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第1讲　直线与圆
[考情分析]　1.和导数、圆锥曲线相结合，求直线的方程，考查点到直线的距离公式，多以选择题、填空题形式出现，中低难度.2.和圆锥曲线相结合，求圆的方程或弦长、面积等，中高难度．
考点一　直线的方程
核心提炼
1．已知直线l1：A1x＋B1y＋C1＝0(A1，B1不同时为零)，直线l2：A2x＋B2y＋C2＝0(A2，B2不同时为零)，则l1∥l2 A1B2－A2B1＝0，且A1C2－A2C1≠0，l1⊥l2 A1A2＋B1B2＝0.
2．点P(x0，y0)到直线l：Ax＋By＋C＝0(A，B不同时为零)的距离d＝.
3．两条平行直线l1：Ax＋By＋C1＝0，l2：Ax＋By＋C2＝0(A，B不同时为零)间的距离d＝.
例1　(1)若直线l1：x＋ay＋6＝0与l2：(a－2)x＋3y＋2a＝0平行，则l1与l2间的距离为(　　)
A. B. C. D.
答案　B
解析　由l1∥l2得(a－2)a＝1×3，且a×2a≠3×6，
解得a＝－1，∴l1：x－y＋6＝0，l2：x－y＋＝0，
∴l1与l2间的距离d＝＝.
(2)直线ax＋y＋3a－1＝0恒过定点N，则直线2x＋3y－6＝0关于点N对称的直线方程为(　　)
A．2x＋3y－12＝0 B．2x＋3y＋12＝0
C．2x－3y＋12＝0 D．2x－3y－12＝0
答案　B
解析　由ax＋y＋3a－1＝0可得a(x＋3)＋y－1＝0，
令可得x＝－3，y＝1，
∴N(－3,1)．
设直线2x＋3y－6＝0关于点N对称的直线方程为2x＋3y＋c＝0(c≠－6)．
则＝，
解得c＝12或c＝－6(舍去)．
∴所求直线方程为2x＋3y＋12＝0.
易错提醒　解决直线方程问题的三个注意点
(1)求解两条直线平行的问题时，在利用A1B2－A2B1＝0建立方程求出参数的值后，要注意代入检验，排除两条直线重合的可能性．
(2)要注意直线方程每种形式的局限性，点斜式、两点式、斜截式要求直线不能与x轴垂直，而截距式方程即不能表示过原点的直线，也不能表示垂直于坐标轴的直线．
(3)讨论两直线的位置关系时，要注意直线的斜率是否存在．
跟踪演练1　(1)已知直线l经过直线l1：x＋y＝2与l2：2x－y＝1的交点，且直线l的斜率为－，则直线l的方程是(　　)
A．－3x＋2y＋1＝0 B．3x－2y＋1＝0
C．2x＋3y－5＝0 D．2x－3y＋1＝0
答案　C
解析　解方程组得
所以两直线的交点为(1,1)．
因为直线l的斜率为－，
所以直线l的方程为y－1＝－(x－1)，
即2x＋3y－5＝0.
(2)已知直线l1：kx－y＋4＝0与直线l2：x＋ky－3＝0(k≠0)分别过定点A，B，又l1，l2相交于点M，则|MA|·|MB|的最大值为________．
答案　
解析　由题意可知，直线l1：kx－y＋4＝0经过定点A(0,4)，直线l2：x＋ky－3＝0经过定点B(3,0)．
易知直线l1：kx－y＋4＝0和直线l2：x＋ky－3＝0始终垂直，又M是两条直线的交点，所以MA⊥MB，
所以|MA|2＋|MB|2＝|AB|2＝25，故|MA|·|MB|≤
.
考点二　圆的方程
核心提炼
1．圆的标准方程
当圆心为(a，b)，半径为r时，其标准方程为(x－a)2＋(y－b)2＝r2，特别地，当圆心在原点时，方程为x2＋y2＝r2.
2．圆的一般方程
x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0，其中D2＋E2－4F>0，表示以为圆心，为半径的圆．
例2　(1)(2018·天津)在平面直角坐标系中，经过三点(0,0)，(1,1)，(2,0)的圆的方程为____________．
答案　x2＋y2－2x＝0
解析　方法一　设圆的方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0.
∵圆经过点(0,0)，(1,1)，(2,0)，
∴解得
∴圆的方程为x2＋y2－2x＝0.
