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第1节　不等关系与不等式、一元二次不等式及其解法
知 识 梳 理
1.两个实数比较大小的方法
(1)作差法
(2)作商法
2.不等式的性质
(1)对称性：a＞b b＜a；
(2)传递性：a＞b，b＞c a＞c；
(3)可加性：a＞b a＋c＞b＋c；a＞b，c＞d a＋c>b＋d；
(4)可乘性：a＞b，c＞0 ac＞bc；a＞b＞0，c＞d＞0 ac＞bd；
(5)可乘方：a＞b＞0 an＞bn(n∈N，n≥1)；
(6)可开方：a＞b＞0 ＞(n∈N，n≥2).
3.三个“二次”间的关系
判别式Δ＝b2－4ac Δ＞0 Δ＝0 Δ＜0
二次函数y＝ax2＋bx＋c (a＞0)的图象
一元二次方程ax2＋bx＋c＝0 (a＞0)的根 有两相异实根x1，x2(x1＜x2) 有两相等实根x1＝x2＝－ 没有实数根
ax2＋bx＋c＞0 (a＞0)的解集 R
ax2＋bx＋c＜0 (a＞0)的解集 {x|x1＜x＜x2}
1.有关分数的性质
若a＞b＞0，m＞0，则
(1)真分数的性质
＜；＞(a－m＞0).
(2)假分数的性质
＞；＜(b－m＞0).
2.对于不等式ax2＋bx＋c>0，求解时不要忘记讨论a＝0时的情形.
3.当Δ<0时，ax2＋bx＋c>0(a≠0)的解集为R还是 ，要注意区别.
诊 断 自 测
1.判断下列说法的正误.
(1)a＞b ac2＞bc2.(　　)
(2)若不等式ax2＋bx＋c＜0的解集为(x1，x2)，则必有a＞0.(　　)
(3)若方程ax2＋bx＋c＝0(a＜0)没有实数根，则不等式ax2＋bx＋c＞0的解集为R.(　　)
(4)不等式ax2＋bx＋c≤0在R上恒成立的条件是a＜0且Δ＝b2－4ac≤0.(　　)
答案　(1)×　(2)√　(3)×　(4)×
解析　(1)由不等式的性质，ac2＞bc2 a＞b；反之，c＝0时，a＞b / ac2＞bc2.
(3)若方程ax2＋bx＋c＝0(a<0)没有实根.则不等式ax2＋bx＋c>0的解集为 .
(4)当a＝b＝0，c≤0时，不等式ax2＋bx＋c≤0也在R上恒成立.
2.若a＞b＞0，c＜d＜0，则一定有(　　)
A.＞ B.＜
C.＞ D.＜
答案　B
解析　因为c＜d＜0，所以0＞＞，两边同乘－1得－＞－＞0，又a＞b＞0，故由不等式的性质可知－＞－＞0.两边同乘－1得＜.故选B.
3.设a，b∈[0，＋∞)，A＝＋，B＝，则A，B的大小关系是(　　)
A.A≤B B.A≥B C.AB
答案　B
解析　∵a，b∈[0，＋∞)，∴A≥0，B≥0，又A2－B2＝(a＋2＋b)－(a＋b)＝2≥0，∴A≥B.
4.已知函数f(x)＝x3＋ax2＋bx＋c.且0A.c≤3 B.3C.69
答案　C
解析　由f(－1)＝f(－2)＝f(－3)
得解得
则f(x)＝x3＋6x2＋11x＋c，
由05.已知角α，β满足－<α<β<，则α－β的取值范围是________.
答案　(－π，0)
解析　因为－<α<β<，所以－π<α－β<π，且α－β<0，所以－π<α－β<0.所以α－β的取值范围是(－π，0).
6.(必修5P80A3改编)若关于x的一元二次方程x2－(m＋1)x－m＝0有两个不相等的实数根，则m的取值范围是________.
