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中考数学专项复习训练《有关直线形翻折问题》
例题分析
1、（2012天津）已知一个矩形纸片，将该纸片放置在平面直角坐标系中，点，点，点为边上的动点（点不与点、重合），经过点、折叠该纸片，得点和折痕．设．
（Ⅰ）如图①，当时，求点的坐标；

（Ⅱ）如图②，经过点再次折叠纸片，使点落在直线上，得点和折痕，若，试用含有的式子表示；
（Ⅲ）在（Ⅱ）的条件下，当点恰好落在边上时，求点的坐标（直接写出结果即可）．
解：（Ⅰ）根据题意，，，
在中，由，，得．
根据勾股定理，，
即 ，解得（舍去）．∴ 点的坐标为．
（Ⅱ）∵ 、分别是由、折叠得到的，
有≌，≌．
∴ ，．
∵ ，
∴ ．
∵ ，
∴ ．
又，
∴ ∽，有．
由题设，，，，则，．
∴ ． ∴ （）即为所求．
（Ⅲ）点的坐标为或．
2、（2012深圳）如图，将矩形ABCD沿直线EF折叠，使点C与点A重合，折痕交AD于点E，交BC于点F，连接AF、CE。
（1）求证：四边形AFCE为菱形；
（2）设AE＝a，ED＝b ，DC＝c，请写出一个a、b、c三者之间的数量关系式。
解（1）∵△AEF与△CEF关于直线EF成轴对称
∴△AEF≌△CEF
∴AE＝CE，AF＝CF，∠1＝∠2
在矩形ABCD中，AD∥BC
∴∠2＝∠3
∴∠1＝∠3
∴AE＝AF
∴AE＝EC＝CF＝FA
∴四边形AECF为菱形
（2）AE＝a，ED＝b，DC＝c，AE＝CE＝a
∵ED2＋CD2＝CE2
∴b2＋c2＝a2
3、（2012广东）如图，在矩形纸片ABCD中，AB=6，BC=8．把△BCD沿对角线BD折叠，使点C落在C′处，BC′交AD于点G；E、F分别是C′D和BD上的点，线段EF交AD于点H，把△FDE沿EF折叠，使点D落在D′处，点D′恰好与点A重合．
（1）求证：△ABG≌△C′DG；
（2）求tan∠ABG的值；
（3）求EF的长．
考点：翻折变换（折叠问题）；全等三角形的判定与性质；矩形的性质；解直角三角形。
解答：（1）证明：∵△BDC′由△BDC翻折而成，
∴∠C=∠BAG=90°，C′D=AB=CD，∠AGB=∠DGC′，
∴∠ABG=∠ADE，
在：△ABG≌△C′DG中，
∵，
∴△ABG≌△C′DG；
（2）解：∵由（1）可知△ABG≌△C′DG，
∴GD=GB，
∴AG+GB=AD，设AG=x，则GB=8﹣x，
在Rt△ABG中，
∵AB2+AG2=BG2，即62+x2=（8﹣x）2，解得x=，
∴tan∠ABG===；
（3）解：∵△AEF是△DEF翻折而成，
∴EF垂直平分AD，
∴HD=AD=4，
∴tan∠ABG=tan∠ADE=，
∴EH=HD×=4×=，
∵EF垂直平分AD，AB⊥AD，
∴HF是△ABD的中位线，
∴HF=AB=×6=3，
∴EF=EH+HF=+3=．
4、如图11，一张矩形纸片ABCD，其中AD=8cm，AB=6cm，先沿对角线BD折叠，
点C落在点C′的位置，BC′交AD于点G.
（1）求证：AG=C′G；
（2）如图12，再折叠一次，使点D与点A重合，的折痕EN，EN角AD于M，求EM的长.
解（1）证明：如图4，由对折和图形的对称性可知，
CD＝C′D，∠C＝∠C′＝90°
在矩形ABCD中，AB＝CD，∠A＝∠C＝90°
∴AB＝C’D，∠A＝∠C’, 在△ABG和△C’DG中，
∵AB＝C’D，∠A＝∠C’，∠AGB＝∠C’GD
∴△ABG≌△C’DG（AAS）, ∴AG＝C’G
