资源简介

8.6.2 直线与平面垂直
【学习目标】
素 养 目 标 学 科 素 养
1.了解直线与平面垂直的定义． 2.理解直线与平面垂直的判定定理，并会用其判断直线与平面垂直． 3.理解直线与平面所成角的概念，并能解决简单的线面角问题． 4.能利用直线与平面垂直的判定定理和性质定理进行证明． 1.直观想象; 2.逻辑推理； 3.数学运算
【自主学习】
直线与平面垂直的定义
定义 如果直线l与平面α内的 直线都垂直，我们就说直线l与平面α互相垂直
记法 l⊥α
有关 概念 直线l叫做平面α的 ，平面α叫做直线l的 ，它们唯一的公共点P叫做
画法 画直线与平面垂直时，通常把直线画成与表示平面的平行四边形的一边垂直
图示
性质 过一点垂直于已知平面的直线有且只有一条
垂线段与点面距 过一点作垂直于已知平面的直线，则该点与垂足间的线段，叫做这个点到该平面的垂线段，垂线段的长度叫做这个点到该平面的距离
直线与平面垂直的判定定理
文字语言 如果一条直线与一个平面内的 垂直，那么该直线与此平面垂直
符号语言 l⊥a，l⊥b，a α，b α， l⊥α
图形语言
直线和平面所成的角
斜线 一条直线l与一个平面α ，但不与这个平面α ，图中直线PA
斜足 斜线和平面的 ，图中点A
射影 过斜线上斜足以外的一点P向平面α引 PO，过 O和 A的直线AO叫做斜线在这个平面上的射影
直线和平面所成的角 定义：平面的一条斜线和它在平面上的射影所成的角，图中∠PAO 规定：一条直线垂直于平面，它们所成的角是 ；一条直线和平面平行或在平面内，它们所成的角是
图示
取值范围 [0°，90°]
四．直线与平面垂直的性质定理
文字语言 垂直于同一个平面的两条直线
符号语言 a⊥α，b⊥α
图形语言
作用 线面垂直 线线平行
五．线面距与面面距
1.一条直线与一个平面平行时，这条直线上 到这个平面的距离，叫做这条直线到这个平面的距离．
2.如果两个平面平行，那么其中一个平面内的 到另一个平面的距离都 ，我们把它叫做这两个平行平面间的距离．
【小试牛刀】
1.思考辨析(正确的画“√”，错误的画“×”)
(1)如果一条直线垂直于平面内的无数条直线，那么这条直线和这个平面垂直． (　　)
(2) 如果一条直线与一个平面内所有直线都垂直，那么这条直线与这个平面垂直．(　　)
(3)若直线垂直于梯形的两腰所在的直线，则这条直线垂直于两底边所在的直线． (　　)
(4)如果直线l与平面α所成的角为60°，且m α，则直线l与m所成的角也是60°.(　　)
(5)若直线a∥平面α，直线b⊥平面α，则直线b⊥直线a.(　　)
2.在正方体ABCD A1B1C1D1中，直线AB1与平面ABCD所成的角等于________．
【经典例题】
题型一 直线与平面垂直的判定
点拨：证线面垂直的方法
①线面垂直的定义．②线面垂直的判定定理．
③如果两条平行直线的一条直线垂直于一个平面，那么另一条直线也垂直于这个平面．
④如果一条直线垂直于两个平行平面中的一个平面，那么它也垂直于另一个平面．
例1 如图，AB是圆O的直径，PA垂直于圆O所在的平面，M是圆周上任意一点，AN⊥PM，垂足为N.求证：AN⊥平面PBM.
【跟踪训练】1在正方体ABCD A1B1C1D1中，求证：A1C⊥平面BC1D．
题型二：直线与平面所成的角
点拨：
例2 如图所示，若斜线段AB是它在平面α上的射影BO的2倍，则AB与平面α所成的角是(　　)
A．60° B．45° C．30° D．120°
【跟踪训练】2在正方体ABCD A1B1C1D1中，
(1)直线A1B与平面ABCD所成的角是________；
(2)直线A1B与平面ABC1D1所成的角是________；
(3)直线A1B与平面AB1C1D所成的角是________．
题型三 线面垂直性质定理的应用
点拨：直线与平面垂直的性质
1.垂直于同一个平面的两条直线平行；
2.如果一条直线和一个平面垂直，则这条直线和这个平面内任一条直线垂直；
3.若两条平行线中的一条垂直于一个平面，则另一条也垂直于这个平面；
4.如果一条直线垂直于两个平行平面中的一个，则它必垂直于另一个平面．　
例3 如图所示，在正方体ABCD A1B1C1D1中，M是AB上一点，N是A1C的中点，MN⊥平面A1DC．求证：MN∥AD1.
