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3.2　双曲线
3.2.1　双曲线及其标准方程
学 习 目 标 核 心 素 养
1.理解双曲线的定义、几何图形和标准方程的推导过程．(重点)2．掌握双曲线的标准方程及其求法．(重点)3．会利用双曲线的定义和标准方程解决简单的问题．(难点) 1.通过双曲线概念的学习，培养学生的数学抽象的核心素养．2．通过双曲线标准方程的求解、与双曲线有关的轨迹问题的学习，提升学生的数学运算、逻辑推理及数学抽象等核心素养.
做下面一个实验．
(1)取一条拉链，拉开一部分．
(2)在拉开的两边各选择一点，分别固定在点F1，F2上．
(3)把笔尖放在M处，随着拉链的拉开或闭拢，画出一条曲线．
试观察这是一条什么样的曲线？点M在运动过程中满足什么几何条件？
1．双曲线的定义
文字语言 平面内与两个定点F1，F2的距离的差的绝对值等于非零常数(小于|F1F2|)的点的轨迹.
符号语言 ||PF1|－|PF2||＝常数(常数＜|F1F2|)
焦点 定点F1，F2
焦距 两焦点间的距离
思考：(1)双曲线定义中，将“小于|F1F2|”改为“等于|F1F2|”或“大于|F1F2|”的常数，其他条件不变，点的轨迹是什么？
(2)双曲线的定义中，F1、F2分别为双曲线的左、右焦点，若|MF1|－|MF2|＝2a(常数)，且2a<|F1F2|，则点M的轨迹是什么？
[提示]　(1)当距离之差的绝对值等于|F1F2|时，动点的轨迹是两条射线，端点分别是F1，F2，当距离之差的绝对值大于|F1F2|时，动点的轨迹不存在．
(2)点M在双曲线的右支上．
2．双曲线的标准方程
焦点在x轴上 焦点在y轴上
标准方程 －＝1(a＞0，b＞0) －＝1(a＞0，b＞0)
焦点 F1(－c,0)，F2(c,0) F1(0，－c)，F2(0，c)
a，b，c的关系 c2＝a2＋b2
1．思考辨析(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)平面内到两定点的距离的差等于常数(小于两定点间距离)的点的轨迹是双曲线． (　　)
(2)在双曲线标准方程－＝1中，a＞0，b＞0且a≠b． (　　)
(3)双曲线标准方程中，a，b的大小关系是a＞b． (　　)
[提示]　(1)×　(2)×　(3)×
2．双曲线－＝1的焦距为(　　)
A．3　　　　B．4　　　　C．3　　　　D．4
D　[c2＝10＋2＝12，所以c＝2，从而焦距为4.]
3．平面内有两个定点F1(－5,0)和F2(5,0)，动点P满足|PF1|－|PF2|＝6，则动点P的轨迹方程是(　　)
A．－＝1(x≤－4) B．－＝1(x≤－3)
C．－＝1(x≥4) D．－＝1(x≥3)
[答案]　D
4．(教材P121练习T3改编)已知方程－＝1表示焦点在y轴上的双曲线，则m的取值范围是________．
(－∞，－2)　[由双曲线标准方程的特点知2＋m＜0且－(m＋1)＞0，解得m＜－2.即m的取值范围为(－∞，－2)．]
求双曲线的标准方程
【例1】　根据下列条件，求双曲线的标准方程：
(1)a＝4，经过点A；
(2)与双曲线－＝1有相同的焦点，且经过点(3，2)；
(3)过点P，Q且焦点在坐标轴上．
[思路探究]　(1)结合a的值设出标准方程的两种形式，将点A的坐标代入求解．
(2)因为焦点相同，所以所求双曲线的焦点也在x轴上，且c2＝16＋4＝20，利用待定系数法求解，或设出统一方程求解．
(3)双曲线焦点的位置不确定，可设出一般方程求解．
[解]　(1)当焦点在x轴上时，设所求标准方程为－＝1(b>0)，把点A的坐标代入，得b2＝－×<0，不符合题意；当焦点在y轴上时，设所求标准方程为－＝1(b>0)，把A点的坐标代入，得b2＝9.故所求双曲线的标准方程为－＝1.