（2）解：如图5，设EM＝x，AG＝y，则有：
C’G＝y，DG＝8－y， DM=AD=4cm
在Rt△C’DG中，∠DC’G＝90°，C’D＝CD＝6，
∴即：,解得：
∴C’G＝cm，DG＝cm
又∵△DME∽△DC’G
∴， 即： 解得：, 即：EM＝（cm）
∴所求的EM长为cm。
5、（2012德州）如图所示，现有一张边长为4的正方形纸片ABCD，点P为正方形AD边上的一点（不与点A、点D重合）将正方形纸片折叠，使点B落在P处，点C落在G处，PG交DC于H，折痕为EF，连接BP、BH．
（1）求证：∠APB=∠BPH；
（2）当点P在边AD上移动时，△PDH的周长是否发生变化？并证明你的结论；
（3）设AP为x，四边形EFGP的面积为S，求出S与x的函数关系式，试问S是否存在最小值？若存在，求出这个最小值；若不存在，请说明理由．
考点：
翻折变换（折叠问题）；二次函数的最值；全等三角形的判定与性质；正方形的性质。
分析：
（1）根据翻折变换的性质得出∠PBC=∠BPH，进而利用平行线的性质得出∠APB=∠PBC即可得出答案；
（2）首先证明△ABP≌△QBP，进而得出△BCH≌△BQH，即可得出PD+DH+PH=AP+PD+DH+HC=AD+CD=8；
（3）利用已知得出△EFM≌△BPA，进而利用在Rt△APE中，（4﹣BE）2+x2=BE2，利用二次函数的最值求出即可．
解答：
（1）解：如图1，∵PE=BE，
∴∠EBP=∠EPB．
又∵∠EPH=∠EBC=90°，
∴∠EPH﹣∠EPB=∠EBC﹣∠EBP．
即∠PBC=∠BPH．
又∵AD∥BC，
∴∠APB=∠PBC．
∴∠APB=∠BPH．
（2）△PHD的周长不变为定值8．
证明：如图2，过B作BQ⊥PH，垂足为Q．
由（1）知∠APB=∠BPH，
又∵∠A=∠BQP=90°，BP=BP，
∴△ABP≌△QBP．
∴AP=QP，AB=BQ．
又∵AB=BC，
∴BC=BQ．
又∵∠C=∠BQH=90°，BH=BH，
∴△BCH≌△BQH．
∴CH=QH．
∴△PHD的周长为：PD+DH+PH=AP+PD+DH+HC=AD+CD=8．
（3）如图3，过F作FM⊥AB，垂足为M，则FM=BC=AB．
又∵EF为折痕，
∴EF⊥BP．
∴∠EFM+∠MEF=∠ABP+∠BEF=90°，
∴∠EFM=∠ABP．
又∵∠A=∠EMF=90°，
∴△EFM≌△BPA．
∴EM=AP=x．
∴在Rt△APE中，（4﹣BE）2+x2=BE2．
解得，．
∴．
又四边形PEFG与四边形BEFC全等，
∴．
即：．
配方得，，
∴当x=2时，S有最小值6．
点评：
此题主要考查了翻折变换的性质以及全等三角形的判定与性质和勾股定理、二次函数的最值问题等知识，熟练利用全等三角形的判定得出对应相等关系是解题关键．
6．（2011?河池）如图1，在△ABO中，∠OAB=90°，∠AOB=30°，OB=8．以OB为一边，在△OAB外作等边三角形OBC，D是OB的中点，连接AD并延长交OC于E．
（1）求点B的坐标；
（2）求证：四边形ABCE是平行四边形；
（3）如图2，将图1中的四边形ABCO折叠，使点C与点A重合，折痕为FG，求OG的长．
考点：
翻折变换（折叠问题）；坐标与图形性质；等边三角形的性质；平行四边形的判定与性质．
分析：
（1）由在△ABO中，∠OAB=90°，∠AOB=30°，OB=8，根据三角函数的知识，即可求得AB与OA的长，即可求得点B的坐标；