解析　由题意知Δ＝[－(m＋1)]2＋4m＞0.即m2＋6m＋1＞0，
解得m＞－3＋2或m＜－3－2.
答案　(－∞，－3－2)∪(－3＋2，＋∞)
考点一　比较大小及不等式的性质的应用
【例1】 (1)已知实数a，b，c满足b＋c＝6－4a＋3a2，c－b＝4－4a＋a2，则a，b，c的大小关系是(　　)
A.c≥b>a B.a>c≥b
C.c>b>a D.a>c>b
(2)已知非负实数a，b，c满足a＋b＋c＝1，则(c－a)(c－b)的取值范围为________.
答案　(1)A　(2)
解析　(1)∵c－b＝4－4a＋a2＝(2－a)2≥0，∴c≥b.
又b＋c＝6－4a＋3a2，∴2b＝2＋2a2，∴b＝a2＋1，
∴b－a＝a2－a＋1＝＋>0，
∴b>a，∴c≥b>a.
(2)因为a，b，c为非负实数，且a＋b＋c＝1，则a＋b＝1－c，0≤c≤1，故|(c－a)(c－b)|
＝|c－a||c－b|≤1，即－1≤(c－a)(c－b)≤1；又(c－a)(c－b)＝c2－(1－c)c＋ab≥2－≥－.综上，有－≤(c－a)(c－b)≤1.
感悟升华　(1)比较大小常用的方法：
①作差法；②作商法；③函数的单调性法.
(2)判断多个不等式是否成立，常用方法：一是直接使用不等式性质，逐个验证；二是用特殊法排除或特殊值法验证.
【训练1】 (1)(2020·浙江卷)已知a，b∈R且ab≠0，对于任意x≥0均有(x－a)(x－b)(x－2a－b)≥0，则(　　)
A.a＜0 B.a＞0
C.b＜0 D.b＞0
(2)若a＞b＞0，且ab＝1，则下列不等式成立的是(　　)
A.a＋＜＜log2(a＋b)
B.＜log2(a＋b)＜a＋
C.a＋＜log2(a＋b)＜
D.log2(a＋b)＜a＋＜
答案　(1)C　(2)B
解析　(1)法一　由题意，知a≠0，b≠0，则方程
(x－a)(x－b)(x－2a－b)＝0的根为a，b，2a＋b.
①a，b，2a＋b均为不同的根，则不等式可标根为图(1)，
此时应满足可得a＜0，b＜0.
②a，b，2a＋b中有两个根为相等的根，则
(ⅰ)a＝2a＋b＞0，即b＝－a＜0，
此时(x－a)2(x＋a)≥0，符合图(2).
(ⅱ)a＝b＜0，此时(x－a)2(x－3a)≥0，符合图(3).
综合①②，可知b＜0符合题意.故选C.
法二(特殊值法)　当b＝－1，a＝1时，(x－1)(x＋1)(x－1)≥0在x≥0时恒成立；当b＝－1，a＝－1时，(x＋1)(x＋1)(x＋3)≥0在x≥0时恒成立；当b＝1，a＝－1时，(x＋1)(x－1)(x＋1)≥0在x≥0时不一定成立.故选C.
(2)令a＝2，b＝，则a＋＝4，＝，log2(a＋b)＝log2∈(1，2)，则＜log2(a＋b)＜a＋.
考点二　一元二次不等式的解法
角度1　不含参的不等式
【例2－1】 求不等式－2x2＋x＋3<0的解集.
解　化－2x2＋x＋3<0为2x2－x－3>0，
解方程2x2－x－3＝0得x1＝－1，x2＝，
∴不等式2x2－x－3>0的解集为(－∞，－1)∪，
即原不等式的解集为(－∞，－1)∪.
角度2　含参不等式
【例2－2】 解关于x的不等式ax2－2≥2x－ax(a∈R).
解　原不等式可化为ax2＋(a－2)x－2≥0.
①当a＝0时，原不等式化为x＋1≤0，解得x≤－1.