方法二　画出示意图如图所示，
则△OAB为等腰直角三角形，
故所求圆的圆心为(1,0)，半径为1，
∴所求圆的方程为(x－1)2＋y2＝1，
即x2＋y2－2x＝0.
(2)已知圆C与x轴相切于点T(1,0)，与y轴正半轴交于两点A，B(B在A的上方)，且|AB|＝2.则圆C的标准方程为________________________．
答案　(x－1)2＋(y－)2＝2
解析　设圆心C(a，b)，半径为r，
∵圆C与x轴相切于点T(1,0)，
∴a＝1，r＝|b|.
又圆C与y轴正半轴交于两点，
∴b>0，则b＝r，
∵|AB|＝2，∴2＝2，
∴r＝，
故圆C的标准方程为(x－1)2＋(y－)2＝2.
规律方法　解决圆的方程问题一般有两种方法
(1)几何法：通过研究圆的性质、直线与圆、圆与圆的位置关系，进而求得圆的基本量和方程．
(2)代数法：即用待定系数法先设出圆的方程，再由条件求得各系数．
跟踪演练2　(1)(2020·全国Ⅱ)若过点(2,1)的圆与两坐标轴都相切，则圆心到直线2x－y－3＝0的距离为(　　)
A. B. C. D.
答案　B
解析　由题意可知圆心在第一象限，设为(a，b)．
∵圆与两坐标轴都相切，
∴a＝b，且半径r＝a，
∴圆的标准方程为(x－a)2＋(y－a)2＝a2.
∵点(2,1)在圆上，∴(2－a)2＋(1－a)2＝a2，
∴a2－6a＋5＝0，解得a＝1或a＝5.
当a＝1时，圆心坐标为(1,1)，
此时圆心到直线2x－y－3＝0的距离为
d＝＝；
当a＝5时，圆心坐标为(5,5)，
此时圆心到直线2x－y－3＝0的距离为
d＝＝.
综上，圆心到直线2x－y－3＝0的距离为.
(2)已知A，B分别是双曲线C：－＝1的左、右顶点，P(3,4)为C上一点，则△PAB的外接圆的标准方程为________________．
答案　x2＋(y－3)2＝10
解析　∵P(3,4)为C上一点，∴－＝1，
解得m＝1，则B(1,0)，∴kPB＝＝2，
PB的中点坐标为(2,2)，
PB的中垂线方程为y＝－(x－2)＋2，
令x＝0，则y＝3，
设外接圆圆心为M(0，t)，
则M(0,3)，r＝|MB|＝＝，
∴△PAB外接圆的标准方程为x2＋(y－3)2＝10.
考点三　直线、圆的位置关系
核心提炼
1．直线与圆的位置关系：相交、相切和相离，判断的方法
(1)点线距离法．
(2)判别式法：设圆C：(x－a)2＋(y－b)2＝r2，直线l：Ax＋By＋C＝0(A2＋B2≠0)，方程组
消去y，得到关于x的一元二次方程，其根的判别式为Δ，则直线与圆相离 Δ<0，直线与圆相切 Δ＝0，直线与圆相交 Δ>0.
2．圆与圆的位置关系有五种，即内含、内切、相交、外切、外离．
例3　(1)已知直线l：x＋ay－1＝0(a∈R)是圆C：x2＋y2－4x－2y＋1＝0的对称轴，过点A(－4，a)作圆C的一条切线，切点为B，则|AB|等于(　　)
A．2 B．4 C．6 D．2
答案　C
解析　由题意，得圆C的标准方程为(x－2)2＋(y－1)2＝4，知圆C的圆心为C(2,1)，半径为2.
方法一　因为直线l为圆C的对称轴，所以圆心在直线l上，则2＋a－1＝0，解得a＝－1，
所以|AB|2＝|AC|2－|BC|2＝[(－4－2)2＋(－1－1)2]－4＝36，所以|AB|＝6.
方法二　由题意知，圆心在直线l上，即2＋a－1＝0，解得a＝－1，再由图知，|AB|＝6.
