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再练一课(范围：§7.2～§7.4)
1．若X～B(5,0.1)，则P(X≤2)等于(　　)
A．0.665 B．0.008 56
C．0.918 54 D．0.991 44
答案　D
解析　P(X≤2)＝P(X＝0)＋P(X＝1)＋P(X＝2)
＝C0.10×0.95＋C0.1×0.94＋C0.12×0.93
＝0.991 44.
2．已知随机变量X的分布列为
X 0 1 2
P
设Y＝2X＋3，则D(Y)等于(　　)
A. B. C. D.
答案　A
解析　∵E(X)＝0×＋1×＋2×＝1，
∴D(X)＝(0－1)2×＋(1－1)2×＋(2－1)2×＝，
∴D(Y)＝D(2X＋3)＝4D(X)＝.
3．某电子管正品率为，次品率为，现对该批电子管进行测试，设第X次首次测到正品，则P(X＝3)等于(　　)
A．C2× B．C2×
C.2× D.2×
答案　C
解析　P(X＝3)＝2×.
4．有8名学生，其中有5名男生，从中选出4名代表，选出的代表中男生人数为X，则其均值E(X)等于(　　)
A．2 B．2.5 C．3 D．3.5
答案　B
解析　由题意可知X服从超几何分布，
∴E(X)＝＝2.5.
5．(多选)若随机变量X服从两点分布，其中P(X＝0)＝，E(X)，D(X)分别为随机变量X的均值与方差，则下列结论正确的是(　　)
A．P(X＝1)＝E(X) B．E(3X＋2)＝4
C．D(3X＋2)＝4 D．D(X)＝
答案　AB
解析　随机变量X服从两点分布，其中P(X＝0)＝，∴P(X＝1)＝，E(X)＝0×＋1×＝，D(X)＝2×＋2×＝，在A中，P(X＝1)＝E(X)，故A正确；在B中，E(3X＋2)＝3E(X)＋2＝3×＋2＝4，故B正确；在C中，D(3X＋2)＝9D(X)＝9×＝2，故C错误；在D中，D(X)＝，故D错误，故选AB.
6．设随机变量X的分布列为P(X＝k)＝C·k·300－k(k＝0,1,2，…，300)，则E(X)＝________.
答案　100
解析　由P(X＝k)＝C·k·300－k，
可知X～B，∴E(X)＝300×＝100.
7．一批产品共50件，其中5件次品，其余均为合格品，从这批产品中任意抽取两件，其中出现次品的概率为________．
答案　
解析　设抽取的两件产品中次品的件数为X，则
P(X＝k)＝(k＝0,1,2)．
∴P(X>0)＝P(X＝1)＋P(X＝2)＝＋＝.
8．已知箱中装有10个不同的小球，其中2个红球、3个黑球和5个白球，现从该箱中有放回地依次取出3个小球，则3个小球颜色互不相同的概率是________；若变量ξ为取出3个球中红球的个数，则ξ的方差D(ξ)＝________.
答案　　
解析　箱中装有10个不同的小球，其中2个红球、3个黑球和5个白球，现从该箱中有放回地依次取出3个小球，则3个小球颜色互不相同的概率是P＝A×××＝.变量ξ为取出3个球中红球的个数，则ξ～B，∴ξ的方差D(ξ)＝3××＝.
9．老师要从10篇课文中随机抽3篇让学生背诵，规定至少要背出其中2篇才能及格．某同学只能背诵其中的6篇，试求：
(1)抽到他能背诵的课文的数量的分布列；
(2)他能及格的概率．
解　(1)设抽到他能背诵的课文的数量为X，
X的可能取值为0,1,2,3，且服从超几何分布，
则P(X＝k)＝(k＝0,1,2,3)，
P(X＝0)＝＝，
P(X＝1)＝＝，
P(X＝2)＝＝，
P(X＝3)＝＝.
所以X的分布列为
X 0 1 2 3
P
(2)他能及格的概率为P(X≥2)＝P(X＝2)＋P(X＝3)＝＋＝.
10．甲、乙两人射击，甲射击1次中靶的概率是p1，乙射击1次中靶的概率是p2，且，是方程x2－5x＋6＝0的两个实根．已知甲射击5次，中靶次数的方差是.
(1)求p1，p2的值；
(2)若两人各射击2次，至少中靶3次就算完成目标，则完成目标的概率是多少？
(3)若两人各射击1次，至少中靶1次就算完成目标，则完成目标的概率是多少？
解　(1)由题意可知，甲射击中靶的次数X甲～B(5，p1)．
∴D(X甲)＝5p1(1－p1)＝.
