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3.2.2　双曲线的简单几何性质
学 习 目 标 核 心 素 养
1.掌握双曲线的简单几何性质．(重点)2．理解双曲线的渐近线及离心率的意义．(难点) 1.通过学习双曲线的几何性质，培养学生的直观想象、数学运算核心素养．2．借助双曲线几何性质的应用及直线与双曲线位置关系的应用，提升学生的直观想象及数学运算、逻辑推理核心素养.
(1)复习椭圆的简单几何性质：范围、对称性、顶点、长轴、短轴、离心率等性质．
(2)用多媒体展示几组焦点在x轴、y轴上开口大小各不相同的双曲线，观察双曲线形状的美．
(3)根据椭圆的几何性质，那么双曲线有哪些几何性质呢？
1．双曲线的几何性质
标准方程 －＝1(a＞0，b＞0) －＝1(a＞0，b＞0)
图形
性质 范围 x≥a或x≤－a y≤－a或y≥a
对称性 对称轴：坐标轴，对称中心：原点
顶点 (－a,0)，(a,0) (0，－a)，(0，a)
轴长 实轴长＝2a，虚轴长＝2b
离心率 e＝>1
渐近线 y＝±x y＝±x
思考：渐近线相同的双曲线是同一条双曲线吗？
[提示]　渐近线相同的双曲线有无数条，但它们实轴与虚轴的长的比值相同．
2．双曲线的中心和等轴双曲线
(1)双曲线的中心
双曲线的对称中心叫做双曲线的中心．
(2)等轴双曲线
实轴和虚轴等长的双曲线叫做等轴双曲线，其离心率e＝.
3．直线与双曲线的位置关系
将y＝kx＋m与－＝1联立消去y得一元方程(b2－a2k2)x2－2a2kmx－a2(m2＋b2)＝0.
Δ的取值 位置关系 交点个数
k＝±时 相交 只有一个交点
k≠±且Δ＞0 有两个交点
k≠±且Δ＝0 相切 只有一个交点
k≠±且Δ＜0 相离 没有公共点
1．思考辨析(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)双曲线－＝1的焦点在y轴上． (　　)
(2)双曲线的离心率越大，双曲线的开口越开阔． (　　)
(3)以y＝±2x为渐近线的双曲线有2条． (　　)
[提示]　(1)×　(2)√　(3)×
2．若等轴双曲线的一个焦点是F1(－6,0)，则它的标准方程是(　　)
A．－＝1　　　 B．－＝1
C．－＝1 D．－＝1
B　[由条件知，等轴双曲线焦点在x轴上，可设方程为－＝1，a2＋a2＝62，解得a2＝18，故方程为－＝1.]
3．已知点(2,3)在双曲线C：－＝1(a＞0，b＞0)上，C的焦距为4，则它的离心率为________．
2　[由题意知－＝1，c2＝a2＋b2＝4，得a＝1，b＝，∴e＝2.]
4．双曲线－＝1(a＞0)的一条渐近线方程为y＝x，则a＝________.
5　[∵双曲线的标准方程为－＝1(a>0)，
∴双曲线的渐近线方程为y＝±x.
又双曲线的一条渐近线方程为y＝x，∴a＝5.]
根据双曲线方程研究几何性质
【例1】　求双曲线9y2－4x2＝－36的顶点坐标、焦点坐标、实轴长、虚轴长、离心率和渐近线方程．
[解]　双曲线的方程化为标准形式是－＝1，
∴a2＝9，b2＝4，∴a＝3，b＝2，c＝.
又双曲线的焦点在x轴上，
∴顶点坐标为(－3,0)，(3,0)，
焦点坐标为(－，0)，(，0)，
实轴长2a＝6，虚轴长2b＝4，
离心率e＝＝，渐近线方程为y＝±x.
1．把本例双曲线方程“9y2－4x2＝－36”改为“9y2－4x2＝36”，它的性质如何？
[解]　把方程9y2－4x2＝36化为标准方程为－＝1，这里a2＝4，b2＝9，c2＝13.焦点在y轴上．所以顶点坐标为(0,2)，(0，－2)，
焦点坐标为(0，)，(0，－)，实轴长2a＝4，
虚轴长2b＝6，离心率e＝＝，渐近线方程为y＝±x＝±x.
2．把本例中方程“9y2－4x2＝－36”改为“4x2－9y2＝－4”，它的性质又如何？
[解]　方程4x2－9y2＝－4可化为标准方程－x2＝1，焦点在y轴上，这里a2＝，b2＝1，c2＝＋1＝.