(2)(2020·全国Ⅰ)已知⊙M：x2＋y2－2x－2y－2＝0，直线l：2x＋y＋2＝0，P为l上的动点，过点P作⊙M的切线PA，PB，切点为A，B，当|PM|·|AB|最小时，直线AB的方程为(　　)
A．2x－y－1＝0 B．2x＋y－1＝0
C．2x－y＋1＝0 D．2x＋y＋1＝0
答案　D
解析　⊙M：(x－1)2＋(y－1)2＝4，
则圆心M(1,1)，⊙M的半径为2.
如图，由题意可知PM⊥AB，
∴S四边形PAMB＝|PM|·|AB|
＝|PA|·|AM|＝2|PA|，
∴|PM|·|AB|＝4|PA|
＝4.
当|PM|·|AB|最小时，|PM|最小，此时PM⊥l.
故直线PM的方程为y－1＝(x－1)，
即x－2y＋1＝0.
由得
∴P(－1,0)．
又∵直线x＝－1，即PA与⊙M相切，
∴PA⊥x轴，PA⊥MA，∴A(－1,1)．
又直线AB与l平行，
设直线AB的方程为2x＋y＋m＝0(m≠2)，
将A(－1,1)的坐标代入2x＋y＋m＝0，得m＝1.
∴直线AB的方程为2x＋y＋1＝0.
规律方法　直线与圆相切问题的解题策略
直线与圆相切时利用“切线与过切点的半径垂直，圆心到切线的距离等于半径”建立关于切线斜率的等式，所以求切线方程时主要选择点斜式．过圆外一点求解切线段长的问题，可先求出圆心到圆外点的距离，再结合半径利用勾股定理计算．
跟踪演练3　(1)已知点M是抛物线y2＝2x上的动点，以点M为圆心的圆被y轴截得的弦长为8，则该圆被x轴截得的弦长的最小值为(　　)
A．10 B．4 C．8 D．2
答案　D
解析　设圆心M，
而r2＝2＋2＝＋16，
∵圆M与x轴交于A，B两点，
∴|AB|＝2＝2
＝＝
≥＝2.
(2)若圆x2＋y2＝4与圆x2＋y2＋ax＋2ay－9＝0(a>0)相交，公共弦的长为2，则a＝________.
答案　
解析　联立两圆方程
可得公共弦所在直线方程为ax＋2ay－5＝0，
故圆心(0,0)到直线ax＋2ay－5＝0的距离为
＝(a>0)．
故2＝2，解得a2＝，
因为a>0，所以a＝.
专题强化练
一、单项选择题
1．过点A(1,2)的直线在两坐标轴上的截距之和为零，则该直线方程为(　　)
A．y－x＝1 B．y＋x＝3
C．2x－y＝0或x＋y＝3 D．2x－y＝0或y－x＝1
答案　D
解析　当直线过原点时，可得斜率为＝2，
故直线方程为y＝2x，即2x－y＝0，
当直线不过原点时，设方程为＋＝1，
代入点(1,2)可得－＝1，解得a＝－1，
方程为x－y＋1＝0，
故所求直线方程为2x－y＝0或y－x＝1.
2．若直线x＋(1＋m)y－2＝0与直线mx＋2y＋4＝0平行，则m的值是(　　)
A．1 B．－2 C．1或－2 D．－
答案　A
解析　由两直线平行的条件可得－2＋m＋m2＝0，
∴m＝－2(舍)或m＝1.
3．已知圆x2＋y2＋2k2x＋2y＋4k＝0关于y＝x对称，则k的值为(　　)
A．－1 B．1 C．±1 D．0
答案　A
解析　化圆x2＋y2＋2k2x＋2y＋4k＝0为(x＋k2)2＋(y＋1)2＝k4－4k＋1.
则圆心坐标为(－k2，－1)，
∵圆x2＋y2＋2k2x＋2y＋4k＝0关于y＝x对称，
∴直线y＝x经过圆心，
∴－k2＝－1，得k＝±1.
当k＝1时，k4－4k＋1<0，不合题意，
∴k＝－1.
4．(2020·厦门模拟)已知圆C：x2＋y2－4x＝0与直线l相切于点P(3，)，则直线l的方程为(　　)
A．3x－y－6＝0
B．x－y－6＝0
C．x＋y－4＝0
D．x＋y－6＝0
答案　D
解析　圆C：x2＋y2－4x＝0可化为(x－2)2＋y2＝4，则圆心C(2,0)，
直线PC的斜率为kPC＝＝，
∵l⊥PC，则直线l的斜率为
k＝－＝－，
∴直线l的点斜式方程为y－＝－(x－3)，化为一般式得x＋y－6＝0.
