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8.5.2 直线与平面平行
【学习目标】
素 养 目 标 学 科 素 养
1.理解直线与平面平行的定义； 2.能准确描述直线与平面平行的判定定理，会用直线与平面平行的判定定理证明一些空间线面位置关系； 3.理解并能证明直线与平面平行的性质定理，能利用直线与平面平行的性质定理解决有关的平行问题。 1.直观想象; 2.逻辑推理；
【自主学习】
一．直线与平面平行的判定定理
文字语言 如果 一条直线与 的一条直线 ，那么该直线与此平面平行
符号语言 a∥α
图形语言
注意：用该定理判断直线a和平面α平行时，必须同时具备三个条件：
(1)直线a在平面α外，即a α.
(2)直线b在平面α内，即b α.
(3)两直线a，b平行，即a∥b.
二．直线与平面平行的性质定理
文字语言 一条直线与一个平面平行，如果过该直线的平面与此平面相交，那么 与 平行
符号语言 a∥α， a∥b
图形语言
注意：线面平行的性质定理成立的条件有三个, 缺一不可：
(1)直线a与平面α平行，即a∥α；
(2)平面α，β相交于一条直线，即α∩β＝b；
(3)直线a在平面β内，即a β.
【小试牛刀】
1.思考辨析(正确的画“√”，错误的画“×”)
(1)如果一条直线和平面内一条直线平行，那么这条直线和这个平面平行．(　　)
(2)若直线l与平面α平行，则l与平面α内的任意一条直线平行．(　　)
(3)若直线a∥平面α，直线a∥直线b，则直线b∥平面α.(　　)
(4)若直线a∥平面α，则直线a与平面α内任意一条直线都无公共点．(　　)
2.已知l，m是两条直线，α是平面，若要得到“l∥α”，则需要在条件“m α，l∥m”中另外添加的一个条件是________．
【经典例题】
题型一　线面平行判定定理的理解
例1 如果两直线a∥b，且a∥α，则b与α的位置关系是(　　)
A．相交　　 B．b∥α
C．b α　　 D．b∥α或b α
【跟踪训练】1 下列说法正确的是(　　)
A．若直线l平行于平面α内的无数条直线，则l∥α
B．若直线a在平面α外，则a∥α
C．若直线a∩b＝ ，直线b α，则a∥α
D．若直线a∥b，b α，那么直线a就平行于平面α内的无数条直线
题型二 直线与平面平行的判定
点拨：应用判定定理证明线面平行的步骤
“找”是证题的关键，其常用方法有：
①空间直线平行关系的传递性法；②三角形中位线法；③平行四边形法；④成比例线段法．　
例2 如果四边形ABCD是平行四边形，P是平面ABCD外一点，M，N分别是AB，PC的中点.
求证：MN∥平面PAD.
【跟踪训练】2 如图，直三棱柱ABC A1B1C1中，D是AB的中点．证明：BC1∥平面A1CD.
题型三 线面平行性质定理的应用
点拨：
例3 如图，在三棱锥S ABC中，E，F分别是SB，SC上的点，且EF∥平面ABC，则(　　)
A．EF与BC相交　　　　　　 B．EF∥BC
C．EF与BC异面 D．以上均有可能
【跟踪训练】3 如图，P是平行四边形ABCD所在平面外的一点，M是PC的中点，在DM上取一点G，过点G和AP作平面，交平面BDM于GH.求证：AP∥GH.
【当堂达标】
1.已知b是平面α外的一条直线，下列条件中，可得出b∥α的是(　　)
A．b与α内的一条直线不相交
B．b与α内的两条直线不相交
C．b与α内的无数条直线不相交
D．b与α内的所有直线不相交
2.如图，已知S为四边形ABCD外一点，G，H分别为SB，BD上的点，若GH∥平面SCD，则(　　)
A．GH∥SA B．GH∥SD
C．GH∥SC D．以上均有可能
3.如图所示，在空间四边形ABCD中，E，F，G，H分别是AB，BC，CD，DA上的点，EH∥FG，则EH与BD的位置关系是(　　)
A．平行　　　　　　　　　　 B．相交
C．异面 D．不确定
4.如图所示，P为矩形ABCD所在平面外一点，矩形对角线的交点为O，M为PB的中点，给出五个结论：①OM∥PD；②OM∥平面PCD；③OM∥平面PDA；④OM∥平面PBA；⑤OM∥平面PBC.其中正确的个数是(　　)
A．1 B．2
C．3 D．4
5.在正方体ABCD-A1B1C1D1中，E、F分別是对角线A1D、B1D1的中点，则正方体6个表面中与直线EF平行的平面有________________．
6.如图，在正方体ABCD A1B1C1D1中，E，F分别是棱BC，C1D1的中点，求证：EF∥平面BDD1B1.
