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第8讲 离散型随机变量的数字特征
【知识梳理】
知识点一　离散型随机变量的均值
1．离散型随机变量的均值的概念
一般地，若离散型随机变量X的分布列为
X x1 x2 … xi … xn
P p1 p2 … pi … pn
则称E(X)＝x1p1＋x2p2＋…＋xipi＋…＋xnpn＝为随机变量X的均值或数学期望．
2．离散型随机变量的均值的意义
均值是随机变量可能取值关于取值概率的加权平均数，它综合了随机变量的取值和取值的概率，反映了随机变量取值的平均水平．
3．离散型随机变量的均值的性质
若Y＝aX＋b，其中a，b均是常数(X是随机变量)，则Y也是随机变量，且有E(aX＋b)＝aE(X)＋b.
证明如下：如果Y＝aX＋b，其中a，b为常数，X是随机变量，那么Y也是随机变量．因此P(Y＝axi＋b)＝P(X＝xi)，i＝1,2,3，…，n，所以Y的分布列为
Y ax1＋b ax2＋b … axi＋b … axn＋b
P p1 p2 … pi … pn
于是有E(Y)＝(ax1＋b)p1＋(ax2＋b)p2＋…＋(axi＋b)pi＋…＋(axn＋b)pn＝a(x1p1＋x2p2＋…＋xipi＋…＋xnpn)＋b(p1＋p2＋…＋pi＋…＋pn)＝aE(X)＋b，即E(aX＋b)＝aE(X)＋b.
知识点二　两点分布的均值
如果随机变量X服从两点分布，那么E(X)＝0×(1－p)＋1×p＝p.
知识点三　离散型随机变量的方差、标准差
设离散型随机变量X的分布列如表所示．
X x1 x2 … xn
P p1 p2 … pn
我们用X所有可能取值xi与E(X)的偏差的平方(x1－E(X))2，(x2－E(X))2，…，(xn－E(X))2，关于取值概率的加权平均，来度量随机变量X取值与其均值E(X)的偏离程度．
我们称D(X)＝(x1－E(X))2p1＋(x2－E(X))2p2＋…＋(xn－E(X))2pn＝为随机变量X的方差(variance)，有时也记为Var(X)，并称为随机变量X的标准差(standard deviation)，记为σ(X)．
知识点四　离散型随机变量方差的性质
1．设a，b为常数，则D(aX＋b)＝a2D(X)．
2．D(c)＝0(其中c为常数)．
【题型归纳】
考点一 均值方差的性质（小题）
【例1-1】（2021·江西·赣州市第一中学高二期末）已知随机变量和，其中，且，若的分布列如下表，则的值为（ ）
1 2 3 4
A． B． C． D．
【例1-2】（2021·吉林·长春市第二实验中学高二期末（理））随机变量的分布列如表，则的值为（ ）
X 1 2 3
P 0.2 0.4 0.4
A．4.4 B．7.4
C．21.2 D．22.2
【例1-3】（2021·全国·高二单元测试）（多选）设离散型随机变量的分布列为
0 1 2 3 4
0.4 0.1 0.2 0.2
若离散型随机变量满足，则下列结果正确的有（ ）
A． B．，
C．， D．，
【考点精练】
1．（2021·全国·高二课时练习）下面说法中正确的是（ ）
A．离散型随机变量的均值E(ξ)反映了取值的概率的平均值
B．离散型随机变量的方差D(ξ)反映了取值的平均水平
C．离散型随机变量的均值E(ξ)反映了取值的平均水平
D．离散型随机变量的方差D(ξ)反映了取值的概率的平均值
2．（2021·全国·高二课时练习）（多选）下列说法中错误的是（ ）
A．离散型随机变量的均值反映了取值的概率的平均值
B．离散型随机变量的方差反映了取值的平均水平
C．离散型随机变量的均值反映了取值的平均水平
D．离散型随机变量的方差反映了取值的概率的平均值
3．（2021·全国·高二课前预习）(多选)已知某一随机变量X的分布列如下，且E(X)＝6.3，则（ ）
X 4 a 9
P 0.5 0.1 b
A．a＝7 B．b＝0.4
C．E(aX)＝44.1 D．E(bX＋a)＝2.62
4．（2021·全国·高二课时练习）（多选）设，随机变量的分布列是（ ）
0 1 2
则当在上增大时（ ）
A．减小 B．增大
C．先减小后增大 D．先增大后减小
考点二 均值方差的应用（解答题）
【例2】（2021·河北承德第一中学高二月考）袋中有2个白球，3个红球，5个黄球，这10个小球除颜色外完全相同.