5．(2020·长沙模拟)已知直线l过点A(a,0)且斜率为1，若圆x2＋y2＝4上恰有3个点到l的距离为1，则a的值为(　　)
A．3 B．±3
C．±2 D．±
答案　D
解析　直线l的方程为y＝x－a，即x－y－a＝0.圆上恰有三个点到直线l的距离为1，可知圆心到直线的距离等于半径的一半，即＝1，a＝±.
6．已知点P为圆C：(x－1)2＋(y－2)2＝4上一点，A(0，－6)，B(4,0)，则|＋|的最大值为(　　)
A.＋2 B.＋4
C．2＋4 D．2＋2
答案　C
解析　取AB的中点D(2，－3)，
则＋＝2，|＋|＝|2|，
又由题意知，圆C的圆心C的坐标为(1,2)，半径为2，
||的最大值为圆心C(1,2)到D(2，－3)的距离d再加半径r，
又d＝＝，∴d＋r＝＋2，
∴|2|的最大值为2＋4，
即|＋|的最大值为2＋4.
7．(2020·北京市陈经纶中学月考)古希腊数学家阿波罗尼奥斯的著作《圆锥曲线论》中给出了圆的另一种定义：平面内，到两个定点A，B距离之比是常数λ(λ>0，λ≠1)的点M的轨迹是圆，若两定点A，B的距离为3，动点M满足|MA|＝2|MB|，则M点的轨迹围成区域的面积为(　　)
A．π B．2π C．3π D．4π
答案　D
解析　以A为原点，直线AB为x轴建立平面直角坐标系(图略)，则B(3,0)．设M(x，y)，依题意有，＝2，化简整理得，x2＋y2－8x＋12＝0，即(x－4)2＋y2＝4，则M点的轨迹围成区域的面积为4π.
8．(2020·辽宁省大连一中模拟)已知圆C：x2＋y2＝4，直线l：x－y＋6＝0，在直线l上任取一点P向圆C作切线，切点为A，B，连接AB，则直线AB一定过定点(　　)
A. B．(1,2)
C．(－2,3) D.
答案　A
解析　设点P(x0，y0)，则x0－y0＋6＝0.过点P向圆C作切线，切点为A，B，连接AB，以CP为直径的圆的方程为x(x－x0)＋y(y－y0)＝0，
又圆C：x2＋y2＝4，作差可得直线AB的方程为xx0＋yy0＝4，将y0＝x0＋6，代入可得
(x＋y)x0＋6y－4＝0，满足
故直线AB过定点.
二、多项选择题
9．集合A＝{(x，y)|x2＋y2＝4}，B＝{(x，y)|(x－3)2＋(y－4)2＝r2}，其中r>0，若A∩B中有且仅有一个元素，则r的值是(　　)
A．3 B．5 C．7 D．9
答案　AC
解析　圆x2＋y2＝4的圆心是O(0,0)，半径为R＝2，圆(x－3)2＋(y－4)2＝r2的圆心是C(3,4)，半径为r，|OC|＝5，当2＋r＝5，r＝3时，两圆外切，当|r－2|＝5，r＝7时，两圆内切，它们都只有一个公共点，即集合A∩B中只有一个元素．
10．下列说法正确的是(　　)
A．直线x－y－2＝0与两坐标轴围成的三角形的面积是2
B．点P(0,2)关于直线y＝x＋1的对称点为P′(1,1)
C．过P1(x1，y1)，P2(x2，y2)两点的直线方程为＝
D．经过点(1,1)且在x轴和y轴上截距都相等的直线方程为x＋y－2＝0
答案　AB
解析　选项A中直线x－y－2＝0在两坐标轴上的截距分别为2，－2，所以围成的三角形的面积是2，所以A正确；选项B中PP′的中点在直线y＝x＋1上，且P(0,2)，P′(1,1)两点连线的斜率为－1，所以B正确；选项C中需要条件y2≠y1，x2≠x1，所以C错误；选项D中还有一条截距都为0的直线y＝x，所以D错误．
11．已知圆C1：(x＋6)2＋(y－5)2＝4，圆C2：(x－2)2＋(y－1)2＝1，M，N分别为圆C1和C2上的动点，P为x轴上的动点，则|PM|＋|PN|的值可以是(　　)
A．6 B．7 C．10 D．15
