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3.3.2　抛物线的简单几何性质
学 习 目 标 核 心 素 养
1.掌握抛物线的几何性质．(重点) 2.掌握直线与抛物线的位置关系的判断及相关问题．(重点)3.能利用方程及数形结合思想解决焦点弦、弦中点等问题．(难点) 1.通过抛物线几何性质的应用，培养学生的数学运算核心素养.2.通过直线与抛物线的位置关系、焦点弦及中点弦、抛物线综合问题的学习，提升学生的逻辑推理、直观想象及数学运算的核心素养.
(1)通过多媒体课件展示．抛物线形反射镜，平行光束聚焦于焦点，激发学生兴趣．
(2)问题：一抛物线形拱桥跨度为4米，拱顶离水面2米，一水面漂浮一宽2米，高出水面1.6米的大木箱，问能否通过该拱桥？
为了解决这个问题，我们先来研究一下抛物线的简单几何性质．
1．抛物线的几何性质
标准方程 y2＝2px(p＞0) y2＝－2px(p＞0) x2＝2py(p＞0) x2＝－2py(p＞0)
图形
性质 焦点
准线 x＝－ x＝ y＝－ y＝
范围 x≥0，y∈R x≤0，y∈R y≥0，x∈R y≤0，x∈R
对称轴 x轴 y轴
顶点 (0,0)
离心率 e＝1
2.焦点弦
直线过抛物线y2＝2px(p>0)的焦点F，与抛物线交于A(x1，y1)、B(x2，y2)两点，由抛物线的定义知，|AF|＝x1＋，|BF|＝x2＋，故|AB|＝x1＋x2＋p.
3．直线与抛物线的位置关系
直线与抛物线有三种位置关系：相离、相切和相交．
设直线y＝kx＋m与抛物线y2＝2px(p＞0)相交于A(x1，y1)，B(x2，y2)两点，将y＝kx＋m代入y2＝2px，消去y并化简，得k2x2＋2(mk－p)x＋m2＝0.
①k＝0时，直线与抛物线只有一个交点；
②k≠0时，Δ＞0 直线与抛物线相交 有两个公共点．
Δ＝0 直线与抛物线相切 只有一个公共点．
Δ＜0 直线与抛物线相离 没有公共点．
思考：直线与抛物线只有一个公共点，那么直线与抛物线一定相切吗？
[提示]　可能相切，也可能相交，当直线与抛物线的对称轴平行或重合时，直线与抛物线相交且只有一个公共点．
1．思考辨析(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)抛物线是无中心的圆锥曲线． (　　)
(2)抛物线y2＝2px过焦点且垂直于对称轴的弦长是2p． (　　)
(3)抛物线y＝－x2的准线方程为x＝． (　　)
[提示]　(1)√　(2)√　(3)×
2．顶点在原点，对称轴为y轴，顶点到准线的距离为4的抛物线的标准方程是(　　)
A．x2＝16y　　　 B．x2＝8y
C．x2＝±8y D．x2＝±16y
D　[顶点到准线的距离为，则＝4.解得p＝8，又因对称轴为y轴，则抛物线方程为x2＝±16y.]
3．过抛物线y2＝4x的焦点作直线交抛物线于A(x1，y1)，B(x2，y2)两点，若x1＋x2＝6，则|AB|＝(　　)
A．10 B．8
C．6 D．4
B　[|AB|＝x1＋x2＋p＝6＋2＝8.]
4．若双曲线－＝1(p＞0)的左焦点在抛物线y2＝2px的准线上，则p＝________.
4　[双曲线的左焦点为(－，0)，由条件可知，－＝－，解得p＝4.]
抛物线性质的应用
【例1】　(1)已知抛物线的顶点在坐标原点，对称轴为x轴且与圆x2＋y2＝4相交的公共弦长等于2，则抛物线的方程为________．
(2)如图，过抛物线y2＝2px(p＞0)的焦点F的直线依次交抛物线及准线于点A，B，C，若|BC|＝2|BF|，且|AF|＝4，求抛物线的方程．
[思路探究]　(1)利用抛物线和圆的对称性，先确定出交点坐标，然后再求方程．
(2)根据抛物线的定义，将条件转化到三角形中，再根据三角形的关联性求解．
(1)y2＝3x或y2＝－3x　[根据抛物线和圆的对称性知，其交点纵坐标为±，交点横坐标为±1，则抛物线过点(1，)或(－1，)，设抛物线方程为
y2＝2px或y2＝－2px(p>0)，
则2p＝3，从而抛物线方程为y2＝3x或y2＝－3x.]