∴p－p1＋＝0，解得p1＝.
又·＝6，∴p2＝.
(2)甲、乙两人射击中靶与否互不影响，分两类情况：共击中3次的概率为
C20×C11＋C11×C20＝.
共击中4次的概率为
C20×C20＝.
则所求概率为＋＝.
(3)两人各射击1次，都未中靶的概率为
×＝，
则两人各射击1次，至少中靶1次的概率为1－＝.
11．随机变量ξ的分布列为
ξ －1 0 1 2
P a b c
其中a，b，c成等差数列，若E(ξ)＝，则D(ξ)等于(　　)
A. B. C. D.
答案　D
解析　∵a，b，c成等差数列，E(ξ)＝，
∴由变量ξ的分布列，知
解得a＝，b＝，c＝，
∴D(ξ)＝2×＋2×＋2×＋2×＝.故选D.
12．计算机程序每运行一次都随机出现一个五位的二进制数A＝a1a2a3a4a5，其中A的各位数字中，a1＝1，ak(k＝2,3,4,5)出现0的概率为，出现1的概率为.记X＝a1＋a2＋a3＋a4＋a5，当程序运行一次时，X＝3的概率为(　　)
A. B. C. D.
答案　C
解析　已知a1＝1，要使X＝3，只需后四位数字中出现2个1和2个0，∴P(X＝3)＝C×2×2＝.
13．“石头、剪刀、布”又称“猜丁壳”，是一种流行多年的猜拳游戏，起源于中国，然后传到日本、朝鲜等地，随着亚欧贸易的不断发展，它传到了欧洲，到了近代逐渐风靡世界．其游戏规则是：出拳之前双方齐喊口令，然后在语音刚落时同时出拳，握紧的拳头代表“石头”，食指和中指伸出代表“剪刀”，五指伸开代表“布”．“石头”胜“剪刀”、“剪刀”胜“布”，而“布”又胜过“石头”．若所出的拳相同，则为和局．小军和大明两位同学进行“五局三胜制”的“石头、剪刀、布”游戏比赛，则小军和大明比赛至第四局小军胜出的概率是(　　)
A. B. C. D.
答案　B
解析　根据“石头”胜“剪刀”、“剪刀”胜“布”，而“布”又胜“石头”，可得每局比赛中小军胜大明、小军与大明和局和小军输给大明的概率都为，∴小军和大明两位同学进行“五局三胜制”的“石头、剪刀、布”游戏比赛，比赛至第四局小军胜出，指前3局中小军胜2局，有1局不胜，第四局小军胜，∴小军和大明比赛至第四局小军胜出的概率是P＝C×2××＝.
14．如图，将一个各面都涂了油漆的正方体，切割成125个同样大小的小正方体．经过搅拌后，从中随机取出一个小正方体，记它的涂油漆面数为X，则X的均值为________．
答案　
解析　根据题意易知X＝0,1,2,3.分布列如下：
X 0 1 2 3
P
所以E(X)＝0×＋1×＋2×＋3×＝＝.
15．设随机变量X～B(2，p)，Y～B(3，p)，若P(X≥1)＝，则P(Y＝2)＝________.
答案　
解析　因为随机变量X～B(2，p)且P(X≥1)＝，
所以P(X≥1)＝Cp(1－p)＋Cp2＝，
解得p＝或p＝(舍去)．
所以随机变量Y～B，
所以P(Y＝2)＝C2＝.
16．已知某种从太空飞船中带回来的植被种子每粒成功发芽的概率都为，某植物研究所分两个小组分别独立开展该种子的发芽试验，每次试验种一粒种子，如果某次没有发芽，则称该次试验是失败的．
(1)第一小组做了3次试验，记该小组试验成功的次数为X，求X的分布列；
(2)第二小组进行试验，到成功了4次为止，求在第4次成功之前共有3次失败的概率．
解　(1)由题意，得随机变量X的可能取值为0,1,2,3，
则X～B.
所以P(X＝k)＝Ck3－k，k＝0,1,2,3，
即P(X＝0)＝C×0×3＝，
P(X＝1)＝C×1×2＝，
P(X＝2)＝C×2×1＝，
P(X＝3)＝C×3＝.
所以X的分布列为
X 0 1 2 3
P
(2)第二小组第7次试验成功，前面6次试验中有3次失败，3次成功，每次试验又是相互独立的，
因此所求概率为P＝C3×3×＝.

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