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§7.2　离散型随机变量及其分布列
学习目标　1.理解随机变量及离散型随机变量的含义.2.了解随机变量与函数的区别与联系.
3.掌握离散型随机变量分布列的表示方法和性质.4.理解两点分布．
知识点一　随机变量的概念、表示及特征
1．概念：一般地，对于随机试验样本空间Ω中的每个样本点ω都有唯一的实数X(ω)与之对应，我们称X为随机变量．
2．表示：用大写英文字母表示随机变量，如X，Y，Z；用小写英文字母表示随机变量的取值，如x，y，z.
3．特征：随机试验中，每个样本点都有唯一的一个实数与之对应，随机变量有如下特征：
(1)取值依赖于样本点．
(2)所有可能取值是明确的．
知识点二　离散型随机变量
可能取值为有限个或可以一一列举的随机变量，我们称之为离散型随机变量．
知识点三　离散型随机变量的分布列及其性质
1．定义：一般地，设离散型随机变量X的可能取值为x1，x2，…，xn，我们称X取每一个值xi的概率P(X＝xi)＝pi，i＝1,2,3，…，n为X的概率分布列，简称分布列．
2．分布列的性质
(1)pi≥0，i＝1,2，…，n.
(2)p1＋p2＋…＋pn＝1.
知识点四　两点分布
如果P(A)＝p，则P()＝1－p，那么X的分布列为
X 0 1
P 1－p p
我们称X服从两点分布或0－1分布．
思考　随机变量X只取两个值，该分布是两点分布吗？
答案　不一定，如果X只取0和1，则是两点分布，否则不是．
1．离散型随机变量的取值是任意的实数．(　×　)
2．随机变量的取值可以是有限个，也可以是无限个．(　√　)
3．离散型随机变量是指某一区间内的任意值．(　×　)
4．手机电池的使用寿命X是离散型随机变量．(　×　)
一、随机变量的概念及分类
例1　下列变量中，哪些是随机变量，哪些是离散型随机变量？并说明理由．
(1)某机场一年中每天运送乘客的数量；
(2)某单位办公室一天中接到电话的次数；
(3)明年5月1日到10月1日期间所查酒驾的人数；
(4)一瓶果汁的容量为500±2 mL.
解　(1)某机场一年中每天运送乘客的数量可能为0,1,2,3，…，是随机变化的，因此是随机变量，也是离散型随机变量．
(2)某单位办公室一天中接到电话的次数可能为0,1,2,3，…，是随机变化的，因此是随机变量，也是离散型随机变量．
(3)明年5月1日到10月1日期间，所查酒驾的人数可能为0,1,2,3，…，是随机变化的，因此是随机变量，也是离散型随机变量．
(4)由于果汁的容量在498 mL～502 mL之间波动，是随机变量，但不是离散型随机变量．
反思感悟　判断离散型随机变量的方法
(1)明确随机试验的所有可能结果；
(2)将随机试验的结果数量化；
(3)确定试验结果所对应的实数是否可以一一列出，如能一一列出，则该随机变量是离散型随机变量，否则不是．
跟踪训练1　指出下列随机变量是不是离散型随机变量，并说明理由．
(1)从10张已编好号码的卡片(1号到10号)中任取一张，被取出的卡片的号数；
(2)一个袋中装有5个白球和5个黑球，从中任取3个，其中所含白球的个数；
(3)某林场的树木最高达30 m，则此林场中树木的高度；
(4)某加工厂加工的某种铜管的外径与规定的外径尺寸之差．
解　(1)只要取出一张，便有一个号码，因此被取出的卡片号数可以一一列出，符合离散型随机变量的定义．
(2)从10个球中取3个球，所得的结果有以下几种：3个白球；2个白球和1个黑球；1个白球和2个黑球；3个黑球，即其结果可以一一列出，符合离散型随机变量的定义．
(3)林场树木的高度是一个随机变量，它可以取(0,30]内的一切值，无法一一列举，不是离散型随机变量．
(4)实际测量值与规定值之间的差值无法一一列出，不是离散型随机变量．
二、求离散型随机变量的分布列
例2　一个箱子里装有5个大小相同的球，有3个白球，2个红球，从中摸出2个球．
(1)求摸出的2个球中有1个白球和1个红球的概率；
(2)用X表示摸出的2个球中的白球个数，求X的分布列．
解　一个箱子里装有5个大小相同的球，有3个白球，2个红球，从中摸出2个球，有C＝10(种)情况．
(1)设摸出的2个球中有1个白球和1个红球的事件为A，
P(A)＝＝，
即摸出的2个球中有1个白球和1个红球的概率为.
