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第1节　函数及其表示
知 识 梳 理
1.函数与映射的概念
函数 映射
两个集合 A，B 设A，B是两个 非空数集 设A，B是两个 非空集合
对应关系 f：A→B 如果按照某种确定的对应关系f，使对于集合A中的任意一个数x，在集合B中都有唯一确定的数f(x)和它对应 如果按某一个确定的对应关系f，使对于集合A中的任意一个元素x，在集合B中都有唯一确定的元素y与之对应
名称 称f：A→B为从集合A到集合B的一个函数 称f：A→B为从集合A到集合B的一个映射
记法 函数y＝f(x)，x∈A 映射：f：A→B
2.函数的定义域、值域
(1)在函数y＝f(x)，x∈A中，x叫做自变量，x的取值范围A叫做函数的定义域；与x的值相对应的y值叫做函数值，函数值的集合{f(x)|x∈A}叫做函数的值域.
(2)如果两个函数的定义域相同，并且对应关系完全一致，则这两个函数为相等函数.
3.函数的表示法
表示函数的常用方法有解析法、图象法和列表法.
4.分段函数
(1)若函数在其定义域的不同子集上，因对应关系不同而分别用几个不同的式子来表示，这种函数称为分段函数.
(2)分段函数的定义域等于各段函数的定义域的并集，其值域等于各段函数的值域的并集，分段函数虽由几个部分组成，但它表示的是一个函数.
1.由函数解析式确定定义域的原则
(1)分式中，分母不为0；
(2)偶次根式中，被开方数非负；
(3)对于幂函数y＝xα，如果α≤0，要求x≠0；
(4)对数函数中，真数大于0，底数大于0且不等于1；
(5)指数函数的底数大于0且不等于1；
(6)正切函数y＝tan x要求x≠kπ＋π，k∈Z.
2.与x轴垂直的直线和一个函数的图象至多有1个交点.
诊 断 自 测
1.判断下列说法的正误.
(1)函数y＝1与y＝x0是同一个函数.(　　)
(2)与x轴垂直的直线和一个函数的图象至多有一个交点.(　　)
(3)函数y＝－1的值域是{y|y≥1}.(　　)
(4)若两个函数的定义域与值域相同，则这两个函数相等.(　　)
答案　(1)×　(2)√　(3)×　(4)×
解析　(1)函数y＝1的定义域为R，而y＝x0的定义域为{x|x≠0}，其定义域不同，故不是同一函数.
(3)由于x2＋1≥1，故y＝－1≥0，故函数y＝－1的值域是{y|y≥0}.
(4)当两个函数的定义域、对应法则均对应相同时，才是相等函数.
2.(必修1P25B2改编)若函数y＝f(x)的定义域为M＝{x|－2≤x≤2}，值域为N＝{y|0≤y≤2}，则函数y＝f(x)的图象可能是(　　)
答案　B
解析　A中函数定义域不是[－2，2]，C中图形不表示函数图象，D中函数值域不是[0，2].
3.设函数y＝的定义域为A，函数y＝ln(1－x)的定义域为B，则A∩B＝(　　)
A.(1，2) B.(1，2]
C.(－2，1) D.[－2，1)
答案　D
解析　由4－x2≥0得－2≤x≤2，∴A＝[－2，2]，由1－x＞0得x＜1，
∴B＝(－∞，1).∴A∩B＝[－2，1)，故选D.
4.已知a为实数，设函数f(x)＝则f(2a＋2)的值为(　　)
A.2a B.a C.2 D.a或2
答案　B
解析　因为2a＋2＞2，所以f(2a＋2)＝log2(2a＋2－2)＝a，故选B.
5.设函数f(x)＝2x＋3，g(x＋2)＝f(x)，则g(x)＝________.
答案　2x－1
解析　由题意得g(x＋2)＝2x＋3＝2(x＋2)－1，
∴g(x)＝2x－1.
6.(2021·北仑中学模拟)已知f(x)＝则f(f(－1))＝________；f(f(x))＝1的解集为________.
答案　　{－，4}
解析　因为f(－1)＝1，所以f(f(－1))＝f(1)＝，令f(t)＝1，则有t＝2或t＝－1，当f(x)＝2时，若x≥0，则x＝4；若x＜0，则x＝－，当t＝－1时，f(x)＝－1无解，所以该方程的解集为{－，4}.
