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第3节　基本不等式：≤
知 识 梳 理
1.基本不等式：≤
(1)基本不等式成立的条件：a>0，b>0.
(2)等号成立的条件：当且仅当a＝b时取等号.
(3)其中称为正数a，b的算术平均数，称为正数a，b的几何平均数.
2.几个重要的不等式
(1)a2＋b2≥2ab(a，b∈R)，当且仅当a＝b时取等号.
(2)ab≤(a，b∈R)，当且仅当a＝b时取等号.
(3)≥(a，b∈R)，当且仅当a＝b时取等号.
(4)＋≥2(a，b同号)，当且仅当a＝b时取等号.
3.利用基本不等式求最值
已知x>0，y>0则
(1)如果积xy是定值p，那么当且仅当x＝y时，x＋y有最小值是2(简记：积定和最小).
(2)如果和x＋y是定值s，那么当且仅当x＝y时，xy有最大值是(简记：和定积最大).
1.对于基本不等式，不仅要记住原始形式，而且还要掌握它的几种变形形式及公式的逆用等，例如：ab≤≤，≤≤(a>0，b>0)等，同时还要注意不等式成立的条件和等号成立的条件.
2.使用基本不等式求最值，“一正”“二定”“三相等”三个条件缺一不可.
3.连续使用基本不等式求最值要求每次等号成立的条件一致.
4.基本不等式的一般形式：(a1＋a2＋a3＋…＋an)≥(其中a1，a2，a3，…，an∈(0，＋∞)，当且仅当a1＝a2＝a3＝…＝an时等号成立).
诊 断 自 测
1.判断下列说法的正误.
(1)当a≥0，b≥0时，≥.(　　)
(2)两个不等式a2＋b2≥2ab与≥成立的条件是相同的.(　　)
(3)函数y＝x＋的最小值是2.(　　)
(4)函数f(x)＝sin x＋的最小值为4.(　　)
(5)x＞0且y＞0是＋≥2的充要条件.(　　)
答案　(1)√　(2)×　(3)×　(4)×　(5)×
解析　(2)不等式a2＋b2≥2ab成立的条件是a，b∈R；
不等式≥成立的条件是a≥0，b≥0.
(3)函数y＝x＋值域是(－∞，－2]∪[2，＋∞)，没有最小值.
(4)函数f(x)＝sin x＋无最小值.
(5)xy>0是＋≥2的充分必要条件.
2.设x>0，y>0，且x＋y＝18，则xy的最大值为(　　)
A.80 B.77 C.81 D.82
答案　C
解析　xy≤＝81，当且仅当x＝y＝9时取等号.
3.(2021·衢州、湖州、丽水质检)若a>0，b>0，则“ab≤4”是“≤1”的(　　)
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件
答案　A
解析　因为a>0，b>0，ab≤4，所以≤＝≤＝1，当且仅当a＝b时，等号成立，所以充分性成立；取a＝20，b＝，则≤1，此时ab＝10>4，所以必要性不成立.综上，“ab≤4”是“≤1”的充分不必要条件，故选A.
4.(2020·新高考海南卷改编)已知a>0，b>0，且a＋b＝1，则下列错误的是(　　)
A.a2＋b2≥ B.2a－b>
C.log2a＋log2b≥－2 D.＋≤
答案　C
解析　因为a>0，b>0，a＋b＝1，所以a＋b≥2，当且仅当a＝b＝时，等号成立，即有ab≤.
对于A，a2＋b2＝(a＋b)2－2ab＝1－2ab≥1－2×＝，故A正确；
对于B，2a－b＝22a－1＝×22a，
因为a>0，所以22a>1，即2a－b>，故B正确；
对于C，log2a＋log2b＝log2ab≤log2＝－2，故C错误；
对于D，由(＋)2＝a＋b＋2＝1＋2≤2，得＋≤，故D正确.
5.(必修5P100A2改编)一段长为30 m的篱笆围成一个一边靠墙的矩形菜园，墙长18 m，则这个矩形的长为______m，宽为________m时菜园面积最大.
答案　15　
解析　设矩形的长为x m，宽为y m.则x＋2y＝30，
所以S＝xy＝x·(2y)≤＝，当且仅当x＝2y，即x＝15，y＝时取等号.
6.已知正数x，y满足x＋y＝1，则x－y的取值范围为________，＋的最小值为________.
答案　(－1，1)　3
解析　∵正数x，y满足x＋y＝1，
∴y＝1－x，0∴－y＝－1＋x，
∴x－y＝2x－1，又0∴0<2x<2，∴－1<2x－1<1，
即x－y的取值范围为(－1，1).
＋＝＋＝1＋＋≥1＋2＝1＋2＝3，当且仅当x＝y＝时取“＝”，∴＋的最小值为3.
