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第2讲　用“不动点法”求数列的通项公式
对于一个函数f(x)，我们把满足f(m)＝m的值x＝m称为函数f(x)的“不动点”．利用“不动点法”可以构造新数列，求数列的通项公式．
例　(1)在数列{an}中，a1＝1, an＋1＝an＋1，求数列{an}的通项公式．
解　设f(x)＝x＋1，
令f(x)＝x，即x＋1＝x，得x＝2，
∴x＝2是函数f(x)＝x＋1的不动点，
∴an＋1－2＝(an－2)，
∴数列{an－2}是以－1为首项，以为公比的等比数列，
∴an－2＝－1×n－1，
∴an＝2－n－1，n∈N*.
(2)已知数列{an}满足a1＝3，an＋1＝，求该数列的通项公式．
解　由方程x＝，得数列{an}的不动点为1和2，
＝＝＝·，所以是首项为＝2，公比为的等比数列，所以＝2·n－1，
解得an＝＋2＝，n∈N*.
(1)若f(x)＝ax＋b(a≠0,1)，p是f(x)的不动点．数列{an}满足an＋1＝f(an)，则an＋1－p＝a(an－p)，即{an－p}是公比为a的等比数列．
(2)设f(x)＝(c≠0，ad－bc≠0)，数列{an}满足an＋1＝f(an)，a1≠f(a1)．若f(x)有两个相异的不动点p，q，则＝k·.
1．已知数列{an}满足an＋1＝－an－2，a1＝4，求数列{an}的通项公式．
解　设f(x)＝－x－2，
由f(x)＝x，得x＝－.
∴an＋1＋＝－，
又a1＝4，
∴是以为首项，以－为公比的等比数列，
∴an＋＝×n－1，
∴an＝－＋·n－1，n∈N*.
2．已知数列{an}满足a1＝2，an＝(n≥2)，求数列{an}的通项公式．
解　解方程x＝，
化简得2x2－2＝0，解得x1＝1，x2＝－1，
令＝c·，
由a1＝2，得a2＝，可得c＝－，
∴数列是以＝为首项，以－为公比的等比数列，∴＝·n－1，
∴an＝.
3．设数列{an}满足8an＋1an－16an＋1＋2an＋5＝0(n≥1，n∈N*)，且a1＝1，记bn＝(n≥1)．求数列{bn}的通项公式．
解　由已知得an＋1＝，
由方程x＝，得不动点x1＝，x2＝.
所以＝＝·，
所以数列是首项为－2，公比为的等比数列，
所以＝－2×n－1＝－，
解得an＝.故bn＝＝，n∈N*.
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