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第2节　二元一次不等式(组)与简单的线性规划问题
知 识 梳 理
1.二元一次不等式(组)表示的平面区域
(1)对于直线Ax＋By＋C＝0同一侧的所有点(x，y)，使得Ax＋By＋C的值符号相同，也就是位于同一半平面内的点，其坐标适合同一个不等式Ax＋By＋C>0；而位于另一个半平面内的点，其坐标适合另一个不等式Ax＋By＋C<0.
(2)由几个不等式组成的不等式组所表示的平面区域，是各个不等式所表示的平面区域的公共部分.
2.线性规划的有关概念
名称 意义
线性约束条件 由x，y的一次不等式(或方程)组成的不等式组，是对x，y的约束条件
目标函数 关于x，y的解析式
线性目标函数 关于x，y的一次解析式
可行解 满足线性约束条件的解(x，y)
可行域 所有可行解组成的集合
最优解 使目标函数达到最大值或最小值的可行解
线性规划问题 求线性目标函数在线性约束条件下的最大值或最小值的问题
1.画出平面区域.避免失误的重要方法就是首先使二元一次不等式标准化.
2.在通过求直线的截距的最值间接求出z的最值时，要注意：当b>0时，截距取最大值时，z也取最大值；截距取最小值时，z也取最小值；当b<0时，截距取最大值时，z取最小值；截距取最小值时，z取最大值.
诊 断 自 测
1.判断下列说法的正误.
(1)不等式Ax＋By＋C＞0表示的平面区域一定在直线Ax＋By＋C＝0的上方.(　　)
(2)线性目标函数的最优解可能是不唯一的.(　　)
(3)线性目标函数取得最值的点一定在可行域的顶点或边界上.(　　)
(4)在目标函数z＝ax＋by(b≠0)中，z的几何意义是直线ax＋by－z＝0在y轴上的截距.(　　)
答案　(1)×　(2)√　(3)√　(4)×
解析　(1)不等式x－y＋1>0表示的平面区域在直线x－y＋1＝0的下方.
(4)直线ax＋by－z＝0在y轴上的截距是.
2.下列各点中，不在x＋y－1≤0表示的平面区域内的是(　　)
A.(0，0) B.(－1，1)
C.(－1，3) D.(2，－3)
答案　C
解析　把各点的坐标代入可得(－1，3)不适合，故选C.
3.(必修5P86T3改编)不等式组表示的平面区域是(　　)
答案　B
解析　x－3y＋6≥0表示直线x－3y＋6＝0及其右下方部分，x－y＋2＜0表示直线x－y＋2＝0左上方部分，故选B.
4.(2020·全国Ⅰ卷)若x，y满足约束条件则z＝x＋7y的最大值为________.
答案　1
解析　
画出可行域如图阴影部分所示.
由z＝x＋7y得y＝－x＋z.
平移直线l0：y＝－x，当直线y＝－x＋z过点A时z最大.
由得
即A(1，0)，
∴zmax＝1＋7×0＝1.
5.(2019·北京卷)若x，y满足则y－x的最小值为________，最大值为________.
答案　－3　1
解析　
作出可行域，如图阴影部分所示.
设z＝y－x，则y＝x＋z.
z的几何意义是直线y＝x＋z的纵截距，通过图象可知，当直线y＝x＋z经过点A(2，3)时，z取得最大值，此时zmax＝3－2＝1.当经过点B(2，－1)时，z取得最小值，此时zmin＝－1－2＝－3.
6.实数x，y满足若z＝3x＋y的最小值为1，则正实数k＝________.
答案　
解析　因为k>0，则题中的不等式组表示的平面区域为以(1，0)，，为顶点的三角形区域(包含边界)，易得当目标函数z＝3x＋y经过平面区域内点时，z＝3x＋y取得最小值zmin＝＋＝1，解得k＝.
考点一　二元一次不等式(组)表示的平面区域
【例1】 (1)(一题多解)不等式(x－2y＋1)(x＋y－3)≤0在直角坐标平面内表示的区域(用阴影部分表示)，应是下列图形中的(　　)
(2)设不等式组所表示的区域面积为S(m∈R).若S≤1，则(　　)
A.m≤－2 B.－2≤m≤0
C.0答案　(1)C　(2)A
解析　(1)法一　不等式(x－2y＋1)(x＋y－3)≤0等价于或画出对应的平面区域，可知C正确.
法二　结合图形，由于点(0，0)和(0，4)都适合原不等式，所以点(0，0)和(0，4)必在区域内，故选C.
(2)如图，当x＋y＝1与y＝mx的交点为(－1，2)时，阴影部分的面积为1，此时m＝－2，若S≤1，则m≤－2，故选A.