②当a＞0时，原不等式化为(x＋1)≥0，
解得x≥或x≤－1.
③当a＜0时，原不等式化为(x＋1)≤0.
当＞－1，即a＜－2时，解得－1≤x≤；
当＝－1，即a＝－2时，解得x＝－1满足题意；
当＜－1，即－2综上所述，当a＝0时，不等式的解集为{x|x≤－1}；
当a＞0时，不等式的解集为；
当－2＜a＜0时，不等式的解集为；
当a＝－2时，不等式的解集为{－1}；
当a＜－2时，不等式的解集为.
感悟升华　含有参数的不等式的求解，往往需要比较(相应方程)根的大小，对参数进行分类讨论：
(1)若二次项系数为常数，可先考虑分解因式，再对参数进行讨论；若不易分解因式，则可对判别式进行分类讨论；
(2)若二次项系数为参数，则应先考虑二次项系数是否为零，然后再讨论二次项系数不为零的情形，以便确定解集的形式；
(3)其次对相应方程的根进行讨论，比较大小，以便正确写出解集.
【训练2】 (1)(2019·天津卷)设x∈R，使不等式3x2＋x－2<0成立的x的取值范围为________.
(2)已知不等式x2－2x－3＜0的解集为A，不等式x2＋x－6<0的解集为B，不等式x2＋ax＋b＜0的解集为A∩B，则a＋b＝(　　)
A.－3 B.1
C.－1 D.3
答案　(1)　(2)A
解析　(1)3x2＋x－2<0变形为(x＋1)(3x－2)<0，解得－1(2)由题意得A＝{x|－1＜x＜3}，B＝{x|－3＜x＜2}，所以A∩B＝{x|－1＜x＜2}，由题意知－1，2为方程x2＋ax＋b＝0的两根，由根与系数的关系可知a＝－1，b＝－2，则a＋b＝－3.
考点三　一元二次不等式的恒成立问题
角度1　在R上恒成立
【例3－1】 若一元二次不等式2kx2＋kx－＜0对一切实数x都成立，则k的取值范围为(　　)
A.(－3，0] B.[－3，0) C.[－3，0] D.(－3，0)
答案　D
解析　一元二次不等式2kx2＋kx－＜0对一切实数x都成立，∴k≠0，
则必有
解之得－3＜k＜0.
角度2　在给定区间上恒成立
【例3－2】 设函数f(x)＝mx2－mx－1(m≠0)，若对于x∈[1，3]，f(x)＜－m＋5恒成立，则m的取值范围是________.
答案　
解析　要使f(x)＜－m＋5在[1，3]上恒成立，
则mx2－mx＋m－6＜0，
即m＋m－6＜0在x∈[1，3]上恒成立.
有以下两种方法：
法一　令g(x)＝m＋m－6，x∈[1，3].
当m＞0时，g(x)在[1，3]上是增函数，
所以g(x)max＝g(3)＝7m－6＜0.
所以m＜，则0＜m＜.
当m＜0时，g(x)在[1，3]上是减函数，
所以g(x)max＝g(1)＝m－6＜0.
所以m＜6，所以m＜0.
综上所述，m的取值范围是.
法二　因为x2－x＋1＝＋＞0，
又因为m(x2－x＋1)－6＜0，所以m＜.
因为函数y＝＝在[1，3]上的最小值为，所以只需m＜即可.
因为m≠0，所以m的取值范围是
.
角度3　给定参数范围的恒成立问题
【例3－3】 已知a∈[－1，1]时，不等式x2＋(a－4)x＋4－2a＞0恒成立，则x的取值范围为(　　)
A.(－∞，2)∪(3，＋∞) B.(－∞，1)∪(2，＋∞)
C.(－∞，1)∪(3，＋∞) D.(1，3)
答案　C
解析　把不等式的左端看成关于a的一次函数，记f(a)＝(x－2)a＋x2－4x＋4，
则由f(a)＞0对于任意的a∈[－1，1]恒成立，
所以f(－1)＝x2－5x＋6＞0，
且f(1)＝x2－3x＋2＞0即可，解不等式组
得x＜1或x＞3.
