=∠EGF，∴∠AFE=∠EGF，∴EF=EG；
（2）∵∠ADE=∠AEB，∠DAE=∠EAB，∴∠ABE=∠AED，
又∵AF平分∠BAC，∴∠BAF=∠EAG，∴，∴，
∵AG＝kGF，∴，∴，即：，∴CE=AC-AE=AB-AE=，
∵∠ADE=∠AEB，∠DAE=∠EAB，∴，∴，
∴，，∴，
∵∠ADE=∠AEB，∴∠BDH=∠CEB，又∵AB=AC，∴∠DBH=∠ECB，∴，
∴，∴，∴．即：．
【点睛】本题主要考查相似三角形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，找出相似三角形，得到对应边的比例关系，是解题的关键．
25．（2020·山东东平·初二期末）如图，四边形是正方形，点是边上动点(不与重合)．连接过点作交于点．求证：；连接，试探究当点在什么位置时，，请证明你的结论．
【答案】（1）证明见解析；（2）点在中点位置时，，证明见解析．
【分析】（1）先根据正方形的性质可得，再根据直角三角形的性质、角的和差可得，然后根据相似三角形的判定即可得证；
（2）如图（见解析），先根据正方形的性质、平行线的性质可得，再根据三角形全等的判定定理与性质可得，然后根据等腰三角形的判定与性质可得，最后根据等量代换即可得．
【解析】（1）四边形是正方形，，，
，，，，
在和中，，；
（2）点在中点位置时，，证明如下：
如图，连接，延长于的延长线相交于点H，为中点，，
四边形是正方形，，，
在和中，，，，
，是等腰三角形，，，
故当点在中点位置时，．
【点睛】本题考查了相似三角形的判定、正方形的性质、三角形全等的判定定理与性质、等腰三角形的判定与性质等知识点，较难的是题（2），通过作辅助线，构造全等三角形和等腰三角形是解题关键．
26．（2021·上海中考真题）如图，在梯形中，是对角线的中点，联结并延长交边或边于E．（1）当点E在边上时，①求证：；②若，求的值；（2）若，求的长．
【答案】（1）①见解析；②；（2）或
【分析】（1）①根据已知条件、平行线性质以及直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可推导，，由此可得；
②若，那么在中，由．可得，作于H．设，那么．根据所对直角边是斜边的一半可知，由此可得的值．（2）①当点E在上时，可得四边形是矩形，设，在和中，根据，列方程求解即可．
②当点E在上时，设，由，得，所以，所以；由得，所以，解出x的值即可．
【详解】（1）①由，得．由，得．
因为是斜边上的中线，所以．所以．
所以．所以．
②若，那么在中，由．可得．
作于H．设，那么．
在中，，所以．
所以．所以．
（2）①如图5，当点E在上时，由是的中点，可得，
所以四边形是平行四边形．又因为，所以四边形是矩形，
设，已知，所以．已知，所以．
在和中，根据，列方程．
解得，或（ 舍去负值）．
②如图6，当点E在上时，设，已知，所以．
设，已知，那么．
一方面，由，得，所以，所以，
另一方面，由是公共角，得．
所以，所以．
等量代换，得．由，得．
将代入，整理，得．
解得，或（舍去负值）．
【点睛】本题主要考查相似三角形的判定与性质，斜边上的中线，勾股定理等，能够运用相似三角形边的关系列方程是解题的关键．
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第5章 图形与变换 （浙江省专用）
第25节 相似三角形与位似
【考场演练】
一、选择题
1．（2021 吴兴区期末）如图，直线l1∥l2∥l3，直线AC，DF分别与l1，l2，l3相交于点A，B，C和点D，E，F，若＝，DE＝3，则EF等于（　　）
A．6 B．8 C．9 D．12
2．（2021·浙江温州市·中考真题）如图，图形甲与图形乙是位似图形，是位似中心，位似比为，点，的对应点分别为点，．若，则的长为（ ）
A．8 B．9 C．10 D．15