(2)法一：∵焦点相同，
∴设所求双曲线的标准方程为－＝1(a>0，b>0)，
∴c2＝16＋4＝20，即a2＋b2＝20. ①
∵双曲线经过点(3，2)，∴－＝1. ②
由①②得a2＝12，b2＝8，∴双曲线的标准方程为－＝1.
法二：设所求双曲线的方程为－＝1(－4<λ<16)．
∵双曲线过点(3，2)，∴－＝1，
解得λ＝4或λ＝－14(舍去)．
∴双曲线的标准方程为－＝1.
(3)设双曲线的方程为Ax2＋By2＝1，AB<0.
∵点P，Q在双曲线上，
∴解得
∴双曲线的标准方程为－＝1.
1．求双曲线标准方程的步骤
(1)定位：是指确定与坐标系的相对位置，在标准方程的前提下，确定焦点位于哪条坐标轴上，以确定方程的形式．
(2)定量：是指确定a2，b2的数值，常由条件列方程组求解．
2．双曲线标准方程的两种求法
(1)定义法：根据双曲线的定义得到相应的a，b，c，再写出双曲线的标准方程．
(2)待定系数法：先设出双曲线的标准方程－＝1或－＝1(a，b均为正数)，然后根据条件求出待定的系数代入方程即可．
提醒：若焦点的位置不明确，应注意分类讨论，也可以设双曲线方程为mx2＋ny2＝1的形式，注意标明条件mn＜0.
[跟进训练]
1．根据下列条件，求双曲线的标准方程．
(1)以椭圆＋＝1的焦点为顶点，顶点为焦点；
(2)焦距为2，经过点(－5,2)，且焦点在x轴上；
(3)焦点为(0，－6)，(0,6)，且过点A(－5,6)．
[解]　(1)依题意，得双曲线的焦点在x轴上，且a＝，c＝2，所以b2＝c2－a2＝5.
所以双曲线的标准方程为－＝1.
(2)因为焦点在x轴上，且c＝，
所以设双曲线的标准方程为－＝1,0＜a2＜6.
又因为过点(－5,2)，所以－＝1，
解得a2＝5或a2＝30(舍去)．
所以双曲线的标准方程为－y2＝1.
(3)法一：由已知得c＝6，且焦点在y轴上．因为点A(－5，6)在双曲线上，所以2a＝|－|＝|13－5|＝8，则a＝4，b2＝c2－a2＝62－42＝20.
所以所求双曲线的标准方程是－＝1.
法二：因为焦点在y轴上，所以双曲线方程可以设为－＝1.
由题意知
解得a2＝16，b2＝20.
所以所求的双曲线的标准方程为－＝1.
双曲线定义的应用
[探究问题]
1．双曲线的定义中为什么要加条件“常数2a小于|F1F2|”？
[提示]　把常数记为2a，只有当2a＜|F1F2|时，其轨迹是双曲线；当2a＝|F1F2|时，其轨迹是分别以F1，F2为端点的两条射线；当2a＞|F1F2|时，其轨迹不存在．若常数为零，其余条件不变，则动点的轨迹是线段F1F2的垂直平分线．
2．双曲线定义中为什么“距离的差”要加“绝对值”？
[提示]　距离的差要加绝对值，否则只为双曲线的一支．若F1，F2分别表示双曲线的左、右焦点，且点P满足|PF1|－|PF2|＝2a，则点P在右支上；若点P满足|PF2|－|PF1|＝2a，则点P在左支上．
【例2】　(1)△ABC中，A(－5,0)，B(5,0)，点C在双曲线－＝1上，则＝(　　)
A．　　　B．±　　　C．－　　　D．±
(2)已知F1，F2分别是双曲线－＝1的左、右焦点，若P是双曲线左支上的点，且|PF1|·|PF2|＝32.试求△F1PF2的面积．
[思路探究]　(1)结合三角形中正弦定理及双曲线的定义解题，但要注意||CA|－|CB||＝2a.