感悟升华　恒成立问题求解思路
(1)一元二次不等式在R上恒成立确定参数的范围时，结合一元二次方程，利用判别式来求解.
(2)一元二次不等式f(x)≥0在x∈[a，b]上恒成立确定参数范围时，要根据函数的单调性求其最小值，让最小值大于等于0，从而求参数的范围.
(3)一元二次不等式对于参数m∈[a，b]恒成立确定x的范围，要注意变换主元，一般地，知道谁的范围就选谁当主元，求谁的范围谁就是参数.
【训练3】 (1)若不等式x2－2x＋5≥a2－3a对任意实数x恒成立，则实数a的取值范围是(　　)
A.[－1，4] B.(－∞，－2]∪[5，＋∞)
C.(－∞，－1]∪[4，＋∞) D.[－2，5]
(2)已知函数f(x)＝x2＋mx－1，若对于任意x∈[m，m＋1]，都有f(x)＜0成立，则实数m的取值范围是________.
(3)若不等式x2＋(a－6)x＋9－3a>0在|a|≤1时恒成立，则x的取值范围是________.
答案　(1)A　(2)　(3)(－∞，2)∪(4，＋∞)
解析　(1)由于x2－2x＋5＝(x－1)2＋4的最小值为4，所以x2－2x＋5≥a2－3a对任意实数x恒成立，只需a2－3a≤4，解得－1≤a≤4.
(2)二次函数f(x)对于任意x∈[m，m＋1]，
都有f(x)＜0成立，
则
解得－＜m＜0.
(3)将原不等式整理成关于a的不等式(x－3)a＋x2－6x＋9>0.
令f(a)＝(x－3)a＋x2－6x＋9.
因为f(a)>0在|a|≤1时恒成立，所以
①若x＝3，则f(a)＝0，不符合题意，应舍去.
②若x≠3，则由一次函数的单调性，可得
即解得x<2或x>4.
故x的取值范围是(－∞，2)∪(4，＋∞).
基础巩固题组
一、选择题
1.若f(x)＝3x2－x＋1，g(x)＝2x2＋x－1，则f(x)，g(x)的大小关系是(　　)
A.f(x)＝g(x) B.f(x)＞g(x)
C.f(x)＜g(x) D.随x的值变化而变化
答案　B
解析　f(x)－g(x)＝x2－2x＋2＝(x－1)2＋1＞0 f(x)＞g(x).
2.已知下列四个条件：①b＞0＞a，②0＞a＞b，③a＞0＞b，④a＞b＞0，能推出＜成立的有(　　)
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
答案　C
解析　运用倒数性质，由a＞b，ab＞0可得＜，②、④正确.又正数大于负数，①正确，③错误，故选C.
3.已知a，b>0，且P＝，Q＝，则P，Q的大小关系是(　　)
A.P≥Q B.P>Q C.P≤Q D.P答案　C
解析　因为a，b>0，所以P2－Q2＝－＝－≤0，当且仅当a＝b时取等号.故选C.
4.若集合A＝{x|ax2－ax＋1＜0}＝ ，则实数a的取值范围是(　　)
A.{a|0＜a＜4} B.{a|0≤a＜4}
C.{a|0＜a≤4} D.{a|0≤a≤4}
答案　D
解析　由题意知a＝0时，满足条件.
a≠0时，由得0＜a≤4，所以0≤a≤4.
5.已知函数f(x)＝－x2＋ax＋b2－b＋1，对任意实数x都有f(1－x)＝f(1＋x)成立，若当x∈[－1，1]时，f(x)＞0恒成立，则b的取值范围是(　　)
A.(－1，0) B.(2，＋∞)
C.(－∞，－1)∪(2，＋∞) D.不能确定
答案　C
解析　由f(1－x)＝f(1＋x)知f(x)的图象关于直线
x＝1对称，即＝1，解得a＝2.