(2)[解]　如图，分别过点A，B作准线的垂线，分别交准线于点E，D，
设|BF|＝a，则由已知得：
|BC|＝2a，
由定义得：|BD|＝a，故∠BCD＝30°，
在Rt△ACE中，∵|AF|＝4，|AC|＝4＋3a，
∴2|AE|＝|AC|，∴4＋3a＝8，从而得a＝，∵BD∥FG，∴＝，p＝2.因此抛物线的方程是y2＝4x.
用待定系数法求抛物线方程的步骤
提醒：求抛物线的方程时要注意抛物线的焦点位置，不同的焦点设出不同的方程．
[跟进训练]
1．若直线x＝m与抛物线y2＝4x交于A、B两点，F是其焦点，若△ABF为等边三角形，求m的值．
[解]　根据题意△ABF为等边三角形，则
tan 60°＝，m＞0，
解得m＝7±12.
直线与抛物线的位置关系
【例2】　(1)过定点P(0,1)作与抛物线y2＝2x只有一个公共点的直线有几条？
(2)若直线l：y＝(a＋1)x－1与曲线C：y2＝ax(a≠0)恰好有一个公共点，试求实数a的取值集合．
[思路探究]　(1)分斜率存在、不存在两种情况，存在时将直线方程代入抛物线方程，转化为Δ＝0求解；不存在时显然满足题意．
(2)→
→分类讨论方程有一解时a的取值
[解]　(1)当直线的斜率不存在时，直线x＝0，符合题意．
当直线的斜率存在时，设过点P的直线方程为y＝kx＋1，当k＝0时，直线l的方程为y＝1，满足直线与抛物线y2＝2x仅有一个公共点；
当k≠0时，将直线方程y＝kx＋1代入y2＝2x，消去y得k2x2＋2(k－1)x＋1＝0.由Δ＝0，得k＝，直线方程为y＝x＋1.故满足条件的直线有三条．
(2)因为直线l与曲线C恰好有一个公共点，所以方程组只有一组实数解，消去y，得[(a＋1)x－1]2＝ax，即(a＋1)2x2－(3a＋2)x＋1＝0　①.
(ⅰ)当a＋1＝0，即a＝－1时，方程①是关于x的一元一次方程，解得x＝－1，这时，原方程组有唯一解
(ⅱ)当a＋1≠0，即a≠－1时，方程①是关于x的一元二次方程．
令Δ＝(3a＋2)2－4(a＋1)2＝a(5a＋4)＝0，解得a＝0(舍去)或a＝－.
所以原方程组有唯一解
综上，实数a的取值集合是.
直线与抛物线交点问题的解题思路
(1)判断直线与抛物线的交点个数时，一般是将直线与抛物线的方程联立消元，转化为形如一元二次方程的形式，注意讨论二次项系数是否为0.若该方程为一元二次方程，则利用判别式判断方程解的个数．
(2)直线与抛物线有一个公共点时有两种情形：(1)直线与抛物线的对称轴重合或平行；(2)直线与抛物线相切．
[跟进训练]
2．若抛物线y2＝4x与直线y＝x－4相交于不同的两点A，B，求证OA⊥OB.
[证明]　由消去y，得x2－12x＋16＝0.
∵直线y＝x－4与抛物线相交于不同两点A，B，
∴可设A(x1，y1)，B(x2，y2)，
则有x1＋x2＝12，x1x2＝16.
∵·＝x1x2＋y1y2＝x1x2＋(x1－4)(x2－4)＝x1x2＋x1x2－4(x1＋x2)＋16＝16＋16－4×12＋16＝0，
∴⊥，即OA⊥OB.