3．（2021·浙江绍兴·中考真题）如图，树AB在路灯O的照射下形成投影AC，已知路灯高，树影，树AB与路灯O的水平距离，则树的高度AB长是（ ）
A． B． C． D．
4．（2021·河北河北·九年级月考）如图，一位同学借助镜子测量一棵树的高度，他与树的距离为，当他在镜子中看到树的顶端时，该同学与镜子的距离是远，已知这位同学眼睛到地面的距离是，则树高为（ ）m．
A．3.4 B．5.1 C．6.8 D．8.5
5．（2021·浙江·宁波市海曙外国语学校九年级开学考试）下列每个矩形都是由五个同样的小正方形拼合组成，其中和的顶点都在小正方形的顶点上，则与一定相似的图形是（ ）
A． B．
C． D．
6．（2021·浙江·乐清市英华学校九年级月考）若△ABC∽△DEF，且对应高线比为4：9，则△ABC与△DEF的面积比为（ ）
A．2：3 B．3：2 C．4：9 D．16：81
7．（2021·甘肃兰州·中考真题）如图，小明探究课本“综合与实践”板块“制作视力表”的相关内容：当测试距离为时，标准视力表中最大的“”字高度为，当测试距离为时，最大的“”字高度为（ ）mm
A． B． C． D．
8．（2021·湖南湘西土家族苗族自治州·中考真题）如图，在中，，于点，，，，则的长是（ ）
A． B． C． D．
9．（2021 镇海区校级期中）如图，已知AB∥CD∥EF，AD：AF＝3：5，BE＝12，那么BC的长等于（　　）
A．2 B．4 C．4.8 D．7.2
10．（2020·黑龙江哈尔滨市·中考真题）如图，在中，点D在BC上，连接AD，点E在AC上，过点E作，交AD于点F，过点E作，交BC于点G，则下列式子一定正确的是（ ）
A． B． C． D．
11．（2021·山东·阳谷县实验中学九年级月考）如图所示，一张等腰三角形纸片，底边长，底边上的高为，现沿底边依次从下往上裁剪宽度均为的矩形纸条，已知剪得的纸条中有一张是正方形，则这张正方形纸条是（ ）
A．第4张 B．第5张 C．第6张 D．第7张
12．（2021·四川金牛·九年级期末）如图，路灯距离地面7.5米若身高1.5米的小明在距离路灯的底部（点O）8米的A处，则小明的影子AM的长为（　　）
A．1.25米 B．2米 C．4米 D．6米
二、填空题
13．（2021·河北海港·九年级期中）如图，与是位似图形，点是它们的位似中心，已知，的面积为3，那么的面积是______．
14．（2021·浙江嘉兴市·中考真题）如图，在直角坐标系中，与是位似图形，则位似中心的坐标为__________________．
15．（2021 西湖区期末）已知点E是线段AB的黄金分割点，且BE＞AE，若AB＝2，则BE＝　　．
16．（2021·浙江台州市·中考真题）如图，点E， F，G分别在正方形ABCD的边AB，BC，AD上，AF⊥EG．若AB＝5，AE＝DG＝1，则BF＝_____．
17．（2021·贵州毕节市·中考真题）学习投影后，小华利用灯光下自己的影子长度来测量一路灯的高度．如图，身高1.7m的小明从路灯灯泡A的正下方点B处，沿着平直的道路走8m到达点D处，测得影子DE长是2m，则路灯灯泡A离地面的高度AB为_______________m．
18．（2021·山东·济宁学院附属中学八年级期末）学楼旁边有一棵树，数学小组的同学想利用树影来测量树高．在阳光下他们测得一根长为1m的竹竿的影长是0.9m，但当他们马上测量树高时，发现树的影子不全落在地面上，有部分影子落在教学楼的墙壁上，测得落在地面的影长2.7m，落在墙壁上的影长1.2m，那么树高应为____________．
三、解答题
19．（2021·黑龙江绥化市·中考真题）如图所示，在网格中，每个小正方形的边长均为1个单位长度，把小正方形的顶点叫做格点，为平面直角坐标系的原点，矩形的4个顶点均在格点上，连接对角线．（1）在平面直角坐标系内，以原点为位似中心，把缩小，作出它的位似图形，并且使所作的位似图形与的相似比等于；（2）将以为旋转中心，逆时针旋转，得到，作出，并求出线段旋转过程中所形成扇形的周长．
