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6.3.4 平面向量数乘运算的坐标表示(第2课时)
【学习目标】
素 养 目 标 学 科 素 养
1.理解向量共线的坐标表示的条件。（重点） 2.能根据平面向量的坐标，判断向量是否共线。（重点） 3.掌握三点共线的判断方法。（难点） 1.数学运算; 2.直观想象
【自主学习】
两个向量共线的坐标表示
(1) 设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)≠0，则a∥b a＝λb(λ∈R)．
(2)若用坐标表示，可写为 (x1，y1)＝λ(x2，y2)，即，消去λ，可得向量 a，b(b≠0)共线的充要条件 .
注意：平面向量共线的坐标表示还可以写成＝(x2≠0，y2≠0)，即两个不平行于坐标轴的共线向量的对应坐标成比例．
【小试牛刀】
1.思维辨析(对的打“√”，错的打“×”)
(1)已知a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，若a∥b，则必有x1y2＝x2y1.( 　)
(2)若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，且a与b共线，则＝.(　 　)
(3)若A，B，C三点共线，则向量，，都是共线向量．(　 　)
(4)向量(2,3)与向量(－4，－6)反向．(　　)
(5)已知a＝(2,3)，b＝(－1,2)，若ma＋b与a－2b平行，则m＝－.(　 　)
2.已知a＝(3，1)，b＝(2，λ)，若a∥b，则实数λ的值为________．
【经典例题】
题型一 向量共线的坐标表示
点拨：(1)向量是否共线，利用向量共线的坐标表示或＝λ验证．
(2)判断∥，只要把点的坐标代入公式x1y2－x2y1＝0，看是否成立．
例1　(1)下列各对向量中，共线的是(　　)
A. a＝(2,3)，b＝(3，－2)
B．a＝(2,3)，b＝(4，－6)
C．a＝(，－1)，b＝(1，)
D．a＝(1，)，b＝(，2)
(2) 向量a＝(4， 2)，b＝(6，y)，且a∥b，求y．
【跟踪训练】1 已知向量a＝(1，－2)，b＝(3，4)．若(3a－b)∥(a＋kb)，则k＝________．
题型二 三点共线问题
点拨：三点共线问题转化成向量共线问题，向量共线常用的判断方法有两种：
一是直接用与＝λ；二是利用坐标运算.
例2已知A (－1，－1)，B(1，3)，C(2，5)，判断A，B，C三点之间的位置关系。
【跟踪训练】2 设向量＝(k，12)，＝(4，5)，＝(10，k)，求当k为何值时，A，B，C三点共线．
题型三 向量共线的应用
点拨：向量共线在几何中的应用可分为两个方面：一是已知两向量共线，求点或向量的坐标；二是证明或判断三点共线、直线平行.
解题时要注意联系平面几何的相关知识，由两向量共起点或共终点确定三点共线，由两向量无公共点确定直线平行.
例3 设点P是线段P1P2上的一点，P1、P2的坐标分别为(x1，y1)，(x2，y2)．
(1)当点P是线段P1P2上的中点时，求点P的坐标；
(2)当点P是线段P1P2的一个三等分点时，求P的坐标．
变式：设，P1、P2的坐标分别为(x1，y1)，(x2，y2)，点P是线段P1P2上的一点。
当 时，点P的坐标是什么？
【跟踪训练】3 如图，已知直角梯形ABCD中，AD⊥AB，AB＝2AD＝2CD，过点C作CE⊥AB于E，M为CE的中点，用向量的方法证明：
(1)DE∥BC；
(2)D，M，B三点共线．
【当堂达标】
1.（多选）下列各组向量中，可以作为基底的是(　　)
A.a＝(－2,3)，b＝(4,6)
B．a＝(2,3)，b＝(3,2)
C．a＝(1，－2)，b＝(7,14)
D．a＝(－3,2)，b＝(6，－4)
2.若A(2,1)，B(－1，－2)，C(0，y)三点共线，则y等于(　 　)
A．－1 B．0 C． D．2
3.已知向量a＝(1，－2)，b＝(m，4)，且a∥b，那么2a－b＝(　　)
A．(4，0)　 B．(0，4) C．(4，－8) D．(－4，8)
4.已知A(2,1)，B(0,2)，C(－2,1)，O(0,0)，给出下列结论：
①直线OC与直线BA平行；
②＋＝；
③＋＝；
④＝－2.
