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6.2.4 向量的数量积
【学习目标】
素 养 目 标 学 科 素 养
1.理解平面向量数量积的含义并会计算。（重点） 2.理解a在b上的投影向量的概念。（重点） 3. 理解平面向量夹角、模的定义，并会求向量的夹角和模。（难点） 4.掌握平面向量数量积的性质及其运算律，并会应用。 1.数学运算; 2.数学抽象； 3.逻辑推理。
【自主学习】
一．两向量的夹角
1.定义：已知两个非零向量a，b，O是平面上的任意一点，作＝a，＝b，则∠AOB＝θ(0≤θ≤π)叫做向量a与b的夹角．
注意：①当θ＝0时，向量a与b ；
②当θ＝时，向量a与b ，记作a⊥b；
③当θ＝π时，向量a与b ．
注意：只有两个向量的起点重合时所对应的角才是两向量的夹角，如图所示，∠BAC不是向量与的夹角．作＝，则∠BAD才是向量与的夹角．
二．向量的数量积
已知两个 向量a与b，我们把数量|a||b|cosθ叫做向量a与b的 (或 )，记作a·b，即a·b＝|a||b|cosθ(θ为a，b的夹角)．
规定：零向量与任一向量的数量积为 .
注意：(1)“·”是数量积的运算符号，既不能省略不写，也不能写成“×”；
(2)数量积的结果为数量，不再是向量；
(3)向量数量积的正负由两个向量的夹角θ决定：当θ是锐角时，数量积为正；当θ是钝角时，数量积为负；当θ是直角时，数量积等于零．
三．投影向量
若与b方向相同的单位向量为e，a与b的夹角为θ，则向量a在向量b上的投影向量为|a|cosθ e.
当θ＝0时，投影向量为 ；当θ＝时，投影向量为 ；当θ＝π时，投影向量为 .
四．向量数量积的性质
设a，b是非零向量，它们的夹角是θ，e是与b方向相同的单位向量，则
(1)a·e＝e·a＝ .
(2)a⊥b ．
(3)当a与b同向时，a·b＝ ；当a与b反向时，a·b＝ ．特别地，a·a＝ 或|a|＝.
(4)|a·b|≤|a||b|.
(5)cosθ＝，其中θ是非零向量a与b的夹角．
数量积的性质的应用:
性质(2)可用于解决与两个非零向量垂直有关的问题；
性质(3)表明：当两个向量相等时，这两个向量的数量积等于向量长度的平方，因此可用于求向量的模；
性质(4)可以解决有关“向量不等式”的问题；
性质(5)的实质是平面向量数量积的逆用，可用于求两向量的夹角，也称为夹角公式．
五．向量数量积的运算律
已知向量a，b，c和实数λ，则
(1)交换律: ；
(2)数乘结合律： ；
(3)分配律： .
注意:(1)向量的数量积不满足消去律；若a，b，c均为非零向量，且a·c＝b·c，但得不到a＝b.
(2)(a·b)·c≠a·(b·c)，因为a·b，b·c是数量积，是实数，不是向量，所以(a·b)·c与向量c共线，a·(b·c)与向量a共线，因此，(a·b)·c＝a·(b·c)在一般情况下不成立．
(3)推论：(a±b)2＝a2±2a·b＋b2.
【小试牛刀】
思维辨析(对的打“√”，错的打“×”)
(1) 两个向量的数量积仍然是向量．(　　)
(2)若a·b＝0，则a与b至少有一个为零向量．(　　)
(3)若a·b>0，则a与b的夹角为锐角．(　　)
(4)若a·c＝b·c(c≠0)，则a＝b.(　　)
(5)对于任意向量a，都有a·a＝|a|2.(　　)
(6)a，b共线 a·b＝|a||b|.(　　)
【经典例题】
题型一 求平面向量的数量积
点拨：求向量的数量积时，需明确两个关键点：模和夹角．若相关向量是两个或两个以上向量的线性运算，则需先利用向量数量积的运算律及多项式乘法的相关公式进行化简．
例1　已知|a|＝5，|b|＝4，a与b的夹角为120°，试求：
(1)a·b；
(2)(a＋b)·(a－b)；
(3)(2a－b)·(a＋3b)．
【跟踪训练】1如图，在 ABCD中，||＝4，||＝3，∠DAB＝60°，求：
(1) ·；(2) ·.
