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第3讲　椭圆、双曲线、抛物线
[考情分析]　高考对这部分知识考查侧重三个方面：一是求圆锥曲线的标准方程；二是求椭圆的离心率、双曲线的离心率、渐近线问题；三是抛物线的性质及应用问题．
考点一　椭圆、双曲线、抛物线的定义与标准方程
核心提炼
1．圆锥曲线的定义
(1)椭圆：|PF1|＋|PF2|＝2a(2a>|F1F2|)．
(2)双曲线：||PF1|－|PF2||＝2a(0<2a<|F1F2|)．
(3)抛物线：|PF|＝|PM|，l为抛物线的准线，点F不在定直线l上，PM⊥l于点M.
2．求圆锥曲线标准方程“先定型，后计算”
所谓“定型”，就是确定曲线焦点所在的坐标轴的位置；所谓“计算”，就是指利用待定系数法求出方程中的a2，b2，p的值．
例1　(1)(2020·广州四校模拟)若椭圆＋＝1(其中a>b>0)的离心率为，两焦点分别为F1，F2，M为椭圆上一点，且△F1F2M的周长为16，则椭圆C的方程为(　　)
A.＋＝1 B.＋＝1
C.＋＝1 D.＋＝1
答案　D
解析　椭圆＋＝1(其中a>b>0)的两焦点分别为F1，F2，M为椭圆上一点，且△F1F2M的周长为16，可得2a＋2c＝16，
椭圆＋＝1(其中a>b>0)的离心率为，可得＝，解得a＝5，c＝3，则b＝4，所以椭圆C的方程为＋＝1.
(2)(2020·全国Ⅰ)设F1，F2是双曲线C：x2－＝1的两个焦点，O为坐标原点，点P在C上且|OP|＝2，则△PF1F2的面积为(　　)
A. B．3 C. D．2
答案　B
解析　方法一　由题意知a＝1，b＝，c＝2，F1(－2,0)，F2(2,0)，
如图，因为|OF1|＝|OF2|＝|OP|＝2，
所以点P在以F1F2为直径的圆上，故PF1⊥PF2，
则|PF1|2＋|PF2|2＝(2c)2＝16.
由双曲线的定义知||PF1|－|PF2||＝2a＝2，
所以|PF1|2＋|PF2|2－2|PF1||PF2|＝4，
所以|PF1||PF2|＝6，
所以△PF1F2的面积为|PF1||PF2|＝3.
方法二　由双曲线的方程可知，双曲线的焦点F1，F2在x轴上，且|F1F2|＝2＝4.
设点P的坐标为(x0，y0)，
则解得|y0|＝.
所以△PF1F2的面积为
|F1F2|·|y0|＝×4×＝3.
易错提醒　求圆锥曲线的标准方程时的常见错误
双曲线的定义中忽略“绝对值”致错；椭圆与双曲线中参数的关系式弄混，椭圆中的关系式为a2＝b2＋c2，双曲线中的关系式为c2＝a2＋b2；圆锥曲线方程确定时还要注意焦点位置．
跟踪演练1　(1)设抛物线C：y2＝2px(p>0)的焦点为F，点M在C上，|MF|＝5.若以MF为直径的圆过点(0,2)，则C的方程为(　　)
A．y2＝4x或y2＝8x B．y2＝2x或y2＝8x
C．y2＝4x或y2＝16x D．y2＝2x或y2＝16x
答案　C
解析　方法一　因为以MF为直径的圆过点(0,2)，所以点M在第一象限．
由|MF|＝xM＋＝5，得xM＝5－，
即M.
从而以MF为直径的圆的圆心N的坐标为.
因为点N的横坐标恰好等于圆的半径，
所以圆与y轴相切于点(0,2)，
从而2＝，
即p2－10p＋16＝0，解得p＝2或p＝8，
所以抛物线方程为y2＝4x或y2＝16x.
方法二　由已知得抛物线的焦点F，
设点A(0,2)，点M(x0，y0)，
则＝，＝.
由已知，得·＝0，即y－8y0＋16＝0，
解得y0＝4，M.