感悟升华　二元一次不等式(组)表示平面区域的判断方法：直线定界，测试点定域，注意不等式中不等号有无等号，无等号时直线画成虚线，有等号时直线画成实线.测试点可以选一个，也可以选多个，若直线不过原点，则测试点常选取原点.
【训练1】 若不等式组表示的平面区域为三角形，且其面积等于，则m的值为(　　)
A.－3 B.1 C. D.3
答案　B
解析　如图，要使不等式组表示的平面区域为三角形，则－2m＜2，则m＞－1，
由解得即A(1－m，1＋m).
由解得
即B，所围成的区域为△ABC，则S△ABC＝S△ADC－S△BDC＝(2＋2m)(1＋m)－(2＋2m)·(1＋m)＝(1＋m)2＝，解得m＝－3(舍去)或m＝1.故选B.
考点二　线性规划相关问题
角度1　求线性目标函数的最值
【例2－1】 (2020·浙江卷)若实数x，y满足约束条件则z＝x＋2y的取值范围是(　　)
A.(－∞，4] B.[4，＋∞)
C.[5，＋∞) D.(－∞，＋∞)
答案　B
解析　如图，l1：x－3y＋1＝0，l2：x＋y－3＝0.
不等式组 表示的平面区域为阴影部分.
设初始直线为l：y＝－x，直线l通过向上平移经过可行域内的第一个点为l1与l2的交点P(2，1)，因此z的最小值zmin＝2＋2×1＝4，所以z≥4.故选B.
角度2　求非线性目标函数的最值
【例2－2】 (1)已知实数x，y满足不等式组则(x－1)2＋(y＋2)2的取值范围是(　　)
A.[1，5] B.[，5] C.[5，25] D.[5，26]
(2)(2020·湖州期末质检)实数x，y满足约束条件则目标函数z＝(x≠0)的取值范围是(　　)
A.(－2，2) B.(－∞，－2)∪(2，＋∞)
C.(－∞，－2]∪[2，＋∞) D.[－2，2]
答案　(1)D　(2)C
解析　(1)画出不等式组表示的平面区域，如图中阴影部分(含边界)所示.因为(x－1)2＋(y＋2)2表示平面区域内的点到点P(1，－2)的距离的平方，直线PO：
y＝－2x与直线x－2y＝0垂直，由图知，点P(1，－2)到直线x－2y＝0的距离的平方为所求最小值，即为＝5，与点A(0，3)的距离的平方为所求最大值，即为(0－1)2＋[3－(－2)]2＝26，所以所求取值范围为[5，26]，故选D.
(2)在平面直角坐标系内画出不等式组表示的平面区域为以(0，0)，(－1，1)，(1，1)为顶点的三角形区域(含边界)，目标函数z＝(x≠0)表示平面区域内的点与点(0，－1)连线的斜率.易知在第一象限内，(0，－1)与点(1，1)连线的斜率取得最小值2；在第二象限内，(0，－1)与点(－1，1)连线的斜率取得最大值－2，所以z＝(x≠0)的取值范围为(－∞，－2]∪[2，＋∞)，故选C.
角度3　求参数的值或范围
【例2－3】 (1)已知x，y满足约束条件若z＝2x＋y的最大值为8，则实数a的值为________.
(2)当实数x，y满足时，1≤ax＋y≤4恒成立，则实数a的取值范围是________.
答案　(1)1　(2)
解析　(1)将目标函数变形为y＝－2x＋z，当z取最大值时，直线的纵截距最大，易知直线x＋y－5＝0与2x－y－1＝0的交点(2，3)不能使得目标函数取得最大值8.因为直线ax－2y＋1＝0恒过定点，所以要使目标函数能取到最大值，需－1<<，即－2(2)作出可行域如图，
设z＝ax＋y，则y＝－ax＋z，则要对斜率－a的符号分类讨论，若－a>0，从图中可看出zmin<0，不符合题意；若a＝0时，zmin＝0<1，不符合题意；∴a>0.最优解在顶点处取得，∴代入区域的顶点(1，0)，，(2，1)，
∴∴1≤a≤.
感悟升华　线性规划两类问题的解决方法
(1)求目标函数的最值：画出可行域后，要根据目标函数的几何意义求解，常见的目标函数有：①截距型：形如z＝ax＋by；②距离型：形如z＝；③斜率型：形如z＝.
(2)求参数的值或范围：参数的位置可能在目标函数中，也可能在约束条件中.求解步骤为：①注意对参数取值的讨论，将各种情况下的可行域画出来；②在符合题意的可行域里，寻求最优解.