所以顶点坐标为，.
焦点坐标为，.
实轴长2a＝，虚轴长2b＝2.
离心率e＝＝.
渐近线方程为y＝±x＝±x.
由双曲线的方程研究几何性质的解题步骤
(1)把双曲线方程化为标准形式；
(2)由标准方程确定焦点位置，确定a，b的值；
(3)由c2＝a2＋b2求出c值，从而写出双曲线的几何性质．
提醒：求性质时一定要注意焦点的位置．
由几何性质求双曲线的标准方程
【例2】　求适合下列条件的双曲线的标准方程：
(1)焦点在x轴上，虚轴长为8，离心率为；
(2)两顶点间的距离是6，两焦点的连线被两顶点和中心四等分；
(3)与双曲线－＝1有共同的渐近线，且过点(－3，2)．
[思路探究]　由几何性质求双曲线方程，多是根据题设信息寻找a，b，c，e之间的关系，并通过构造方程获得问题的解(解出a，b或a2，b2的值)．
[解]　(1)设所求双曲线的标准方程为－＝1(a＞0，b＞0)，则2b＝8，e＝＝，从而b＝4，c＝a，代入c2＝a2＋b2，得a2＝9，故双曲线的标准方程为－＝1.
(2)由两顶点间的距离是6得2a＝6，即a＝3.
由两焦点的连线被两顶点和中心四等分可得2c＝4a＝12，即c＝6，于是有b2＝c2－a2＝62－32＝27.
由于焦点所在的坐标轴不确定，故所求双曲线的标准方程为－＝1或－＝1.
(3)法一：当焦点在x轴上时，设双曲线的方程为－＝1.
由题意，得
解得a2＝，b2＝4，
所以双曲线的方程为－＝1.
当焦点在y轴上时，设双曲线的方程为－＝1.
由题意，得解得a2＝－4，b2＝－(舍去)
综上所得，双曲线的方程为－＝1.
法二：设所求双曲线方程为－＝λ(λ≠0)，
将点(－3,2)代入得λ＝，
所以双曲线方程为－＝，即－＝1.
1．由几何性质求双曲线标准方程的解题思路
由双曲线的几何性质求双曲线的标准方程，一般用待定系数法．当双曲线的焦点不明确时，方程可能有两种形式，此时应注意分类讨论，为了避免讨论，也可设双曲线的方程为mx2－ny2＝1(mn＞0)．
2．常见双曲线方程的设法
(1)渐近线为y＝±x的双曲线方程可设为－＝λ(λ≠0，m＞0，n＞0)；如果两条渐近线的方程为Ax±By＝0，那么双曲线的方程可设为A2x2－B2y2＝m(m≠0，A＞0，B＞0)．
(2)与双曲线－＝1或－＝1(a＞0，b＞0)共渐近线的双曲线方程可设为－＝λ或－＝λ(λ≠0)．
(3)与双曲线－＝1(a＞0，b＞0)离心率相等的双曲线系方程可设为－＝λ(λ＞0)或－＝λ(λ＞0)，这是因为由离心率不能确定焦点位置．
(4)与椭圆＋＝1(a＞b＞0)共焦点的双曲线系方程可设为－＝1(b2＜λ＜a2)．
[跟进训练]
1．求适合下列条件的双曲线的标准方程：
(1)虚轴长为12，离心率为；
(2)焦点在x轴上，离心率为，且过点(－5,3)；
(3)顶点间距离为6，渐近线方程为y＝±x.
[解]　(1)设双曲线的标准方程为－＝1或－＝1(a＞0，b＞0)．
由题意知2b＝12，＝且c2＝a2＋b2，
∴b＝6，c＝10，a＝8，
∴双曲线的标准方程为－＝1或－＝1.
(2)∵e＝＝，∴c＝a，b2＝c2－a2＝a2.
又∵焦点在x轴上，
∴设双曲线的标准方程为－＝1(a＞0)．
把点(－5,3)代入方程，解得a2＝16.
∴双曲线的标准方程为－＝1.
(3)设以y＝±x为渐近线的双曲线方程为－＝λ(λ≠0)，
当λ＞0时，a2＝4λ，∴2a＝2＝6 λ＝.
当λ＜0时，a2＝－9λ，∴2a＝2＝6 λ＝－1.
∴双曲线的标准方程为－＝1或－＝1.