由|MF|＝5，得＝5.
又因为p>0，解得p＝2或p＝8，
所以抛物线C的方程为y2＝4x或y2＝16x.
(2)已知椭圆C：＋＝1(m>4)的右焦点为F，点A(－2,2)为椭圆C内一点，若椭圆C上存在一点P，使得|PA|＋|PF|＝8，则实数m的取值范围是(　　)
A．(6＋2，25] B．[9,25]
C．(6＋2，20] D．[3,5]
答案　A
解析　椭圆C：＋＝1(m>4)的右焦点F的坐标为(2,0)．设左焦点为F′，则F′(－2,0)．
由椭圆的定义可得2＝|PF|＋|PF′|，
即|PF′|＝2－|PF|，可得|PA|－|PF′|＝|PA|＋|PF|－2＝8－2.
由||PA|－|PF′||≤|AF′|＝2，可得－2≤8－2≤2，
解得3≤≤5，所以9≤m≤25.①
又点A在椭圆内，所以＋<1(m>4)，
所以8m－164)，
解得m<6－2(舍)或m>6＋2.②
由①②得6＋2考点二　圆锥曲线的几何性质
核心提炼
1．求离心率通常有两种方法
(1)求出a，c，代入公式e＝.
(2)根据条件建立关于a，b，c的齐次式，消去b后，转化为关于e的方程或不等式，即可求得e的值或取值范围．
2．与双曲线－＝1(a>0，b>0)共渐近线bx±ay＝0的双曲线方程为－＝λ(λ≠0)．
例2　(1)设F1，F2分别是椭圆E：＋＝1(a>b>0)的左、右焦点，过F2的直线交椭圆于A，B两点，且·＝0，＝2，则椭圆E的离心率为(　　)
A. B. C. D.
答案　C
解析　∵＝2，
设|BF2|＝x，则|AF2|＝2x，
∴|AF1|＝2a－2x，|BF1|＝2a－x，
∵·＝0，∴AF1⊥AF2，
在Rt△AF1B中，有(2a－2x)2＋(3x)2＝(2a－x)2，
解得x＝，∴|AF2|＝，|AF1|＝，
在Rt△AF1F2中，有2＋2＝(2c)2，
整理得＝，∴e＝＝.
(2)(2020·莆田市第一联盟体联考)已知直线l：y＝x－1与抛物线y2＝4x相交于A，B两点，M是AB的中点，则点M到抛物线准线的距离为(　　)
A. B．4 C．7 D．8
答案　B
解析　由题意可知直线y＝x－1过抛物线y2＝4x的焦点(1,0)，如图，AA′，BB′，MM′都和准线垂直，并且垂足分别是A′，B′，M′，
由图象可知
|MM′|＝(|AA′|＋|BB′|)，
根据抛物线的定义可知|AA′|＋|BB′|＝|AB|，
∴|MM′|＝|AB|，联立
得x2－6x＋1＝0，
设A，B两点的坐标为(x1，y1)，(x2，y2)，
x1＋x2＝6，∴|AB|＝x1＋x2＋2＝8，
∴|MM′|＝4.
二级结论　抛物线的有关性质：已知抛物线y2＝2px(p>0)的焦点为F，直线l过点F且与抛物线交于两点A(x1，y1)，B(x2，y2)，则
(1)|AB|＝x1＋x2＋p＝(α为直线l的倾斜角)．
(2)以AB为直径的圆与抛物线的准线相切．
(3)＋＝.
跟踪演练2　(1)已知F是抛物线C：y2＝2px(p>0)的焦点，抛物线C的准线与双曲线Γ：－＝1(a>0，b>0)的两条渐近线交于A，B两点，若△ABF为等边三角形，则Γ的离心率e等于(　　)
A. B. C. D.
答案　D
解析　抛物线的焦点坐标为，准线方程为x＝－，
联立抛物线的准线方程与双曲线的渐近线方程得
解得y＝±，可得|AB|＝，
由△ABF为等边三角形，可得p＝·，
即有＝，
则e＝＝＝＝.