（2）首先可得CE∥AB，D是OB的中点，根据直角三角形斜边的中线等于斜边的一半，可证得BD=AD，∠ADB=60°，又由△OBC是等边三角形，可得∠ADB=∠OBC，根据内错角相等，两直线平行，可证得BC∥AE，继而可得四边形ABCD是平行四边形；
（3）首先设OG的长为x，由折叠的性质可得：AG=CG=8﹣x，然后根据勾股定理可得方程（8﹣x）2=x2+（4）2，解此方程即可求得OG的长．
解答：
（1）解：在△OAB中，∠OAB=90°，∠AOB=30°，OB=8，∴OA=OB?cos30°=8×=4，
AB=OB?sin30°=8×=4，∴点B的坐标为（4，4）；
（2）证明：∵∠OAB=90°，∴AB⊥x轴，∵y轴⊥x轴，∴AB∥y轴，即AB∥CE，
∵∠AOB=30°，∴∠OBA=60°，∵DB=DO=4∴DB=AB=4∴∠BDA=∠BAD=120°÷2=60°，
∴∠ADB=60°，∵△OBC是等边三角形，∴∠OBC=60°，∴∠ADB=∠OBC，即AD∥BC，
∴四边形ABCE是平行四边形；
（3）解：设OG的长为x，∵OC=OB=8，∴CG=8﹣x，
由折叠的性质可得：AG=CG=8﹣x，在Rt△AOG中，AG2=OG2+OA2，
即（8﹣x）2=x2+（4）2，解得：x=1，即OG=1．
点评：
此题考查了折叠的性质，三角函数的性质，平行四边形的判定，等边三角形的性质，以及勾股定理等知识．此题难度较大，解题的关键是注意数形结合思想与方程思想的应用，注意折叠中的对应关系．
　
7．（2009?遵义）如图，矩形纸片ABCD中，AB=10cm，BC=8cm，E为BC上一点，将纸片沿AE翻折，使点E与CD边上的点F重合．
（1）求线段EF的长；
（2）若线段AF上有动点P（不与A、F重合），如图（2），点P自点A沿AF方向向点F运动，过点P作PM∥EF，PM交AE于M，连接MF，设AP=x（cm），△PMF的面积为y（cm）2，求y与x的函数关系式；
（3）在题（2）的条件下，△FME能否是等腰三角形？若能，求出AP的值，若不能，请说明理由．
考点：
翻折变换（折叠问题）．
专题：
压轴题．
分析：
（1）根据折叠的性质知AB=AF=10cm，可在Rt△ADF中根据勾股定理求出DF的长，进而可求出CF的值；在Rt△CEF中，根据折叠的性质知BE=EF，可用EF表示出CE，进而由勾股定理求出EF的长；
（2）由于PM∥EF，而∠AFE=∠ABE=90°，因此PM⊥AF；在（1）中已经求得AF、EF的长，易证得△APM∽△AFE，根据相似三角形所得比例线段即可求得PM的表达式；知道了Rt△PMF两条直角边的长，即可求出其面积，由此可得到关于y、x的函数关系式；
（3）在Rt△PMF中，根据PM、MF的表达式，即可由勾股定理求得MF的表达式；若△FME是等腰三角形，则可能有三种情况：①MF=ME，②MF=EF，③ME=EF；可根据上述三种情况所得不同等量关系求出x的值．
解答：
解：（1）根据折叠的性质知：∠ABE=∠AFE=90°，AB=AF=10cm，EF=BE；
Rt△ADF中，AF=10cm，AD=8cm；由勾股定理得：DF=6cm；
∴CF=CD﹣DF=10﹣6=4cm；
在Rt△CEF中，CE=BC﹣BE=BC﹣EF=8﹣EF，由勾股定理得：
EF2=CF2+CE2，即EF2=42+（8﹣EF）2，解得EF=5cm；
（2）∵PM∥EF，
∴PM⊥AF，△APM∽△AFE；∴，即，PM=；
在Rt△PMF中，PM=，PF=10﹣x；则S△PMF=（10﹣x）?=﹣x2+x；（0＜x＜10）
（3）在Rt△PMF中，由勾股定理，得：MF==；
同理可求得AE==5，AM==x；∴ME=5﹣x；