答案　BCD
解析　圆C2关于x轴的对称圆C3为(x－2)2＋(y＋1)2＝1，圆心C3(2，－1)，r3＝1，点N关于x轴的对称点N′在圆C3上，又圆C1的圆心C1(－6,5)，r1＝2，∴|PM|＋|PN|＝|PM|＋|PN′|≥|PC1|－r1＋|PC3|－r3＝|PC1|＋|PC3|－3≥|C1C3|－3＝－3＝7，∴|PM|＋|PN|的取值范围是[7，＋∞)．
12．已知点A是直线l：x＋y－＝0上一定点，点P，Q是圆x2＋y2＝1上的动点，若∠PAQ的最大值为90°，则点A的坐标可以是(　　)
A．(0，) B．(1，－1)
C．(，0) D．(－1,1)
答案　AC
解析　
如图所示，坐标原点O到直线l：x＋y－＝0的距离d＝＝1，则直线l与圆x2＋y2＝1相切，由图可知，当AP，AQ均为圆x2＋y2＝1的切线时，∠PAQ取得最大值，连接OP，OQ，由于∠PAQ的最大值为90°，且∠APO＝∠AQO＝90°，|OP|＝|OQ|＝1，则四边形APOQ为正方形，所以|OA|＝|OP|＝.设A(t，－t)，由两点间的距离公式得|OA|＝＝，整理得t2－t＝0，解得t＝0或t＝，因此，点A的坐标为(0，)或(，0)．
三、填空题
13．若直线l：＋＝1(a>0，b>0)经过点(1,2)，则直线l在x轴、y轴上的截距之和的最小值是________．
答案　3＋2
解析　因为直线l：＋＝1(a>0，b>0)经过点(1,2)，所以＋＝1，所以a＋b＝(a＋b)＝3＋＋≥3＋2，当且仅当a＝＋1，b＝2＋时等号成立．所以直线在x轴、y轴上的截距之和的最小值是3＋2.
14．已知⊙O：x2＋y2＝1.若直线y＝kx＋2上总存在点P，使得过点P的⊙O的两条切线互相垂直，则实数k的取值范围是______________________．
答案　(－∞，－1]∪[1，＋∞)
解析　∵⊙O的圆心为(0,0)，半径r＝1，
设两个切点分别为A，B，
则由题意可得四边形PAOB为正方形，
故有|PO|＝r＝，
∴圆心O到直线y＝kx＋2的距离d≤，
即≤，
即1＋k2≥2，解得k≥1或k≤－1.
15．(2020·石家庄长安区期末)直线l：y＝kx＋1与圆O：x2＋y2＝1相交于A，B两点，当△AOB的面积达到最大时，k＝________.
答案　±1
解析　由圆O：x2＋y2＝1，得到圆心坐标为O(0,0)，半径r＝1，把直线l的方程y＝kx＋1(k≠0)，整理为一般式方程得l：kx－y＋1＝0，圆心O(0,0)到直线AB的距离d＝，弦AB的长度|AB|＝2＝2，S△AOB＝×2×＝＝，又因为|k|＋≥2＝2，S△AOB≤，当且仅当|k|＝，即k＝±1时取等号，S△AOB取得最大值，最大值为，此时k＝±1.
16．已知圆C1：x2＋y2＝r2，圆C2：(x－a)2＋(y－b)2＝r2(r>0)交于不同的两点A(x1，y1)，B(x2，y2)，给出下列结论：①a(x1－x2)＋b(y1－y2)＝0；②2ax1＋2by1＝a2＋b2；③x1＋x2＝a，y1＋y2＝b.其中正确的结论是________．(填序号)
答案　①②③
解析　公共弦所在直线的方程为2ax＋2by－a2－b2＝0，
所以有2ax1＋2by1－a2－b2＝0，②正确；
又2ax2＋2by2－a2－b2＝0，
所以a(x1－x2)＋b(y1－y2)＝0，①正确；
AB的中点为直线AB与直线C1C2的交点，
又AB：2ax＋2by－a2－b2＝0，
C1C2：bx－ay＝0.
由得
故有x1＋x2＝a，y1＋y2＝b，③正确．
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