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5.3.1函数的单调性(2) 导学案
1．掌握利用导数判断函数的单调性的一般步骤．
2．探究函数增减的快慢与导数的关系．
3.学会处理含参函数的单调性问题
重点：导数判断函数的单调性的一般步骤
难点： 含参函数的单调性问题
1.函数f (x)的单调性与导函数f ′(x)正负的关系
定义在区间(a，b)内的函数y＝f (x)：
f ′(x)的正负 f (x)的单调性
f ′(x)＞0 单调递____
f ′(x)＜0 单调递____
增 ;减
2．判断函数y＝f (x)的单调性
第1步：确定函数的______；
第2步：求出导数f ′(x)的____；
第3步：用f ′(x)的____将f (x)的定义域划分为若干个区间，列表给出f ′(x)在各区间上的____，由此得出函数y＝f (x)在定义域内的单调性．
定义域 ;零点 ;零点 ;正负
3.函数图象的变化趋势与导数值大小的关系
一般地，设函数y＝f (x)，在区间(a，b)上：
导数的绝对值 函数值变化 函数的图象
越大 __ 比较“____”(向上或向下)
越小 __ 比较“____”(向上或向下)
快;陡峭 ;慢;平缓
探究1. 形如f(x)=ax3+bx2+cx+d(a≠0)的函数应用广泛，下面我们利用导数来研究这类函数的单调性。
例3. 求函数的单调区间.
如果不用导数的方法，直接运用单调性的定义，你如何求解本题？
用解不等式法求单调区间的步骤
确定函数fx的定义域；
求导函数f′x；
解不等式f′x＞0或f′x＜0，并写出解集；
根据的结果确定函数fx的单调区间.
跟踪训练1.求下列函数的单调区间：
(1)f (x)＝3x2－2ln x；(2)f (x)＝x2e－x.
探究2：
例4.设
例5. 设g(x)＝ln x－ax2＋(a－2)x，a＜0，试讨论函数g(x)的单调性．
利用导数研究含参函数fx的单调区间的一般步骤
确定函数fx的定义域；
求导数f′x；
分析参数对区间端点、最高次项的系数的影响，以及不等式解集的端点与定义域的关系，恰当确定参数的不同范围，并进行分类讨论；
在不同的参数范围内，解不等式f′x＞0和f′x＜0，确定函数fx的单调区间.
跟踪训练2．试求函数f (x)＝kx－ln x的单调区间．
1．求函数f(x)＝的单调区间．
2.已知函数f (x)＝x3－ax－1为单调递增函数，求实数a的取值范围．
3．已知函数f (x)＝ae2x＋(a－2)ex－x，讨论f (x)的单调性．
1．判断或证明函数的单调性，首先确定函数的定义域，然后求得函数的导数，根据导数的正负得到不等式的解集，从而确定函数的单调性．
2．利用导数研究含参数函数的单调性时，常遇到三种情况：
(1)区间端点大小不确定型
由于函数导数不等式中的区间端点大小不定，因此需根据区间端点的大小确定参数的范围，再分类讨论函数的单调区间．
(2)区间端点与定义域关系不确定型
此类问题一般会有定义域限制，解函数导数不等式的区间端点含参数，此端点与函数定义域的端点大小不确定，因此需分类讨论．
参考答案：
知识梳理
学习过程
一、新知探究
典例解析
例3. 解：函数 的定义域为R，对f(x)求导，得
令0,解得：
，
在各区间上的正负，以及单调性如表所示。
所以，f(x)在在 上单调递增，
在 单调递减。如图所示
如果不用导数的方法，直接运用单调性的定义，你如何求解本题？
跟踪训练1 [解]　(1)f (x)＝3x2－2ln x的定义域为(0，＋∞)，
f ′(x)＝6x－＝＝，
由x＞0，f ′(x)＞0，解得x＞.
由x＞0，f ′(x)＜0，解得0＜x＜.
∴函数f (x)＝3x2－2ln x的单调递增区间为，
单调递减区间为.
