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第2节　命题及其关系、充分条件与必要条件
知 识 梳 理
1.命题
用语言、符号或式子表达的，可以判断真假的陈述句叫做命题，其中判断为真的语句叫做真命题，判断为假的语句叫做假命题.
2.四种命题及其相互关系
(1)四种命题间的相互关系
(2)四种命题的真假关系
①两个命题互为逆否命题，它们具有相同的真假性.
②两个命题为互逆命题或互否命题时，它们的真假性没有关系.
3.充分条件、必要条件与充要条件的概念
若p q，则p是q的充分条件，q是p的必要条件
p是q的充分不必要条件 p q且q / p
p是q的必要不充分条件 p / q且q p
p是q的充要条件 p q
p是q的既不充分也不必要条件 p / q且q / p
若A＝{x|p(x)}，B＝{x|q(x)}，则
(1)若A B，则p是q的充分条件；
(2)若A B，则p是q的必要条件；
(3)若A＝B，则p是q的充要条件；
(4)若A?B，则p是q的充分不必要条件；
(5)若A?B，则p是q的必要不充分条件；
(6)若A B且A B，则p是q的既不充分也不必要条件.
诊 断 自 测
1.判断下列说法的正误.
(1)“x2＋2x－3<0”是命题.(　　)
(2)命题“若p，则q”的否命题是“若p，则綈q”.(　　)
(3)当q是p的必要条件时，p是q的充分条件.(　　)
(4)“若p不成立，则q不成立”等价于“若q成立，则p成立”.(　　)
答案　(1)×　(2)×　(3)√　(4)√
解析　(1)错误.该语句不能判断真假，故该说法是错误的.
(2)错误.否命题既否定条件，又否定结论.
2.(选修2－1P6练习改编)命题“若α＝，则tan α＝1”的逆否命题是(　　)
A.若α≠，则tan α≠1 B.若α＝，则tan α≠1
C.若tan α≠1，则α≠ D.若tan α≠1，则α＝
答案　C
解析　命题“若p，则q”的逆否命题是“若綈q，则綈p”，显然綈q：tan α≠1，綈p：α≠，所以该命题的逆否命题是“若tan α≠1，则α≠”.
3.命题“若a>－3，则a>－6”以及它的逆命题、否命题、逆否命题中假命题的个数为(　　)
A.1 B.2 C.3 D.4
答案　B
解析　原命题正确，从而其逆否命题也正确；其逆命题为“若a>－6，则a>－3”是假命题，从而其否命题也是假命题.因此四个命题中有2个假命题.
4.(2021·台州评估测试)已知a，b∈R，则“3a<3b”是“a3A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
答案　C
解析　因为3a<3b a5.能够说明“设a，b是任意非零实数，若＞1，则b＞a”是假命题的一组整数a，b的值依次为________.
答案　－1，－2(答案不唯一)
解析　要使“设a，b是任意非零实数，若＞1，则b＞a”是假命题，只需满足b＜a＜0且a，b∈Z即可，
可取a＝－1，b＝－2.
6.已知命题p：“若a2＝b2，则a＝b”，则命题p的否命题为________，该否命题是一个________命题(填“真”，“假”).
答案　“若a2≠b2，则a≠b”　真
解析　由否命题的定义可知命题p的否命题为“若a2≠b2，则a≠b”.由于命题p的逆命题“若a＝b，则a2＝b2”是一个真命题，∴否命题是一个真命题.
考点一　四种命题的关系及其真假判断
【例1】 (1)已知命题：“若函数f(x)＝ex－mx在(0，＋∞)上是增函数，则m≤1”，则下列结论正确的是(　　)
A.否命题是“若函数f(x)＝ex－mx在(0，＋∞)上是减函数，则m＞1”，是真命题
B.逆命题是“若m≤1，则函数f(x)＝ex－mx在(0，＋∞)上是增函数”，是假命题
C.逆否命题是“若m＞1，则函数f(x)＝ex－mx在(0，＋∞)上是减函数”，是真命题
D.逆否命题是“若m＞1，则函数f(x)＝ex－mx在(0，＋∞)上不是增函数”，是真命题
(2)能说明“若f(x)>f(0)对任意的x∈(0，2]都成立，则f(x)在[0，2]上是增函数”为假命题的一个函数是________.