【课堂小结】
一．直线与平面平行的判定(证明)
1.定义法：判定(证明)直线与平面无公共点.
2.判定定理：如果平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，那么该直线与此平面平行.用符号表示：a α，b α且a∥b a∥α.
3.体现了转化思想
此定理将证明线面平行的问题转化为证明线线平行.此定理可简记为：线线平行 线面平行.
二．直线与平面平行的性质定理： a∥α，a β，α∩β＝b a∥b
1.定理的作用：①线面平行 线线平行；②画一条直线与已知直线平行．
2.定理揭示了直线与平面平行中蕴含着直线与直线平行，即通过直线与平面平行可得到直线与直线平行，这给出了一种作平行线的方法，体现了数学中的转化与化归的思想．
【参考答案】
【自主学面外 此平面内 平行 a α，b α，且a∥b 该直线 交线 a β，α∩β＝b
【小试牛刀】
1. (1)×　　(2)×　(3)×　(4)√
2.l α 解析：根据直线与平面平行的判定定理，知需要添加的一个条件是“l α”．
【经典例题】
例1 D 解析: 由a∥b，且a∥α，知b∥α或b α.
【跟踪训练】1 D解析: A错误，直线l还可以在平面α内；B错误，直线a在平面α外，包括平行和相交；C错误，a还可以与平面α相交或在平面α内.故选D．
例2 证明：如图，取PD的中点G，连接GA，GN.
∵G，N分别是△PDC的边PD，PC的中点，
∴GN∥DC，GN＝DC.
∵M为平行四边形ABCD的边AB的中点，
∴AM＝DC，AM∥DC，
∴AM∥GN，AM＝GN，
∴四边形AMNG为平行四边形，∴MN∥AG，
又∵MN 平面PAD，AG 平面PAD，∴MN∥平面PAD.
【跟踪训练】2证明：如图，连接AC1交A1C于点F，则F为AC1的中点．
又D是AB的中点，连接DF，则DF∥BC1.
因为DF 平面A1CD，BC1 平面A1CD，所以BC1∥平面A1CD.
例3 B 解析：因为平面SBC∩平面ABC＝BC，又因为EF∥平面ABC，所以EF∥BC.
【跟踪训练】3 证明：如图，连接AC，交BD于点O，连接MO.
因为四边形ABCD是平行四边形，
所以点O是AC的中点．
又因为点M是PC的中点，
所以AP∥OM.
又因为AP 平面BDM，OM 平面BDM，
所以AP∥平面BDM.
因为平面PAHG∩平面BDM＝GH，
AP 平面PAHG，所以AP∥GH.
【当堂达标】
1.D 解析：若b与α内的所有直线不相交，即b与α无公共点，故b∥α.
2.B 解析：选B.因为GH∥平面SCD，GH 平面SBD，平面SBD∩平面SCD＝SD，所以GH∥SD，显然GH与SA，SC均不平行，故选B.
3.A 解析：选A.因为EH∥FG，FG 平面BCD，EH 平面BCD，所以EH∥平面BCD.因为EH 平面ABD，平面ABD∩平面BCD＝BD，所以EH∥BD.
4.C 解析：选C.矩形ABCD的对角线AC与BD交于点O，所以O为BD的中点．在△PBD中，M是PB的中点，所以OM是△PBD的中位线，所以OM∥PD，又OM 平面PCD，且OM 平面PDA，所以OM∥平面PCD，且OM∥平面PDA.因为M∈PB，所以OM与平面PBA、平面PBC均相交．
5.平面AB B1A1 平面DCC1D1
如图，连接A1C1，C1D，所以F为A1C1的中点，
在△A1C1D中，EF为中位线，所以EF∥C1D，又EF 平面C1CDD1，
C1D 平面C1CDD1，所以EF∥平面C1CDD1.
同理，EF∥平面A1B1BA.
故与EF平行的平面有平面C1CDD1和平面A1B1BA.
6.解：如图，取D1B1的中点O，连接OF，OB.
因为OFB1C1，BEB1C1，
所以OFBE，所以四边形OFEB是平行四边形，所以EF∥BO.
因为EF 平面BDD1B1，BO 平面BDD1B1，
所以EF∥平面BDD1B1.

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