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6.2.2 向量的减法运算
【学习目标】
素 养 目 标 学 科 素 养
1.理解理解相反向量的概念。（重点） 2.掌握向量减法的运算法则及其几何意义。（重点） 3.能用向量的加法和减法解决相关问题。（难点） 1.数学运算; 2.直观想象
【自主学习】
一．相反向量
定义 如果两个向量长度 ，而方向 那么称这两个向量是相反向量
性质 对于相反向量有：a＋(－a)＝____
若a、b互为相反向量，则a＝____，a＋b＝____
零向量的相反向量仍是零向量
推论 －(－a)＝a，a＋(－a)＝(－a)＋a＝0； 如果a与b互为相反向量，那么a＝－b，b＝－a，a＋b＝0．
二.向量的减法
定义 a－b＝a＋(－b)，即减去一个向量相当于加上这个向量的
作法 在平面内任取一点O，作＝a，＝b，则向量a－b＝_____.如图所示
几何意义 如果把两个向量a、b的起点放在一起，则a－b可以表示为从向量b 的 指向向量a的 的向量
思考：已知不共线的两个向量a，b，a＋b与a－b的几何意义分别是什么？
三．|a－b|与|a|，|b|之间的关系
(1)对于任意向量a，b，都有 ≤ |a－b| ≤ ；
(2)当a，b共线，且同向时，有|a－b|＝ 或 ；
(3)当a，b共线，且反向时，有|a－b|＝____．
【小试牛刀】
1.思维辨析(对的打“√”，错的打“×”)
(1)相反向量一定是共线向量．(　√　)
(2)两个相反向量之差等于0.(　　)
(3)向量的减法实质上是向量的加法的逆运算．(　　)
(4)两个向量的差仍是一个向量．(　　)
2.设b是a的相反向量，则下列说法一定错误的是(　　)
A．a与b的长度相等 B．a∥b
C．a与b一定不相等 D．a是b的相反向量
【经典例题】
题型一 向量加减法法则的应用
点拨：
　
例1 化简(－)－(－)．
【跟踪训练】1 化简：
(1)－＋－；
(2)(＋＋)－(－－)．
题型二 利用已知向量表示其他向量
点拨：三个技巧
(1)搞清楚图形中的相等向量、相反向量、共线向量以及构成三角形的三个向量之间的关系，确定已知向量与被表示向量的转化渠道．
(2)注意综合应用向量加法、减法的几何意义以及向量加法的结合律、交换律来分析解决问题．
(3)注意在封闭图形中利用向量加法的多边形法则．
例2 如图，O为平行四边形ABCD内一点，＝a，＝b，＝c，则＝________．
【跟踪训练】2 如图，在五边形ABCDE中，若四边形ACDE是平行四边形，且＝a，＝b，＝c，则＝________.
题型三 向量减法的应用
例3已知向量|a|＝2，|b|＝4，且a，b不是方向相反的向量，则|a－b|的取值范围是________．
【跟踪训练】3（1）已知O为四边形ABCD所在平面外的一点，且向量，，，满足＋＝＋，则四边形ABCD的形状为 。
分析：注意向量a＋b，a－b的几何意义．对于平行四边形、菱形、矩形、正方形对角线具有的性质要熟悉并会应用．
（2）在平行四边形ABCD中，若|＋|＝|－|，则必有(　 　)
A．＝0　　　　　　 B．＝0或＝0
C．四边形ABCD为矩形 D．四边形ABCD为正方形
【当堂达标】
1．化简－＋－得(　 　)
A． B．
C． D．0
2．在□ABCD中，－等于(　 　)
A． B．
C． D．
3．(多选题)对于菱形ABCD，下列各式正确的是(　　)
A．＝ B．||＝||
C．|－|＝|＋| D．|＋|＝|－|
4．如图，已知ABCDEF是一正六边形，O是它的中心，其中＝b，＝c，则等于________．
5．已知＝10，||＝7，则||的取值范围为______．
6．若O是△ABC所在平面内一点，且满足|－|＝|－＋－|，试判断△ABC的形状．
【课堂小结】
知识点：
1.相反向量 2.向量减法 3．|a－b|与|a|，|b|之间的关系
题型：
1. 向量加减法法则的应用 2.利用已知向量表示其他向量
3.向量减法的应用
【参考答案】
【自主学习】
一．相等 相反 0 －b 0
二．相反向量 终点 终点
思考：如图，以AB，AD为邻边作平行四边形ABCD，则两条对角线所对应的向量＝a＋b，＝a－b，这一结论在以后的学习中应用非常广泛．
三．||a|－|b|| |a|－|b| |a|－|b| |a|＋|b|
【小试牛刀】
1.(1)√　(2)×　(3)√　(4)√
2.C 可能为零向量，此时C选项错误。
【经典例题】
例1 [解析]　方法一(统一成加法)　(－)－(－)＝－－＋＝＋＋＋＝＋＋＋＝＋＝0.
方法二(利用减法)　(－)－(－)＝－－＋＝(－)－＋＝－＋＝＋＝0.
【跟踪训练】1 解：(1)－＋－＝＋－＝－＝.
(2)(＋＋)－(－－)＝(＋)－(－)＝－＝0.
例2 a－b＋c解析：因为＝，＝－，＝－，所以－＝－，＝－＋，所以＝a－b＋c.
【跟踪训练】2 b－a＋c
解析：∵四边形ACDE为平行四边形，∴＝＝c，＝－＝b－a.
∴＝＋＝b－a＋c.
例3 [2,6)　解析：根据题意得||a|－|b||≤|a－b|＜|a|＋|b|，即2≤|a－b|＜6.
【跟踪训练】3 （1）平行四边形
[解析]　∵＋＝＋，∴－＝－，∴＝.
∴||＝||，且DA∥CB，∴四边形ABCD是平行四边形．
（2）C 解析：因为|＋|＝|－|，所以||＝||，即平行四边形ABCD的对角线相等，所以平行四边形ABCD为矩形．故选C.
【当堂达标】
1.D [解析]　原式＝(－)＋(＋)＝＋＝0.
2.A [解析]　－＝，在□ABCD中，＝.
3.BCD　解析
菱形ABCD中，如图，||＝||，∴B正确．
又|－|＝|＋|＝|＋|＝2||，
|＋|＝|＋|＝2||＝2||，
∴C正确；又|＋|＝|＋|＝||，|－|＝||＝||，∴D正确；A肯定不正确，故选BCD．
4. b－c解析：＝＝＝－＝b－c.
5. [3，17]
解析：因为＝－，所以||＝|－|.
又≤|－|≤||＋||，即3≤|－|≤17，所以3≤||≤17.
6.解：因为－＋－＝＋，－＝＝－.
又|－|＝|－＋－|，
所以|＋|＝|－|，所以以AB，AC为邻边的平行四边形的两条对角线的长度相等，所以该平行四边形为矩形，所以AB⊥AC，所以△ABC是直角三角形．

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