答案　(1)D　(2)f(x)＝sin x(答案不唯一 )
解析　(1)由f(x)＝ex－mx在(0，＋∞)上是增函数，则f′(x)＝ex－m≥0恒成立，∴m≤1.
因此原命题是真命题，所以其逆否命题“若m＞1，则函数f(x)＝ex－mx在(0，
＋∞)上不是增函数”是真命题.
(2)这是一道开放性试题，答案不唯一，只要满足f(x)>f(0)对任意x∈(0，2]都成立 ，且函数f(x)在[0，2]上不是增函数即可.如f(x)＝sin x，答案不唯一.
感悟升华　(1)由原命题写出其他三种命题，关键要分清原命题的条件和结论，如果命题不是“若p，则q”的形式，应先改写成“若p，则q”的形式；如果命题有大前提，写其他三种命题时需保留大前提不变.
(2)判断一个命题为真命题，要给出推理证明；判断一个命题为假命题，只需举出反例.
(3)根据“原命题与逆否命题同真同假，逆命题与否命题同真同假”这一性质，当一个命题直接判断不易进行时，可转化为判断其等价命题的真假.
【训练1】 (1)命题“若x2－3x－4＝0，则x＝4”的逆否命题及其真假性为(　　)
A.“若x＝4，则x2－3x－4＝0”为真命题
B.“若x≠4，则x2－3x－4≠0”为真命题
C.“若x≠4，则x2－3x－4≠0”为假命题
D.“若x＝4，则x2－3x－4＝0”为假命题
(2)原命题为“若z1，z2互为共轭复数，则|z1|＝|z2|”，关于其逆命题、否命题、逆否命题真假性的判断依次如下，正确的是(　　)
A.真、假、真 B.假、假、真
C.真、真、假 D.假、假、假
答案　(1)C　(2)B
解析　(1)根据逆否命题的定义可以排除A，D；由x2－3x－4＝0，得x＝4或－1，所以原命题为假命题，所以其逆否命题也是假命题.
(2)由共轭复数的性质，|z1|＝|z2|，∴原命题为真，因此其逆否命题为真；取z1＝1，z2＝i，满足|z1|＝|z2|，但是z1，z2不互为共轭复数，∴其逆命题为假，故其否命题也为假.
考点二　充分条件与必要条件的判定
【例2】 (1)(2020·浙江卷)已知空间中不过同一点的三条直线l，m，n.“l，m，n共面”是“l，m，n两两相交”的(　　)
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件
(2)(2020·北京卷)已知α，β∈R，则“存在k∈Z使得α＝kπ＋(－1)kβ”是“sin α＝sin β”的(　　)
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件
答案　(1)B　(2)C
解析　(1)由m，n，l在同一平面内，可能有m，n，l两两平行，所以m，n，l可能没有公共点，所以不能推出m，n，l两两相交.由m，n，l两两相交且m，n，l不经过同一点，可设l∩m＝A，l∩n＝B，m∩n＝C，且A n，所以点A和直线n确定平面α，而B，C∈n，所以B，C∈α，所以l，m α，所以m，n，l在同一平面内.故选B.
(2)①若k为偶数，设k＝2n(n∈Z)，则α＝2nπ＋β，有sin α＝sin(2nπ＋β)＝sin β；若k为奇数，设k＝2n＋1(n∈Z)，则α＝(2n＋1)π－β，有sin α＝sin[(2n＋1)π－β]＝
sin(2nπ＋π－β)＝sin(π－β)＝sin β.
充分性成立.
②若sin α＝sin β，则α＝2kπ＋β或α＝2kπ＋π－β(k∈Z)，
即α＝2kπ＋β或α＝(2k＋1)π－β(k∈Z)，
故α＝kπ＋(－1)kβ(k∈Z).
必要性成立.
故应为充分必要条件.故选C.
感悟升华　充要条件的三种判断方法
(1)定义法：根据p q，q p进行判断.
(2)集合法：根据使p，q成立的对象构成的集合之间的包含关系进行判断.
(3)等价转化法：根据一个命题与其逆否命题的等价性，把判断的命题转化为其逆否命题进行判断.这个方法特别适合以否定形式给出的问题，如“xy≠1”是“x≠1或y≠1”的何种条件，即可转化为判断“x＝1且y＝1”是“xy＝1”的何种条件.