考点一　配凑法求最值
【例1】 (1)已知x＜，则f(x)＝4x－2＋的最大值为________.
(2)若a>0，则a＋的最小值为________.
(3)设0答案　(1)1　(2)　(3)[－2，4]
解析　(1)因为x＜，所以5－4x＞0，
则f(x)＝4x－2＋＝－＋3≤
－2＋3＝－2＋3＝1.
当且仅当5－4x＝，即x＝1时，等号成立.
故f(x)＝4x－2＋的最大值为1.
(2)由题意可知a＋＝a＋＋－≥2－＝，当且仅当a＋＝，即a＝时等号成立.所以a＋的最小值为.
(3)因为02≥8.当且仅当＝，m＝时取等号.所以要使不等式恒成立，则k2－2k≤8，解得－2≤k≤4.
感悟升华　(1)应用基本不等式解题一定要注意应用的前提：“一正”“二定”“三相等”.所谓“一正”是指正数，“二定”是指应用基本不等式求最值时，和或积为定值，“三相等”是指满足等号成立的条件.
(2)在利用基本不等式求最值时，要根据式子的特征灵活变形，配凑出积、和为常数的形式，然后再利用基本不等式.
【训练1】 (1)函数y＝(x>1)的最小值为________.
(2)当x>0时，x＋(a>0)的最小值为3，则实数a的值为________.
答案　(1)2＋2　(2)4
解析　(1)y＝＝
＝
＝(x－1)＋＋2≥2＋2.
当且仅当x－1＝，即x＝＋1时，等号成立.
(2)因为当x>0，a>0时，x＋＝x＋1＋－1≥2－1，当且仅当x＋1＝时，等号成立，又x＋(a>0)的最小值为3，所以2－1＝3，解得a＝4.
考点二　常数代换法、消元法求最值
【例2】 (1)(2021·浙江“超级全能生”联考)已知正数x，y满足x＋y＝1，则＋的最小值是(　　)
A. B. C. D.
(2)已知正实数x，y满足xy＋2x＋3y＝42，则xy＋5x＋4y的最小值为________.
答案　(1)C　(2)55
解析　(1)∵x＋y＝1，∴2x＋2＋2y＋1＝5，∴＋＝(2x＋2＋2y＋1)·＝≥，当且仅当2x2－4y2＋4x－4y＋1＝0时等号成立，故选C.
(2)因为正实数x，y满足xy＋2x＋3y＝42，所以y＝>0且x>0，解得0感悟升华　(1)代换法有二种类型：①常数代换(如“1”的代换)；②代数式的代换.
(2)消元法：减少字母的个数，常代为函数式后再用基本不等式.
【训练2】 (1)(2021·龙岩一模)已知x>0，y>0，且＋＝，则x＋y的最小值为(　　)
A.3 B.5 C.7 D.9
(2)若a，b，c都是正数，且a＋b＋c＝2，则＋的最小值是(　　)
A.2 B.3 C.4 D.6
答案　(1)C　(2)3
解析　(1)∵x>0，y>0，且＋＝，∴x＋1＋y＝2(x＋1＋y)＝2≥2＝8，当且仅当＝，即x＝3，y＝4时取等号，∴x＋y≥7，故x＋y的最小值为7.
(2)由题意可得b＋c＝2－a>0，所以0＋＝＋＝＝＝＝≥3×＝3，当且仅当a＝1时等号成立，所以＋的最小值是3.
考点三　换元法、转化法求最值
【例3】 (1)已知x＞0，y＞0，x＋3y＋xy＝9，则x＋3y的最小值为________.
(2)(2021·镇海中学模拟)若实数x，y满足4x＋4y＝2x＋1＋2y＋1，则S＝2x＋2y的取值范围是________.
答案　(1)6　(2)(2，4]
解析　(1)∵x＞0，y＞0，
9－(x＋3y)＝xy＝x·(3y)≤·，
当且仅当x＝3y时等号成立.
设x＋3y＝t＞0，则t2＋12t－108≥0，
∴(t－6)(t＋18)≥0，
又∵t＞0，∴t≥6.故当x＝3，y＝1时，(x＋3y)min＝6.
(2)因为4x＋4y＝(2x＋2y)2－2·2x·2y，2x＋1＋2y＋1＝2(2x＋2y)，设2x＋2y＝t(t>0)，则由题意得t2－2·2x·2y＝2t，即2·2x·2y＝t2－2t.因为0<2·2x·2y≤2·，即0感悟升华　(1)换元的目的可以使问题简化，然后化为解不等式问题或函数的最值问题；
(2)对条件等式运用基本不等式后转化为不等式，再解不等式是求最值(范围)的常用方法.