(2)结合焦点三角形中余弦定理和双曲线的定义，以及三角形面积公式解题．
(1)D　[在△ABC中，sin A＝，sin B＝，sin C＝＝(其中R为△ABC外接圆的半径)．
∴＝＝.
又∵|BC|－|AC|＝±8，
∴＝±＝±.]
(2)[解]　因为P是双曲线左支上的点，所以|PF2|－|PF1|＝6，两边平方得|PF1|2＋|PF2|2－2|PF1|·|PF2|＝36，所以|PF1|2＋|PF2|2＝36＋2|PF1|·|PF2|＝36＋2×32＝100.
在△F1PF2中，由余弦定理，
得cos∠F1PF2＝
＝＝0，所以∠F1PF2＝90°，
所以S＝|PF1|·|PF2|＝×32＝16.
1．[变条件，变设问]若本例(2)中双曲线的标准方程不变，且其上一点P到焦点F1的距离为10.求点P到F2的距离．
[解]　由双曲线的标准方程－＝1，
得a＝3，b＝4，c＝5.
由双曲线定义得||PF1|－|PF2||＝2a＝6，
∴|10－|PF2||＝6，
解得|PF2|＝4或|PF2|＝16.
2．[变条件]若本例(2)条件“|PF1|·|PF2|＝32”改成“|PF1|∶|PF2|＝2∶5”其他条件不变，求△F1PF2的面积．
[解]　由|PF1|∶|PF2|＝2∶5，
||PF2|－|PF1||＝6，
可知|PF2|＝10，|PF1|＝4，
∴S＝×4×4＝8.
3．[变条件]本例(2)中，将条件“|PF1|·|PF2|＝32”改为“∠F1PF2＝60°”，其他条件不变，求△F1PF2的面积．
[解]　由－＝1，得a＝3，b＝4，c＝5.
由定义和余弦定理得|PF1|－|PF2|＝－6，
|F1F2|2＝|PF1|2＋|PF2|2－2|PF1||PF2|cos 60°，
∴102＝(|PF1|－|PF2|)2＋|PF1|·|PF2|，
∴|PF1|·|PF2|＝64，
∴S＝|PF1|·|PF2|·sin ∠F1PF2
＝×64×＝16.
求双曲线中的焦点△PF1F2面积的方法
(1)①根据双曲线的定义求出||PF1|－|PF2||＝2a；②利用余弦定理表示出|PF1|、|PF2|、|F1F2|之间满足的关系式；③通过配方，整体的思想求出|PF1|·|PF2|的值；④利用公式S＝×|PF1|·|PF2|·sin∠F1PF2求得面积．
(2)利用公式S＝×|F1F2|×|yP|求得面积．
与双曲线有关的轨迹问题
【例3】　如图所示，在△ABC中，已知|AB|＝4，且三个内角A，B，C满足2sin A＋sin C＝2sin B，建立适当的坐标系，求顶点C的轨迹方程．
[思路探究]　→→
→
[解]　以AB边所在的直线为x轴，AB的垂直平分线为y轴，建立平面直角坐标系，如图所示，
则A(－2，0)，B(2，0)．
由正弦定理，得sin A＝，sin B＝，sin C＝(R为△ABC的外接圆半径)．
∵2sin A＋sin C＝2sin B，∴2|BC|＋|AB|＝2|AC|，
即|AC|－|BC|＝＝2<|AB|.
由双曲线的定义知，点C的轨迹为双曲线的右支(除去与x轴的交点)．
由题意，设所求轨迹方程为－＝1(x>a)，
∵a＝，c＝2，∴b2＝c2－a2＝6.
