资源简介

事件的相互独立性
【学习重难点】 【学习目标】 【核心素养】
相互独立事件的概念 理解相互独立事件的概念及意义 数学抽象
相互独立事件同时发生的概念 能记住相互独立事件概率的乘法公式； 能综合运用互斥事件的概率加法公式 及独立事件的乘法公式解题 数学运算、数学建模
【学习过程】
一、问题导学
预习教材内容，思考以下问题：
1．事件的相互独立性的定义是什么？
2．相互独立事件有哪些性质？
3．相互独立事件与互斥事件有什么区别？
二、合作探究
1．相互独立事件的判断
一个家庭中有若干个小孩，假定生男孩和生女孩是等可能的，令A＝{一个家庭中既有男孩又有女孩}，B＝{一个家庭中最多有一个女孩}．对下述两种情形，讨论A与B的独立性：
（1）家庭中有两个小孩；
（2）家庭中有三个小孩．
【解】（1）有两个小孩的家庭，男孩、女孩的可能情形为Ω＝{(男，男)，(男，女)，(女，男)，(女，女)}，
它有4个基本事件，由等可能性知概率都为.
这时A＝{(男，女)，(女，男)}，
B＝{(男，男)，(男，女)，(女，男)}，
AB＝{(男，女)，(女，男)}，
于是P（A）＝，P（B）＝，P(AB)＝.
由此可知P(AB)≠P（A）P（B），
所以事件A，B不相互独立．
（2）有三个小孩的家庭，小孩为男孩、女孩的所有可能情形为Ω＝{(男，男，男)，(男，男，女)，(男，女，男)，(男，女，女)，(女，男，男)，(女，男，女)，(女，女，男)，(女，女，女)}．
由等可能性知这8个基本事件的概率均为，这时A中含有6个基本事件，B中含有4个基本事件，AB中含有3个基本事件．
于是P（A）＝＝，P（B）＝＝，P(AB)＝，
显然有P(AB)＝＝P（A）P（B）成立．
从而事件A与B是相互独立的．
王敏某天乘火车从重庆到上海去办事，若当天从重庆到上海的三列火车正点到达的概率分别为0.8，0.7，0.9，假设这三列火车之间是否正点到达互不影响．求：
（1）这三列火车恰好有两列正点到达的概率；
（2）这三列火车至少有一列正点到达的概率．
【解】用A，B，C分别表示这三列火车正点到达的事件．
则P（A）＝0.8，P（B）＝0.7，P（C）＝0.9，
所以P()＝0.2，P()＝0.3，P()＝0.1．
（1）由题意得A，B，C之间互相独立，所以恰好有两列正点到达的概率为
P1＝P(BC)＋P(AC)＋P(AB)＝
P()P（B）P（C）＋P（A）P()P（C）＋P（A）P（B）P()
＝0.2×0.7×0.9＋0.8×0.3×0.9＋0.8×0.7×0.1＝0.398．
（2）三列火车至少有一列正点到达的概率为
P2＝1－P()＝1－P()P()P()
＝1－0.2×0.3×0.1＝0.994．
（1）[变问法]在本例条件下，求恰有一列火车正点到达的概率．
解：恰有一列火车正点到达的概率为
P3＝P(A)＋P(B)＋P(C)＝P（A）P()P()＋P()P（B）P()＋P()P()P（C）＝0.8×0.3×0.1＋0.2×0.7×0.1＋0.2×0.3×0.9＝0.092．
（2）[变条件]若一列火车正点到达记10分，用ξ表示三列火车的总得分，求P(ξ≤20)．
解：事件“ξ≤20”表示“至多两列火车正点到达”，其对立事件为“三列火车都正点到达”，所以P(ξ≤20)＝1－P(ABC)＝1－P（A）P（B）P（C）
＝1－0.8×0.7×0.9＝0.496．
3．相互独立事件的综合应用
本着健康、低碳的生活理念，租自行车骑游的人越来越多．某自行车租车点的收费标准是每车每次租用时间不超过两小时免费，超过两小时的部分每小时收费2元(不足一小时的部分按一小时计算)．有甲、乙两人独立来该租车点租车骑游(各租一车一次)．设甲、乙不超过两小时还车的概率分别为，，超过两小时但不超过三小时还车的概率分别为，，两人租车时间都不会超过四小时．
（1）求甲、乙两人所付租车费用相同的概率；
（2）设ξ为甲、乙两人所付的租车费用之和，求P(ξ＝4)和P(ξ＝6)的值．
【解】（1）由题意可得甲、乙两人超过三小时但不超过四小时还车的概率分别为，.
记甲、乙两人所付的租车费用相同为事件A，则P（A）＝×＋×＋×＝.所以甲、乙两人所付租车费用相同的概率为.
（2）P(ξ＝4)＝×＋×＋×＝，
P(ξ＝6)＝×＋×＝.
【学习小结】
1．相互独立的概念
设A，B为两个事件，若P(AB)＝P（A）P（B），则称事件A与事件B相互独立．
2．相互独立的性质
若事件A与B相互独立，那么A与，与B，与也都相互独立．
【精炼反馈】
1．如图，在两个圆盘中，指针落在圆盘每个数所在区域的机会均等，那么两个指针同时落在奇数所在区域的概率是( )
A． B．
C． D．
解析：选A．左边圆盘指针落在奇数区域的概率为＝，右边圆盘指针落在奇数区域的概率也为，所以两个指针同时落在奇数区域的概率为×＝.
2．已知A，B是相互独立事件，且P（A）＝，P（B）＝，则P(A)＝________；P( )＝________．
解析：因为P（A）＝，P（B）＝.
所以P()＝，P()＝.
所以P(A )＝P（A）P()＝×＝，P( )＝P()P()＝×＝.
答案：
3．某人忘记了电话号码的最后一个数字，因而他随意地拨号，假设拨过了的号码不再重复，试求下列事件的概率：
（1）第3次拨号才接通电话；
（2）拨号不超过3次而接通电话．
解：设Ai＝{第i次拨号接通电话}，i＝1，2，3．
（1）第3次才接通电话可表示为 A3，
于是所求概率为P(A3)＝××＝.
（2）拨号不超过3次而接通电话可表示为A1＋ A2＋A3，
于是所求概率为P(A1＋A2＋A3)
＝P(A1)＋P(A2)＋P(A3)
＝＋×＋××＝.
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