考点一　求函数的定义域
【例1】 (1)(2021·金丽衢十二校联考)函数y＝的定义域是________，值域是________.
(2)若函数y＝f(x)的定义域是[1，2 020]，则函数g(x)＝的定义域是____________.
答案　(1)[－3，1]　[0，2]　(2){x|0≤x≤2 019，且x≠1}
解析　(1)由3－2x－x2≥0，得－3≤x≤1，所以函数y＝的定义域为[－3，1].当x＝－1时，y＝取得最大值2，当x＝1或－3时，y＝取得最小值0，所以函数y＝的值域为[0，2].
(2)∵y＝f(x)的定义域为[1，2 020]，
∴g(x)有意义，应满足
∴0≤x≤2 019，且x≠1.
因此g(x)的定义域为{x|0≤x≤2 019，且x≠1}.
感悟升华　求函数定义域的类型及方法
(1)已知函数的解析式，则构造使解析式有意义的不等式(组)求解.
(2)对实际问题：由实际意义及使解析式有意义构成的不等式(组)求解.
(3)若已知f(x)的定义域为[a，b]，则f(g(x))的定义域可由a≤g(x)≤b求出；若已知f(g(x))的定义域为[a，b]，则f(x)的定义域为g(x)在x∈[a，b]时的值域.
【训练1】 (1)已知函数f(x)＝的定义域为(1，2)，则函数f(x2)的定义域是(　　)
A.(1，2) B.(1，4)
C.R D.(－，－1)∪(1，)
(2)已知函数f(x)＝)，当a＝1时，不等式f(x)≥1的解集是________；若函数f(x)的定义域为R，则实数a的取值范围是________.
答案　(1)D　(2)(－∞，0]∪[2，＋∞)　[0，1]
解析　(1)由题意，得1(2)当a＝1时，f(x)≥1 2x2－2x＋1≥2，由指数函数的单调性可得x2－2x＋1≥1，解得不等式的解集为(－∞，0]∪[2，＋∞).若函数的定义域为R，即不等式2x2－2ax＋a≥1恒成立，等价于x2－2ax＋a≥0恒成立，只需Δ＝4a2－4a≤0，解得a∈[0，1].
考点二　求函数的解析式
【例2】 (1)已知f(x)＝ax3＋bx2＋cx＋d，f(1)＝f(2)＝1，f(3)＝f(4)＝2，则a＝________，f(5)＝________.
(2)已知f＝lg x，则f(x)＝________.
(3)已知函数f(x)的定义域为(0，＋∞)，且f(x)＝2f·－1，则f(x)＝________.
答案　(1)－　－1　(2)lg(x>1)
(3)＋
解析　(1)设f(x)＝a(x－1)(x－2)(x－m)＋1，
则f(3)＝2a(3－m)＋1＝2，f(4)＝6a(4－m)＋1＝2，
解得3－m＝12－3m m＝，f(3)＝－3a＋1＝2，
此时a＝－，
f(5)＝－(5－1)(5－2)＋1＝－1.
(2)令t＝＋1(t>1)，则x＝，
∴f(t)＝lg，即f(x)＝lg(x>1).
(3)在f(x)＝2f·－1中，
将x换成，则换成x，得f＝2f(x)·－1，
由
解得f(x)＝＋.
感悟升华　求函数解析式的常用方法
(1)待定系数法：若已知函数的类型，可用待定系数法.
(2)换元法：已知复合函数f(g(x))的解析式，可用换元法，此时要注意新元的取值范围.
(3)构造法：已知关于f(x)与f或f(－x)的表达式，可根据已知条件再构造出另外一个等式，通过解方程组求出f(x).
(4)配凑法：由已知条件f(g(x))＝F(x)，可将F(x)改写成关于g(x)的表达式，然后以x替代g(x)，便得f(x)的表达式.
【训练2】 (1)已知f(＋1)＝x＋2，则f(x)＝________.
(2)定义在R上的函数f(x)满足f(x＋1)＝2f(x).若当0≤x≤1时，f(x)＝x(1－x)，则当－1≤x≤0时，f(x)＝________.
(3)定义在(－1，1)内的函数f(x)满足2f(x)－f(－x)＝lg(x＋1)，则f(x)＝__________.
