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7.1.2 复数的几何意义
【学习目标】
素 养 目 标 学 科 素 养
1.理解可以用复平面内的点或以原点为起点的向量来表示复数及它们之间的一一对应关系； 2.掌握实轴、虚轴、模等概念； 3.掌握用向量的模来表示复数的模的方法. 1.数学运算; 2.直观想象； 3.数学抽象
【自主学习】
一．复平面
建立直角坐标系来表示复数的平面叫做 ，x轴叫做 ，y轴叫做 ．实轴上的点都表示实数；除了原点外，虚轴上的点都表示纯虚数．
二．复数的两种几何意义
注意：复数z＝a＋bi(a，b∈R)中的z，书写时应小写；复平面内的点Z(a，b)中的Z，书写时应大写．
三．复数的模
复数z＝a＋bi(a，b∈R)对应的向量为，则的模叫做复数z的模或绝对值，记作|z|或|a＋bi|，即|z|＝|a＋bi|＝ ．
如果b＝0，那么z＝a＋bi是一个实数a，它的模等于|a|(a的绝对值)．
四．共轭复数
1.一般地，当两个复数的实部 ，虚部 时，这两个复数叫做互为共轭复数．
2.虚部不等于0的两个共轭复数也叫做 ．
3.复数z的共轭复数用表示，即如果z＝a＋bi，那么＝ ．
注意：复数z＝a＋bi在复平面内对应的点为(a，b)，复数＝a－bi在复平面内对应的点为(a，－b)，所以两个互为共轭复数的复数，它们所对应的点关于x轴对称．
【小试牛刀】
思维辨析(对的打“√”，错的打“×”)
(1)在复平面内，对应于实数的点都在实轴上. (　　)
(2)在复平面内，虚轴上的点所对应的复数都是纯虚数.(　　)
(3)原点是实轴和虚轴的交点.(　　)
(4)复数的模一定是正实数.(　　)
(5)若|z1|＝|z2|，则z1＝z2.(　　)
(6)若z1与z2互为共轭复数，则|z1|＝|z2|.(　　)
【经典例题】
题型一 复数与复平面内点的关系
点拨：利用复数与点的对应解题的步骤
(1)找对应关系：复数的几何表示法即复数z＝a＋bi(a，b∈R)可以用复平面内的点Z(a，b)来表示，是解决此类问题的根据．
(2)列出方程：此类问题可建立复数的实部与虚部应满足的条件，通过解方程(组)或不等式(组)求解．　
例1 已知复数z＝(a2－4)＋(2a－3)i，其中a∈R.当复数z在复平面内对应的点Z满足以下条件时，求a的值(或取值范围)．
(1)Z在实轴上；
(2)Z在第二象限。
【跟踪训练】1 实数x分别取什么值时，复数z＝(x2＋x－6)＋(x2－2x－15)i对应的点Z在：
(1)第三象限；
(2)直线x－y－3＝0上．
题型二 复数与复平面内向量的对应关系
点拨：1.若复数z＝a＋bi(a，b∈R)则复数z在复平面内对应的向量＝(a，b)．
2．复平面内向量对应的复数可通过向量的坐标运算求得．
3．一个向量不管怎样平移，它所对应的复数是不变的，但其起点与终点对应的复数可能改变．
例2 已知平面直角坐标系中O是原点，向量，对应的复数分别为2－3i，－3＋2i，那么向量对应的复数是(　　)
A．－5＋5i　　　　　　　　 B．5－5i
C．5＋5i D．－5－5i
【跟踪训练】2 在复平面内的长方形ABCD的四个顶点中，点A，B，C对应的复数分别是
2＋3i, 3＋2i，－2－3i，求点D对应的复数．
题型三 复数的模
点拨：
1.复数的模是非负实数，因此复数的模可以比较大小．
2.根据复数模的计算公式|a＋bi|＝可把复数模的问题转化为实数问题解决．
3.根据复数模的定义|z|＝||，可把复数模的问题转化为向量模(即两点间的距离)的问题解决．
例3 设复数z1＝4＋3i，z2＝4－3i.
