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第2讲 排列及排列数
【考点梳理】
知识点一 排列的定义
一般地，从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素，并按照一定的顺序排成一列，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个排列．
知识点二 排列相同的条件
两个排列相同的充要条件：
(1)两个排列的元素完全相同．
(2)元素的排列顺序也相同．
知识点三 排列数的定义
从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的所有不同排列的个数，叫做从n个不同元素中取出m个元素的排列数，用符号An (m)表示．
知识点四 排列数公式及全排列
1．排列数公式的两种形式
(1)An (m)＝n(n－1)(n－2)…(n－m＋1)，其中m，n∈N*，并且m≤n.
(2)An (m)＝()n－m！ (n！).
2．全排列：把n个不同的元素全部取出的一个排列，叫做n个元素的一个全排列，全排列数为An (n)＝n！(叫做n的阶乘)．规定：0！＝1.
【题型归纳】
考点一 排列定义
【例1】（2021·全国·高二课时练习）下列问题属于排列问题的是（ ）
①从10个人中选2人分别去种树和扫地；
②从10个人中选2人去扫地；
③从班上30名男生中选出5人组成一个篮球队；
④从数字5，6，7，8中任取两个不同的数作幂运算.
A．①④ B．①②
C．④ D．①③④
【考点精练】
1．（2021·全国·高二课时练习）已知下列问题：
①从甲 乙 丙三名同学中选出两名分别参加数学 物理兴趣小组；
②从甲 乙 丙三名同学中选出两人参加一项活动；
③从a，b，c，d中选出3个字母；
④从1，2，3，4，5这五个数字中取出2个数字组成一个两位数.
其中是排列问题的有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
2．（2021·全国·高二课时练习）下列问题是排列问题的是（ ）
①从2，3，5，7，9中任取两数分别作对数的底数和真数，有多少个不同的对数值？
②从1到10十个自然数中任取两个数组成点的坐标，可得多少个不同的点的坐标？
③某班50名同学，每两人握手一次，共需握手多少次？
A．①②③ B．①② C．①③ D．②③
3．（2021·浙江丽水·高二课时练习）已知下列问题:
①从甲、乙、丙三名同学中选出两名分别参加数学和物理学习小组;
②从甲、乙、丙三名同学中选出两名同学参加一项活动;
③从a，b，c，d四个字母中取出2个字母;
④从1，2，3，4四个数字中取出2个数字组成一个两位数.
其中是排列问题的有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
考点二 排列数、方程及不等式
【例2】（2021·全国·高二课时练习）（1）用排列数表示 (n∈N*且n<55)；
（2）计算；
（3）求证：.
（4）解方程：；
（5）解不等式：.
【考点精练】
1．（2021·全国·高二课时练习）（ ）
A． B． C． D．
2．（2021·全国·高二课时练习）设m∈N*，且m<15，则=（ ）
A．(20-m)(21-m)(22-m)(23-m)(24-m)(25-m)
B．(20-m)(19-m)(18-m)(17-m)(16-m)
C．(20-m)(19-m)(18-m)(17-m)(16-m)(15-m)
D．(19-m)(18-m)(17-m)(16-m)(15-m)
3．（2021·全国·高二课时练习）＝________．
4．（2021·全国·高二课时练习）计算：______．
5．（2021·全国·高二课时练习）（1）解不等式：；
（2）解方程：
（3）求证；
（4）求证
考点三 排列运用之排队
【例3】（2021·全国·高二单元测试）有3名男生、4名女生，在下列不同条件下，求不同的排列方法总数.
（1）选5人排成一排；
（2）排成前后两排，前排3人，后排4人；
（3）全体排成一排，女生必须站在一起；
（4）全体排成一排，男生互不相邻；
（5）(一题多解)全体排成一排，其中甲不站最左边，也不站最右边；
（6）(一题多解)全体排成一排，其中甲不站最左边，乙不站最右边.
【考点精练】
1．（2021·全国·高二课时练习）7名师生站成一排照相留念，其中老师1名，男同学4名，女同学2名，在下列情况下，各有多少种不同的站法？
（1）2名女同学必须相邻而站；
（2）4名男同学互不相邻；
（3）若4名男同学身高都不相等，按从高到低或从低到高的顺序站；
（4）老师不站正中间，女同学不站两端.
2（2021·全国·高二单元测试）8人围圆桌开会，其中正、副组长各1人，记录员1人.
（1）若正、副组长相邻而坐，有多少种坐法？
（2）若记录员坐于正、副组长之间（三者相邻），有多少种坐法？
3．（2021·全国·高二单元测试）一场小型晚会有个唱歌节目和个相声节目，要求排出一个节目单．
（1）个相声节目要排在一起，有多少种排法？
（2）第一个节目和最后一个节目都是唱歌节目，有多少种排法？
（3）前个节目中要有相声节目，有多少种排法？
考点四 排列运用之数字
【例4-1】（2021·浙江·效实中学高二期中）由0，1，2，3，4这五个数字．
（1）能组成多少个无重复数字的五位数？
（2）能组成多少个无重复数字，且数字1与3相邻的五位数？
（3）组成无重复数字的五位数中比21034大的数有多少个？
【例4-2】（2021·全国·高二课时练习）用，，，，，，组成无重复数字七位数，满足下述条件的七位数各有多少个？
（1）偶数不相邻；
（2）偶数一定在奇数位上；
（3）和之间恰有一个奇数，没有偶数；
（4）三个偶数从左到右按从小到大的顺序排列.
【考点精练】
1．（2021·重庆巴蜀中学高二月考）用0 1 2 3 4这五个数字组数.(本题最后结果必须写成数字)
（1）可以组成多少个允许数字重复的三位数？
（2）可以组成多少个无重复数字的三位数？
（3）可以组成多少个无重复数字的三位偶数？
2．（2021·全国·高二课时练习）用0，1，2，3，4，5这六个数字可以组成多少个无重复数字的
（1）能被5整除的五位数；
（2）能被3整除的五位数；
（3）若所有的六位数按从小到大的顺序组成一个数列{an}，则240 135是第几项.
3．（2021·全国·高二课时练习）用0，1，2，3，4，5可组成多少个：
（1）没有重复数字的四位数？
（2）没有重复数字且被5整除的四位数？
（3）比2000大且没有重复数字的自然数
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