20．（2021·广东黄埔·一模）如图1所示，点C把线段分成与，若，则称线段被点C黄金分割（goldensection），点C叫做线段的黄金分割点，与的比叫做黄金比．
（1）根据上述定义求黄金比；（2）在图2中，利用尺规按以下步骤作图，井保留作图痕迹．①作线段的垂直平分线，得线段的中点M；②过点B作垂线l；③以点B为圆心，以为半径作圆交l于N；④连接、，以N为圆心，以为半径作圆交于P；⑤以点A为圆心，以为半径作圆交于C．（3）证明你按以上步骤作出的C点就是线段的黄金分割点．
21．（2021·山西实验中学模拟预测）阅读下列材料，完成相关任务
我们知道，利用尺规作已知线段的垂直平分线可以得到该线段的中点，四等分点，怎样得到线段的三等分点呢？
如图，已知线段MN，用尺规在MN上求作点P，使．
操作探究：
晓彤的作法是：①作射线MK（点K不在直线MN上）；
②在射线MK上依次截取线段MA，AB，使AB＝2MA，连接BN；
③以A为顶点，MA为一边，如图，作∠MAP，使∠MAP＝∠MBN，射线AP交MN于点P．
所以点P为求作的点．
晓彤作法的理由是：
∵∠MAP＝∠MBN，∴AP∥BN（同位角相等，两直线平行）．
∴（依据）．
∵AB＝2MA（已知），
∴（等量代换）．
∴（等量代换）．
数学思考：晓彤作法理由中所缺的依据是：　　；
拓展应用：如图，已知线段a，b，c，
求作：线段d，使a：b＝c：d．（要求：保留作图痕迹，不写作法）
22．（2021·浙江金华市·中考真题）如图1是一种利用镜面反射，放大微小变化的装置．木条BC上的点P处安装一平面镜，BC与刻度尺边MN的交点为D，从A点发出的光束经平面镜P反射后，在MN上形成一个光点E．已知，．
（1）ED的长为____________．（2）将木条BC绕点B按顺时针方向旋转一定角度得到（如图2），点P的对应点为，与MN的交点为D′，从A点发出的光束经平面镜反射后，在MN上的光点为．若，则的长为____________．
23．（2021·陕西韩城·一模）青龙寺是西安最著名的櫻花观赏地，品种达到了13种之多，每年3、4月陆续开放的櫻花让这里成为了花的海洋．一天，小明和小刚去青龙寺游玩，想利用所学知识测量一棵樱花树的高度（櫻花树四周被围起来了，底部不易到达）．小明在F处竖立了一根标杆，小刚走到C处时，站立在C处看到标杆顶端E和树的顶端B在一条直线上．此时测得小刚的眼睛到地面的距离米；然后，小刚在C处蹲下，小明平移标杆到H处时，小刚恰好看到标杆顶端G和树的顶端B在一条直线上，此时测得小刚的眼睛到地面的距离米.已知米，米，米，点C、F、H、A在一条直线上，点M在上，，，，．根据以上测量过程及测量数据，请你求出这棵樱花树的高度．
24．（2021·辽宁瓦房店·九年级月考）在△ABC中，AB＝AC，D、E分别是AB、AC上的点，∠ADE＝∠AEB，AF平分∠BAC交DE于G，交BE于F（1）在图1中找1条和EF相等得线段，并证明；（2）如图2，延长DE与BC交于点H，若AG＝kGF，猜想并验证BC与CH的数量关系（用含k得式子表示）
25．（2020·山东东平·初二期末）如图，四边形是正方形，点是边上动点(不与重合)．连接过点作交于点．求证：；连接，试探究当点在什么位置时，，请证明你的结论．
26．（2021·上海中考真题）如图，在梯形中，是对角线的中点，联结并延长交边或边于E．（1）当点E在边上时，①求证：；②若，求的值；（2）若，求的长．
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第5章 图形与变换 （浙江省专用）
第25节 相似三角形与位似
【考试要求】
1.了解比例的基本性质、线段的比和成比例线段的概念；
2.理解黄金分割及平行线分线段成比例定理
3.了解相似三角形的概念；
4.掌握相似三角形的判定与性质；
5.会综合运用图形的相似解决一些实际问题.
