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6.3.2 平面向量的正交分解及坐标表示
6.3.3 平面向量加、减运算的坐标表示
6.3.4 平面向量数乘运算的坐标表示（第1课时）
【学习目标】
素 养 目 标 学 科 素 养
1.理解向量正交分解以及坐标表示的意义。（重点） 2.掌握两个向量的和、差及向量数乘的坐标运算法则。（重点） 3.应用向量运算解决相关问题。 1.数学运算; 2.直观想象; 3.数学抽象。
【自主学习】
一．平面向量的正交分解
把一个向量分解为 的向量，叫做把向量正交分解．
二．平面向量的坐标表示
在平面直角坐标系中，分别取与x轴、y轴方向相同的两个单位向量i，j作为基底，对于平面内的一个向量a，有且只有一对实数x，y使a＝xi＋yj，我们把有序实数对 叫做向量a的坐标，记作a＝ ，其中x叫做a在x轴上的坐标，y叫做a在y轴上的坐标．
在向量的直角坐标中i，j，0的坐标分别为i＝(1,0)，j＝(0,1)，0＝(0,0)．
三．平面向量的坐标运算
(1)若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，λ∈R，则
①a＋b＝ ；
②a－b＝ ；
③λa＝ ．
(2)一个向量的坐标等于表示此向量的有向线段的 坐标减去 坐标．
注意：(1)向量的坐标只与起点、终点的相对位置有关，而与它们的具体位置无关．
(2)已知向量的起点A(x1，y1)，终点B(x2，y2)，则＝(x2－x1，y2－y1)．
【小试牛刀】
1.思维辨析(对的打“√”，错的打“×”)
(1)存在唯一的一对实数x，y，使得a＝(x，y)．(　　)
(2)若x1，x2，y1，y2∈R，a＝(x1，y1)≠(x2，y2)，则x1≠x2，且y1≠y2.(　　)
(3)若x，y∈R，a＝(x，y)，且a≠0，则a的始点是原点O.(　　)
(4)若x，y∈R，a≠0，且a的终点坐标是(x，y)，则a＝(x，y)．(　　)
2.已知A(3，1)，B(2，－1)，则的坐标是(　　)
A．(－2，－1)　　　　　　　　 B．(2，1)
C．(1，2) D．(－1，－2)
【经典例题】
题型一 平面向量的坐标表示
点拨： (1)求一个点的坐标，可以转化为求该点相对于坐标原点的位置的坐标．
(2)求一个向量的坐标时，可以首先求出这个向量的始点坐标和终点坐标，再运用终点坐标减去始点坐标得到该向量的坐标．
例1 分别用基底{ i，j }表示向量a，b，c，d，并求出它们的坐标。
【跟踪训练】1 已知O是坐标原点，点A在第一象限，||＝4，∠xOA＝60°，
（1）求向量的坐标；
（2）若B(，－1)，求的坐标．
【跟踪训练】3
题型二 平面向量的坐标运算
点拨： (1)若已知向量的坐标，则直接应用两个向量和、差及向量数乘的运算法则进行．
(2)若已知有向线段两端点的坐标，则必须先求出向量的坐标，然后再进行向量的坐标运算．
(3)向量的线性坐标运算可类比数的运算进行
例2 已知a＝(2,1)，b＝(－3，4)，求a＋b， a－b，3a＋4b坐标。
【跟踪训练】2（1）已知A，B，C的坐标分别为(2，－4)，(0，6)，(－8，10)，则＋2＝____________，－＝____________．
题型三 向量坐标运算的综合应用
例3.已知 ABCD的三个顶点A，B，C的坐标分别为(－2,1)，(－1,3)，(3,4)，求顶点D的坐标．
分析：教材P30例，解法1利用向量相等(即＝)求解，解法2利用向量的加法求解．想一想还有别的方法吗？
【跟踪训练】3已知点O(0，0)，A(1，2)，B(4，5)，及＝＋t.
(1)t为何值时，点P在x轴上？点P在y轴上？点P在第二象限？
(2)四边形OABP能为平行四边形吗？若能，求出t的值；若不能，请说明理由．
【当堂达标】
1.设i，j是平面直角坐标系内分别与x轴、y轴正方向相同的两个单位向量，O为坐标原点，若＝4i＋2j，＝3i＋4j，则2＋的坐标是(　　)
A．(1，－2)　　B．(7,6) C．(5,0) D．(11,8)
2.已知向量a＝(1,2)，2a＋b＝(3,2)，则b＝(　　)
A．(1，－2) B．(1,2) C．(5,6) D．(2,0)
3．已知＝(－2，4)，＝(2，6)，则等于(　　)
A．(0，5) B．(0，1) C．(2，5) D．(2，1)
4.在 ABCD中，A＝(1,2)，B＝(3,5)，＝(－1,2)，则＋＝(　　)
A．(－2,4) B．(4,6) C．(－6，－2) D．(－1,9)
5.已知A(－1，－2)，B(2，3)，C(－2，0)，D(x，y)，且＝2，则x＋y＝________．
6.已知A(－2，4)，B(3，－1)，C(－3，－4)．设＝a，＝b，＝c.