若△FME能否是等腰三角形，则有：
①MF=ME，则MF2=ME2，即：x2﹣20x+100=（5﹣x）2，解得x=5；
②MF=EF，则MF2=EF2，即：x2﹣20x+100=25，化简得：x2﹣16x+60=0，解得x=6，x=10（舍去）；
③ME=EF，则有：5﹣x=5，解得x=10﹣2；
综上可知：当AP的长为5cm或6cm或（10﹣2）cm时，△FME是等腰三角形．
点评：
此题考查了矩形的性质、图形的折叠变换、相似三角形的判定和性质、勾股定理以及等腰三角形的判定等重要知识点，在等腰三角形的腰和底不明确的情况下，一定要分类讨论，以免漏解．
8．（2009?浙江）如图，在矩形ABCD中，AB=3，AD=1，点P在线段AB上运动，设AP=x，现将纸片折叠，使点D与点P重合，得折痕EF（点E、F为折痕与矩形边的交点），再将纸片还原．
（1）当x=0时，折痕EF的长为　3　；当点E与点A重合时，折痕EF的长为　　；
（2）请写出使四边形EPFD为菱形的x的取值范围，并求出当x=2时菱形的边长；
（3）令EF2=y，当点E在AD、点F在BC上时，写出y与x的函数关系式．当y取最大值时，判断△EAP与△PBF是否相似？若相似，求出x的值；若不相似，请说明理由．温馨提示：用草稿纸折折看，或许对你有所帮助哦！
考点：
翻折变换（折叠问题）；二次函数综合题；相似三角形的性质．
专题：
代数几何综合题．
分析：
（1）当x=0时，点A与点P重合，则折痕EF的长等于矩形ABCD中的AB，当点E与点A重合时，折痕是一个直角的角平分线，可求EF=；
（2）由题意可知，EF垂直平分线段DP，要想使四边形EPFD为菱形，则EF也应被DP平分，所以点E必须要在线段AB上，点F必须在线段DC上，即可确定x的取值范围．再利用勾股定理确定菱形的边长．
（3）构造直角三角形，利用相似三角形的对应线段成比例确定y的值，再利用二次函数的增减性确定y的最大值．
解答：
解：（1）当x=0时，折痕EF=AB=3，当点E与点A重合时，折痕EF==．
（2）1≤x≤3．当x=2时，如图，连接DE、PF．∵EF为折痕，∴DE=PE，
令PE为m，则AE=2﹣m，DE=m，在Rt△ADE中，AD2+AE2=DE2
∴1+（2﹣m）2=m2，解得m=；此时菱形边长为．
（3）如图2，过E作EH⊥BC；∵△EFH∽△DPA，∴，∴FH=3x；∴y=EF2=EH2+FH2=9+9x2；
当F与点C重合时，如图3，连接PF；
∵PF=DF=3，∴PB=，∴0≤x≤3﹣2；
∵函数y=9+9x2的值在y轴的右侧随x的增大而增大，∴当x=3﹣2时，y有最大值，
此时∠EPF=90°，△EAP∽△PBF．
综上所述，当y取最大值时△EAP∽△PBF，x=3﹣2．
中考数学专项复习训练《有关直线形翻折问题》练习
1、如图，等边△ABC的边长为1 cm，D、E分别是AB、
AC上的点，将△ADE沿直线DE折叠，点A落在点
处，且点在△ABC外部，则阴影部分图形的周长
为 cm．
解：由折叠可得AD=A′D；AE=A′E， ∴阴影部分图形的周长为AB+BC+AC=3cm．
2、如图，D,E为两边AB,AC的中点，将沿线段DE折叠，使点A落在点F处，若，则 .
解：∵D、E为△ABC两边AB、AC的中点，即DE是三角形的中位线．∴DE∥BC∴∠ADE=∠B=55°∴∠EDF=∠ADE=55°∴∠BDF=180-55-55=70°．
3、直角三角形纸片的两直角边长分别为6，8，现将如图那样折叠，使点与点 重合，折痕为，则DE的值是 .