【考情预测】
该板块内容主要考查相似的性质和判定，2022年各地中考仍以考查基础为主，在选择题中单独考查，是广大考生的得分点，相似应用的考查，主要体现在综合题中，作为综合题的一部分，在解决求线段长问题时和勾股定理、三角函数一起运用，此时解答题的难度变大，综合性就较强了，分值在15分左右，为避免丢分，应扎实掌握，灵活应用。
【考点梳理】
1．比和比例的有关概念及性质：
(1)若＝或a∶b＝c∶d，其中b，c称为内项，a，d称为外项．
(2)若＝或a∶b＝b∶c，则b叫做a，c的比例中项．
(3)把一条线段(AB)分成两条线段，使其中较长线段(AC)是原线段(AB)与较短线段(BC)的比例中项，这就叫做把这条线段黄金分割，即AC2＝AB·BC，其中AC＝ AB≈ 0.618 AB．
（4）比例的基本性质及定理：(1)＝ ad＝ bc ．
2.平行线分线段成比例定理及推论
（1）三条平行线截两条直线,所得的对应线段成比例.
（2）平行于三角形一边的直线与其他两边(或两边的延长线)相交,截得的对应线段成比例.
3、相似多边形
（1）定义:各角分别相等,各边成比例的两个多边形叫做相似多边形.相似多边形对应边的比叫做相似比,相似比为1的两个多边形全等.
（2）性质:①相似多边形的对应角相等,对应边的成比例;②相似多边形周长的比等于相似比;③相似多边形面积的比等于相似比的平方.
4.相似三角形
（1）定义:三角分别相等,三边成比例的两个三角形叫做相似三角形.
（2）判定:①平行于三角形一边的直线与其他两边相交,所构成的三角形与原三角形相似;
②两角对应相等,两三角形相似;③两边对应成比例且夹角相等,两三角形相似;
④三边对应成比例,两三角形相似;⑤斜边和一条直角边对应成比例,两直角三角形相似.
（3）性质: ①相似三角形的对应角相等,对应边的成比例;
②相似三角形对应高的比、对应中线的比、对应角平分线的比都等于相似比;
③相似三角形周长的比等于相似比;④相似三角形面积的比等于相似比的平方.
5、位似图形
1．定义：如果两个图形不仅是相似图形而且每组对应点的连线交于一点，对应边互相平行（或在同一条直线上），那么这样的两个图形叫做位似图形，这个点叫做位似中心，相似比叫做位似比．
2．性质：
1）在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为中心，相似比为k，那么位似图形对应点的坐标的比等于k或–k；2）位似图形上任意一对对应点到位似中心的距离之比等于位似比或相似比．
3．找位似中心的方法：将两个图形的各组对应点连接起来，若它们的直线或延长线相交于一点，则该点即是位似中心．
4．画位似图形的步骤：
1）确定位似中心；2）确定原图形的关键点；3）确定位似比，即要将图形放大或缩小的倍数；
4）作出原图形中各关键点的对应点；5）按原图形的连接顺序连接所作的各个对应点．
【重难点突破】
考向1. 比例线段
【典例精析】
【例】（2021·湖南中考真题）下图是一架梯子的示意图，其中，且．为使其更稳固，在，间加绑一条安全绳（线段），量得，则________．
【变式训练】
变式1-1．（2021·黑龙江大庆市·中考真题）已知，则________
变式1-2．（2021·福建南平·一模）数学中，把宽与长之比为的矩形称为黄金矩形，这个比例被称为黄金分割比例．如图，名画《蒙娜丽莎的微笑》的整个画面的主体部分很好地体现了黄金分割比例，其中矩形ABCD是黄金矩形，若我们把一个正方形AEFD嵌入黄金矩形ABCD中（正方形的边长等于黄金矩形的宽），这样就创造了一个新的黄金矩形BEFC．如果把这个过程重复数次，接着我们要在每个正方形内画一条圆弧，让每个圆弧的半径等于它所在正方形的边长就会得到下面这张图，若，则图中弧HF的长为（ ）
A． B． C． D．
变式1-3．（2021·江苏如皋·二模）如图，在中，D在AC边上，，O是BD的中点，连接AO并延长交BC于E，记的面积为，四边形CDOE的面积为，则____________．