(2)用X表示摸出的2个球中的白球个数，X的所有可能取值为0,1,2.
P(X＝0)＝＝，P(X＝1)＝＝，
P(X＝2)＝＝.
故X的分布列为
X 0 1 2
P
反思感悟　求离散型随机变量的分布列关键有三点
(1)随机变量的取值．
(2)每一个取值所对应的概率．
(3)用所有概率之和是否为1来检验．
跟踪训练2　袋中有1个白球和4个黑球，每次从中任取一个球，每次取出的黑球不再放回，直到取出白球为止，求取球次数X的分布列．
解　X的可能取值为1,2,3,4,5，
则第1次取到白球的概率为P(X＝1)＝，
第2次取到白球的概率为P(X＝2)＝＝，
第3次取到白球的概率为P(X＝3)＝＝，
第4次取到白球的概率为P(X＝4)＝＝，
第5次取到白球的概率为P(X＝5)＝＝，
所以X的分布列为
X 1 2 3 4 5
P
三、分布列的性质及应用
例3　设随机变量X的分布列P＝ak(k＝1,2,3,4,5)．
(1)求常数a的值；
(2)求P.
解　由题意，所给分布列为
X 1
P a 2a 3a 4a 5a
(1)由分布列的性质得a＋2a＋3a＋4a＋5a＝1，
解得a＝.
(2)方法一　P＝P＋P＋P(X＝1)＝＋＋＝.
方法二　P＝1－P＝1－＝.
延伸探究
本例条件不变，求P.
解　∵∴P＝P＋P
＋P＝＋＋＝.
反思感悟　分布列的性质及其应用
(1)利用分布列中各概率之和为1可求参数的值，此时要注意检验，以保证每个概率值均为非负数．
(2)求随机变量在某个范围内的概率时，根据分布列，将所求范围内各随机变量对应的概率相加即可，其依据是互斥事件的概率加法公式．
跟踪训练3　若离散型随机变量X的分布列为
X 0 1
P 9c2－c 3－8c
试求出离散型随机变量X的分布列．
解　由已知可得9c2－c＋3－8c＝1，
∴9c2－9c＋2＝0，∴c＝或.
检验：当c＝时，9c2－c＝9×2－＝>0，
3－8c＝3－＝>0；
当c＝时，9c2－c＝9×2－>1，
3－8c＝3－<0(不适合，舍去)．故c＝.
故所求分布列为
X 0 1
P
1．下列表格中，不是某个随机变量的分布列的是(　　)
A.
X 0 1 2
P 0.7 0.15 0.15
B.
X －2 0 2 4
P 0.5 0.2 0.3 0
C.
X 1 2 3
P －
D.
X 1 2 3
P lg 1 lg 2 lg 5
答案　C
解析　C项中，P(X＝1)<0不符合P(X＝xi)≥0的特点，也不符合P(X＝1)＋P(X＝2)＋P(X＝3)＝1的特点．
所以C项不是随机变量的分布列．
2．(多选)下列变量中，不是离散型随机变量的是(　　)
A．到2020年5月1日止，我国被确诊的患新型冠状病毒肺炎的人数
B．一只刚出生的大熊猫，一年以后的身高
C．某人在车站等出租车的时间
D．某人投篮10次，可能投中的次数
答案　ABC
3．设离散型随机变量X的分布列如下：
X 1 2 3 4
P p
则p的值为(　　)
A. B. C. D.
答案　C
解析　由分布列的性质可知p＝1－－－＝.