【训练2】 (1)(2018·北京卷)设a，b均为单位向量，则“|a－3b|＝|3a＋b|”是“a⊥b”的(　　)
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件
(2)已知x，y为实数，则“xy≥0”是“|x＋y|≥|x－y|”的(　　)
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件
答案　(1)C　(2)C
解析　(1)∵|a－3b|＝|3a＋b|，∴(a－3b)2＝(3a＋b)2，∴a2－6a·b＋9b2＝9a2＋6a·b＋b2，又∵|a|＝|b|＝1，
∴a·b＝0，∴a⊥b；反之也成立.故选C.
(2)由不等式的性质，知|x＋y|≥|x－y| (x＋y)2≥(x－y)2 xy≥0，则“xy≥0”是“|x＋y|≥|x－y|”的充分必要条件.故选C.
考点三　充分条件、必要条件的应用
【例3】 已知P＝{x|x2－8x－20≤0}，非空集合S＝{x|1－m≤x≤1＋m}.若“x∈P”是“x∈S”的必要条件，求m的取值范围.
解　由x2－8x－20≤0，得－2≤x≤10，
∴P＝{x|－2≤x≤10}.
∵“x∈P”是“x∈S”的必要条件，
则S P.
∴解得m≤3.
又∵S为非空集合，
∴1－m≤1＋m，解得m≥0，
综上，可知当0≤m≤3时，“x∈P”是“x∈S”的必要条件.
【变式迁移】 本例条件不变，若“x∈P”是“x∈S”的充分不必要条件，求实数m的取值范围.
解　由例题知P＝{x|－2≤x≤10}.
∵“x∈P”是“x∈S”的充分不必要条件，∴P?S.
∴[－2，10]?[1－m，1＋m].
∴或
∴m≥9，则m的取值范围是[9，＋∞).
感悟升华　充分条件、必要条件的应用，一般表现在参数问题的求解上.解题时需注意：
(1)把充分条件、必要条件或充要条件转化为集合之间的关系，然后根据集合之间的关系列出关于参数的不等式(或不等式组)求解；
(2)要注意区间端点值的检验.
【训练3】 (1)(2021·上海松江区模拟)若|x－a|≤1成立的一个充分不必要条件是1≤x≤2，则实数a的取值范围是(　　)
A.1≤a≤2 B.a≥1
C.a≤2 D.a≥1或a≤2
(2)ax2＋2x＋1＝0只有负实根的充要条件是________.
答案　(1)A　(2)0≤a≤1
解析　(1)由|x－a|≤1得a－1≤x≤a＋1，
因为|x－a|≤1成立的一个充分不必要条件是1≤x≤2，
所以[1，2]是[a－1，a＋1]的真子集，
因此或解得1≤a≤2.
(2)当a＝0时，原方程为一元一次方程2x＋1＝0，有一个负实根x＝－.
当a≠0时，原方程为一元二次方程，
又ax2＋2x＋1＝0只有负实根，
所以有即0＜a≤1.
综上，方程只有负根的充要条件是0≤a≤1.
基础巩固题组
一、选择题
1.设m∈R, 命题“若m>0，则方程x2＋x－m＝0有实根”的逆否命题是(　　)
A.若方程x2＋x－m＝0有实根，则m＞0
B.若方程x2＋x－m＝0有实根，则m≤0
C.若方程x2＋x－m＝0没有实根，则m＞0
D.若方程x2＋x－m＝0没有实根，则m≤0
答案　D
解析　根据逆否命题的定义，命题“若m>0，则方程x2＋x－m＝0有实根”的逆否命题是“若方程x2＋x－m＝0没有实根，则m≤0”.
2.(2021·杭州质检)设x∈R，则“x＞2”是“|x|＞2”的(　　)
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
答案　A
解析　由|x|＞2得x＞2或x＜－2，所以“x＞2”是“|x|＞2”的充分不必要条件，故选A.
3.设α，β是两个不同的平面，m是直线且m α，则“m∥β”是“α∥β”的(　　)
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件
答案　B
解析　m α，m∥β α∥β，但m α，α∥β m∥β，∴“m∥β”是“α∥β”的必要不充分条件.
4.(2020·金华十校期末调研)已知条件p：x＞1，条件q：＜1，则p是q的(　　)
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
答案　A
解析　由题意得p：x＞1，q：＜1，则－1＜0，＜0，解得x＞1或x＜0，所以p是q的充分不必要条件，故选A.