【考点巩固训练】
1．（2021 下城区期末）已知线段c为线段a，b的比例中项，若a＝1，b＝2，则c＝（　　）
A．1 B． C． D．
2．（2021 临安区期末）如果用线段a、b、c，求作线段x，使a：b＝c：x，那么下列作图正确的是（　　）
A． B． C． D．
3．（2021·巴中·中考真题）两千多年前，古希腊数学家欧多克索斯发现了黄金分割，即：如图，点P是线段AB上一点（AP＞BP），若满足，则称点P是AB的黄金分割点．黄金分割在日常生活中处处可见，例如：主持人在舞台上主持节目时，站在黄金分割点上，观众看上去感觉最好．若舞台长20米，主持人从舞台一侧进入，设他至少走x米时恰好站在舞台的黄金分割点上，则x满足的方程是（　　）
A．（20﹣x）2＝20x B．x2＝20（20﹣x）
C．x（20﹣x）＝202 D．以上都不对
4．（2021·黑龙江中考真题）如图，在中，，，，，则的长为（ ）
A． B． C． D．
5．（2022·福建三明·一模）如图，已知直线a∥b∥c，直线m，n与直线a，b，c分别交于点A，B，C，D，E，F，若DE＝7，EF＝10，则的值为（ ）
A． B． C． D．
考向2. 相似三角形的判定
【典例精析】
【例】（2021 临安区期末）如图，点B、D、E在一条直线上，BE交AC于点F，＝，且∠BAD＝∠CAE．（1）求证：△ABC∽△ADE；（2）求证：△AEF∽△BFC．
【变式训练】
变式2-1. （2021 上城区二模）如图，在△ABC中，∠A＝75°，AB＝6，AC＝8，将△ABC沿图中的虚线剪开，剪下的阴影三角形与原三角形不相似的是（　　）
A． B． C． D．
变式2-2. （2021·湖南湘潭·中考真题）如图，在中，点D，E分别为边，上的点，试添加一个条件：_____，使得与相似．（任意写出一个满足条件的即可）
变式2-3. （2021·浙江·诸暨市滨江初级中学九年级期中）如图，P为线段AB上一点，AD与BC交与点E，∠CPD＝∠A＝∠B，BC交PD与点F，AD交PC于点G，则下列结论中错误的是（　　）
A．△CGE∽△CBP B．△APD∽△PGD C．△APG∽△BFP D．△PCF∽△BCP
【考点巩固训练】
1．（2021·浙江温州·九年级期末）如图，下列条件不能判定与相似的是（ ）
A． B． C． D．
2．（2021 萧山区期末）如图，∠ACB＝∠BDC＝Rt∠．要使△ABC∽△BCD，给出下列需要添加的条件：①AB∥CD；②BC2＝AC CD；③，其中正确的是（　　）
A．①② B．①③ C．②③ D．①②③
3．（2021 下城区期末）如图，在△ABC中，E，G分别是AB，AC上的点，∠AEG＝∠C，∠BAC的平分线AD交EG于点F，若，则（　　）
A． B． C． D．
4．（2021·四川南充市·中考真题）如图，在中，D为BC上一点，，则的值为________．
5．（2020·上海中考真题）已知：如图，在菱形ABCD中，点E、F分别在边AB、AD上，BE=DF，CE的延长线交DA的延长线于点G，CF的延长线交BA的延长线于点H．
（1）求证：△BEC∽△BCH；（2）如果BE2=AB AE，求证：AG=DF．
考向3. 相似三角形的性质
【典例精析】
【例】（2021 诸暨市期末）如图，△ABC中，点D是AB的中点，点E是AC边上的动点，若△ADE与△ABC相似，则下列结论一定成立的是（　　）
A．E为AC的中点 B．DE∥BC或∠BDE+∠C＝180°
C．∠ADE＝∠C D．DE是中位线或AD AC＝AE AB
【变式训练】
变式3-1. （2021 拱墅区二模）如图，已知AB，CD相交于点O，AC∥BD，＝，CO＝6，则DO＝（　　）
A．21 B．15 C．9 D．5
变式3-2. （2021·四川巴中·中考真题）如图，ABC中，点D、E分别在AB、AC上，且，下列结论正确的是（　　）
A．DE：BC＝1：2 B．ADE与ABC的面积比为1：3