【训练3】 (1)(2021·镇海中学模拟)若a>0，b>0，且＋＝，则a2＋b2的最小值为(　　)
A.2 B.2 C.4 D.4
(2)(2021·金华一中月考)已知正实数a，b满足a＋b＝1，则＋的最大值是(　　)
A.2 B.1＋
C.1＋ D.1＋
答案　(1)C　(2)C
解析　(1)因为＝＋≥2，且a>0，b>0，解得ab≥2，则a2＋b2≥2ab≥4，当且仅当a＝b＝时等号成立，所以a2＋b2的最小值为4，故选C.
(2)因为正实数a，b满足a＋b＝1，
所以＋＝＋＝.
令t＝a＋1∈(1，2)，则原式＝＝≤＝＝1＋.
当且仅当t＝，即t＝＝a＋1，a＝－1，b＝2－时取等号，故选C.
基础巩固题组
一、选择题
1.下列不等式一定成立的是(　　)
A.lg>lg x(x>0)
B.sin x＋≥2(x≠kπ，k∈Z)
C.x2＋1≥2|x|
D.＜1
答案　C
解析　当x＞0时，x2＋≥2·x·＝x，所以lg≥lg x(x＞0)，故A不正确；运用基本不等式时需保证“一正”“二定”“三相等”，当x≠kπ，k∈Z时，
sin x的正负不定，故B不正确；显然C正确；当x＝0时，有＝1，D不正确.
2.若a>0，b>0，且a＋b＝4，则下列不等式恒成立的是(　　)
A.≤ B.＋≤1
C.≥2 D.a2＋b2≥8
答案　D
解析　4＝a＋b≥2(当且仅当a＝b时，等号成立)，即≤2，ab≤4，≥，A，C不成立；＋＝＝≥1，B不成立；a2＋b2＝(a＋b)2－2ab＝16－2ab≥8，D成立.
3.(2020·诸暨期末)已知a＋2b＝1(a＞0，b＞0)，则＋的最小值为(　　)
A.4 B.2＋2
C. D.2＋1
答案　B
解析　由题意得＋＝＋＝＋＋2≥2＋2＝2＋2，当且仅当a＝b＝－1时，等号成立，所以＋的最小值为2＋2，故选B.
4.若正数x，y满足4x2＋9y2＋3xy＝30，则xy的最大值是(　　)
A. B. C.2 D.
答案　C
解析　由x＞0，y＞0，得4x2＋9y2＋3xy≥2·(2x)·(3y)＋3xy(当且仅当2x＝3y时等号成立)，∴12xy＋3xy≤30，即xy≤2，当且仅当x＝，y＝时取等号，∴xy的最大值为2.
5.已知a>0，b>0，a＋b＝＋，则＋的最小值为(　　)
A.4 B.2 C.8 D.16
答案　B
解析　由a>0，b>0，a＋b＝＋＝，得ab＝1，
则＋≥2＝2.当且仅当＝，
即a＝，b＝时等号成立.故选B.
6.若实数a，b满足＋＝，则ab的最小值为(　　)
A. B.2 C.2 D.4
答案　C
解析　依题意知a＞0，b＞0，则＋≥2＝，当且仅当＝，即b＝2a时，“＝”成立.因为＋＝，所以≥，即ab≥2(当且仅当a＝2，b＝2时等号成立)，所以ab的最小值为2，故选C.
7.(2020·台州期末评估)已知实数a，b满足a2＋b2＝4，则ab的取值范围是(　　)
A.[0，2] B.[－2，0]
C.(－∞，－2]∪[2，＋∞) D.[－2，2]
答案　D
解析　∵a2＋b2＝4，∴根据基本不等式得4＝a2＋b2≥2|ab|，∴|ab|≤2，
∴－2≤ab≤2，∴ab的取值范围是[－2，2]，故选D.
8.已知x＋y＝＋＋8(x，y>0)，则x＋y的最小值为(　　)
A.5 B.9
C.4＋ D.10
答案　B
解析　由x＋y＝＋＋8得x＋y－8＝＋，则(x＋y－8)(x＋y)＝(x＋y)＝5＋＋≥5＋2＝9，当且仅当＝，即y＝2x时，等号成立，令t＝x＋y，所以(t－8)·t≥9，解得t≤－1或t≥9，因为x＋y>0，所以x＋y≥9，所以x＋y的最小值为9，故选B.
9.已知a，b，c，d∈[0，＋∞)，a＋b＝c＋d＝2，则(a2＋c2)(b2＋d2)的最大值是(　　)
A.4 B.8 C.16 D.32
答案　C
解析　∵≤≤＝4，
∴(a2＋c2)(b2＋d2)≤16，当a＝d＝2，b＝c＝0或b＝c＝2，a＝d＝0时取到等号，故选C.