4．已知X，Y均为离散型随机变量，且X＝2Y，若X的所有可能取值为0,2,4，则Y的所有可能取值为________．
答案　0,1,2
解析　由题意Y＝X且X∈{0,2,4}，
得Y∈{0,1,2}．
5．若随机变量X服从两点分布，且P(X＝0)＝0.8，P(X＝1)＝0.2.令Y＝3X－2，则P(Y＝－2)＝________.
答案　0.8
解析　因为Y＝3X－2，所以当Y＝－2时，X＝0，
所以P(Y＝－2)＝P(X＝0)＝0.8.
1．知识清单：
(1)随机变量的概念、特征．
(2)离散型随机变量的概念．
(3)离散型随机变量的分布列的概念及其性质．
(4)两点分布．
2．方法归纳：转化化归．
3．常见误区：随机变量的取值不明确导致分布列求解错误．
1．(多选)下面是离散型随机变量的是(　　)
A．某机场候机室中一天的游客数量X
B．某外卖员一天内收到的点餐次数X
C．某水文站观察到一天中长江的最高水位X
D．某立交桥一天经过的车辆数X
答案　ABD
解析　ABD中随机变量X所有可能取的值我们都可以按一定次序一一列出，因此它们都是离散型随机变量，C中X可以取某一区间内的一切值，无法一一列出，故不是离散型随机变量．
2．设离散型随机变量X的分布列为
X 0 1 2 3 4
P 0.2 0.1 0.1 0.3 m
若随机变量Y＝X－2，则P(Y＝2)等于(　　)
A．0.3 B．0.4 C．0.6 D．0.7
答案　A
解析　由0.2＋0.1＋0.1＋0.3＋m＝1，得m＝0.3.
所以P(Y＝2)＝P(X＝4)＝0.3.
3．某人进行射击，共有5发子弹，击中目标或子弹打完就停止射击，射击次数为ξ，则“ξ＝5”表示的试验结果是(　　)
A．第5次击中目标
B．第5次未击中目标
C．前4次均未击中目标
D．第4次击中目标
答案　C
解析　ξ＝5表示前4次均未击中目标，故选C.
4．设某项试验的成功率是失败率的2倍，用随机变量ξ描述一次试验的成功次数，则P(ξ＝0)等于(　　)
A．0 B. C. D.
答案　B
解析　设P(ξ＝1)＝p，则P(ξ＝0)＝1－p.依题意知，p＝2(1－p)，解得p＝.故p(ξ＝0)＝1－p＝.
5．离散型随机变量X的分布列中部分数据丢失，丢失数据以x，y(x，y∈N)代替，分布列如下：
X 1 2 3 4 5 6
P 0.20 0.10 0.x5 0.10 0.1y 0.20
则P等于(　　)
A．0.25 B．0.35 C．0.45 D．0.55
答案　B
解析　根据分布列的性质，知随机变量的所有取值的概率之和为1，可解得x＝2，y＝5，故P＝P(X＝2)＋P(X＝3)＝0.35.
6．一用户在打电话时忘记了最后3个号码，只记得最后3个数两两不同，且都大于5.于是他随机拨最后3个数(两两不同)，设他拨到正确号码所用的次数为X，随机变量X的可能值有________个．
答案　24
解析　后3个数是从6,7,8,9四个数中取3个组成的，共有A＝24(个)．
7．设随机变量X等可能取值1,2,3，…，n，如果P(X<4)＝0.3，那么P(X＝1)＝________，n＝________.
答案　0.1　10
解析　由题意知P(X<4)＝3P(X＝1)＝0.3，
∴P(X＝1)＝0.1，又nP(X＝1)＝1，∴n＝10.
8．把3个骰子全部掷出，设出现6点的骰子个数是X，则P(X<2)＝________.
答案　
解析　P(X<2)＝P(X＝0)＋P(X＝1)＝＋＝＝.
