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8.4.2　空间点、直线、平面之间的位置关系
【学习目标】
素 养 目 标 学 科 素 养
1.了解空间中两条直线的三种位置关系，理解两异面直线的定义，会用平面衬托来画异面直线． 2.了解直线与平面的三种位置关系，并会用图形语言和符号语言表示． 3.了解不重合的两个平面之间的两种位置关系，并会用图形语言和符号语言表示． 1.直观想象; 2.逻辑推理； 3.数学抽象
【自主学习】
一．空间中直线与直线的位置关系
1．异面直线的定义和画法
(1)定义： 的两条直线叫做异面直线.
(2)画法：如果直线a，b为异面直线，为了表示它们不共面的特点，作图时，通常用一个或两个 衬托.
2.两直线的三种位置关系
位置关系 是否在同一平面内 公共点个数
共面直线 相交直线 1
平行直线 0
异面直线 0
二．空间中直线与平面的位置关系
位置关系 直线a在平面α内 直线a在平面α外
直线a与平面α相交 直线a与平面α平行
公共点 公共点 公共点 公共点
符号表示 a α a∩α＝A a∥α
图形表示
三．空间中平面与平面的位置关系
位置关系 图形表示 符号表示 公共点
两个平 面平行 没有公共点
两个平 面相交 有一条公共直线　
【小试牛刀】
1．思考辨析(正确的画“√”，错误的画“×”)
(1)在空间中，直线不平行就意味着相交． (　　)
(2)直线在平面外是指直线与平面没有交点． (　　)
(3)两个平面相交的时候，一定交于一条直线． (　　)
2．不平行的两条直线的位置关系是(　　)
A．相交　　　　　B．异面 C．平行 D．相交或异面
【经典例题】
题型一　直线与直线位置关系的判断
点拨：
例1 如图，在正方体ABCD A1B1C1D1中，M，N分别为棱C1D1，CC1的中点，以下四个结论：
①直线DM与CC1是相交直线；
②直线AM与NB是平行直线；
③直线BN与MB1是异面直线；
④直线AM与DD1是异面直线．
其中正确的为________(把你认为正确的结论的序号都填上)．
【跟踪训练】1 正方体ABCD－A1B1C1D1中，棱所在直线与直线BA1是异面直线的条数为(　　)
A．4　 B．5　 C．6　　 D．7
题型二　直线与平面的位置关系
点拨：判断空间中直线与平面的位置关系，一般先作出几何图形，直观判断，然后依据三个基本事实及推论给出严格证明.另外，借助模型如长方体举反例也是解决这类问题的有效方法.
例2 下列五个结论中正确结论的个数是(　　)
①如果a、b是两条直线，a∥b，那么a平行于经过b的任何一个平面；
②如果直线a和平面α满足a∥α，那么a与平面α 内的任何一条直线平行；
③如果直线a、b满足a∥α，b∥α，那么a∥b；
④如果直线a、b和平面α满足a∥b，a∥α，b α，那么b∥α；
⑤如果a与平面α上的无数条直线平行，那么直线a必平行于平面α.
A．0　　　　B．1　　　　C．2　　　　 D．3
【跟踪训练】2 三棱台ABC A′B′C′的一条侧棱AA′所在直线与平面BCC′B′之间的关系是(　　)
A．相交
B．平行
C．直线在平面内
D．平行或直线在平面内
题型三　平面与平面的位置关系
点拨：平面与平面的位置关系的判断方法
(1)平面与平面相交的判断，主要以基本事实3为依据找出一个交点.
(2)平面与平面平行的判断，主要说明两个平面没有公共点.
例3 以下四个命题中，正确的命题有(　 　)
①在平面α内有两条直线和平面β平行，那么这两个平面平行；
②在平面α内有无数条直线和平面β平行，那么这两个平面平行；
③平面α内△ABC的三个顶点在平面β的同一侧且到平面β的距离相等且不为0，那么这两个平面平行；
④平面α内有无数个点到平面β的距离相等且不为0，那么这两个平面平行或相交.
A．③④　　 B．②③④　　 C．②④　　 D．①④
【跟踪训练】3 三个平面最多能把空间分为________部分，最少能把空间分成________部分．
【当堂达标】
1.若a是平面α外的一条直线，则直线a与平面α内的直线的位置关系是(　　)
A．平行 B．相交
C．异面 D．平行、相交或异面
2.若a，b是异面直线，直线c∥a，则c与b的位置关系是 。
3.在如图正方体中，与平面AA1C1C平行的棱有 ，与棱BB1平行的平面有 。
4.下列命题：
①两个平面有无数个公共点，则这两个平面重合；
②若l，m是异面直线，l∥α，m∥β，则α∥β.