（2题） （3题）
矩形纸片ABCD中，AD=4cm,AB=10cm,按如图的方式折叠，使点B与点D重合，折痕为EF，则DE= cm.

5、如图，中，，将沿DE折叠，使点C落在AB边上的C’处，并且C’D//BC,则CD的长是（ ）
A. B. C. D.

（5题）
6、将如图①的矩形ABCD纸片沿EF折叠得到图②，折叠后DE与BF相交于点P，如果∠BPE=130°，则∠PEF的度数为( )A．60° B．65° C．70° D．75°
7、如图，在矩形ABCD中，AB=6，BC=8，若将矩形折叠，使B点与D点重合，则折痕EF的长为 。
8、如图，将两张长为8，宽为2的矩形纸条交叉，使重叠部分是一个菱形，容易知道当两张纸条垂直时，菱形的周长有最小值8，那么菱形周长的最大值是 ．
9、如图，已知矩形纸片ABCD，点E是AB的中点，点G是BC上的一点，∠BEG＞60o. 现沿直线E将纸片折叠,使点B落在纸片上的点H处，连接AH，则与∠BEG相等的角的个数为（ ）
A．4 B．3 C．2 D．1

10、如图，将矩形纸片ABCD沿AE向上折叠，使点B落在DC边上的F点。若△AFD的周长为9，△ECF的周长为3，则矩形ABCD的周长为_______.
解：由折叠的性质知，AF=AB，EF=BE．所以矩形的周长等于△AFD和△CFE的周长的和为9+3=12．故矩形ABCD的周长为12．
11、如图，把一张矩形纸片沿折叠后，点
分别落在的位置上，交于点．
已知，那么 ．
12、如图，矩形纸片ABCD中，AB=4，AD=3，折叠纸片使AD边 与对角线BD重合，折痕为DG，则AG的长为（ ）C
A．1 B． C． D．2
13、如图，矩形纸片ABCD中，AB=8cm.把矩形纸片沿直线AC折叠，点B落在点E处，AE交DC于点F，AF=cm,则AD的长为（ C ）A 4cm B 5cm C 6cm D 7cm

13题 14题
14、矩形纸片ABCD中，AD=4cm,AB=10cm,按如图的方式折叠，使点B与点D重合，折痕为EF，则DE= ___________cm.29/5
15．如图5，四边形ABCD为矩形纸片，把纸片ABCD折叠，使点B恰好落在CD边的中点E处，折痕为AF，若CD=6，则AF等于（ ）
(A) 4 (B) 3 (C) 4 (D) 8

16、将矩形纸片ABCD按如图所示的方式折叠，AE、EF为折痕，∠BAE＝30°，AB＝，折叠后，点C落在AD边上的C1处，并且点B落在EC1边上的B1处．则BC的长为（ ）．
A、 B、2 C、3 D、
（17题图）
17、如图所示，折叠长方形一边AD，点D落在BC边的点F处，已知BC=10厘米，AB=8厘米，求FC和EF的长 4 __、_____5_
18、如图所示，把一个长方形纸片沿EF折叠后，点D，C分别落在D′，C′的位置．若∠EFB＝65°，则∠AED′等于 （ ） C
（A） 70° （B） 65° （C） 50° （D） 25°

（19题） （20题）
19、将矩形纸片ABCD按如图所示的方式折叠，AE、EF为折痕，∠BAE＝30°，AB＝，折叠后，点C落在AD边上的C1处，并且点B落在EC1边上的B1处．则BC的长为（ ）．C
A、 B、2 C、3 D、
20、如图矩形纸片ABCD，AB＝5cm，BC＝10cm，CD上有一点E，ED＝2cm，AD上有一点P，PD＝3cm，过P作PF⊥AD交BC于F，将纸片折叠，使P点与E点重合，折痕与PF交于Q点，则PQ的长是____________cm.
21、如图，在矩形ABCD中，AB＝12cm，BC＝6cm．点E、F分别在AB、
CD上，将矩形ABCD沿EF折叠，使点A、D分别落在矩形ABCD
外部的点A1、D1处，则整个阴影部分图形的周长为（ ）B
A．18cm B．36cm C．40cm D．72cm
22、矩形纸片ABCD中，AB＝3，AD＝4，将纸片折叠，使点B落在边CD上的B’处，折痕为AE．在折痕AE上存在一点P到边CD的距离与到点B的距离相等，则此相等距离为________．
23、如图，小章利用一张左、右两边已经破损的长方形纸片ABCD做折
纸游戏，他将纸片沿EF折叠后，D、C两点分别落在D ′、C ′的位
置，并利用量角器量得∠EFB＝65°，则∠AED ′等于 ▲ 度．
24、正方形ABCD边长为a，点E、F分别是对角线BD上的两点，过点E、F分别作AD、AB的平行线，如图所示，则图中阴影部分的面积之和等于 ．