求双曲线的离心率
[探究问题]
1．双曲线的离心率的范围怎样？对双曲线的形状有什么影响？
[提示]　在双曲线方程中，因为a＜c，所以离心率e＝∈(1，＋∞)，它的大小决定了双曲线的开口大小，e越大，开口就越大．
2．双曲线的离心率与其渐近线斜率有什么关系？
[提示]　e＝＝＝
当焦点在x轴上时，渐近线斜率为k，则e＝，当焦点在y轴上时，渐近线斜率为k，则e＝.
【例3】　(1)已知双曲线的一条渐近线方程为y＝2x，则其离心率为________．
(2)在平面直角坐标系xOy中，若双曲线－＝1(a＞0，b＞0)的右焦点F(c,0)到一条渐近线的距离为c，求其离心率的值．
[思路探究]　(1)利用离心率与的关系，注意要分类讨论焦点的位置．
(2)利用条件建立齐次方程求解．
(1)或　[当焦点在x轴上时，＝2，这时离心率e＝＝＝.
当焦点在y轴上时，＝2，即＝，这时离心率e＝＝＝.]
(2)[解]　因为双曲线的右焦点F(c,0)到渐近线y＝±x，即bx±ay＝0的距离为＝＝b，所以b＝c，因此a2＝c2－b2＝c2－c2＝c2，a＝c，所以离心率e＝＝2.
求双曲线离心率的方法
(1)若可求得a，c，则直接利用e＝得解．
(2)若已知a，b，可直接利用e＝得解．
(3)若得到的是关于a，c的齐次方程pc2＋qac＋ra2＝0(p，q，r为常数，且p≠0)，则转化为关于e的方程pe2＋qe＋r＝0求解．
[跟进训练]
2．过双曲线C：－＝1(a>0，b>0)的右焦点作一条与其渐近线平行的直线，交C于点P.若点P的横坐标为2a，则C的离心率为________．
2＋　[如图，F1，F2为双曲线C的左、右焦点，将点P的横坐标2a代入－＝1中，得y2＝3b2，
不妨令点P的坐标为(2a，－b)，
此时kPF2＝＝，
得到c＝(2＋)a，
即双曲线C的离心率e＝＝2＋.
]
直线与双曲线的位置关系
[探究问题]
1．直线和双曲线只有一个公共点，那么直线和双曲线一定相切吗？
[提示]　可能相切，也可能相交，当直线和渐近线平行时，直线和双曲线相交且只有一个交点．
2．过点(0,2)和双曲线－＝1只有一个公共点的直线有几条？
[提示]　四条，其中两条切线，两条和渐近线平行的直线．
【例4】　已知双曲线C：x2－y2＝1及直线l：y＝kx－1.
(1)若直线l与双曲线C有两个不同的交点，求实数k的取值范围；
(2)若直线l与双曲线C交于A，B两点，O是坐标原点，且△AOB的面积为，求实数k的值．
[思路探究]　直线方程与双曲线方程联立方程组 判断“Δ”与“0”的关系 直线与双曲线的位置关系．
[解]　(1)联立方程组
消去y并整理得(1－k2)x2＋2kx－2＝0.
∵直线与双曲线有两个不同的交点，
则解得－＜k＜，且k≠±1.
∴若l与C有两个不同交点，实数k的取值范围为
(－，－1)∪(－1,1)∪(1，)．
(2)设A(x1，y1)，B(x2，y2)，
对于(1)中的方程(1－k2)x2＋2kx－2＝0，
由根与系数的关系，得x1＋x2＝－，
x1x2＝－，
∴|AB|＝|x1－x2|＝·
＝.
又∵点O(0,0)到直线y＝kx－1的距离d＝，
∴S△AOB＝·|AB|·d＝＝，
即2k4－3k2＝0，解得k＝0或k＝±.
∴实数k的值为±或0.
直线与双曲线位置关系的判断方法
(1)方程思想的应用
把直线与双曲线的方程联立成方程组，通过消元后化为ax2＋bx＋c＝0的形式，在a≠0的情况下考察方程的判别式．
①Δ>0时，直线与双曲线有两个不同的公共点．
②Δ＝0时，直线与双曲线只有一个公共点．
③Δ<0时，直线与双曲线没有公共点．
当a＝0时，此时直线与双曲线的渐近线平行，直线与双曲线有一个公共点．
(2)数形结合思想的应用
①直线过定点时，根据定点的位置和双曲线的渐近线的斜率与直线的斜率的大小关系确定其位置关系．
②直线斜率一定时，通过平行移动直线，比较直线斜率与渐近线斜率的关系来确定其位置关系．
提醒：利用判别式来判断直线与双曲线的交点个数问题的前提是通过消元化为一元二次方程．
[跟进训练]
3．已知双曲线－y2＝1，求过点A (3，－1)且被点A平分的弦MN所在直线的方程．
[解]　法一：由题意知直线的斜率存在，故可设直线方程为y＋1＝k(x－3)，即y＝kx－3k－1，
由消去y，
整理得(1－4k2)x2＋8k(3k＋1)x－36k2－24k－8＝0.