(2)已知抛物线C：y2＝2px(p>0)的焦点为F，点M(x0,2)是抛物线C上一点，圆M与线段MF相交于点A，且被直线x＝截得的弦长为|MA|，若＝2，则|AF|等于(　　)
A. B．1 C．2 D．3
答案　B
解析　如图所示，由题意知，|MF|＝x0＋.
∵圆M与线段MF相交于点A，且被直线x＝截得的弦长为|MA|，
∴|MA|＝2|DM|＝2.
∵＝2，∴|MF|＝|MA|，
∴x0＝p.
又∵点M(x0,2)在抛物线上，∴2p2＝8，
又∵p>0，∴p＝2.
∴|MA|＝2＝2，∴|AF|＝1.
考点三　直线与圆锥曲线的位置关系
核心提炼
解决直线与椭圆的位置关系问题，经常利用设而不求的方法，解题要点如下：
(1)设直线与椭圆的交点坐标为A(x1，y1)，B(x2，y2)；
(2)联立直线的方程与椭圆的方程；
(3)消元得到关于x或y的一元二次方程；
(4)利用根与系数的关系设而不求；
(5)把题干中的条件转化为含有x1＋x2，x1x2或y1＋y2，y1y2的式子，进而求解即可．
例3　(2020·全国Ⅲ)已知椭圆C：＋＝1(0(1)求C的方程；
(2)若点P在C上，点Q在直线x＝6上，且|BP|＝|BQ|，BP⊥BQ，求△APQ的面积．
解　(1)由题设可得＝，得m2＝，
所以C的方程为＋＝1.
(2)设P(xP，yP)，Q(6，yQ)，
根据对称性可设yQ>0，由题意知yP>0.
由已知可得B(5,0)，直线BP的方程为y＝－(x－5)，
所以|BP|＝yP，|BQ|＝.
因为|BP|＝|BQ|，所以yP＝1.
将yP＝1代入C的方程，解得xP＝3或－3.
由直线BP的方程得yQ＝2或8，
所以点P，Q的坐标分别为P1(3,1)，Q1(6,2)；P2(－3,1)，Q2(6,8)．
所以|P1Q1|＝，直线P1Q1的方程为y＝x，
点A(－5,0)到直线P1Q1的距离为，
故△AP1Q1的面积为××＝；
|P2Q2|＝，直线P2Q2的方程为y＝x＋，
点A到直线P2Q2的距离为，
故△AP2Q2的面积为××＝.
综上，△APQ的面积为.
规律方法　解决直线与圆锥曲线位置关系的注意点
(1)注意使用圆锥曲线的定义．
(2)引入参数，注意构建直线与圆锥曲线的方程组．
(3)注意用好圆锥曲线的几何性质．
(4)注意几何关系和代数关系之间的转化．
跟踪演练3　(1)(2019·全国Ⅰ)已知椭圆C的焦点为F1(－1,0)，F2(1,0)，过F2的直线与C交于A，B两点．若|AF2|＝2|F2B|，|AB|＝|BF1|，则C的方程为(　　)
A.＋y2＝1 B.＋＝1
C.＋＝1 D.＋＝1
答案　B
解析　由题意设椭圆的方程为＋＝1(a>b>0)，连接F1A，令|F2B|＝m，则|AF2|＝2m，|BF1|＝3m.由椭圆的定义知，4m＝2a，得m＝，故|F2A|＝a＝|F1A|，则点A为椭圆C的上顶点或下顶点．令∠OAF2＝θ(O为坐标原点)，则sin θ＝＝.在等腰三角形ABF1中，cos 2θ＝＝，因为cos 2θ＝1－2sin2θ，所以＝1－22，得a2＝3.又c2＝1，所以b2＝a2－c2＝2，椭圆C的方程为＋＝1.