中点弦及弦长公式
【例3】　过点Q(4,1)作抛物线y2＝8x的弦AB，恰被点Q所平分，求AB所在直线的方程．
[思路探究]　设A(x1，y1)，B(x2，y2)，用点差法求kAB；也可以设直线AB的方程，与抛物线方程联立，利用根与系数的关系，通过“设而不求”求解．
[解]　法一：(点差法)设以Q为中点的弦AB的端点坐标为A(x1，y1)，B(x2，y2)，则有y＝8x1，y＝8x2，∴(y1＋y2)(y1－y2)＝8(x1－x2)．
又y1＋y2＝2，∴y1－y2＝4(x1－x2)，
即＝4，∴kAB＝4.
∴AB所在直线的方程为y－1＝4(x－4)，即4x－y－15＝0.
法二：由题意知AB所在直线斜率存在，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，弦AB所在直线的方程为y＝k(x－4)＋1.
联立消去x，得ky2－8y－32k＋8＝0，
此方程的两根就是线段端点A，B两点的纵坐标．
由根与系数的关系得y1＋y2＝.
又y1＋y2＝2，∴k＝4.
∴AB所在直线的方程为4x－y－15＝0.
“中点弦”问题解题方法
[跟进训练]
3．已知抛物线的顶点在原点，x轴为对称轴，经过焦点且倾斜角为的直线l被抛物线所截得的弦长为6，求抛物线的标准方程．
[解]　当抛物线焦点在x轴正半轴上时，可设抛物线标准方程为y2＝2px(p＞0)，则焦点F，直线l的方程为y＝x－.设直线l与抛物线的交点为A(x1，y1)，B(x2，y2)，过点A，B向抛物线的准线作垂线，垂足分别为点A1，点B1，则|AB|＝|AF|＋|BF|＝|AA1|＋|BB1|＝＋＝x1＋x2＋p＝6，
∴x1＋x2＝6－p.①
由消去y，得＝2px，即x2－3px＋＝0.∴x1＋x2＝3p，代入①式得3p＝6－p，∴p＝.
∴所求抛物线的标准方程是y2＝3x.
当抛物线焦点在x轴负半轴上时，用同样的方法可求出抛物线的标准方程是y2＝－3x.
抛物线的综合应用
[探究问题]
1．若两条直线的斜率存在且倾斜角互补时，两条直线的斜率有什么关系？
[提示]　两条直线的斜率互为相反数．
2．如何对待圆锥曲线中的定点、定值问题？
[提示]　常选择一个参数来表示要研究问题中的几何量，通过运算说明与参数无关，进而找到定点、定值．也常用特值法找定点、定值．
【例4】　如图所示，抛物线关于x轴对称，它的顶点为坐标原点，点P(1,2)，A(x1，y1)，B(x2，y2)均在抛物线上．
(1)求抛物线的方程及其准线方程；
(2)当PA与PB的斜率存在且倾斜角互补时，证明：直线AB的斜率为定值．
[思路探究]　第(1)问可以利用待定系数法解决；第(2)问关键是如何将PA与PB两条直线的倾斜角互补与直线AB的斜率联系起来．
[解]　(1)由题意可设抛物线的方程为y2＝2px(p>0)，则由点P(1,2)在抛物线上，得22＝2p×1，解得p＝2，
故所求抛物线的方程是y2＝4x，准线方程是x＝－1.
(2)证明：因为PA与PB的斜率存在且倾斜角互补，所以kPA＝－kPB，即＝－.
又A(x1，y1)，B(x2，y2)均在抛物线上，所以x1＝，x2＝，从而有＝－，即＝－，得y1＋y2＝－4，故直线AB的斜率kAB＝＝＝－1.
1.若本例题改为：如图所示，已知直线l：y＝2x－4交抛物线y2＝4x于A，B两点，试在抛物线AOB这段曲线上求一点P，使△PAB的面积最大，并求出这个最大面积．如何求解？
[解]　由解得或
由图可知，A(4,4)，B(1，－2)，
则|AB|＝3.
设P(x0，y0)为抛物线AOB这段曲线上一点，d为点P到直线AB的距离，则
d＝＝
＝|(y0－1)2－9|.
∵－2∴d＝[9－(y0－1)2]．
从而当y0＝1时，dmax＝，Smax＝××3＝.