(2)函数的定义域为D＝(－∞，＋∞)．
∵f ′(x)＝(x2)′e－x＋x2(e－x)′＝2xe－x－x2e－x＝e－x(2x－x2)，令f ′(x)＝0，
由于e－x＞0，∴x1＝0，x2＝2，用x1，x2分割定义域D，得下表：
x (－∞，0) 0 (0，2) 2 (2，＋∞)
f ′(x) － 0 ＋ 0 －
f (x) ↘ f (0)＝0 ↗ f (2)＝ ↘
∴f (x)的单调递减区间为(－∞，0)和(2，＋∞)，
单调递增区间为(0，2)．
探究2：分析
分析
例4. 解：因为
所以, ,
当x=1时，
当0当x>1时，
所以，f(x),g(x)在 上都是增函数。在区间（0,1）上，
g(x)的函数图象比f(x)的图像要“陡峭”；在区间 ，
g(x)的图象比f(x)的图象要“平缓”。
所以，f(x),g(x)的图象依次是图中的C2,C1。
例5. [思路探究]　先对原函数求导得g′(x)＝－(x＞0)，再对a分类讨论得函数g(x)的单调性．
(1)当a＜－2时，∵－＜，
∴g′(x)＝－＞0等价于(2x－1)＞0，
易得函数g(x)在和上单调递增，
同理可得在上单调递减；
(2)当a＝－2时，g′(x)＝≥0恒成立，
∴函数g(x)在(0，＋∞)上单调递增；
(3)当－2＜a＜0时，∵－＞，∴g′(x)＝－＞0等价于(2x－1)＞0，易得函数g(x)在和上单调递增，同理可得在上单调递减．
跟踪训练2． [解]　函数f (x)＝kx－ln x的定义域为(0，＋∞)，f ′(x)＝k－＝.
当k≤0时，kx－1＜0，
∴f ′(x)＜0，则f (x)在(0，＋∞)上单调递减．
当k＞0时，由f ′(x)＜0，得＜0，解得0＜x＜；
由f ′(x)＞0，得＞0，解得x＞.
∴当k＞0时，f (x)的单调递减区间为，
单调递增区间为.
综上所述，当k≤0时，f (x)的单调递减区间为(0，＋∞)；
当k＞0时，f (x)的单调递减区间为，单调递增区间为.
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1． 解：函数f(x)的定义域为(－∞，2)∪(2，＋∞)．
f′(x)＝＝.
因为x∈(－∞，2)∪(2，＋∞)，所以ex>0，(x－2)2>0.
由f′(x)>0得x>3，
所以函数f(x)的单调递增区间为(3，＋∞)；
由f′(x)<0得x<3，又定义域为(－∞，2)∪(2，＋∞)，
所以函数f(x)的单调递减区间为(－∞，2)和(2,3)．
2.[解]　由已知得f ′(x)＝3x2－a，
因为f (x)在(－∞，＋∞)上是单调增函数，
所以f ′(x)＝3x2－a≥0在(－∞，＋∞)上恒成立，
即a≤3x2对x∈R恒成立，因为3x2≥0，所以只需a≤0.
又因为a＝0时，f ′(x)＝3x2≥0，
f (x)＝x3－1在R上是增函数，所以a≤0.
3．[解]　f (x)的定义域为(－∞，＋∞)，
f ′(x)＝2ae2x＋(a－2)ex－1＝(aex－1)(2ex＋1)．
①若a≤0，则f ′(x)＜0，所以f (x)在(－∞，＋∞)上单调递减．
②若a＞0，则由f ′(x)＝0，得x＝－ln a.
当x∈(－∞，－ln a)时，f ′(x)＜0；
当x∈(－ln a，＋∞)时，f ′(x)＞0.
所以f (x)在(－∞，－ln a)上单调递减，
在(－ln a，＋∞)上单调递增．
综上，当a≤0时，f (x)在(－∞，＋∞)上单调递减；
当a＞0时，f (x)在(－∞，－ln a)上单调递减，
在(－ln a，＋∞)上单调递增．

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