题型二 求向量的模
点拨：求模问题一般转化为求模的平方，灵活应用a·a＝a2＝|a|2或|a|＝．
例2 已知平面向量a与b的夹角为60°，|a|＝2，|b|＝1，则|a＋2b|＝ 。
【跟踪训练】2 已知向量a与b的夹角为45°，且|a|＝1，|2a＋b|＝，则|b|＝________.
题型三 求两向量的夹角
点拨：求向量a与b夹角的关键是计算a·b及|a||b|，利用cos θ＝，θ∈[0，π]，求出θ的值．　
在个别含有|a|，|b|与a·b的等量关系中，常利用消元思想计算cos θ的值．
例3 (1)已知|a|＝6，|b|＝4，(a＋2b)·(a－3b)＝－72，则a与b的夹角为________；
(2)已知非零向量a，b满足|a|＝2|b|，且(a－b)⊥b，则a与b的夹角为__ ____．
【跟踪训练】3 已知单位向量e1，e2的夹角为，求向量a＝e1＋e2，b＝e2－2e1的夹角．
题型四 利用向量垂直求参数
点拨：常用向量数量积的性质a⊥b a·b＝0解决向量垂直问题，应熟练掌握.
例4 已知a⊥b，|a|＝2，|b|＝3，则当k为何值时，向量3a＋2b与ka－b互相垂直？
【跟踪训练】4已知向量a与b的夹角是，且|a|＝1，|b|＝2，若(a＋λb)⊥a，则实数λ＝________．
【当堂达标】
1.下列命题正确的是(　　)
A．|a·b|＝|a||b| B．a·b≠0 |a|＋|b|≠0
C．a·b＝0 |a||b|＝0 D．(a＋b)·c＝a·c＋b·c
2.在△ABC中，·<0，则△ABC是(　C　)
A．锐角三角形 B．直角三角形
C．钝角三角形 D．等边三角形
3.已知平面向量a，b满足a·(a＋b)＝3且|a|＝2，|b|＝1，则向量a与b的夹角为(　　)
A. B.
C. D.
4.已知向量a与b的夹角为120°，且|a|＝4，|b|＝2，则|a＋b|＝______，|3a－4b|＝______．
5.已知|a|＝3，|b|＝5，a·b＝－12，且e是与b方向相同的单位向量，则a在b上的投影向量为______．
6.已知向量a，b的夹角为60°，且|a|＝2，|b|＝1，若c＝2a－b，d＝a＋2b，求：
(1)c·d；(2)|c＋2d|.
【课堂小结】
1.两向量a与b的数量积是一个实数，不是一个向量，其值可以为正(当a≠0，b≠0,0≤θ＜时)，也可以为负(当a≠0，b≠0，＜θ≤π时)，还可以为0(当a＝0或b＝0或θ＝时)．
2.两非零向量a，b，a⊥b a·b＝0，求向量模时要灵活运用公式|a|＝.
3.求两个非零向量a，b的夹角θ或其余弦值一般采用夹角公式cos θ＝，根据题中条件分别求出|a|，|b|和a·b，确定θ时要注意θ∈[0，π]．
【参考答案】
【自主学习】
同向 垂直 反向
非零 数量积 内积 0
|a|e 0 －|a|e
四．|a|cos θ a·b＝0 |a||b| －|a||b| |a|2
五．a·b＝b·a (λa)·b＝λ(a·b)＝a·(λb) (a＋b)·c＝a·c＋b·c
【小试牛刀】
(1)× (2)× (3)× (4)× (5) √ (6)×
【经典例题】
例1 解 (1)a·b＝|a||b|cos120°＝5×4×(－)＝－10.
(2)(a＋b)·(a－b)＝a2－a·b＋a·b－b2＝a2－b2＝|a|2－|b|2＝25－16＝9.
(3)(2a－b)·(a＋3b)＝2a2＋6a·b－a·b－3b2＝2|a|2＋5a·b－3|b|2＝2×25－5×10－3×16＝－48.