【跟踪训练】3 如图，已知正方体A1C.
(1)求证：A1C⊥B1D1；
(2)M，N分别为B1D1与C1D上的点，且MN⊥B1D1，MN⊥C1D，
求证：MN∥A1C.
【当堂达标】
1.直线l与平面α内的两条直线都垂直，则直线l与平面α的位置关系是(　　)
A.平行　　　　　　　B.垂直 C.在平面α内 D.无法确定
2.如图，在下列四个正方体中，A，B为正方体的两个顶点，M，N，Q分别为所在棱的中点，则在这四个正方体中，直线AB与平面MNQ不垂直的是(　　)
3.如图，四棱锥S-ABCD的底面ABCD为正方形，SD⊥底面ABCD，则下列结论中正确的有______个．
①AC⊥SB；
②AB∥平面SCD；
③SA与平面ABCD所成的角是∠SAD；
④AB与SC所成的角等于DC与SC所成的角．
4.等腰直角三角形ABC的斜边AB在平面α内，若AC与α所成的角为30°，则斜边上的中线CM与α所成的角为________．
5.如图，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，∠BAC＝90°，AB＝AC＝AA1.
(1)求证：AB1⊥平面A1BC1；
(2)若D为B1C1的中点，求AD与平面A1B1C1所成角的正弦值．
6.如图，已知四棱锥S ABCD中ABCD为矩形，SA⊥平面AC，AE⊥SB于点E，EF⊥SC于点F.
(1)求证：AF⊥SC；
(2)若平面AEF交SD于点G，求证：AG⊥SD.
【课堂小结】
一．证明线面垂直的方法：
(1)线面垂直的定义．
(2)线面垂直的判定定理．
(3)如果两条平行直线的一条直线垂直于一个平面，那么另一条直线也垂直于这个平面．
(4)如果一条直线垂直于两个平行平面中的一个平面，那么它也垂直于另一个平面．
二．线线垂直和线面垂直的相互转化
【参考答案】
【自主学习】
任意一条 垂线 垂面 垂足 两条相交直线 a∩b＝P 相交 垂直 交点 垂线 垂足 斜足 90° 0° 平行 a∥b 任意一点 任意一点 相等
【小试牛刀】
1.(1)×　(2) √　(3)√　 (4)×　(5)√　
2.45°　解析：如图所示，因为正方体ABCD A1B1C1D1中，B1B⊥平面ABCD，所以AB即为AB1在平面ABCD中的射影，∠B1AB即为直线AB1与平面ABCD所成的角．由题意知，∠B1AB＝45°，故所求角为45°.
【经典例题】
例1 证明：设圆O所在的平面为α，
∵PA⊥α，且BM α，
∴PA⊥BM.
又∵AB为⊙O的直径，点M为圆周上一点，
∴AM⊥BM. 由于直线PA∩AM＝A，
∴BM⊥平面PAM，而AN 平面PAM，
∴BM⊥AN.
∴AN与PM、BM两条相交直线互相垂直．
故AN⊥平面PBM.
【跟踪训练】1证明：如图，连接AC，
∴AC⊥BD，
又∵BD⊥A1A，AC∩AA1＝A，AC，A1A 平面A1AC，
∴BD⊥平面A1AC，
∵A1C 平面A1AC，
∴BD⊥A1C．
同理可证BC1⊥A1C．
又∵BD∩BC1＝B，BD，BC1 平面BC1D，
∴A1C⊥平面BC1D．
例2 A 解析：∠ABO即是斜线AB与平面α所成的角，在Rt△AOB中，AB＝2BO，所以cos∠ABO＝，即∠ABO＝60°. 故选A．
【跟踪训练】2 (1)45°　(2)30°　(3)90°
解析：(1)由已知知∠A1BA为A1B与平面ABCD所成的角，∠A1BA＝45°.
(2)连接A1D，AD1，BC1，交点为O，则易证A1D⊥平面ABC1D1，所以A1B在平面ABC1D1内的射影为OB，所以A1B与平面ABC1D1所成的角为∠A1BO，
因为A1O＝A1B，所以∠A1BO＝30°.
(3)因为A1B⊥AB1，A1B⊥B1C1，
又因为AB1∩B1C1＝B1，
所以A1B⊥平面AB1C1D，即A1B与平面AB1C1D所成的角为90°.