其中，正确结论的序号为________．
5.已知点O(0，0)，向量＝(2，12)，＝(6，－3)，点P是线段AB的三等分点，求点P的坐标。
6.已知a＝(1，0)，b＝(2，1)．
(1)当k为何值时，ka－b与a＋2b共线？
(2)若＝2a＋3b，＝a＋mb且A，B，C三点共线，求m的值．
【课堂小结】
已知a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)≠0，则a∥b充要条件有
(1)a＝λb(λ∈R)
(2) x1y2－x2y1＝0．
(3)当x2≠0，y2≠0时， ＝(x2≠0，y2≠0)，即两个对应坐标成比例．
【参考答案】
【自主学习】
思考：当两个非零向量共线时，通过坐标如何判断它们是同向还是反向？
x1y2－x2y1＝0
思考：当两个向量的对应坐标同号时，同向．当两个向量的对应坐标异号时，反向．
例如，向量(1,2)与(－1，－2)反向；向量(1,0)与(3,0)同向．
【小试牛刀】
1. (1) √ ，(2) ×，(3) √ ，(4) √ ，(5) √
2.
【经典例题】
例1 (1)D 解析：由向量共线的充要条件可知：非零向量a与b共线，当且仅当存在唯一实数λ，使得b＝λa.而只有D满足：因为a＝(1，)，b＝(，2)，所以b＝a.
(2)解：因为a∥b，所以4 y－2×6＝0.解得y＝3.
【跟踪训练】1 － 解析：3a－b＝(0，－10)，a＋kb＝(1＋3k，－2＋4k)，
因为(3a－b)∥(a＋kb)，所以0－(－10－30k)＝0，所以k＝－.
例2 解：猜想A，B，C三点共线，
证明：由题意知＝(1，3)－(－1，－1)＝(2，4)，＝(2，5)－(－1，－1)＝(3，6)，
因为 2×6－4×3＝0，所以与共线，
又因为与有公共点A，所以点A，B，C共线．
【跟踪训练】2法一：因为A，B，C三点共线，即与共线，
所以存在实数λ(λ∈R)，使得＝λ.
因为＝－＝(4－k，－7)，＝－＝(10－k，k－12)，
所以(4－k，－7)＝λ(10－k，k－12)，即解得k＝－2或k＝11.
所以当k＝－2或k＝11时，A，B，C三点共线．
法二：由已知得与共线，
因为＝－＝(4－k，－7)，＝－＝(10－k，k－12)，
所以(4－k)(k－12)＋7(10－k)＝0，
所以k2－9k－22＝0，解得k＝－2或k＝11.
所以当k＝－2或k＝11时，A，B，C三点共线．
例3
变式：设点P坐标为(x，y)，则（x - x1）=λ（(x2- x） 所以x =（λx2+ x1）/（1+λ），
同理y=（λy2+ y1）/（1+λ）.
所以点P的坐标是(（λx2+ x1）/（1+λ），（λy2+ y1）/（1+λ）).
【跟踪训练】3 [证明]　
如图，以E为原点，AB所在直线为x轴，EC所在直线为y轴建立平面直角坐标系，令||＝1，则||＝1，||＝2.
∵CE⊥AB，而AD＝DC，
∴四边形AECD为正方形．
∴可求得各点坐标分别为E(0,0)，B(1,0)，C(0,1)，D(－1,1)，A(－1,0)．
(1)∵＝(－1,1)－(0,0)＝(－1,1)，＝(0,1)－(1,0)＝(－1,1)．
∴＝，∴∥，即DE∥BC.
(2)连接MB，MD，
∵M为EC的中点，∴M(0，)，
∴＝(－1,1)－(0，)＝(－1，)，＝(1,0)－(0，)＝(1，－)．
∴＝－，∴∥.
又MD与MB有公共点M，∴D，M，B三点共线．
【当堂达标】
1. ABC 解析：由两向量共线的坐标表示知，对于D，(－3)×(－4)－2×6＝0，所以共线，其他均不满足．
2.A
3.C 解析：因为向量a＝(1，－2)，b＝(m，4)，且a∥b，所以1×4＝(－2)×m，所以m＝－2，所以2a－b＝(2－m，－4－4)＝(4，－8)．
4. ①③④ 解析：①因为＝(－2,1)，＝(2，－1)，所以＝－，又直线OC，BA不重合，所以直线OC∥BA，所以①正确；②因为＋＝≠，所以②错误；③因为＋＝(0,2)＝，所以③正确；④因为＝(－4,0)，－2＝(0,2)－2(2,1)＝(－4,0)，所以④正确．
5.
6.解：(1)ka－b＝k(1，0)－(2，1)＝(k－2，－1)，a＋2b＝(1，0)＋2(2，1)＝(5，2)．
因为ka－b与a＋2b共线，所以2(k－2)－(－1)×5＝0，得k＝－.
所以当k＝－时，ka－b与a＋2b共线．
(2)因为A，B，C三点共线，所以＝λ，λ∈R，即2a＋3b＝λ(a＋mb)，
所以解得m＝.

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