C．ADE与ABC的周长比为1：2 D．DEBC
变式3-3. （2021·湖南湘西土家族苗族自治州·中考真题）已知点在第一象限，且，点在轴上，当为直角三角形时，点的坐标为（ ）
A．，或 B．，或
C．，或 D．，或
【考点巩固训练】
1．（2021 清江浦区校级月考）如图，DE∥BC，AD：DB＝2：1，那么△ADE与△ABC的相似比为（　　）
A． B． C． D．2
2．（2021 慈溪市期末）如图，在△ABC中，D，E，F分别为BC，AB，AC上的点，且EF∥BC，FD∥AB，则下列各式正确的是（　　）
A．＝ B．＝ C．＝ D．＝
3．（2021 杭州）如图，在△ABC中，点D，E分别在AB和AC上，DE∥BC，M为BC边上一点（不与点B，C重合），连接AM交DE于点N，则（　　）
A．＝ B．＝ C．＝ D．＝
4．（2021·辽宁营口市·中考真题）如图，是的中位线，F为中点，连接并延长交于点G，若，则________．
5．（2021·江苏淮安·中考真题）如图，方格纸上每个小正方形的边长均为1个单位长度，△ABC的顶点A、B、C都在格点上（两条网格线的交点叫格点）．请仅用无刻度的直尺按下列要求画图，并保留画图痕迹（不要求写画法）．（1）将△ABC绕点A按顺时针方向旋转90°，点B的对应点为B1，点C的对应点为C1，画出△AB1C1；（2）连接CC1，△ACC1的面积为 　　；（3）在线段CC1上画一点D，使得△ACD的面积是△ACC1面积的．
考向4. 相似三角形的应用
【典例精析】
【例】（2021 滨江区期末）如图，有一块三角形余料ABC，它的面积为36cm2，边BC＝12cm，要把它加工成正方形零件，使正方形的一边在BC上，其余两个顶点分别在AB，AC上，则加工成的正方形零件的边长为（　　）cm．
A．8 B．6 C．4 D．3
【变式训练】
变式4-1. （2021 绍兴）学校门口的栏杆如图所示，栏杆从水平位置BD绕O点旋转到AC位置，已知AB⊥BD，CD⊥BD，垂足分别为B，D，AO＝4m，AB＝1.6m，CO＝1m，则栏杆C端应下降的垂直距离CD为（　　）
A．0.2m B．0.3m C．0.4m D．0.5m
变式4-2. （2021·吉林中考真题）如图，为了测量山坡的护坡石坝高，把一根长为的竹竿斜靠在石坝旁，量出竿上长为时，它离地面的高度为，则坝高为__________．
变式4-3. （2021·辽宁朝阳·中考真题）一数学兴趣小组去测量一棵周围有围栏保护的古树的高，在G处放置一个小平面镜，当一位同学站在F点时，恰好在小平面镜内看到这棵古树的顶端A的像，此时测得FG＝3m，这位同学向古树方向前进了9m后到达点D，在D处安置一高度为1m的测角仪CD，此时测得树顶A的仰角为30°，已知这位同学的眼睛与地面的距离EF＝1.5m，点B，D，G，F在同一水平直线上，且AB，CD，EF均垂直于BF，求这棵古树AB的高．（小平面镜的大小和厚度忽略不计，结果保留根号）
【考点巩固训练】
1．（2021·河北中考真题）图1是装了液体的高脚杯示意图（数据如图），用去一部分液体后如图2所示，此时液面（ ）
A． B． C． D．
2．（2021·四川内江·中考真题）在同一时刻，物体的高度与它在阳光下的影长成正比．在某一时刻，有人测得一高为的竹竿的影长为，某一高楼的影长为，那么这幢高楼的高度是（ ）
A． B． C． D．
3．（2021·江苏南通·中考真题）如图，利用标杆测量楼高，点A，D，B在同一直线上，，，垂足分别为E，C．若测得，，，楼高是多少？
4．（2021 西湖区校级月考）如图，△ABC是一块锐角三角形材料，BC＝200mm，高AD＝150mm，要把它加工成一矩形零件，使矩形一边在BC上，其余两个顶点分别在AB、AC上．（1）设PN＝x，矩形PQMN的面积为S，求S关于x的函数表达式，并指出x的取值范围．（2）当x为何值时，矩形PQMN的面积最大？最大值是多少？
5．（2021·山西中考真题）阅读与思考，请阅读下列科普材料，并完成相应的任务．