其中错误命题的序号为________．
5.如图，G，H，M，N分别是正三棱柱的顶点或所在棱的中点，则表示直线GH，MN是异面直线的图形有________(填序号)．
6.如图所示，直线A′B与长方体ABCD A′B′C′D′的六个面所在的平面有什么位置关系？
【课堂小结】
1.判定两直线的位置关系的依据就在于两直线平行、相交、异面的定义．很多情况下，定义就是一种常用的判定方法．
2.判断直线与平面及平面与平面位置关系的常用方法
(1)定义法：借助线面、面面位置关系的定义判断；
(2)模型法：借助长方体等熟悉的几何图形进行判断，有时起到事半功倍的效果；
(3)反证法：反设结论进行推导，得出矛盾，达到准确的判断位置关系的目的．
【参考答案】
【自主学习】
不同在任何一个平面内 平面 是 否 无数个 一个 没有 α∥β α∩β＝l
【小试牛刀】
1. (1)×　(2)×　(3)√
2.D　解析：由于空间两条直线的位置关系是平行、相交、异面，则不平行的两条直线的位置关系是相交或异面．
【经典例题】
例1 ①③④ 解析：①中直线DM与直线CC1在同一平面内，它们不平行，必相交，故结论正确．③④中的两条直线既不相交也不平行，即均为异面直线，故结论正确．②中AM与BN是异面直线，故②不正确．故填①③④.
【跟踪训练】1 C 解析:如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，与直线BA1是异面的直线有CD，C1D1，C1C，D1D，B1C1，AD，共6条，故选C．
例2 B 解析：如图所示，
在长方体ABCD－A′B′C′D′中，AA′∥BB′，AA′却在过BB′的平面ABB′A′内，故①错；AA′∥平面BB′C′C，BC 平面BB′C′C，但AA′不平行于BC，故②错；AA′∥平面BB′C′C，A′D′∥平面BB′C′C，但AA′与A′D′相交，故③错；A′B′∥C′D′，A′B′∥平面ABCD，C′D′ 平面ABCD，则C′D′∥平面ABCD，故④正确；AA′显然与平面ABB′A′中的无数条直线平行，但AA′ 平面ABB′A′，故⑤错误，故选B．
【跟踪训练】2 A 解析：由棱台的定义知，棱台的所有侧棱所在的直线都交于同一点，而任一侧面所在的平面由两条侧棱所在直线所确定，故这条侧棱与不含这条侧棱的任意一个侧面所在的平面都相交．
例3 A 解析: 当两个平面相交时，一个平面内有无数条直线平行于它们的交线，即平行另一个平面，所以①②错误.
【跟踪训练】3 8　4解析：三个平面可将空间分成4,6,7,8部分，所以三个平面最少可将空间分成4部分，最多分成8部分．
【当堂达标】
1.D 解析：若a∥α，则a与α内的直线平行或异面；若a与α相交，则a与α内的直线相交或异面．
2. 相交或异面 解析：平面内的一点与平面外的一点的连线与这个平面相交，所以平面内的一点与平面外的一点的连线与这个平面内过该点的直线是相交直线，与不过该点的直线是异面直线．
3. BB1，DD1 平面ADD1A1，平面CDD1C1，平面ACC1A1.
4.①② 解析：①中两个平面也可能相交；②α与β可能平行也可能相交．
5.②④ 解析：如题干图①中，GH∥MN.
图②中，G，H，N三点共面，但M 平面GHN，因此直线GH与MN异面．
图③中，连接GM，GM∥HN，因此GH与MN共面．
图④中，G，M，N三点共面，但H 平面GMN，因此GH与MN异面．
所以图②④中GH与MN异面．
6. 解：∵直线A′B与平面ABB′A′有无数个公共点，
∴直线A′B在平面ABB′A′内．
∵直线A′B与平面ABCD，BCC′B′都有且只有一个公共点B，
∴直线A′B与平面ABCD，BCC′B′相交．
∵直线A′B与平面ADD′A′，A′B′C′D′都有且只有一个公共点A′，
∴直线A′B与平面ADD′A′，A′B′C′D′相交．
∵直线A′B与平面DCC′D′没有公共点，
∴直线A′B与平面DCC′D′平行．

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