25题图
25、如图，矩形纸片ABCD中，AB=4，AD=3，折叠纸片使AD边与对角线BD重合，折痕为DG，则AG的长为（ ）C
A．1 B． C． D．2
26、矩形ABCD中，E、F、M为AB、BC、CD边上的点，且AB=6,BC=7,AE=3,DM=2,EF⊥FM,则EM的长为（ B ）
A．5 B． C．6 D．
27、如图，点P是矩形ABCD的边AD上的一个动点，矩形的两条边AB、AC的
长分别为3和4，那么点P到矩形的两条对角线AC和BD的距离之和是（ ）A
A． B． C． D．不确定
28、如图，将矩形ABCD纸片沿EF折叠，使D点与BC边的中点D’重合，若BC=8，CD=6，则CF=____________.5/3
29、矩形纸片ABCD的边长AB=4，AD=2．将矩形纸片沿EF折叠，使点A与点C重合，折叠后在其一面着色（如图），则着色部分的面积为（ ）B
A． 8 B．
C． 4 D．
30、如图，将边长为8㎝的正方形ABCD折叠，使点D落在BC边的中点E处，点A落在F处，折痕为MN，则线段CN的长是（ ）C
A．3cm B．4cm C．5cm D．6cm


 31题
31、如图所示，正方形的面积为12，是等边三角形，点在正方形内，在对角线上有一点，使的和最小，则这个最小值为（ ） A
A． B． C．3 D．
32、如图①，矩形ABCD，AB=12cm，AD=16cm，现将其按下列步骤折叠：
（1）将△BAD对折，使AB落在AD上，得到折痕AF，如图②
（2）将△AFB沿BF折叠，AF与DC交点G，如图③
则所得梯形BDGF的周长等于（ ）
A.12+2 B.24+2 C.24+4 D.12+4

33、把长为8cm的矩形按虚线对折，按图中的虚线剪出一个直角梯形，打开得到一个等腰梯形，剪掉部分的面积为6cm2，则打开后梯形的周长是（ ）

34、如图所示，如果将矩形纸沿虚线①对折后，沿虚线②剪开，剪出一个
直角三角形，展开后得到一个等腰三角形.则展开后三角形的周长是（ B ）.
A．2＋ B．2＋2 C．12 D．18
35、在矩形中，如图，，，将矩形折叠，使点与点重合，求折痕的长_________． 15/4
　
35题 36题 37题
36、如图，矩形ABCD的边长AB＝6，BC＝8，将矩形沿EF折叠，使C点与A点重合，则折痕EF的长是（?? A? ）　A．7．5?? ????????B．6? ?????????C．10? ?????????D．5
37、如图，在梯形ABCD中，∠DCB=90°，AB∥CD,AB=25,BC=24.将该梯形折叠，点A恰好与点D重合，BE为折痕，那么AD的长度为_______________.30
38、如图，斜折一页书的一角，使点A落在同一页书内的A′处，DE为折痕，作DF平分∠A′DB，试猜想∠FDE等于多少度，并说明理由．90度
39、矩形中，点、分别在、上，为等腰直角三角形，求的长．4
40、如图，将矩形纸片ABCD沿对角线AC折叠，使点B落到点B′的位置，AB′与CD交于点E.
（1）试找出一个与△AED全等的三角形，并加以证明.
（2）若AB=8，DE=3，P为线段AC上的任意一点，PG⊥AE于G，PH⊥EC于H，试求PG+PH的值，并说明理由.
41、小明尝试着将矩形纸片ABCD（如图①，AD>CD）沿过A点的直线折叠，使得B点落在AD边上的点F处，折痕为AE（如图②）；再沿过D点的直线折叠，使得C点落在DA边上的点N处，E点落在AE边上的点M处，折痕为DG（如图③）．如果第二次折叠后，M点正好在∠NDG的平分线上，那么矩形ABCD长与宽的比值为 ．