(1)求3a＋b－3c；
(2)求满足a＝mb＋nc的实数m，n的值．
【课堂小结】
平面向量坐标运算的技巧:
(1)若已知向量的坐标，则直接应用两个向量和、差及向量数乘的运算法则进行．
(2)若已知有向线段两端点的坐标，则可先求出向量的坐标，然后再进行向量的坐标运算．
(3)向量的线性坐标运算可完全类比数的运算进行．
【参考答案】
【自主学习】
两个互相垂直 (x，y) (x，y) (x1＋x2，y1＋y2) (x1－x2，y1－y2) (λx1，λy1) 终点 起点
【小试牛刀】
1. (1)√　(2)×　(3)×　(4)×
2.C
【经典例题】
例1 解：由图可知
a＝2i＋3j＝(2，3)，b＝－2i＋3j＝(－2，3)，c＝－2i－3j＝(－2，－3)，d＝2i－3j＝(2，－3).
【跟踪训练】1解：(1)设点A(x，y)，则x＝4cos 60°＝2，y＝4sin 60°＝6，即A(2，6)，＝(2，6)．
(2) ＝－＝(2，6)－(，－1)＝(，7).
例2解：∵a＝(2,1)，b＝(－3，4)，
∴a＋b＝(2,1) ＋(－3，4)＝(－1，5)，a－b＝(2,1) －(－3，4)＝(5，－3)，
3a＋4b＝3(2,1) ＋4(－3，4)＝(6,3) ＋(－12，16)＝(－6,19)。
【跟踪训练】2（1）(－18，18)　(－3，－3) 解析：因为A(2，－4)，B(0，6)，C(－8，10)，
所以＝(－2，10)，＝(－8，4)，＝(－10，14)，
所以＋2＝(－18，18)，－＝(－3，－3)．
（2）已知A(－2,4)，B(3，－1)，C(－3，－4)，且＝3，＝2，求点M，N的坐标．
（2）[解]　解法一：∵A(－2,4)，B(3，－1)，C(－3，－4)，
∴＝(－2,4)－(－3，－4)＝(1,8)，＝(3，－1)－(－3，－4)＝(6,3)．
∵＝3，＝2，∴＝3(1,8)＝(3,24)，＝2(6,3)＝(12,6)．
设M(x1，y1)，N(x2，y2)，∴＝(x1＋3，y1＋4)＝(3,24)，＝(x2＋3，y2＋4)＝(12,6)，
∴解得∴M(0,20)，N(9,2)．
解法二：设O为坐标原点，则由＝3，＝2，
可得－＝3(－)，－＝2(－)，
∴＝3－2，＝2－.
∴＝3(－2,4)－2(－3，－4)＝(0,20)，＝2(3，－1)－(－3，－4)＝(9,2)．
∴M(0,20)，N(9,2)．
例3 解：方法1(利用平行四边形对边对应的向量相等，即＝)如图①，设顶点D的坐标为(x，y)，在 ABCD中，＝，
又＝(x＋2，y－1)，＝(4,1)，
∴(x＋2，y－1)＝(4,1)，即解得
∴顶点D的坐标为(2,2)．
方法2(利用向量加法)如图②，设顶点D的坐标为(x，y)，并连接OA，OD，则＝＋.
∵＝，
∴＝＋，
∴(x，y)＝(－2,1)＋(4,1)＝(2,2)．
∴顶点D的坐标为(2,2)．
方法3(利用向量减法)如图③，设顶点D的坐标为(x，y)，并连接OA，OD，则＝－，
∵＝，∴＝－，
∴(x，y)＝(4,1)－(2，－1)＝(2,2)，
∴顶点D的坐标为(2,2)．
方法4(利用中点的向量表达式)如图④，在 ABCD中，设AC的中点为M，则点M也是BD的中点．
∵＝(＋)＝(＋)，
∴＋＝＋，
∴＝＋－＝(－2,1)＋(3,4)－(－1,3)＝(2,2)．
∴顶点D的坐标为(2,2)．
【跟踪训练】3【解】　(1)＝＋t＝(1，2)＋t(3，3)＝(1＋3t，2＋3t)．若点P在x轴上，则2＋3t＝0，所以t＝－.
若点P在y轴上，则1＋3t＝0，所以t＝－.
若点P在第二象限，则所以－＜t＜－.
(2)＝(1，2)，＝(3－3t，3－3t)．若四边形OABP为平行四边形，
则＝，所以该方程组无解．故四边形OABP不能为平行四边形．
【当堂达标】
1.D 解析：选D　因为＝(4,2)，＝(3,4)，所以2＋＝(8,4)＋(3,4)＝(11,8)．故选D.
2.A 解析：选A　b＝(3,2)－2a＝(3,2)－(2,4)＝(1，－2)．故选A．
3.D解析：选D.＝(－)＝(2，6)－(－2，4)＝(2，1)．
4.A 解析：在 ABCD中，因为A(1,2)，B(3,5)，所以＝(2,3)．又＝(－1,2)，所以＝＋＝(1,5)，＝－＝(－3，－1)，所以＋＝(－2,4)，故选A．
5. 解析：因为＝(－2，0)－(－1，－2)＝(－1，2)，＝(x，y)－(2，3)＝(x－2，y－3)，又2＝，即(2x－4，2y－6)＝(－1，2)，
所以解得所以x＋y＝.
6.解：由已知得a＝(5，－5)，b＝(－6，－3)，c＝(1，8)．
(1)3a＋b－3c＝3(5，－5)＋(－6，－3)－3(1，8)＝(15－6－3，－15－3－24)＝(6，－42)．
(2)因为mb＋nc＝(－6m＋n，－3m＋8n)，所以解得

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