(2)设F为抛物线y2＝2px(p>0)的焦点，斜率为k(k>0)的直线过F交抛物线于A，B两点，若|FA|＝3|FB|，则直线AB的斜率为(　　)
A. B．1 C. D.
答案　D
解析　假设A在第一象限，如图，
过A，B分别向抛物线的准线作垂线，垂足分别为D，E，
过A作EB的垂线，垂足为C，则四边形ADEC为矩形，
由抛物线定义可知|AD|＝|AF|，
|BE|＝|BF|，
又∵|FA|＝3|FB|，
∴|AD|＝|CE|＝3|BE|，即B为CE 的三等分点，
设|BF|＝m，则|BC|＝2m，|AF|＝3m，|AB|＝4m，
即|AC|＝＝＝2m，
则tan∠ABC＝＝＝，
即直线AB的斜率k＝.
专题强化练
一、单项选择题
1．(2020·福州模拟)已知双曲线－＝1(a>0，b>0)的渐近线方程为y＝±x，则此双曲线的离心率为(　　)
A. B.
C. D.
答案　C
解析　因为双曲线－＝1(a>0，b>0)的渐近线方程为y＝±x，所以＝，所以双曲线的离心率e＝＝＝＝.
2．(2020·全国Ⅰ)已知A为抛物线C：y2＝2px(p>0)上一点，点A到C的焦点的距离为12，到y轴的距离为9，则p等于(　　)
A．2 B．3 C．6 D．9
答案　C
解析　设A(x，y)，由抛物线的定义知，点A到准线的距离为12，即x＋＝12.
又因为点A到y轴的距离为9，即x＝9，
所以9＋＝12，解得p＝6.
3．已知椭圆C：＋＝1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，左、右顶点分别为M，N，过F2的直线l交C于A，B两点(异于M，N)，△AF1B的周长为4，且直线AM与AN的斜率之积为－，则C的方程为(　　)
A.＋＝1 B.＋＝1
C.＋＝1 D.＋y2＝1
答案　C
解析　由△AF1B的周长为4，
可知|AF1|＋|AF2|＋|BF1|＋|BF2|＝4a＝4，
解得a＝，则M，N(，0)．
设点A(x0，y0)(x0≠±)，
由直线AM与AN的斜率之积为－，
可得·＝－，
即y＝－(x－3)，①
又＋＝1，所以y＝b2，②
由①②解得b2＝2.
所以C的方程为＋＝1.
4．设F为双曲线C：－＝1(a>0，b>0)的右焦点，O为坐标原点，以OF为直径的圆与圆x2＋y2＝a2交于P，Q两点．若|PQ|＝|OF|，则C的离心率为(　　)
A. B. C．2 D.
答案　A
解析　如图，由题意，知以OF为直径的圆的方程为2＋y2＝，①
将x2＋y2＝a2记为②式，
①－②得x＝，则以OF为直径的圆与圆x2＋y2＝a2的公共弦所在直线的方程为
x＝，
所以|PQ|＝2.
由|PQ|＝|OF|，得2＝c，
整理得c4－4a2c2＋4a4＝0，
即e4－4e2＋4＝0，解得e＝.
5．(2020·潍坊模拟)已知点P为双曲线C：－＝1(a>0，b>0)右支上一点，F1，F2分别为C的左、右焦点，直线PF1与C的一条渐近线垂直，垂足为H，若|PF1|＝4|HF1|，则该双曲线的离心率为(　　)
A. B. C. D.
答案　C
解析　如图，取PF1的中点M，连接MF2.由条件可知
|HF1|＝|PF1|＝|MF1|，
∵O是F1F2的中点，
∴OH∥MF2，
又∵OH⊥PF1，∴MF2⊥PF1，
∴|F1F2|＝|PF2|＝2c.