故当点P的坐标为时，△PAB的面积取得最大值，最大值为.
2.若本例改为“抛物线方程为y2＝x，且过点P(3，－1)的直线与抛物线C交于M，N两个不同的点(均与点A(1,1)不重合)，设直线AM，AN的斜率分别为k1，k2”，求证：k1·k2为定值．
[解]　设M(x1，y1)，N(x2，y2)，设直线MN的方程为x＝t(y＋1)＋3，代入抛物线方程得y2－ty－t－3＝0.
所以Δ＝(t＋2)2＋8＞0，y1＋y2＝t，y1y2＝－t－3.
所以k1·k2＝·＝·＝＝＝＝－.
所以k1·k2是定值．
应用抛物线性质解题的常用技巧
(1)抛物线的中点弦问题用点差法较简便．
(2)轴对称问题，一是抓住对称两点的中点在对称轴上，二是抓住两点连线的斜率与对称轴所在直线斜率的关系．
(3)在直线和抛物线的综合题中，经常遇到求定值、过定点问题．解决这类问题的方法很多，如斜率法、方程法、向量法、参数法等．解决这些问题的关键是代换和转化．
(4)圆锥曲线中的定点、定值问题，常选择一参数来表示要研究问题中的几何量，通过运算找到定点、定值，说明与参数无关，也常用特值探路法找定点、定值．
1．抛物线的性质可以总结为五个“1”，即：一个顶点，一个焦点，一条准线，一条对称轴，离心率为1的无心圆锥曲线．
2.抛物线中常见的几个结论：
已知AB是抛物线y2＝2px(p＞0)的焦点弦，且A(x1，y1)，B(x2，y2)．点F是抛物线的焦点(如图)．
则有
(1)y1y2＝－p2，x1x2＝.
(2)|AB|＝x1＋x2＋p.
(3)以过焦点的弦为直径的圆与准线相切．
(4)以焦半径为直径的圆与y轴相切．
1．若抛物线y2＝2x上有两点A、B且AB垂直于x轴，若|AB|＝2，则抛物线的焦点到直线AB的距离为(　　)
A．　　　　 B．
C． D．
A　[线段AB所在的直线方程为x＝1，抛物线的焦点坐标为，则焦点到直线AB的距离为1－＝.]
2．在抛物线y2＝16x上到顶点与到焦点距离相等的点的坐标为(　　)
A．(4，±2)　 B．(±4，2)
C．(±2,4) D．(2，±4)
D　[抛物线y2＝16x的顶点O(0,0)，焦点F(4,0)，设P(x，y)符合题意，则有

所以符合题意的点为(2，±4)．]
3．设O为坐标原点，F为抛物线y2＝4x的焦点，A是抛物线上一点，若·＝－4，则点A的坐标是(　　)
A．(2，±2) B．(1，±2)
C．(1,2) D．(2,2)
B　[由题意知F(1,0)，设A，则＝，＝，由·＝－4得y0＝±2，∴点A的坐标为(1，±2)，故选B.]
4．已知AB是过抛物线2x2＝y的焦点的弦，若|AB|＝4，则AB的中点的纵坐标是________．
　[设A(x1，y1)，B(x2，y2)，
由抛物线2x2＝y，可得p＝.
∵|AB|＝y1＋y2＋p＝4，
∴y1＋y2＝4－＝，故AB的中点的纵坐标是＝.]
5．已知点P(1，m)是抛物线C：y2＝2px上的点，F为抛物线的焦点，且|PF|＝2，直线l：y＝k(x－1)与抛物线C相交于不同的两点A，B.
(1)求抛物线C的方程；
(2)若|AB|＝8，求k的值．
[解]　(1)抛物线C：y2＝2px的准线为x＝－，
由|PF|＝2得：1＋＝2，得p＝2.
所以抛物线的方程为y2＝4x.
(2)设A(x1，y1)，B(x2，y2)，由
可得k2x2－(2k2＋4)x＋k2＝0，Δ＝16k2＋16＞0，
∴x1＋x2＝.
∵直线l经过抛物线C的焦点F，
∴|AB|＝x1＋x2＋p＝＋2＝8，
解得k＝±1，所以k的值为1或－1.
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