例3 证明：因为四边形ADD1A1为正方形，
所以AD1⊥A1D．
又因为CD⊥平面ADD1A1，
所以CD⊥AD1.
因为A1D∩CD＝D，
所以AD1⊥平面A1DC．
又因为MN⊥平面A1DC，所以MN∥AD1.
【跟踪训练】3 (1)如图，连接A1C1.
因为CC1⊥平面A1B1C1D1，B1D1 平面A1B1C1D1，
所以CC1⊥B1D1.
因为四边形A1B1C1D1是正方形，
所以A1C1⊥B1D1.
又因为CC1∩A1C1＝C1，
所以B1D1⊥平面A1C1C.
又因为A1C 平面A1C1C，所以B1D1⊥A1C.
(2)如图，连接B1A，AD1.
因为B1C1AD，
所以四边形ADC1B1为平行四边形，
所以C1D∥AB1，
因为MN⊥C1D，所以MN⊥AB1.
又因为MN⊥B1D1，AB1∩B1D1＝B1，
所以MN⊥平面AB1D1.
由(1)知A1C⊥B1D1.
同理可得A1C⊥AB1.
又因为AB1∩B1D1＝B1，
所以A1C⊥平面AB1D1.
所以A1C∥MN.
【当堂达标】
1. D
2.D解析：对于A，易证AB⊥MN，AB⊥NQ，即可得直线AB⊥平面MNQ；对于B，易证AB⊥MN，AB⊥NQ，即可得直线AB⊥平面MNQ；对于C，易证AB⊥NQ，AB⊥MQ，即可得直线AB⊥平面MNQ；对于D，由图可得MN与直线AB相交且不垂直，故直线AB与平面MNQ不垂直．故选D.
3.4 解析：因为SD⊥底面ABCD，所以AC⊥SD．因为四边形ABCD是正方形，所以AC⊥BD．又BD∩SD＝D，所以AC⊥平面SBD，所以AC⊥SB，故①正确．因为AB∥CD，AB 平面SCD，CD 平面SCD，所以AB∥平面SCD，故②正确．因为AD是SA在平面ABCD内的射影，所以SA与平面ABCD所成的角是∠SAD．故③正确．因为AB∥CD，所以AB与SC所成的角等于DC与SC所成的角，故④正确．
4.45° 解析：如图，设C在平面α内的射影为点O，连接AO，MO，则∠CAO＝30°，∠CMO就是CM与α所成的角．设AC＝BC＝1，则AB＝，
所以CM＝，CO＝，所以sin∠CMO＝＝，所以∠CMO＝45°.
5.解：(1)证明：由题意知四边形AA1B1B是正方形，
∴AB1⊥BA1.
由AA1⊥平面A1B1C1得AA1⊥A1C1.
又∵A1C1⊥A1B1，AA1∩A1B1＝A1，
∴A1C1⊥平面AA1B1B．
又∵AB1 平面AA1B1B，∴A1C1⊥AB1.
又∵BA1∩A1C1＝A1，
∴AB1⊥平面A1BC1.
(2)连接A1D．设AB＝AC＝AA1＝1.
∵AA1⊥平面A1B1C1，∴∠A1DA是AD与平面A1B1C1所成的角．在等腰直角三角形A1B1C1中，D为斜边B1C1的中点，∴A1D＝B1C1＝.
在Rt△A1DA中，AD＝＝.
∴sin∠A1DA＝＝，即AD与平面A1B1C1所成角的正弦值为.
6.证明：(1)因为SA⊥平面AC，BC 平面AC，
所以SA⊥BC.因为四边形ABCD为矩形，所以AB⊥BC.
又因为SA∩ AB＝A，
所以BC⊥平面SAB.
所以BC⊥AE.又SB⊥AE，BC∩SB＝B，
所以AE⊥平面SBC.
又因为SC 平面SBC，
所以AE⊥SC.又EF⊥SC，EF∩ AE＝E，
所以SC⊥平面AEF.
因为AF 平面AEF，所以AF⊥SC.
(2)因为SA⊥平面AC，所以SA⊥DC.
又AD⊥DC，AD∩SA＝A，所以DC⊥平面SAD.
又AG 平面SAD，所以DC⊥AG.
又由(1)有SC⊥平面AEF，AG 平面AEF，
所以SC⊥AG.又SC∩DC＝C，所以AG⊥平面SDC.
因为SD 平面SDC，所以AG⊥SD.

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