设M(x1，y1)，N(x2，y2)，
∴x1＋x2＝.
∵A(3，－1)为MN的中点，
∴＝3，
即＝3，
解得k＝－.
当k＝－时，
满足Δ>0，符合题意，
∴所求直线MN的方程为y＝－x＋，
即3x＋4y－5＝0.
法二：设M(x1，y1)，N(x2，y2)，∵M，N均在双曲线上，
∴
两式相减，得＝y－y，
∴＝.
∵点A平分弦MN，
∴x1＋x2＝6，y1＋y2＝－2.
∴kMN＝＝＝－.
经验证，该直线MN存在．
∴所求直线MN的方程为y＋1＝－(x－3)，
即3x＋4y－5＝0.
1．渐近线是双曲线特有的性质．两方程联系密切，把双曲线的标准方程－＝1(a＞0，b＞0)右边的常数1换为0，就是渐近线方程．反之由渐近线方程ax±by＝0变为a2x2－b2y2＝λ(λ≠0)，再结合其他条件求得λ，可得双曲线方程．
2．与双曲线有关的其他几何性质
(1)通径：过双曲线－＝1(a＞0，b＞0)的焦点作垂直于焦点所在对称轴的直线，该直线被双曲线截得的弦叫做通径，其长度为.
(2)焦点三角形：双曲线上的点P与两焦点构成的△PF1F2叫做焦点三角形．设∠F1PF2＝θ，则焦点三角形的面积S＝.
(3)距离：双曲线－＝1(a＞0，b＞0)右支上任意一点M到左焦点的最小距离为a＋c，到右焦点的最小距离为c－a.
(4)与双曲线－＝1(a＞0，b＞0)的离心率相等的双曲线系方程为－＝λ(λ＞0)或－＝λ(λ＞0)．
(5)与双曲线－＝1(a＞0，b＞0)共焦点的双曲线系方程为－＝1(－a2＜k＜b2)．
1．已知定点F1(－2,0)，F2(2,0)，在平面内满足下列条件的动点P的轨迹中为双曲线的是(　　)
A．|PF1|－|PF2|＝±3
B．|PF1|－|PF2|＝±4
C．|PF1|－|PF2|＝±5
D．|PF1|2－|PF2|2＝±4
A　[|F1F2|＝4，根据双曲线的定义知选A.]
2．已知双曲线－＝1的右焦点为(3,0)，则该双曲线的离心率等于(　　)
A．　　B．　　C．　　D．
C　[由题意知a2＋5＝9，解得a＝2，故e＝.]
3．已知双曲线－＝1(a＞0，b＞0)的一个焦点为F(2，0)，且离心率为e＝，则双曲线的标准方程为________．
－＝1　[由焦点坐标，知c＝2，由e＝＝，可得a＝4，所以b＝＝2，则双曲线的标准方程为－＝1.]
4．过双曲线x2－＝1的左焦点F1，作倾斜角为的直线与双曲线交于A，B两点，则|AB|＝________.
3　[双曲线的左焦点为(－2,0)，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，AB方程为y＝(x＋2)，即x－y＋2＝0，
由得8y2－12y＋9＝0，
则y1＋y2＝，y1y2＝.
∴|AB|＝
＝＝3.]
5．直线l与双曲线x2－4y2＝4相交于A，B两点，若点P(4,1)为线段AB的中点，则直线l的方程是________．
x－y－3＝0　[设A(x1，y1)，B(x2，y2)，直线AB的斜率为k，易知k存在且k≠0，
则x－4y＝4，x－4y＝4，
两式相减，得(x1－x2)(x1＋x2)－4(y1－y2)(y1＋y2)＝0，
又∵点P(4,1)为线段AB的中点，
∴x1＋x2＝8，y1＋y2＝2.
代入，得(x1－x2)－(y1－y2)＝0，
∴k＝＝1.
因此直线l的方程是y－1＝1×(x－4)，即x－y－3＝0.]
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