由于“折叠”和“角平分线的点到两边的距离相等”设：NM=MG=EG=CE=a∵∠BAE=∠EAD=45° （折叠形成的角平分线）∴AM=NM÷sin45°=√2*a （三角函数关系） AE=(√2+2)a （AM+MG+GE）∴AB=BE=AE×sin45°=(1+√2)a （用三角函数）∵BC=BE+CE∴BC=(1+√2)a+a=(2+√2)a∴BC:AB=(2+√2)a/(1+√2)a=√2:1矩形ABCD长与宽的比值为 √2:1。最后一题面积没法算。因为题目没有给出任何一边的长度。但可以算：矩形ABCD长与宽的比值为 √2:1。
42、已知：如图所示的一张矩形纸片（），将纸片折叠一次，使点与重合，再展开，折痕交边于，交边于，分别连结和．
（1）求证：四边形是菱形；（略）
（2）若，的面积为，求的周长；24cm
43、（1）观察与发现
小明将三角形纸片ABC（AB>AC），沿过点A的直线折叠，便得AC落在AB边上，折痕为AD，展开纸片（如图①），再次折叠该三角形纸片，使点A与点D重合，折痕为EF，展开纸片后得到△AEF（如图②），小明认为△AEF为等腰三角形，你同意吗？请说明理由．
（2）实践与运用
将矩形纸片ABCD沿过点B的直线折叠，使点A落在BC边上的点F处，折痕为BE（如图③），再沿过点E的直线折叠，使点D落在BE上的点D′处，折痕为EG（如图④），再展开纸片（如图⑤）求图中∠α的大小．
（1）是等腰三角形。第一次折叠，AC边与AB边对齐，说明AD是∠BAC的平分线；第二次折叠，A和D重叠，则折痕EF垂直平分AD，即AD是三角形AEF的角平分线且垂直于该角对应的边，所以△AEF是等腰三角形（2）第一次折叠，A点落在BC边的F点，使得四边形ABFE是正方形，BE是正方形对角线，则EF垂直ED，∠FED=90度，∠FEB=45度第二次折叠，EG是折痕，则∠GED=∠GEB=∠FEB+∠α=45度+∠α∠α=∠FED-∠GED=90度-（45度+∠α）∠α=22.5度
44、已知：△ABC中，AB=2AC，∠BAC=60°，点P在△ABC内部，PA=，PC=2，PB=5，求△ABC的面积.
分别作出点P关于三边的三个对称点，与三个顶点连接，得到边长分别为根号3，根号3，4，5，5为边的五边形，利用三个对称点之间的连线将五边形分成一个以5为边长的等边三角形，一个以根号3为腰长的等腰三角形，一个以3，4，5为边长的直角三角形，这三个三角形有面积和就是原直角三角形的面积的2倍.
1.首先证明△ABC是直角三角形。证明过程：假设BC与AC不垂直，则过点B作BD⊥AC交直线AC与点D ∵∠A=60°（已知）∴AB=2AD（直角三角形中30°角的对边等于斜边的一半）∵AB=2AC（已知）∴AC=AD（等量代换）这与直线外一点与直线上各点所连成的所有线段中，垂线段最短相矛盾，所以假设错误，即AC、AD两线重合。∴BC⊥AC即△ABC为直角三角形。（直角三角形定义）。2.作全等△AP1C关于直线AC与△APC全等。△BP2C关于直线BC与△BPC全等.。。△BP3A关于直线AB与△BPA全等.。则，∠P2BP3=2∠B=60°，∠P1AP3=2∠A=120°。 ∠P2CP1=2∠C=180°，所以点P2，P1，C 在同一直线上。依次连接点A，P1，C，P2，B，P3，A。得到一个凸五边形。且五边形的面积是△ABC的二倍。连接P1，P2，P3，。易得P2P3=BP2=BP=5，P1P2=P1C+P2C=2PC=4，由△AP1P3为等腰△（因为AP3=AP1），且求得∠P1AP3=2∠A=120°。所以S△P1AP3=3√3/4，且P3P1=3，进一步求得（3，4，5 为勾股数）△P1P2P3为直角△。易求S△P2BP3=25√3/4，S△P1P2P3=6。所以S△P2BP3+S△P1P2P3+S△P1AP3=7√3+6所以△ABC=3+7√3/2。

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