(1)从袋中任取3个球，求恰好取到2个黄球的概率；
(2)从袋中任取2个球，记取到红球的个数为，求的分布列、期望和方差.
【考点精练】
1．（2021·全国·高二课时练习）假设在A军与B军的某次战役中，A军有8位将领，善用骑兵的将领有5人；B军有8位将领，善用骑兵的将领有4人.
（1）现从A军将领中随机选取4名将领，求至多有3名是善用骑兵的将领的概率；
（2）在A军和B军的将领中各随机选取2人，X为善用骑兵的将领的人数，写出X的分布列，并求.
2（2021·全国·高二课时练习）甲、乙两人进行定点投篮游戏，投篮者若投中，则继续投篮，否则由对方投篮，第一次由甲投篮；已知每次投篮甲，乙命中的概率分别为.
（1）求第三次由乙投篮的概率.
（2）在前3次投篮中，乙投篮的次数为ξ，求ξ的分布列、期望及标准差.
3．（2021·全国·高二课时练习）袋中有大小相同的四个球，编号分别为1,2,3,4，每次从袋中任取一个球，记下其编号.若所取球的编号为偶数，则把该球编号改为3后放回袋中继续取球；若所取球的编号为奇数，则停止取球.
（1）求“第二次取球后才停止取球”的概率；
（2）若第一次取到偶数，记第二次和第一次取球的编号之和为X，求X的分布列和方差.
考点三 均值方差做决策
【例3】（2021·全国·高二课时练习）已知甲 乙两名射手每次射击击中的环数均大于6环，且甲击中10，9，8，7环的概率分别为0.5，，，0.1，乙击中10，9，8环的概率分别为0.3，0.3，0.2，甲 乙射击结果互不影响.记甲 乙两名射手在一次射击中击中的环数分别为，.
(1)求，的分布列；
(2)从数学期望与方差两方面比较甲、乙两名射手的射击技术.
【考点精练】
1．（2021·全国·高二课时练习）甲、乙两名工人加工同一种零件，两人每天加工的零件数相同，所得次品数分别为，，且和的分布列如下表：
0 1 2
0 1 2
试对这两名工人的技术水平进行比较．
2．（2021·全国·高二课时练习）为回馈顾客，某商场拟通过摸球兑奖的方式对位顾客进行奖励，规定：每位顾客从一个装有个标有面值的球的袋中一次性随机摸出个球，球上所标的面值之和为该顾客所获的奖励额，个球除所标面值外完全相同．
（1）若袋中所装的个球中有个所标的面值为元，其余个所标的面值均为元．求
①顾客所获的奖励额为元的概率；
②顾客所获的奖励额的分布列与均值．
（2）商场对奖励总额的预算是元，并规定袋中的个球只能由标有面值元和元的两种球组成，或标有面值元和元的两种球组成．为了使顾客得到的奖励总额尽可能符合商场的预算且每位顾客所获得奖励额相对均衡，请对袋中的个球的面值给出一个合适的设计，并说明理由．
3．（2021·新疆·巴楚县第一中学高二月考（理））甲、乙两名工人加工同一种零件，两人每天加工的零件数相同，所得次品数分别为X，Y，且X和Y的分布列如下表：
X 0 1 2
0.6 0.1 0.3
Y 0 1 2
0.5 0.3 0.2
根据次品数的均值和方差，试对这两名工人的技术水平进行比较.
4．（2021·黑龙江·哈尔滨三中高二月考）某精密仪器生产车间每天生产（充分大，且）个零件，质检员小张每天都会随机地从中抽取50个零件进行检查是否合格，若较多零件不合格，则需对其余所有零件进行检查.根据多年的生产零件的数据和经验，知这些零件的长度（单位：）服从正态分布，且相互独立.若满足，则认为该零件是合格的，否则该零件不合格.
（1）假设某一天小张抽查出不合格的零件数为，求及的数学期望；
附：若随机变量服从正态分布，则，，.
（2）小张某天恰好从50个零件中检查出2个不合格的零件，以此频率作为当天生产零件的不合格率.已知检查一个零件的成本为10元，而每个不合格零件流入市场带来的损失为260元.为了使损失尽量小，小张是否需要检查其余所有零件？试说明理由
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