答案　(1)x2－1(x≥1)　(2)－x(x＋1)
(3)lg(x＋1)＋lg(1－x)，(－1解析　(1)令＋1＝t，则x＝(t－1)2(t≥1)，代入原式得
f(t)＝(t－1)2＋2(t－1)＝t2－1，
所以f(x)＝x2－1(x≥1).
(2)当－1≤x≤0时，0≤x＋1≤1，
由已知f(x)＝f(x＋1)＝－x(x＋1).
(3)当x∈(－1，1)时，
有2f(x)－f(－x)＝lg(x＋1).①
将x换成－x，则－x换成x，
得2f(－x)－f(x)＝lg(－x＋1).②
由①②消去f(－x)得，
f(x)＝lg(x＋1)＋lg(1－x)，x∈(－1，1).
考点三　分段函数
角度1　求分段函数的函数值
【例3－1】 设函数f(x)＝
则f(－2)＋f(log212)＝(　　)
A.3 B.6 C.9 D.12
答案　C
解析　根据分段函数的意义，f(－2)＝1＋log2(2＋2)＝1＋2＝3.又log212>1，
∴f(log212)＝2(log212－1)＝2log26＝6，
因此f(－2)＋f(log212)＝3＋6＝9.
角度2　求参数的值或取值范围
【例3－2】 (1)设f(x)＝若f(a)＝f(a＋1)，则f＝(　　)
A.2 B.4 C.6 D.8
(2)设f(x)＝则f(f(1))＝________；不等式f(x)＞2的解集为________.
答案　(1)C　(2)1　(1，2)∪(，＋∞)
解析　(1)由已知得0＜a＜1，∴a＋1>1.
∵f(a)＝f(a＋1)，∴＝2(a＋1－1)，
解得a＝，∴f＝f(4)＝2(4－1)＝6.
(2)f(1)＝2e0＝2，f(f(1))＝f(2)＝log3(4－1)＝1.当x＜2时，f(x)＞2，即ex－1＞1＝e0，∴x＞1，∴1＜x＜2.当x≥2时，f(x)＞2，即为log3(x2－1)＞2＝log332，∴x2＞10，即x＞或x＜－，∴x＞.
感悟升华　(1)根据分段函数解析式求函数值.首先确定自变量的值属于哪个区间，其次选定相应的解析式代入求解.
(2)已知函数值或函数值的取值范围求自变量的值或范围时，应根据每一段的解析式分别求解，但要注意检验所求自变量的值或范围是否符合相应段的自变量的取值范围.
提醒　当分段函数的自变量范围不确定时，应分类讨论.
【训练3】 (1)已知函数f(x)＝且f(a)＝－3，则f(6－a)＝(　　)
A.－ B.－ C.－ D.－
(2)已知f(x)＝则f(2)＝________；不等式f(x)＞f(1)的解集为________.
答案　(1)A　(2)5　(－2，0)∪(1，＋∞)
解析　(1)当a≤1时，f(a)＝2a－1－2＝－3，
即2a－1＝－1，不成立，舍去；
当a>1时，f(a)＝－log2(a＋1)＝－3，
即log2(a＋1)＝3，解得a＝7，
此时f(6－a)＝f(－1)＝2－2－2＝－.故选A.
(2)根据题意得f(x)＝则f(2)＝4＋2－1＝5，f(1)＝1＋1－1＝1，对于f(x)＞f(1)，即f(x)＞1，当x＜0时，f(x)＞1即x＋3＞1，解得－2＜x＜0，当x≥0时，f(x)＞1即x2＋x－1＞1，解得x＞1，综上可得，不等式的解集为(－2，0)∪(1，＋∞).
基础巩固题组
一、选择题
1.已知函数f(x)的定义域为[3，6]，则函数y＝的定义域为(　　)
A. B.
C. D.
答案　B
解析　由解得≤x<2，所以原函数的定义域为.
2.已知f(x)是一次函数，且f[f(x)]＝x＋2，则f(x)＝(　　)
A.x＋1 B.2x－1
C.－x＋1 D.x＋1或－x－1
答案　A
解析　设f(x)＝kx＋b(k≠0)，又f[f(x)]＝x＋2，
得k(kx＋b)＋b＝x＋2，即k2x＋kb＋b＝x＋2.