又因为f(x)开口向下，
所以当x∈[－1，1]时，f(x)为增函数，
所以f(x)min＝f(－1)＝－1－2＋b2－b＋1＝b2－b－2，
f(x)＞0恒成立，即b2－b－2＞0恒成立，
解得b＜－1或b＞2.
6.若实数a，b，c满足对任意实数x，y有3x＋4y－5≤ax＋by＋c≤3x＋4y＋5，则(　　)
A.a＋b－c的最小值为2
B.a－b＋c的最小值为－4
C.a＋b－c的最大值为4
D.a－b＋c的最大值为6
答案　A
解析　由题意可得－5≤(a－3)x＋(b－4)y＋c≤5恒成立，所以a＝3，b＝4，－5≤c≤5，则2≤a＋b－c≤12，即a＋b－c的最小值是2，最大值是12，A正确，C错误；－6≤a－b＋c≤4，则a－b＋c的最小值是－6，最大值是4，B错误，D错误，故选A.
二、填空题
7.已知函数f(x)＝则不等式f(x)＞3的解集为________.
答案　{x|x＞1}
解析　由题意知或解得x＞1.故原不等式的解集为{x|x＞1}.
8.若关于x的不等式ax＞b的解集为，则关于x的不等式ax2＋bx－a＞0的解集为________.
答案　
解析　由已知ax＞b的解集为，可知a＜0，且＝，将不等式ax2＋bx－a＞0两边同除以a得x2＋x－＜0，即x2＋x－＜0，解得－1＜x＜，故不等式ax2＋bx－a＞0的解集为.
9.当x＞0时，若不等式x2＋ax＋1≥0恒成立，则a的最小值为________.
答案　－2
解析　当Δ＝a2－4≤0，即－2≤a≤2时，不等式x2＋ax＋1≥0对任意x＞0恒成立，当Δ＝a2－4＞0，则需解得a＞2，所以使不等式x2＋ax＋1≥0对任意x＞0恒成立的实数a的最小值是－2.
10.下面四个条件中，使a>b成立的充分而不必要的条件是________.
①a>b＋1；②a>b－1；③a2>b2；④a3>b3
答案　①
解析　①中，若a>b＋1，则必有a>b，反之，当a＝2，b＝1时，满足a>b，但不能推出a>b＋1，故a>b＋1是a>b成立的充分而不必要条件；②中，当a＝b＝1时，满足a>b－1，反之，由a>b－1不能推出a>b；③中，当a＝－2，b＝1时，满足a2>b2，但a>b不成立；④中，a>b是a3>b3的充要条件，综上所述答案为①.
三、解答题
11.已知f(x)＝－3x2＋a(6－a)x＋6.
(1)解关于a的不等式f(1)＞0；
(2)若不等式f(x)＞b的解集为(－1，3)，求实数a，b的值.
解　(1)由题意知f(1)＝－3＋a(6－a)＋6＝－a2＋6a＋3＞0，即a2－6a－3＜0，解得3－2＜a＜3＋2.
所以不等式的解集为{a|3－2＜a＜3＋2}.
(2)∵f(x)＞b的解集为(－1，3)，
∴方程－3x2＋a(6－a)x＋6－b＝0的两根为－1，3，
∴解得
即a的值为3±，b的值为－3.
12.已知－1解　设z＝2x－3y＝m(x＋y)＋n(x－y)，
即2x－3y＝(m＋n)x＋(m－n)y，
所以所以
由－1由2①＋②得3<－(x＋y)＋(x－y)<8，即3能力提升题组
13.(2021·浙江十校联盟联考)已知a>b>0，给出下列命题：
①若－＝1，则a－b<1；
②若a3－b3＝1，则a－b<1；
③若ea－eb＝1，则a－b<1；
④若ln a－ln b＝1，则a－b<1.
