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第5讲 二项式定理
【考点梳理】
知识点一　二项式定理
(a＋b)n＝Can＋Can－1b＋Can－2b2＋…＋Can－kbk＋…＋Cbn(n∈N*)．
(1)这个公式叫做二项式定理．
(2)展开式：等号右边的多项式叫做(a＋b)n的二项展开式，展开式中一共有n＋1项．
(3)二项式系数：各项的系数C(k∈{0,1,2，…，n})叫做二项式系数．
知识点二　二项展开式的通项
(a＋b)n展开式的第k＋1项叫做二项展开式的通项，记作Tk＋1＝Can－kbk.
知识点三　二项式系数的性质
对称性 在(a＋b)n的展开式中，与首末两端“等距离”的两个二项式系数相等，即C＝C
增减性与最大值 增减性：当k<时，二项式系数是逐渐增大的； 当k>时，二项式系数是逐渐减小的． 最大值：当n为偶数时，中间一项的二项式系数最大； 当n为奇数时，中间两项的二项式系数，相等，且同时取得最大值
各二项 式系数 的和 (1)C＋C＋C＋…＋C＝2n； (2)C＋C＋C＋…＝C＋C＋C＋…＝2n－1
【题型归纳】
考点一 二项式展开式
【例1】（2021·全国·高二）1－2＋…＋(－2)n等于（ ）
A．1 B．－1 C．(－1)n D．3n
【考点精练】
1．（2021·全国·高二课时练习）等于（ ）
A．2n B．2n－1 C．3n D．1
2．（2021·全国·高二课时练习）写出的展开式．
3．（2021·全国·）求的展开式.
考点二 二项式特定项（二项）系数
【例2】（1）（2021·北京市第十三中学）在的展开式中，的系数为（ ）
A． B． C． D．
（2）（2021·云南大理）二项式的展开式中的系数是，则（ ）
A． B．1 C． D．
（3）（2021·福建宁德）对任意实数，有，则（ ）
A．6 B．7
C．8 D．10
（4）（2021·辽宁丹东·高三期中）若，则（ ）
A． B． C． D．
【考点精练】
1．（2021·广东龙岗）的展开式中，的系数为（ ）
A． B． C． D．
2．（2021·全国·高二单元测试）的展开式中的第7项为（ ）
A．3546 B．5437 C．4532 D．5376
3．（2021·上海·模拟预测）二项式的展开式中，其中是有理项的项数共有（ ）
A．4项 B．7项 C．5项 D．6项
4．（2021·全国·高二单元测试）的展开式中，项的系数是（ ）
A．56 B．－56 C．28 D．－28
考点三 系数最值
【例3】（2021·全国·高二专题练习）（多选）的展开式中系数最大的项是（ ）
A．第2项 B．第3项 C．第4项 D．第5项
【考点精练】
1．（2021·上海市建平中学）在的二项展开式中，系数最大的是第（ ）项
A．3 B．4 C．5 D．6
2（2021·江苏淮安·高二期中）（多选）二项式的展开式中，系数最大的项为（ ）.
A．第六项 B．第七项
C．第八项 D．第九项
3．（2021·全国·高二课时练习）在的展开式中，
（1）求系数的绝对值最大的项；
（2）求二项式系数最大的项；
（3）求系数最大的项；
（4）求系数最小的项．
考点四 三项式特定项系数
【例4】（2021·全国·高二课时练习）设，则等于（ ）
A．80 B． C． D．
【考点精练】
1．（2021·江西·景德镇一中高三月考（理））的展开式中，的系数为（ ）
A． B． C． D．
2．（2022·全国·）的展开式中，的系数是（ ）
A．120 B．－120 C．60 D．30
3．（2021·江苏金湖·）在的展开式中x的系数为（ ）
A．80 B．240 C．-80 D．160
考点五 多个二项式的系数
【例5】（2021·安徽省怀宁中学）的展开式中项的系数为（ ）
A．140 B． C． D．1120
【考点精练】
1．（2021·全国·高二课时练习）展开式中的系数为（ ）
A．15 B．20 C．30 D．35
2．（2021·山东任城·高二期中）在的展开式中，的系数为（ ）
A． B．80 C．160 D．240
3．（2021·全国·高二课时练习）设，则______.