【跟踪训练】1解 (1) 因为与的夹角为60°，所以与的夹角为120°，
所以·＝||||·cos 120°＝4×3×＝－6.
(2)因为＝＋，＝－，所以·＝(＋)·(－)＝2－2＝9－16＝－7.
例2 2 解： |a＋2b|＝＝＝
＝ ＝2.
【跟踪训练】2 解：因为|2a＋b|＝，所以(2a＋b)2＝10，所以4a2＋4a·b＋b2＝10，
又因为向量a与b的夹角为45°且|a|＝1，所以4×12＋4×1×|b|×＋|b|2＝10，
整理得|b|2＋2|b|－6＝0，解得|b|＝或|b|＝－3(舍去)．
例3 (1)　(2)
解析　(1)设a与b的夹角为θ，(a＋2b)·(a－3b)＝a·a－3a·b＋2b·a－6b·b
＝|a|2－a·b－6|b|2＝|a|2－|a||b|cos θ－6|b|2＝62－6×4×cos θ－6×42＝－72，
所以24cos θ＝36＋72－96＝12，所以cos θ＝.又因为θ∈，所以θ＝.
(2)设a与b的夹角为θ，由(a－b)⊥b，得(a－b)·b＝0，所以a·b＝b2，所以cos θ＝.又因为|a|＝2|b|，所以cos θ＝＝.又因为θ∈[0，π]，所以θ＝.
【跟踪训练】3 解：∵e1，e2为单位向量且夹角为，
∴e1·e2＝1×1×cos＝.
∵a·b＝(e1＋e2)·(e2－2e1)＝－2－e1·e2＋1＝－2－＋1＝－，
|a|＝＝＝，|b|＝＝＝，
∴cosθ＝＝－×＝－.
又∵θ∈[0，π]，∴θ＝，∴a与b的夹角为.
例4 解：因为3a＋2b与ka－b互相垂直，
所以(3a＋2b)·(ka－b)＝0，所以3ka2＋(2k－3)a·b－2b2＝0.
因为a⊥b，所以a·b＝0，又|a|＝2，|b|＝3，所以12k－18＝0，k＝.
【跟踪训练】4 － 解析：根据题意得a·b＝|a|·|b|cos ＝1，因为(a＋λb)⊥a，所以(a＋λb)·a＝a2＋λa·b＝＋λ＝0，所以λ＝－.
【当堂达标】
1. D解析：选项D是分配律，正确，A、B、C不正确．
2.C 解析：∵·＝||||cosA<0，∴cosA<0，∴A是钝角，则△ABC是钝角三角形.
3.C 解析：选C.因为a·(a＋b)＝a2＋a·b＝4＋2cos〈a，b〉＝3，所以cos〈a，b〉＝－，又因为〈a，b〉∈[0，π]，所以〈a，b〉＝.
4.2　4 解析：由已知得a·b＝|a||b|cosθ＝4×2×cos 120°＝－4，a2＝|a|2＝16，b2＝|b|2＝4.
因为|a＋b|2＝(a＋b)2＝a2＋2a·b＋b2＝16＋2×(－4)＋4＝12，所以|a＋b|＝2.
因为|3a－4b|2＝(3a－4b)2＝9a2－24a·b＋16b2＝9×16－24×(－4)＋16×4＝304，所以|3a－4b|＝4.
5. －e 解析：设a与b的夹角θ，则cos θ＝＝＝－，所以a在b上的投影向量为|a|cos θ·e＝3×e＝－e.
6.解：因为向量a与b的夹角为60°.|a|＝2，|b|＝1，所以a·b＝|a||b|cos60°＝1，
因为c＝2a－b，d＝a＋2b，
(1)c·d＝(2a－b)·(a＋2b)＝2a2＋3a·b－2b2＝2|a|2＋3×1－2|b|2＝2×22＋3－2×12＝9.
(2)因为c＋2d＝(2a－b)＋2(a＋2b)＝4a＋3b，
(c＋2d)2＝(4a＋3b)2＝16a2＋24a·b＋9b2＝16|a|2＋24×1＋9|b|2＝16×22＋24×1＋9×1＝97，
所以|c＋2d|2＝97，所以|c＋2d|＝.

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