资源简介

8.4.1　平 面
【学习目标】
素 养 目 标 学 科 素 养
1.了解平面的概念，掌握平面的画法及表示方法． 2.能用符号语言描述空间点、直线、平面之间的位置关系． 3.能用图形、文字、符号三种语言描述三个公理，理解三个公理的地位与作用． 1.直观想象; 2.逻辑推理
【自主学习】
一．平面
1.概念：平面是从生活中抽象出来的，具有以下特点：
①平；②无限延展，没有边界；③没有厚薄．
2.画法
(1)我们常用矩形的直观图，即 表示平面．
(2)当平面水平放置时，常把平行四边形的一边画成 ；当平面竖直放置时，常把平行四边形的一边画成 ．
3.表示法：
我们常用希腊字母 等表示平面，如平面α 、平面β、平面γ等，并将它写在代表平面的平行四边形的一个角内；也可以用代表平面的平行四边形的四个顶点，如 ，或者相对的两个顶点的大写英文字母作为这个平面的名称，如 或 ．
二．文字语言与符号语言的对应关系：
文字语言表达 符号语 言表示 文字语言表达 符号语 言表示
点A在直线l上 点A在直线l外
点A在平面α内 点A在平面α外
直线l在平面α内 直线l在平面α外
直线l，m相交于点A 平面α，β相交于直线l
三．平面的基本性质及应用
基本事实 内容 图形 符号 作用
基本事实1 过不在一条直线上的三个点， 一个平面 A，B，C三点不共线 存在唯一的平面α使A，B，C∈α 一是确定平面；二是证明点、线共面问题；三是判断两个平面重合的依据
基本事实2 如果一条直线上的 在一个平 面内，那么这条直线在 A∈l，B∈l，且A∈α，B∈α l α 既可判定直线和点是否在平面内，又能说明平面是无限延展的
基本事实3 如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的 P∈α且P∈β α∩β＝l，且P∈l ①判定两平面相交的依据 ②判定点在直线上
三个推论：
推论1 ，有且只有一个平面.
推论2 ，有且只有一个平面.
推论3 ，有且只有一个平面.
【小试牛刀】
1.思考辨析(正确的画“√”，错误的画“×”)
(1)平面是处处平的面． (　　)
(2)平面是无限延展的． (　　)
(3)平面的形状是平行四边形． (　　)
(4)一个平面的厚度可以是0.001 cm. (　　)
2.用符号表示“点A在直线l上，l在平面α外”，正确的是(　　)
A．A∈l，l α　 B．A∈l，l α
C．A l，l α D．A l，l α
3．（多选）如图所示的平行四边形MNPQ表示的平面可以记为(　　)
A．平面MN B．平面NQP
C．平面α D．平面MNPQ
【经典例题】
题型一 三种语言的相互转化
点拨：三种语言的转换方法
(1)用文字语言、符号语言表示一个图形时，首先仔细观察图形有几个平面、几条直线且相互之间的位置关系如何，试着用文字语言表示，再用符号语言表示.
(2)要注意符号语言的意义，如点与直线的位置关系只能用“∈”或“ ”，直线与平面的位置关系只能用“ ”或“ ”.
例1 用符号语言表示下面语句，并画出图形：
（1）三个平面α、β、γ相交于一点P，且平面α与平面β交于PA，平面α与平面γ交于PB，平面β与平面γ交于PC.
（2）点A，B在平面α内，直线a与平面α交于点C，点C不在直线AB上．
【跟踪训练】1 根据图，填入相应的符号：A____平面ABC，A____平面BCD，BD___平面ABC，平面ABC∩平面ACD＝____；
题型二 点线共面问题
点拨：在证明多线共面时，可用下面的两种方法来证明
(1)纳入法：先由部分直线确定一个平面，再证明其他直线在这个平面内.
(2)同一法：即先证明一些元素在一个平面内，再证明另一些元素在另一个平面内，然后证明这两个平面重合，即证得所有元素在同一个平面内.
例2 已知直线a∥b，直线l与a，b都相交，求证：过a，b，l有且只有一个平面.
【跟踪训练】2如图，已知：a α，b α，a∩b＝A，P∈b，PQ∥a，求证：PQ α.
题型三 三点共线问题
点拨：证明三点共线的方法
(1)首先找出两个平面，然后证明这三点都是这两个平面的公共点，根据基本事实3可知，这些点都在两个平面的交线上．
(2)选择其中两点确定一条直线，然后证明另一点也在此直线上．
例3 如图，E，F，G，H分别是空间四边形ABCD的边AB，BC，CD，DA上的点，且直线EH与直线FG交于点O.求证：B，D，O三点共线．
【跟踪训练】3已知△ABC在平面α外，AB∩α＝P，AC∩α＝R，BC∩α＝Q，如图.求证：P、Q、R三点共线.
题型四 三线共点问题
点拨：证明三线共点的思路
(1)首先说明两条直线共面且交于一点．
(2)说明这个点在另两个平面上，并且这两个平面相交．
(3)得到交线也过此点，从而得到三线共点．
例4 如图，已知空间四边形ABCD中，E、H分别为BC、AB的中点，F在CD上，G在AD上，且有DF：FC＝DG：GA＝1：2. 求证：直线EF、BD、HG交于一点．
【跟踪训练】4 如图，已知平面α， β， 且α∩β＝l. 设梯形ABCD中，AD∥BC，且AB α，CD β. 求证：AB，CD，l共点(相交于一点).