考点六 （二项）系数和
【例6-1】（2021·辽宁·凤城市第一中学高三月考）在的二项展开式中，仅有第6项的二项式系数最大，则（ ）
A．8 B．9 C．10 D．11
【例6-2】（2021·全国·高二课时练习）在二项式(2x－3y)9的展开式中，求：
（1）二项式系数之和；
（2）各项系数之和；
（3）所有奇数项系数之和；
（4）系数绝对值的和.
【考点精练】
1．（2021·江西·横峰中学高二期中）已知的展开式中，二项式系数的和为，则等于（ ）
A． B． C． D．
2．（2021·全国·高二课时练习）若，则的值为（ ）
A．2 B．0 C．-2 D．-1
3．（2021·全国·高二课时练习）已知，若，则___________.
4．（2021·广东·广州市协和中学高二期中）已知，则________________.
5．（2021·全国·高二课时练习）已知(x2－2x－3)10＝a0＋a1(x－1)＋a2(x－1)2＋…＋a20(x－1)20.
（1）求a2的值；
（2）求a1＋a3＋a5＋…＋a19的值；
（3）求a0＋a2＋a4＋…＋a20的值．
考点七 整除及余数
【例7-1】（2021·全国·高二课时练习）已知2×1010＋a(0≤a<11)能被11整除，则实数a的值为（ ）
A．7 B．8 C．9 D．10
【例7-2】（2021·全国·高二课时练习）利用二项式定理计算，则其结果精确到0.01的近似值是（ ）
A．1.23 B．1.24 C．1.33 D．1.34
【考点精练】
1（2021·全国·高二课时练习）除以88的余数是（ ）
A．-1 B．1 C．-87 D．8
2．（2021·江苏常熟·高二期中）设，且，若能被13整除，则（ ）
A．0 B．1 C．11 D．12
3．（2021·安徽·高二期末（理））估算的结果，精确到0.01的近似值为（ ）
A．30.84 B．31.84 C．30.40 D．32.16
4．（2021·全国·高二课时练习）已知，求证：能被整除．
考点八 杨辉三角的应用
【例8-1】（2021·全国·高二课时练习）已知当时，展开式的二项式系数表示形式如下图，
判断图中与的值分别是（ ）
A．5，9 B．5，10 C．6，10 D．6，9
【例8-2】（2021·全国·高二课时练习）如图所示的三角形数阵中，从第3行开始，每一行除1以外，其他每一个数字是它上一行相邻的左右两个数字之和.已知这个三角形数阵开头几行如图所示，若在此数阵中存在某一行，满足该行中有三个相邻的数字之比为，则这一行是（ ）
A．第96行 B．第97行 C．第98行 D．第99行
【考点精练】
1．（2021·全国·高二课时练习）在杨辉三角中，除每行的两端数字外，每个数字都等于它左上角和右上角两个数字之和，杨辉三角开头几行如图所示.
（1）利用杨辉三角展开
（2）在杨辉三角中，哪一行会出现相邻的三个数字的比是？
2．（2021·全国·高二课时练习）在杨辉三角中，除1以外，其他每一个数值是它上面的两个数值之和，这个三角形数阵开头几行如图所示.已知n，r为正整数，且.求证：任何四个相邻的组合数，，，不存在，.
3．（2021·全国·高二课时练习）如图所示的数阵叫“莱布尼茨三角形”，它们是由正整数的倒数组成的，第n行有n个数且两端的数均为（），每个数是它下一行左右相邻两数的和，如：，，，…，则第n（）行第3个数字是______.
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