5.(2021·北京朝阳区一模)已知a，b，c∈R，给出下列条件：①a2＞b2；②＜；③ac2＞bc2，则使得a＞b成立的充分而不必要条件是(　　)
A.① B.② C.③ D.①②③
答案　C
解析　由①a2＞b2，得|a|＞|b|，不一定有a＞b成立，不符；
对于②，当a＝－1，b＝1时，有＜，但a＞b不成立，所以不符；
对于③，由ac2＞bc2知c≠0，所以有a＞b成立，
当a＞b成立时，不一定有ac2＞bc2，因为c可以为0，符合题意.
6.(2020·宁波适考)已知△ABC中角A，B，C所对的边分别是a，b，c，则“a2＋b2＝2c2”是“△ABC为等边三角形”的(　　)
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件
答案　B
解析　△ABC为等边三角形，则a＝b＝c，必有a2＋b2＝2c2，所以必要性成立，；当a2＋b2＝2c2时，若取a＝2，b＝4，c＝，满足该条件，但此时△ABC不是等边三角形，所以充分性不成立，所以“a2＋b2＝2c2”是“△ABC为等边三角形”的必要不充分条件，故选B.
7.(2020·宁波期末)已知等差数列{an}的公差为d，前n项和为Sn，则“S1＋S5<2S3”是“d<0”的(　　)
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
答案　C
解析　若S1＋S5<2S3，即a1＋5a1＋10d<2(3a1＋3d)，解得d<0；若d<0，S1＋S5＝6a1＋10d，2S3＝6a1＋6d，10d<6d，所以S1＋S5<2S3，所以“S1＋S5<2S3”是“d<0”的充要条件，故选C.
8.“函数f(x)＝a＋ln x(x≥e)存在零点”是“a＜－1”的(　　)
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
答案　B
解析　函数f(x)＝a＋ln x(x≥e)存在零点 a≤－1，
故选B.
9.(2021·北京大兴区一模)已知数列{an}，则“存在常数c，对任意的m，n∈N*，且m≠n，都有＝c”是“数列{an}为等差数列”的(　　)
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件
答案　C
解析　①由已知：“存在常数c，对任意的m，n∈N*，且m≠n，都有＝c”
不妨令m＝n＋1，则有an＋1－an＝c，由等差数列的定义，
可知数列{an}是以c为公差的等差数列，
②由“数列{an}为等差数列”，则an＝a1＋(n－1)d，am＝a1＋(m－1)d(d为公差)，
所以＝＝d，
即存在“存在常数c，对任意的m，n∈N*，且m≠n，都有＝c”，此时c＝d，
综合①②得“存在常数c，对任意的m，n∈N*，且m≠n，都有＝c”是“数列{an}为等差数列”的充分必要条件，故选C.
二、填空题
10.已知p：不等式(ax－1)(x－1)>0的解集为，q：a<，则p是q的________.
答案　充分不必要
解析　由不等式(ax－1)(x－1)>0的解集为得a<0且<1，解得a<0，所以“不等式(ax－1)(x－1)>0的解集为”是“a<”的充分不必要条件.
11.“sin α＝cos α”是“cos 2α＝0”的________条件.
答案　充分不必要
解析　cos 2α＝0等价于cos2α－sin2α＝0，
即cos α＝±sin α.
由cos α＝sin α得到cos 2α＝0；反之不成立.
∴“sin α＝cos α”是“cos 2α＝0”的充分不必要条件.
12.命题“若x2－3x＋2＝0，则x＝1”的逆命题为________，否命题为________，逆否命题为________.
答案　若x＝1，则x2－3x＋2＝0　若x2－3x＋2≠0，则x≠1　若x≠1，则x2－3x＋2≠0
解析　“若x2－3x＋2＝0，则x＝1”的逆命题为“若x＝1，则x2－3x＋2＝0”；否命题为“若x2－3x＋2≠0，则x≠1”；逆否命题为“若x≠1，则x2－3x＋2≠0”.
13.已知命题p：a≤x≤a＋1，命题q：x2－4x<0，若p是q的充分不必要条件，则a的取值范围是________.