【当堂达标】
1.下列说法正确的是(　　)
A．镜面是一个平面 B．一个平面长10 m，宽5 m
C．一个平面的面积是另一个平面面积的2倍 D．所有的平面都是无限延展的
2.若一直线a在平面α内，则正确的图形是(　　)
3.如果点A在直线a上，而直线a在平面α内，点B在平面α内，则可以表示为(　　)
A．A a，a α，B∈α B．A∈a，a α，B∈α
C．A a，a∈α，B α D．A∈a，a∈α，B∈α
4.如果空间四点A，B，C，D不共面，那么下列判断中正确的是(　B　)
A．A，B，C，D四点中必有三点共线 B．A，B，C，D四点中不存在三点共线
C．直线AB与CD相交 D．直线AB与CD平行
5.已知空间四点中无任何三点共线，那么这四点可以确定平面的个数是1或4.
6.不重合的三条直线，若相交于一点，最多能确定________个平面．
7.如图，已知D，E是△ABC的边AC，BC上的点，平面α经过D，E两点，若直线AB与平面α的交点是P，求证：点P在直线DE上．
【课堂小结】
1.解决立体几何问题首先应过好三大语言关，即实现这三种语言的相互转换，正确理解集合符号所表示的几何图形的实际意义，恰当地用符号语言描述图形语言，将图形语言用文字语言描述出来，再转换为符号语言．文字语言和符号语言在转换的时候，要注意符号语言所代表的含义，作直观图时，要注意线的实虚．
2.在处理点线共面、三点共线及三线共点问题时要体会三个基本事实的作用，体会先部分再整体的思想．
【参考答案】
【自主学行四边形 横向 竖向 α，β，γ 平面ABCD 平面AC 平面BD
A∈l A∈α l α l∩m＝A A l A α l α α∩β＝l
有且只有 两个点 这个平面内 公共直线
经过一条直线和这条直线外一点 经过两条相交直线 经过两条平行直线
【小试牛刀】
1.(1)√　(2)√　(3)×　(4)×
2.B
3.BCD　解析：表示平面不能用一条线段的两个端点表示，但可以表示为平面MP，选A．
【经典例题】
例1 解 (1)符号语言表示：α∩β∩γ＝P，α∩β＝PA，α∩γ＝PB，β∩γ＝PC.
图形表示：
(2)用符号表示：A∈α，B∈α，a∩α＝C，C AB，如图．
【跟踪训练】1 ∈ AC
例2 [证明]　如图所示.由已知a∥b，所以过a，b有且只有一个平面α.设a∩l＝A，b∩l＝B，∴A∈α，B∈α，且A∈l，B∈l，∴l α.即过a，b，l有且只有一个平面.
【跟踪训练】2 [证明]　∵PQ∥a，∴PQ 与 a 确定一个平面β.
∴直线a β，点 P∈β.∵P∈b，b α，∴P∈α.
又∵a α，∴α与β重合．∴PQ α.
例3 [证明]　∵E∈AB，H∈AD，
∴E∈平面ABD，H∈平面ABD.
∴EH 平面ABD.
∵EH∩FG＝O，∴O∈平面ABD.
同理O∈平面BCD，
即O∈(平面ABD∩平面BCD)，
∴O∈BD，即B，D，O三点共线．
【跟踪训练】3 解析：　证法一：∵AB∩α＝P，∴P∈AB，P∈平面α.
又AB 平面ABC，∴P∈平面ABC.
∴由公理3可知：点P在平面ABC与平面α的交线上，
同理可证Q、R也在平面ABC与平面α的交线上.
∴P、Q、R三点共线.
证法二：∵AP∩AR＝A，
∴直线AP与直线AR确定平面APR.
又∵AB∩α＝P，AC∩α＝R，
∴平面APR∩平面α＝PR.
∵B∈面APR，C∈面APR，∴BC 面APR.
又∵Q∈面APR，Q∈α，
∴Q∈PR.∴P、Q、R三点共线.
例4 证明：连接EH、FG.
∵E、H分别为BC、AB的中点，
∴EH∥AC.
∵DFFC＝1?2，DGGA＝1?2，
∴FG∥AC，FG＝AC，
∴EH∥FG且EH≠FG，
∴E、F、G，H四点共面且EF不平行于GH.
∴EF与GH相交．
设EF∩GH＝O，则O∈GH，O∈EF.
∵GH 平面ABD，EF 平面BCD，
∴O∈平面ABD，O∈平面BCD.
∵平面ABD∩平面BCD＝BD，
∴O∈BD，即直线EF、BD、HG交于一点．
【跟踪训练】4 [证明]　因为梯形ABCD中，AD∥BC，
所以AB，CD是梯形ABCD的两腰．
所以AB，CD必定相交于一点.
设AB∩CD＝M.
又因为AB α，CD β，所以M∈α，M∈β.
所以M∈α∩β.
又因为α∩β＝l，所以M∈l.
即AB，CD，l共点(相交于一点).
【当堂达标】
1.D　解析：镜面可以抽象成平面，但不是平面，所以选项A不正确；平面没有大小，所以选项B和选项C都不正确，故选D．
2.A 解析：选项B、C中直线a在平面α外，选项D中直线a与平面α相交，选项A中直线a在平面α内．
3.B 解析：点A在直线a上，而直线a在平面α内，点B在平面α内，表示为A∈a，a α，B∈α.
4.B 解析：两条平行直线、两条相交直线、直线及直线外一点都分别确定一个平面.
5.1或4 解析：其中三个点可确定唯一的平面，当第四个点在此平面内时，可确定1个平面，当第四个点不在此平面内时，则可确定4个平面．
6. 3　解析：三条直线相交于一点，最多可确定3个平面，如图所示，直线a，b，c相交于点A，直线a，b确定平面α，直线b，c确定平面β，直线a，c确定平面γ，共3个平面．
7.[证明]　因为P∈AB，AB 平面ABC，
所以P∈平面ABC．又P∈α，平面ABC∩平面α＝DE，
所以P∈直线DE.
所以点P在直线DE上．

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