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第八章 立体几何初步
8.3 简单几何体的表面积
8.3.2 圆柱、圆锥、圆台、球的表面积和体积
学案
一、学习目标
1.掌握圆柱、圆锥、圆台、球的表面积和体积的计算公式.
2.能运用圆柱、圆锥、圆台、球的表面积和体积公式进行计算和解决有关实际问题.
二、基础梳理
1.圆柱、圆锥、圆台的表面积
旋转体 侧面展开图 面积公式
圆柱 底面积： 侧面积： 表面积：
圆锥 底面积： 侧面积： 表面积：
圆台 上底面面积： 下底面面积： 侧面积： 表面积：
2.圆柱、圆锥、圆台的体积
圆柱：（r为底面半径，h为高）
圆锥：（r为底面半径，h为高）
圆台：（分别为上、下底面半径，为高）
3.球的表面积与体积
①球的表面积：设球的半径为R，则球的表面积为，即球的表面积等于它的大圆面积的4倍.
②球的体积：设球的半径为R，则球的体积为.
三、巩固练习
1.圆台的上、下底面半径和高的比为1：4：4，母线长为10，则圆台的侧面积为( )
A. B. C. D.
2.已知圆柱的高为1，它的两个底面的圆周在直径为2的同一个球的球面上，则该圆柱的体积为( )
A.π B. C. D.
3.已知圆锥的高为h，底面半径为r，且，圆锥的体积，则该圆锥的表面积为( )
A. B. C. D.
4.一个球的表面积是，那么这个球的体积为( )
A. B. C. D.
5.已知某圆锥的表面积是，其侧面展开图是顶角为的扇形，则该圆锥的侧面积为( )
A.π B. C. D.
6.一个圆台的母线长等于上、下底面半径和的一半，且侧面积是，则母线长为( ).
A.2 B. C.4 D.8
7.已知正方体、球、底面直径与母线相等的圆柱，它们的表面积相等，则它们的体积的大小关系是( )
A. B.
C. D.
8.如图，用一边长为的正方形硬纸，按各边中点垂直折起4个小三角形，做成一个“底座”，将体积为的球放入其中，“底座”形状保持不变，则球的最高点与“底座”底面的距离为( )
A. B. C. D.
9.如图，在直三棱柱中，为等边三角形，，，则三棱柱的外接球的表面积为( )
A. B. C. D.
10.如图所示，一个正方体的棱长为2，以相对两个面的中心连线为轴，钻一个直径为1的圆柱形孔，则所得几何体的表面积为___________.
11.已知某圆台的上、下底面面积分别是π，，侧面积是，则这个圆台的体积是______________.
12.在梯形ABCD中，，，.将梯形ABCD绕AD所在的直线旋转一周形成的曲面所围成的几何体的体积为__________.
13.已知正三棱锥的侧棱长为，底面边长为6，则该正三棱锥外接球的表面积是_______________.
14.如图所示，半径为R的半圆内的阴影部分以直径AB所在的直线为轴，旋转一周得到一个几何体，求该几何体的表面积及其体积（其中）.
15.已知球与圆台的上、下底面及侧面都相切，且球的表面积与圆台的侧面积之比为3：4，求球的体积与圆台的体积之比.
16.一倒置圆锥体的母线长为10 cm，底面半径为6 cm.
（1）求圆锥体的高；
（2）若有一球刚好放进该圆锥体（球与圆锥的底面相切）中，求这个球的半径以及此时圆锥体剩余空间的体积.
答案以及解析
1.答案：B
解析：因为圆台的上、下底面半径和高的比为1：4：4，母线长为10，设圆台上底面的半径为r，则下底面半径和高分别为4r和4r，由得，故圆台的侧面积等于.故选B.
2.答案：B
解析：由圆柱的两个底面的圆周在直径为2的同一个球的球面上知球的直径为2，
因此球的半径.因为圆柱的高，所以圆柱的底面半径为.由圆柱体的体积公式得.故选B.
3.答案：D
解析：由题意知，解得，.
又母线长，
∴该圆锥的表面积为.故选D.
4.答案：B
解析：设这个球的半径为R，则，得，所以这个球的体积.故选B.
5.答案：D
解析：设圆锥的底面半径为r，母线为l，则圆锥的侧面展开图的弧长为，则由，所以.圆锥的表面积是，即，解得，所以侧面积.故选D.
6.答案：C
解析：设圆台的上、下底面半径为r，R，则母线，，，，故选C.
7.答案：B
解析：设正方体的棱长、球的半径、圆柱的底面半径分别为a，R，r，则，，，由题意知，所以，，所以，，，显然.故选B.
8.答案：D
解析：由题意，可得“底座”的底面是边长为1的正方形，则经过4个小三角形的顶点截球所得的截面圆的直径为1.因为球的体积为，所以球的半径为1，所以球心到截面圆的距离为，因为垂直折起的4个小直角三角形斜边上的高为，所以球的最高点与“底座”底面的距离为.故选D.
9.答案：B
解析：如图所示，取，的外接圆的圆心分别为M，N，连接MN，取MN的中点O，则O是三棱柱的外接球的球心，连接OA，AM.设的外接圆的半径为r，三棱柱的外接球的半径为R，由正弦定理得，解得，即.又，所以，所以，所以外接球的表面积为.故选B.
10.答案：
解析：几何体的表面积为.
11.答案：
解析：设圆台的上、下底面半径分别为r和R，母线长为l，高为h，则上底面的面积为，所以，下底面的面积为，所以，所以侧面积为，所以，，所以圆台的体积.
12.答案：
解析：梯形ABCD如图所示，，，，，，，解得.过点A作于点T，则，.旋转体是底面半径为，高为2的圆柱，挖去2个底面半径为，高为的圆维，则所围成的几何体的体积.
13.答案：
解析：如图，过点S作平面ABC于点E，取正三棱锥外接球的球心为O，连接OB，BE.
在正三棱锥中，底面边长为6，侧棱长为，，.球心O到四个顶点的距离均等于该正三棱锥外接球的半径长R，，.在中，，即，解得，
该正三棱锥外接球的表面积为.故答案为.
14.解析：如图所示，过点C作于点，
在半圆中可得，，，
，，，
，
，
，
，
旋转所得到的几何体的表面积为.
又，，
，
.
15.解析：如图所示，作圆台的轴截面等腰梯形ABCD，
，分别为圆台上、下底面圆的圆心，球的截面圆O内切于梯形ABCD.
作于点E，连接OA，OB，则.
设球的半径为R，圆台的上、下底面半径分别为，，
易知圆台的高为2R，母线长为.
，，.
，，
，
∴球的体积与圆台的体积之比为.
16.解析：（1）设圆锥体的高为h，底面半径为R，母线长为l，
则，所以圆锥体的高为8 cm.
（2）球放入圆锥体后的轴截面如图所示，设球的半径为r.
易得，，
，解得.
圆锥体剩余的空间为圆锥的体积减去球的体积，
即.
∴此时圆锥体剩余空间的体积为.

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