其中真命题的个数是(　　)
A.1 B.2 C.3 D.4
答案　B
解析　对于①，当a>b>0，－＝1时，a－b＝(＋)(－)＝(1＋＋)(1＋－)＝1＋2>1，①错误；对于②，由a3－b3＝(a－b)(a2＋ab＋b2)＝1得a－b＝.又因为a>b>0，a3－b3＝1，所以a3＝1＋b3>1，即a>1，所以a2＋ab＋b2>1，a－b＝<1，②正确；对于③，由ea－eb＝1得ea－b＝＝＝1＋<2，所以a－b时，a－b＝(e－1)b>1，④错误.综上所述，真命题的个数为2，故选B.
14.(2020·湖州期末质检)已知实数a，b，c满足a2＋b2＋2c2＝1，则2ab＋c的最小值是(　　)
A.－ B.－ C.－1 D.－
答案　B
解析　由题意得1－2c2＝a2＋b2≥－2ab，所以2ab＋c≥2c2＋c－1＝2－≥－，当且仅当c＝－，ab＝－时等号成立，所以2ab＋c的最小值为－，故选B.
15.若关于x的不等式a≤x2－3x＋4≤b的解集恰好是[a，b]，则a＝________，b＝________.
答案　0　4
解析　令f(x)＝x2－3x＋4＝(x－2)2＋1，其图象对称轴为x＝2.①若a≥2，则a，b是方程f(x)＝x的两个实根，解得a＝，b＝4，矛盾；
②若b≤2，则f(a)＝b，f(b)＝a，两式相减得a＋b＝，代入f(a)＝b可得a＝b＝，矛盾；
③若a<2解得b＝4，由解得a＝0.
16.若实数x，y满足x2＋4y2＋4xy＋4x2y2＝32，则x＋2y的最小值为________，(x＋2y)＋2xy的最大值为________.
答案　－4　16
解析　因为x2＋4y2＋4xy＋4x2y2＝32，所以(x＋2y)2＋4x2y2＝32，则(x＋2y)2≤32，－4≤x＋2y≤4，即x＋2y的最小值为－4.由(x＋2y)2＋4x2y2＝32，不妨设则(x＋2y)＋2xy＝4(sin θ＋cos θ)＝16sin(θ＋φ)，其中tan φ＝，所以当sin(θ＋φ)＝1时，(x＋2y)＋2xy取得最大值16.
17.解关于x的不等式ax2－(2a＋1)x＋2＜0(a∈R).
解　原不等式可化为(ax－1)(x－2)＜0.
(1)当a＞0时，原不等式可以化为a(x－2)＜0，根据不等式的性质，这个不等式等价于(x－2)·＜0.因为方程(x－2)＝0的两个根分别是2，，所以当0＜a＜时，2＜，则原不等式的解集是；当a＝时，原不等式的解集是 ；
当a＞时，＜2，则原不等式的解集是.
(2)当a＝0时，原不等式为－(x－2)＜0，解得x＞2，
即原不等式的解集是{x|x＞2}.
(3)当a＜0时，原不等式可以化为a(x－2)＜0，
根据不等式的性质，这个不等式等价于(x－2)·＞0，
由于＜2，故原不等式的解集是.
综上所述，当a＜0时，不等式的解集为；
当a＝0时，不等式的解集为{x|x＞2}；当0＜a＜时，不等式的解集为；当a＝时，不等式的解集为 ；当a＞时，不等式的解集为.
18.(2016·浙江卷)设函数f(x)＝x3＋，x∈[0，1]，证明：
(1)f(x)≥1－x＋x2；
(2)证明　(1)因为1－x＋x2－x3＝＝，
由于x∈[0，1]，有≤，
即1－x＋x2－x3≤，
所以f(x)≥1－x＋x2.
(2)由0≤x≤1得x3≤x，故f(x)＝x3＋≤x＋＝x＋－＋＝＋≤，
所以f(x)≤.
由(1)得f(x)≥1－x＋x2＝＋≥，
又因为f＝>，所以f(x)>.
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