根据双曲线的定义可知|PF1|＝2a＋2c，
∴|HF1|＝，
直线PF1的方程是y＝(x＋c)，
即ax－by＋ac＝0，
原点到直线PF1的距离|OH|＝＝a，
∴在△OHF1中，a2＋2＝c2，
整理为3c2－2ac－5a2＝0，即3e2－2e－5＝0，
解得e＝或e＝－1(舍)．
二、多项选择题
6．(2020·新高考全国Ⅰ)已知曲线C：mx2＋ny2＝1.(　　)
A．若m>n>0，则C是椭圆，其焦点在y轴上
B．若m＝n>0，则C是圆，其半径为
C．若mn<0，则C是双曲线，其渐近线方程为y＝±x
D．若m＝0，n>0，则C是两条直线
答案　ACD
解析　对于A，当m>n>0时，有>>0，方程化为＋＝1，表示焦点在y轴上的椭圆，故A正确．
对于B，当m＝n>0时，方程化为x2＋y2＝，表示半径为的圆，故B错误．
对于C，当m>0，n<0时，方程化为－＝1，表示焦点在x轴上的双曲线，其中a＝，b＝，渐近线方程为y＝±x；当m<0，n>0时，方程化为－＝1，表示焦点在y轴上的双曲线，其中a＝，b＝，渐近线方程为y＝±x，故C正确．
对于D，当m＝0，n>0时，方程化为y＝±，表示两条平行于x轴的直线，故D正确．
7．已知双曲线C过点(3，)且渐近线为y＝±x，则下列结论正确的是(　　)
A．C的方程为－y2＝1
B．C的离心率为
C．曲线y＝ex－2－1经过C的一个焦点
D．直线x－y－1＝0与C有两个公共点
答案　AC
解析　因为渐近线方程为y＝±x，所以可设双曲线方程为－＝λ，代入点(3，)，得λ＝，所以双曲线方程为－y2＝1，选项A正确；该双曲线的离心率为，选项B不正确；双曲线的焦点为(±2,0)，曲线y＝ex－2－1经过双曲线的焦点(2,0)，选项C正确；把x＝y＋1代入双曲线方程，得y2－2y＋2＝0，解得y＝，故直线x－y－1＝0与曲线C只有一个公共点，选项D不正确．
8．已知抛物线C：y2＝2px(p>0)的焦点为F，直线l的斜率为且经过点F，直线l与抛物线C交于A，B两点(点A在第一象限)，与抛物线的准线交于点D.若|AF|＝8，则下列结论正确的是(　　)
A．p＝4 B.＝
C．|BD|＝2|BF| D．|BF|＝4
答案　ABC
解析　如图所示，分别过点A，B作准线的垂线，垂足分别为E，M，连接EF.抛物线C的准线交x轴于点P，则|PF|＝p，由于直线l的斜率为，则其倾斜角为60°.又AE∥x轴，∴∠EAF＝60°，由抛物线的定义可知，|AE|＝|AF|，则△AEF为等边三角形，∴∠EFP＝∠AEF＝60°，则∠PEF＝30°，∴|AF|＝|EF|＝2|PF|＝2p＝8，解得p＝4，故A正确；∵|AE|＝|EF|＝2|PF|，PF∥AE，∴F为线段AD的中点，则＝，故B正确；∵∠DAE＝60°，∴∠ADE＝30°，∴|BD|＝2|BM|＝2|BF|(抛物线定义)，故C正确；∵|BD|＝2|BF|，∴|BF|＝|DF|＝|AF|＝，故D错误．
三、填空题
9．(2019·全国Ⅲ)设F1，F2为椭圆C：＋＝1的两个焦点，M为C上一点且在第一象限．若△MF1F2为等腰三角形，则M的坐标为________．
答案　(3，)
解析　不妨令F1，F2分别为椭圆C的左、右焦点，根据题意可知c＝＝4.因为△MF1F2为等腰三角形，所以易知|F1M|＝2c＝8，所以|F2M|＝2a－8＝4.
设M(x，y)，则得
所以M的坐标为(3，)．
10．(2020·全国Ⅰ)已知F为双曲线C：－＝1(a>0，b>0)的右焦点，A为C的右顶点，B为C上的点，且BF垂直于x轴．若AB的斜率为3，则C的离心率为________．
答案　2
解析　如图，A(a,0)．
由BF⊥x轴且AB的斜率为3，
知点B在第一象限，且B，
则kAB＝＝3，
即b2＝3ac－3a2.