答案　(0，3)
解析　令M＝{x|a≤x≤a＋1}，N＝{x|x2－4x<0}＝{x|0∵p是q的充分不必要条件，∴M?N，
∴解得014.有下列几个命题：
①“若a>b，则a2>b2”的否命题；②“若x＋y＝0，则x，y互为相反数”的逆命题；③“若x2<4，则－2其中真命题的序号是________.
答案　②③
解析　①原命题的否命题为“若a≤b，则a2≤b2”，错误.②原命题的逆命题为“若x，y互为相反数，则x＋y＝0”，正确.③原命题的逆否命题为“若x≥2或x≤－2，则x2≥4”，正确.
能力提升题组
15.已知m∈R，“函数y＝2x＋m－1有零点”是“函数y＝logmx在(0，＋∞)上为减函数”的(　　)
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
答案　B
解析　由y＝2x＋m－1＝0，得m＝1－2x，则m<1.
由于函数y＝logmx在(0，＋∞)上是减函数，
所以0因此“函数y＝2x＋m－1有零点”是“函数y＝logmx在(0，＋∞)上为减函数”的必要不充分条件.
16.(2019·北京卷)设点A，B，C不共线，则“与的夹角为锐角”是“|＋|>||”的(　　)
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件
答案　C
解析　因为点A，B，C不共线，所以线段AB，BC，AC构成一个三角形ABC，由向量加法的三角形法则，可知＝－，所以|＋|>||等价于|＋|>|－|，因模为非负数，故不等号两边平方得2＋2＋2||·||cos θ>2＋2－2||·||cos θ (θ为与的夹角)，整理得4||·||·cos θ>0，故cos θ>0，即θ为锐角.反之，易得当与的夹角为锐角时，|＋|>||，所以“与的夹角为锐角”是“|＋|>||”的充分必要条件.故选C.
17.(2017·上海卷)已知a，b，c为实常数，数列{xn}的通项xn＝an2＋bn＋c，n∈N*，则“存在k∈N*，使得x100＋k，x200＋k，x300＋k成等差数列”的一个必要条件是(　　)
A.a≥0 B.b≤0
C.c＝0 D.a－2b＋c＝0
答案　A
解析　要使x100＋k，x200＋k，x300＋k构成等差数列，
只需要2x200＋k＝x100＋k＋x300＋k，
即2a(200＋k)2＋2b(200＋k)＋2c＝a(100＋k)2＋b(100＋k)＋c＋a(300＋k)2＋b(300＋k)＋c成立，整理得a＝0，即充要条件是a＝0，故选A.
18.(2020·浙江名校联盟三联)已知数列{an}满足an＋1＝sin an，n∈N*，则“a1≥0”是“任意n∈N*，都有an＋1≤an”的(　　)
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
答案　B
解析　因为函数f(x)＝sin x－x在R上是减函数，且当x≥0时，有sin x≤x，所以当an＋1＝sin an≤an成立时，an≥0，所以a1≥0，故必要性成立；当a1≥0时，取a1＝，则a2＝sin a1＝－1，a3＝sin(－1)>－1＝a2，不满足an＋1≤an，所以充分性不成立，故选B.
19.把下面不完整的命题补充完整，并使之成为真命题.
若函数f(x)＝3＋log2x的图象与g(x)的图象关于________对称，则函数g(x)＝________(注：填上你认为可以成为真命题的一种情形即可，不必考虑所有可能的情形).
答案　(不唯一)如①x轴　－3－log2x；②y轴　3＋log2(－x)；③原点　－3－log2(－x)；④直线y＝x　2x－3等
解析　①∵点P(x0，y0)关于x轴对称的点是P′(x0，－y0)，∴f(x)＝3＋log2x关于x轴对称的函数解析式为g(x)＝－3－log2x；②点M(x0，y0)关于y轴对称的点是
M′(－x0，y0)，故f(x)＝3＋log2x关于y轴对称的函数解析式为g(x)＝3＋log2(－x).其他情形，类似可得.
20.已知a＋b≠0，则a2＋b2－a－b＋2ab＝0成立的充要条件是________.
答案　a＋b＝1
解析　若a2＋b2－a－b＋2ab＝0，
即(a＋b)2－(a＋b)＝0，
(a＋b－1)(a＋b)＝0，
因为a＋b≠0，
所以a＋b－1＝0，
即a＋b＝1，由于上述推理可逆，
所以a2＋b2－a－b＋2ab＝0成立的充要条件是a＋b＝1.
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