【训练2】 (1)已知实数x，y满足则z＝x2＋y2的最大值为(　　)
A.2 B.2 C.4 D.8
(2)已知实数x，y满足约束条件若z＝tx＋y的最小值为1，则实数t的取值范围是(　　)
A.t≤－2 B.－2≤t≤1
C.t≥1 D.t≤－2或t≥1
(3)若实数x，y满足x2＋y2≤1，则|x＋y－1|＋2x＋3y＋1的最大值是(　　)
A.5 B. C.4 D.
答案　(1)D　(2)B　(3)A
解析　(1)在平面直角坐标系内画出题中的不等式组表示的平面区域，其是以(2，2)，(1，1)，为顶点的三角形及其内部，z＝x2＋y2表示平面区域内的点到原点的距离的平方，由图易得平面区域内的点(2，2)到原点的距离最大，则zmax＝22＋22＝8.故选D.
(2)画出满足约束条件的平面区域，如图中阴影部分(含边界)所示，由图易知只有平移直线tx＋y＝0经过直线2x－y＋1＝0与直线x＋y－1＝0的交点C(0，1)时，目标函数z＝tx＋y的值为1，则目标函数z＝tx＋y要取得最小值1，直线z＝tx＋y必过点C(0，1).当t≥0时，则－t≥－1，即0≤t≤1；当t＜0时，则－t≤2，即－2≤t<0.综上可知，实数t的取值范围是－2≤t≤1，故选B.
(3)当x＋y>1时，z＝|x＋y－1|＋2x＋3y＋1＝3x＋4y在点处有最大值5，当x＋y≤1时，z＝|x＋y－1|＋2x＋3y＋1＝x＋2y＋2在点(0，1)处有最大值4，所以|x＋y－1|＋2x＋3y＋1的最大值是5，故选A.
基础巩固题组
一、选择题
1.(2020·杭州质检)若实数x，y满足不等式组则(　　)
A.y≥1 B.x≥2
C.x＋2y≥0 D.2x－y＋1≥0
答案　D
解析　在平面直角
坐标系内画出不等式组表示的平面区域为图中阴影部分(含边界)所示，画出直线2x－y＋1＝0.由图易得平面区域内的点都在直线2x－y＋1＝0的右下方，即不等式2x－y＋1≥0恒成立，故选D.
2.(2020·浙江“超级全能生”联考)在平面直角坐标系中，不等式组(m为常数)所围成的区域面积是8，则m等于(　　)
A.－3 B.5 C.－5 D.3
答案　D
解析　易知m＞－1，可行域为点(－1，0)，(m，0)，(m，m＋1)围成的等腰直角三角形区域(包含边界)，所以(m＋1)2＝8，解得m＝3或m＝－5，m＝－5不符合题意，所以m＝3，故选D.
3.已知x，y满足约束条件若z＝y－ax取得最大值的最优解不唯一，则实数a的值为(　　)
A.或－1 B.2或
C.2或1 D.2或－1
答案　D
解析　如图，由y＝ax＋z知z的几何意义是直线在y轴上的截距，故当a＞0时，要使z＝y－ax取得最大值的最优解不唯一，则a＝2；当a＜0时，要使z＝y－ax取得最大值的最优解不唯一，则a＝－1.
4.(2020·丽水测试)在平面直角坐标系xOy中，M为不等式组所表示的平面区域上一动点，则直线OM斜率的最小值为(　　)
A.2 B.1 C.－ D.－
答案　C
解析　在平面直角坐标系内画出题中的不等式组所表示的平面区域，其是以(1，0)，(3，－1)，(2，2)为顶点的三角形及其内部，由图易得平面区域内的点(3，－1)与原点连线的斜率最小，斜率的最小值为＝－，故选C.
5.已知x，y满足约束条件若目标函数z＝y－mx(m>0)的最大值为1，则m的值是(　　)
A.－ B.1 C.2 D.5
答案　B
解析　作出可行域，如图所示的阴影部分.
化目标函数z＝y－mx(m＞0)为y＝mx＋z，由图可知，当直线y＝mx＋z过A点时，直线在y轴的截距最大，由解得即A(1，2)，∴2－m＝1，解得m＝1.故选B.
6.若函数y＝2x图象上存在点(x，y)满足约束条件则实数m的最大值为(　　)
A. B.1 C. D.2
答案　B
解析　在同一直角坐标系中作出函数y＝2x的图象及所表示的平面区域，如图阴影部分所示.
由图可知，当m≤1时，
函数y＝2x的图象上存在点(x，y)满足约束条件，
故m的最大值为1.
7.已知O是坐标原点，点M的坐标为(2，1)，若点N(x，y)为平面区域上的一个动点，则·的最大值是(　　)
A.1 B.2 C.3 D.4
答案　C
解析　依题意得不等式组对应的平面区域如图中阴影部分所示，其中A，
B，C(1，1).