二、填空题
10.(2019·天津卷)设x>0，y>0，x＋2y＝5，则的最小值为________.
答案　4
解析　∵x>0，y>0，∴>0.
∵x＋2y＝5，∴＝
＝＝2＋≥2＝4，
当且仅当2＝，即x＝3，y＝1或x＝2，y＝时取等号.
∴的最小值为4.
11.(2021·镇海中学模拟)已知a，b为正数且a＋2b＝3，则＋的最小值是________.
答案　3
解析　因为a，b＞0，且a＋2b＝3，所以＋＝＝＋＋≥＋×2＝＋＝3，当且仅当＝，即a＝b＝1时取等号.
12.(2018·江苏卷)在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，∠ABC＝120°，∠ABC的平分线交AC于点D，且BD＝1，则4a＋c的最小值为________.
答案　9
解析　因为∠ABC＝120°，∠ABC的平分线交AC于点D，所以∠ABD＝∠CBD＝60°，由三角形的面积公式可得acsin 120°＝a×1×sin 60°＋c×1×sin 60°，化简得ac＝a＋c，又a>0，c>0，所以＋＝1，则4a＋c＝(4a＋c)·＝5＋＋≥5＋2＝9，当且仅当c＝2a时取等号，故4a＋c的最小值为9.
13.若正数a，b满足＋＝1，则＋的最小值为________.
答案　6
解析　∵正数a，b满足＋＝1，
∴a＋b＝ab，＝1－＞0，＝1－＞0，
∴b＞1，a＞1，
则＋≥2＝2＝6(当且仅当a＝，b＝4时等号成立)，
∴＋的最小值为6.
14.若实数x，y，z满足x＋2y＋3z＝1，x2＋4y2＋9z2＝1，则z的最小值是________.
答案　－
解析　法一　因为1－9z2＝(x＋2y)2－2·x·2y≥(x＋2y)2－2，又x＋2y＝1－3z，则1－9z2≥(1－3z)2，解得－≤z≤，即z的最小值为－.
法二　由x2＋(2y)2＝1－9z2，设x＝cos θ，2y＝sin θ，则1－3z＝(cos θ＋sin θ)＝sin，由三角函数的有界性，得|1－3z|≤，解得－≤z≤，即z的最小值为－.
能力提升题组
15.设正实数x，y，z满足x2－3xy＋4y2－z＝0，则当取得最大值时，＋－的最大值为(　　)
A.0 B.1 C. D.3
答案　B
解析　由已知得z＝x2－3xy＋4y2，(*)
则＝＝≤1，当且仅当x＝2y时取等号，把x＝2y代入(*)式，得z＝2y2，所以＋－＝＋－＝－＋1≤1.
16.(一题多解)(2017·北京卷改编)已知x≥0，y≥0，且x＋y＝1，则x2＋y2的最小值为________，最大值为________.
答案　
解析　法一　∵x≥0，y≥0且x＋y＝1，
∴2≤x＋y＝1，当且仅当x＝y＝时取等号，从而0≤xy≤，
因此x2＋y2＝(x＋y)2－2xy＝1－2xy，
所以≤x2＋y2≤1.
法二　∵x＋y＝1，x≥0，y≥0，
∴y＝1－x，x∈[0，1]，
∴x2＋y2＝x2＋(1－x)2＝2x2－2x＋1＝2＋，对称轴为x＝，故x＝时，有最小值为，x＝0或x＝1时有最大值为1.
法三　可转化为线段AB上的点到原点距离平方的范围.AB上的点到原点距离的范围为，则x2＋y2的取值范围为.
17.(2021·杭州四中仿真)设a＋b＝2，b>0，则当a＝________时，＋取得最小值为________.
答案　－2　
解析　由于a＋b＝2，
所以＋＝＋＝＋＋，
由于b>0，|a|>0，
所以＋≥2＝1，
因此当a>0时，＋的最小值是＋1＝.
当a<0时，＋的最小值是－＋1＝.
故＋的最小值为，此时
即a＝－2.
18.(2020·全国Ⅲ卷)设a，b，c∈R，a＋b＋c＝0，abc＝1.
(1)证明：ab＋bc＋ca<0；
(2)用max{a，b，c}表示a，b，c的最大值，证明：max{a，b，c}≥.
证明　(1)由题设可知a，b，c均不为零，
所以ab＋bc＋ca＝[(a＋b＋c)2－(a2＋b2＋c2)]＝－(a2＋b2＋c2)<0.
(2)不妨设max{a，b，c}＝a.
因为abc＝1，a＝－(b＋c)，
所以a>0，b<0，c<0.
由bc≤，可得abc≤，
当且仅当b＝c＝－时取等号，故a≥，
所以max{a，b，c}≥.
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