图算法图算法也叫诺模图，是根据几何原理，将某一已知函数关系式中的各变量，分别编成有刻度的直线（或曲线），并把它们按一定的规律排列在一起的一种图形，可以用来解函数式中的未知量．比如想知道10摄氏度相当于多少华氏度，我们可根据摄氏温度与华氏温度之间的关系：得出，当时，．但是如果你的温度计上有华氏温标刻度，就可以从温度计上直接读出答案，这种利用特制的线条进行计算的方法就是图算法． 再看一个例子：设有两只电阻，分别为5千欧和7.5千欧，问并联后的电阻值是多少？我们可以利用公式求得的值，也可以设计一种图算法直接得出结果：我们先来画出一个的角，再画一条角平分线，在角的两边及角平分线上用同样的单位长度进行刻度，这样就制好了一张算图．我们只要把角的两边刻着7.5和5的两点连成一条直线，这条直线与角平分线的交点的刻度值就是并联后的电阻值．图算法得出的数据大多是近似值，但在大多数情况下是够用的，那些需要用同一类公式进行计算的测量制图人员，往往更能体会到它的优越性．
任务：（1）请根据以上材料简要说明图算法的优越性；
（2）请用以下两种方法验证第二个例子中图算法的正确性：①用公式计算：当，时，的值为多少；②如图，在中，，是的角平分线，，，用你所学的几何知识求线段的长．
考向5. 位似变换
【典例精析】
【例】（2021·山东东营市·中考真题）如图，中，A、B两个顶点在x轴的上方，点C的坐标是（1，0），以点C为位似中心，在x轴的下方作的位似图形，并把的边长放大到原来的2倍，设点B的横坐标是a，则点B的对应点的横坐标是（ ）
A． B． C． D．
【变式训练】
变式5-1. （2021·重庆中考真题）如图，△ABC与△BEF位似，点O是它们的位似中心，其中OE=2OB，则△ABC与△DEF的周长之比是（ ）
A．1：2 B．1：4 C．1：3 D．1：9
变式5-2. （2021·贵州黔东南苗族侗族自治州·中考真题）已知在平面直角坐标系中，△AOB的顶点分别为点A（2，1）、点B（2，0）、点O（0，0），若以原点O为位似中心，相似比为2，将△AOB放大，则点A的对应点的坐标为________．
变式5-3. （2020·辽宁盘锦市·中考真题）如图，三个顶点的坐标分别为，以点为位似中心，相似比为，将缩小，则点的对应点的坐标是____________．
【考点巩固训练】
1．（2021·辽宁沈阳·中考真题）如图，与位似，位似中心是点O，若，则与的周长比是（ ）
A． B． C． D．
2．（2020·湖南郴州市·中考真题）在平面直角坐标系中，将以点为位似中心，为位似比作位似变换，得到．已知，则点的坐标是__________．
3．（2021·重庆中考真题）如图，在平面直角坐标系中，将以原点O为位似中心放大后得到，若，，则与的相似比是（ ）
A．2：1 B．1：2 C．3：1 D．1：3
4．（2020·辽宁朝阳市·中考真题）如图所示的平面直角坐标系中，的三个顶点坐标分别为，请按如下要求画图：（1）以坐标原点O为旋转中心，将顺时针旋转90°，得到，请画出；（2）以坐标原点O为位似中心，在x轴下方，画出的位似图形，使它与的位似比为．
5．（2020·内蒙古鄂尔多斯市·中考真题）（1）（操作发现）
如图1，在边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中，的三个顶点均在格点上．
①请按要求画图：将绕点A顺时针方向旋转90°，点B的对应点为点，点C的对应点为点．连接；②在①中所画图形中，＝　　°．
（2）（问题解决）如图2，在中，BC＝1，∠C＝90°，延长CA到D，使CD＝1，将斜边AB绕点A顺时针旋转90°到AE，连接DE，求∠ADE的度数．
（3）（拓展延伸）如图3，在四边形ABCD中，AE⊥BC，垂足为E，∠BAE＝∠ADC，BE＝CE＝1，CD＝3，AD＝kAB（k为常数），求BD的长（用含k的式子表示）．
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