又∵c2＝a2＋b2，即b2＝c2－a2，
∴c2－3ac＋2a2＝0，
∴e2－3e＋2＝0.
解得e＝2或e＝1(舍去)．故e＝2.
11．设双曲线mx2＋ny2＝1的一个焦点与抛物线y＝x2的焦点相同，离心率为2，则抛物线的焦点到双曲线的一条渐近线的距离为________．
答案　
解析　∵抛物线x2＝8y的焦点为(0,2)，
∴mx2＋ny2＝1的一个焦点为(0,2)，
∴焦点在y轴上，
∴a2＝，b2＝－，c＝2.
根据双曲线三个参数的关系得到4＝a2＋b2＝－，
又离心率为2，即＝4，
解得n＝1，m＝－，
∴此双曲线的方程为y2－＝1，
则双曲线的一条渐近线方程为x－y＝0，
则抛物线的焦点(0,2)到双曲线的一条渐近线的距离为
d＝＝.
12.如图，抛物线C1：y2＝2px和圆C2：2＋y2＝，其中p>0，直线l经过C1的焦点，依次交C1，C2于A，D，B，C四点，则·的值为________．
答案　
解析　易知·＝|AB|·|CD|，圆C2的圆心即为抛物线C1的焦点F，当直线l的斜率不存在时，l的方程为x＝，所以A，B，C，D，||＝||＝，所以·＝·＝；当直线l的斜率存在时，设A(x1，y1)，D(x2，y2)，则|AB|＝|FA|－|FB|＝x1＋－＝x1，同理|CD|＝x2，设l的方程为y＝k，由可得k2x2－(pk2＋2p)x＋＝0，则·＝|AB|·|CD|＝x1·x2＝.综上，·＝.
四、解答题
13．(2020·全国Ⅱ)已知椭圆C1：＋＝1(a>b>0)的右焦点F与抛物线C2的焦点重合，C1的中心与C2的顶点重合．过F且与x轴垂直的直线交C1于A，B两点，交C2于C，D两点，且|CD|＝|AB|.
(1)求C1的离心率；
(2)设M是C1与C2的公共点，若|MF|＝5，求C1与C2的标准方程．
解　(1)由已知可设C2的方程为y2＝4cx，
其中c＝.
不妨设A，C在第一象限，
由题设得A，B的纵坐标分别为，－；
C，D的纵坐标分别为2c，－2c，
故|AB|＝，|CD|＝4c.
由|CD|＝|AB|得4c＝，
即3×＝2－22，
解得＝－2(舍去)，＝.
所以C1的离心率为.
(2)由(1)知a＝2c，b＝c，故C1：＋＝1.
设M(x0，y0)，则＋＝1，y＝4cx0，
故＋＝1.①
由于C2的准线为x＝－c，
所以|MF|＝x0＋c，而|MF|＝5，故x0＝5－c，
代入①得＋＝1，
即c2－2c－3＝0，解得c＝－1(舍去)，c＝3.
所以C1的标准方程为＋＝1，
C2的标准方程为y2＝12x.
14．已知点F为抛物线E：y2＝2px(p>0)的焦点，点A(2，m)在抛物线E上，且到原点的距离为2.
(1)求抛物线E的方程；
(2)已知点G(－1,0)，延长AF交抛物线于点B，证明：以点F为圆心且与直线GA相切的圆必与直线GB相切．
(1)解　由题意可得解得p＝2，
所以抛物线E的方程为y2＝4x.
(2)证明　设以点F为圆心且与直线GA相切的圆的半径为r.
因为点A(2，m)在抛物线E：y2＝4x上，
所以m＝±2，由抛物线的对称性，不妨取A(2,2)．
由A(2,2)，F(1,0)可得直线AF的方程为y＝2(x－1)，
联立得2x2－5x＋2＝0，
解得x＝2或x＝，从而B.
所以直线GB的方程为2x＋3y＋2＝0，
易知直线GA的方程为2x－3y＋2＝0，
从而r＝＝.
因为点F到直线GB的距离d＝＝＝r，所以以点F为圆心且与直线GA相切的圆必与直线GB相切．
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