(1)在复平面中画出复数z1，z2对应的点和向量；
(2) 求复数z1，z2的模，并比较它们的模的大小。
【跟踪训练】3设z∈C，在复平面内z对应的点为Z，那么满足下列条件的点Z的集合是什么图形？
（1）|z|=1； （2）1＜|z|＜2.
【当堂达标】
1.在复平面内，O为原点，向量对应的复数为－1－2i，若点A关于实轴的对称点为B，则向量对应的复数为(　　)
A．－2－i B．2＋i
C．1＋2i D．－1＋2i
2.已知i是虚数单位，在复平面内，复数－2＋i和1－3i对应的点之间的距离是(　　)
A. B.
C．5 D．25
3.设z为纯虚数，且|z－1|＝|－1＋i|，则复数z＝________。
4.若复数z1＝2＋bi与复数z2＝a－4i互为共轭复数，则a＝________，b＝________．
5.已知复数z＝3＋ai，且|z|＜4，求实数a的取值范围．
6.在复平面内，若复数z＝(m2－m－2)＋(m2－3m＋2)i(m∈R)的对应点在虚轴上和实轴负半轴上，分别求复数z.
【课堂小结】
1.复数的几何意义
2.复数的模
①复数z＝a＋bi(a，b∈R)的模|z|＝；
②从几何意义上理解，表示点Z和原点间的距离，类比向量的模可进一步引申：|z1－z2|表示点Z1和点Z2之间的距离．
【参考答案】
【自主学习】
复平面 实轴 虚轴 相等 互为相反数 共轭虚数 a－bi
【小试牛刀】
(1)√　(2)×　(3) √ (4)×　(5) × (6)√
【经典例题】
例1 解 因为z＝(a2－4)＋(2a－3)i，所以复数z在复平面内对应的点Z的坐标为(a2－4,2a－3)．
(1)若点Z在实轴上，则有2a－3＝0，解得a＝.
(2)若点Z在第二象限，则有即解得【跟踪训练】1 解 因为x是实数，所以x2＋x－6，x2－2x－15也是实数．
(1)当实数x满足即当－3＜x＜2时，点Z在第三象限．
(2)z＝x2＋x－6＋(x2－2x－15)i对应点Z(x2＋x－6，x2－2x－15)，
当实数x满足(x2＋x－6)－(x2－2x－15)－3＝0，即当x＝－2时，点Z在直线x－y－3＝0上．
例2 B 解析：选B.向量，对应的复数分别记作z1＝2－3i，z2＝－3＋2i，根据复数与复平面内的点一一对应，可得向量＝(2，－3)，＝(－3，2)．
由向量减法的坐标运算可得向量＝－＝(2＋3，－3－2)＝(5，－5)，
根据复数与复平面内的点一一对应，可得向量对应的复数是5－5i.
【跟踪训练】2 解 由题意得＝(2,3)，＝(3,2)，＝(－2，－3)．
设＝(x，y)，则＝(x－2，y－3)，＝(－5，－5)．
由题意知，＝，所以即故点D对应的复数为－3－2i.
例3
【跟踪训练】3
【当堂达标】
1.D 解析：由题意可知，点A的坐标为(－1，－2)，则点B的坐标为(－1，2)，故向量对应的复数为－1＋2i.
2.C 解析：选C.由于复数－2＋i和1－3i对应的点分别为(－2，1)，(1，－3)，因此由两点间的距离公式，得这两点间的距离为＝5，故选C.
3. ±i 解析：因为z为纯虚数，所以设z＝ai(a∈R，且a≠0)，则|z－1|＝|ai－1|＝.
又因为|－1＋i|＝，所以＝，即a2＝1，所以a＝±1，即z＝±i.
4. 2 4 解析：因为z1与z2互为共轭复数，所以a＝2，b＝4.
5. 解 ∵z＝3＋ai(a∈R)，∴|z|＝，
由已知得32＋a2＜42，∴a2＜7，∴a∈(－，)．
6.解：(1)若复数z的对应点在虚轴上，则m2－m－2＝0，
所以m＝－1或m＝2，所以z＝6i或z＝0.
(2)若复数z的对应点在实轴负半轴上，则所以m＝1，所以z＝－2.

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