设z＝·＝2x＋y，当目标函数z＝2x＋y过点C(1，1)时，z＝2x＋y取得最大值3.
8.(2020·名校仿真训练四)若点M(x，y)满足
则x＋y的取值集合是(　　)
A.[1，4] B.[1，2＋]
C.[2＋，4] D.[1，3]
答案　B
解析　点M(x，y)满足的可行域为图中曲线，令z＝x＋y，变形y＝－x＋z.平移直线y＝－x，当直线经过点B时截距最大，此时z最大，最大值为2＋，直线经过D(1，0)时，z取得最小值，最小值为1，x＋y的取值集合是[1，2＋]，故选B.
二、填空题
9.若点(－2，t)在直线2x－3y＋6＝0的上方，则t的取值范围是________.
答案　
解析　因为直线2x－3y＋6＝0的上方区域可以用不等式2x－3y＋6<0表示，所以由点(－2，t)在直线2x－3y＋6＝0的上方得－4－3t＋6<0，解得t>.
10.已知实数x，y满足设b＝x－2y，若b的最小值为－2，则b的最大值为________.
答案　10
解析　作出不等式组满足的可行域如图阴影部分所示.作出直线l0：x－2y＝0，
∵y＝－，
∴当l0平移至A点处时b有最小值，bmin＝－a，
又bmin＝－2，
∴a＝2，当l0平移至B(a，－2a)时，b有最大值bmax＝a－2×(－2a)＝5a＝10.
11.(2020·浙江名师预测卷四)实数x，y满足不等式组动点(x，y)对应的区域面积是________，z＝的最小值是________.
答案　　
解析　画出不等式组表示的平面区域易计算得区域面积等于；z＝＝2＋，其中表示点(－1，3)与区域内的任意点(x，y)连线的斜率，当x＝1，y＝2时，斜率取得最小值－，则zmin＝.
12.若实数x，y满足约束条件则z＝|x－2y|最大值为________.
答案　4
解析　由题意可得，该约束条件满足的平面区域如图所示，是以(0，1)，(2，－1)，(－2，－1)为端点的三角形及其内部区域.|x－2y|＝表示该平面区域内的点到直线x－2y＝0距离的倍.由线性规划的特点可知，该目标函数在点(2，－1)处取得最大值，其最大值为|x－2y|＝＝4.
能力提升题组
13.已知实数x，y满足则xy的最大值是(　　)
A. B. C.4 D.
答案　A
解析　画出不等式组表示的平面区域如图中阴影部分(含边界)所示，设直线x＋2y－6＝0与曲线y＝相切于第一象限(z＞0)，切点为(x0，y0).由y＝，得y′＝－，所以解得所以xy的最大值为，故选A.
14.已知实数x，y满足条件则z＝的最大值为________，z取得最大值的最优解为________.
答案　1　(3，0)
解析　不等式组表示的可行域为如图所示的阴影部分，当x＝0，y＝2，此时z＝＝－1，当x≠0时，令u＝∈[0，＋∞)，则z＝＝＝＝－1≤－1＝1，即z的最大值为1，此时u＝＝0，故最优解为(3，0).
15.若实数x，y满足不等式组则2|x＋1|＋y的最大值是(　　)
A. B. C.4 D.1
答案　B
解析　设z＝2|x＋1|＋y＝在平面直角坐标系中画出不等式组表示的平面区域如图中阴影部分所示，是以A(－2，0)，B(0，－1)，C为顶点的三角形区域(含边界)，z＝－2x＋y－2(x＜－1)在点A(－2，0)处取得最大值2；z＝2x＋y＋2(x≥－1)在点C处取得最大值，故z＝2|x＋1|＋y的最大值是.
16.(2021·义乌联考)已知点P(x，y)满足(x－cos θ)2＋(y－sin θ)2＝1，则满足条件的P所形成的平面区域的面积为________，z＝|x－1|＋|y|的最大值为________.
答案　4π　1＋2
解析　由题意知动点P的轨迹是以(cos θ，sin θ)为圆心，1为半径的圆，其中圆心(cos θ，sin θ)在单位圆上，如图1，动点P所形成的平面区域是以O为圆心，2为半径的圆，所以其面积S＝4π.如图2，易知点P在左半圆x2＋y2＝4(x<0)上时，z＝|x－1|＋|y|最大，由圆的对称性，不妨设点P(x，y)，x<0，y<0，所以z＝1－x－y，当直线与圆相切时，z最大，此时＝2，解得z＝1±2，所以zmax＝1＋2.
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