即所求轨迹方程为－＝1(x>)．
求解与双曲线有关的点的轨迹问题，常见的方法有两种：
(1)列出等量关系，化简得到方程；
(2)寻找几何关系，结合双曲线的定义，得出对应的方程．
求解双曲线的轨迹问题时要特别注意：(1)双曲线的焦点所在的坐标轴；(2)检验所求的轨迹对应的是双曲线的一支还是两支．
[跟进训练]
2.如图所示，已知定圆F1：x2＋y2＋10x＋24＝0，定圆F2：x2＋y2－10x＋9＝0，动圆M与定圆F1，F2都外切，求动圆圆心M的轨迹方程．
[解]　圆F1：(x＋5)2＋y2＝1，圆心F1(－5,0)，半径r1＝1.
圆F2：(x－5)2＋y2＝42，圆心F2(5,0)，半径r2＝4.
设动圆M的半径为R，则有|MF1|＝R＋1，|MF2|＝R＋4，∴|MF2|－|MF1|＝3＜10＝|F1F2|.
∴点M的轨迹是以F1，F2为焦点的双曲线的左支，且a＝，c＝5，于是b2＝c2－a2＝.
故动圆圆心M的轨迹方程为－＝1.
1．双曲线与椭圆的比较
曲线 椭圆 双曲线
定义 |PF1|＋|PF2|＝2a(|F1F2|＝2c,2a＞2c) ||PF1|－|PF2||＝2a(|F1F2|＝2c,2a＜2c)
标准方程 ＋＝1或＋＝1(a＞b＞0) －＝1或－＝1(a＞0，b＞0)
图形特征 封闭的连续曲线 分两支，不封闭，不连续
根据标准方程确定a，b的方法 以大小分a，b(如＋＝1中，9＞4，则,a2＝9，b2＝4) 以正负分a，b (如－＝1中，a2＝9，b2＝4)
a，b，c的关系 a2＝b2＋c2(a最大) a2＋b2＝c2(c最大)
2.用待定系数法求双曲线的标准方程时，要先判断焦点所在的位置，设出标准方程后，由条件列出关于a，b，c的方程组．如果焦点不确定要分类讨论，采用待定系数法求方程或用形如mx2＋ny2＝1(mn＜0)的形式求解．
1．动点P到点M(1,0)的距离与点N(3,0)的距离之差为2，则点P的轨迹是(　　)
A．双曲线　　　 B．双曲线的一支
C．两条射线 D．一条射线
D　[由已知|PM|－|PN|＝2＝|MN|，所以点P的轨迹是一条以N为端点的射线．]
2．已知m，n∈R，则“mn＜0”是“方程＋＝1表示双曲线”的(　　)
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
C　[方程＋＝1表示双曲线，必有mn＜0；当mn＜0时，方程＋＝1表示双曲线，所以“mn＜0”是“方程＋＝1表示双曲线”的充要条件．]
3．已知双曲线方程为2x2－y2＝k，焦距为6，则k的值为________．
±6　[若焦点在x轴上，则方程可化为－＝1，所以＋k＝32，解得k＝6；
若焦点在y轴上，则方程可化为－＝1，所以－k＋＝32，
即k＝－6.
综上所述，k的值为6或－6.]
4．已知F1，F2分别为双曲线C：x2－y2＝1的左、右焦点，点P在C上，∠F1PF2＝60°，则|PF1|·|PF2|等于________．
4　[在△PF1F2中，|F1F2|2＝|PF1|2＋|PF2|2－2|PF1|·|PF2|·cos 60°＝(|PF1|－|PF2|)2＋|PF1|·|PF2|，即(2)2＝22＋|PF1|·|PF2|，
解得|PF1|·|PF2|＝4.]
5．已知双曲线与椭圆＋＝1有共同的焦点，且与椭圆相交，一个交点A的纵坐标为4，求双曲线方程．
[解]　因为椭圆＋＝1的焦点为(0，－3)，(0,3)，A点的坐标为(，4)或(－，4)，
设双曲线的标准方程为－＝1(a>0，b>0)，
所以解得
所以所求的双曲线的标准方程为－＝1.
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