9．一个袋中装有5个白球和5个黑球，从中任取3个，其中所含白球的个数为ξ.
(1)列表说明可能出现的结果与对应的ξ的值；
(2)若规定抽取3个球中，每抽到一个白球加5分，抽到黑球不加分，且最后不管结果都加上6分．求最终得分η的可能取值，并判定η的随机变量类型．
解　(1)
ξ 0 1 2 3
结果 取得3个黑球 取得1个白球，2个黑球 取得2个白球，1个黑球 取得3个白球
(2)由题意可得η＝5ξ＋6，
而ξ可能的取值为0,1,2,3，
所以η对应的各值是
5×0＋6,5×1＋6,5×2＋6,5×3＋6.
故η的可能取值为6,11,16,21，显然η为离散型随机变量．
10．从含有2名女生的10名大学毕业生中任选3人进行某项调研活动，记女生入选的人数为ξ，求ξ的分布列．
解　ξ的所有可能取值为0,1,2，“ξ＝0”表示入选3人全是男生，则P(ξ＝0)＝＝，
“ξ＝1”表示入选3人中恰有1名女生，
则P(ξ＝1)＝＝，
“ξ＝2”表示入选3人中有2名女生，
则P(ξ＝2)＝＝.
因此ξ的分布列为
ξ 0 1 2
P
11．已知随机变量X的分布列如下：
X 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
P m
则P(X＝10)等于(　　)
A. B. C. D.
答案　C
解析　P(X＝10)＝1－－…－＝.
12．一木箱中装有8个同样大小的篮球，编号为1,2,3,4,5,6,7,8，现从中随机取出3个篮球，以ξ表示取出的篮球的最大号码，则ξ＝8表示的试验结果数为(　　)
A．18 B．21 C．24 D．10
答案　B
解析　ξ＝8表示3个篮球中一个编号是8，另外两个从剩余7个号中选2个，有C种方法，即21种．
13．(多选)已知随机变量X的分布列如下表所示，其中a，b，c成等差数列，则(　　)
X －1 0 1
P a b c
A.a＝ B．b＝
C．c＝ D．P(|X|＝1)＝
答案　BD
解析　∵a，b，c成等差数列，∴2b＝a＋c.
由分布列的性质得a＋b＋c＝3b＝1，∴b＝.
∴P(|X|＝1)＝P(X＝1)＋P(X＝－1)
＝1－P(X＝0)＝1－＝.
14．若随机变量X的分布列如下表所示：
X 0 1 2 3
P a b
则a2＋b2的最小值为________．
答案　
解析　由分布列的性质，知a＋b＝，而a2＋b2≥＝(当且仅当a＝b＝时等号成立)．
15．已知随机变量ξ只能取三个值x1，x2，x3，其概率依次成等差数列，则该等差数列公差的取值范围是(　　)
A. B.
C．[－3,3] D．[0,1]
答案　B
解析　设随机变量ξ取x1，x2，x3的概率分别为a－d，a，a＋d，则由分布列的性质得
(a－d)＋a＋(a＋d)＝1，故a＝，
由解得－≤d≤.
16．设S是不等式x2－x－6≤0的解集，整数m，n∈S.
(1)设“使得m＋n＝0成立的有序数组(m，n)”为事件A，试列举A包含的基本事件；
(2)设ξ＝m2，求ξ的分布列．
解　(1)由x2－x－6≤0得－2≤x≤3，即S＝{x|－2≤x≤3}．由于m，n∈Z，m，n∈S且m＋n＝0，所以A包含的基本事件为(－2,2)，(2，－2)，(－1,1)，(1，－1)，(0,0)．
(2)由于m的所有不同取值为－2，－1,0,1,2,3，
所以ξ＝m2的所有不同取值为0,1,4,9，且有
P(ξ＝0)＝，P(ξ＝1)＝＝，P(ξ＝4)＝＝，
P(ξ＝9)＝.
故ξ的分布列为
ξ 0 1 4 9
P

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