∴k2＝1，且kb＋b＝2，解得k＝b＝1.
3.存在函数f(x)满足：对于任意x∈R，都有(　　)
A.f(sin 2x)＝sin x B.f(sin 2x)＝x2＋x
C.f(x2＋1)＝|x＋1| D.f(x2＋2x)＝|x＋1|
答案　D
解析　对于A，取x＝0，，可得f(0)＝0，1，这与函数的定义矛盾，所以A错误；对于B，取x＝0，π，可得f(0)＝0，π2＋π，这与函数的定义矛盾，所以B错误；对于C，取x＝1，－1，可得f(2)＝2，0，这与函数的定义矛盾，所以C错误；对于D，取f(x)＝，则对任意x∈R都有f(x2＋2x)＝＝|x＋1|，故D正确.
4.(2021·嘉、丽、衢模拟)已知函数f(x)满足f(4)＝17，设f(x0)＝y0，则“y0＝17”是“x0＝4”的(　　)
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
答案　B
解析　一个自变量的值只对应一个函数值，所以当x0＝4时，一定有y0＝f(x0)＝17，必要性成立；一个函数值可能对应多个自变量的值，即当y0＝f(x0)＝17时，x0不一定为4，充分性不成立，所以“y0＝17”是“x0＝4”的必要不充分条件，故选B.
5.某学校要召开学生代表大会，规定各班每10人推选一名代表，当各班人数除以10的余数大于6时再增选一名代表.那么，各班可推选代表人数y与该班人数x之间的函数关系用取整函数y＝[x]([x]表示不大于x的最大整数)可以表示为(　　)
A.y＝ B.y＝
C.y＝ D.y＝
答案　B
解析　取特殊值法，若x＝56，则y＝5，排除C，D；若x＝57，则y＝6，排除A，选B.
6.已知函数f(x)＝ex＋a·e－x＋2(a∈R，e为自然对数的底数)，若y＝f(x)与y＝f(f(x))的值域相同，则a的取值范围是(　　)
A.a＜0 B.a≤－1
C.0＜a≤4 D.a＜0或0＜a≤4
答案　A
解析　a＝1时，f(x)＝ex＋e－x＋2≥4，此时y＝f(x)与y＝f(f(x))的值域不相同，排除C，D；a＜0时，y＝f(x)与y＝f(f(x))的值域相同，均为R.当a＝－时，y′＝ex＋＞0，所以f(x)在R上为增函数，值域为R，y＝f(f(x))的值域也为R，排除B.故选A.
7.(2020·北京卷改编)为满足人民对美好生活的向往，环保部门要求相关企业加强污水治理，排放未达标的企业要限期整改.设企业的污水排放量W与时间t的关系为W＝f(t)，用－的大小评价在[a，b]这段时间内企业污水治理能力的强弱.已知整改期内，甲、乙两企业的污水排放量与时间的关系如图所示.
给出下列结论不正确的是(　　)
A.在[t1，t2]这段时间内，甲企业的污水治理能力比乙企业强
B.在t2时刻，甲企业的污水治理能力比乙企业强
C.在t3时刻，甲、乙两企业的污水排放都已达标
D.甲企业在[0，t1]，[t1，t2]，[t2，t3]这三段时间中，在[0，t1]的污水治理能力最强
答案　D
解析　由题图可知甲企业的污水排放量在t1时刻高于乙企业，而在t2时刻甲、乙两企业的污水排放量相同，故在[t1，t2]这段时间内，甲企业的污水治理能力比乙企业强，故A正确；由题图知在t2时刻，甲企业对应的关系图象斜率的绝对值大于乙企业的，故B正确；在t3时刻，甲、乙两企业的污水排放量都低于污水达标排放量，故都已达标，C正确；甲企业在[0，t1]，[t1，t2]，[t2，t3]这三段时间中，在[0，t1]的污水治理能力明显低于[t1，t2]时的，故D错误.
8.设P(x0，y0)是函数f(x)图象上任意一点，且y≥x，则
f(x)的解析式可以是(　　)
A.f(x)＝x－ B.f(x)＝ex－1
C.f(x)＝x＋ D.f(x)＝tan x
答案　C
解析　对于A，当x＝1时，f(1)＝0，此时02≥12不成立.对于B，取x＝－1，f(－1)＝－1，此时≥(－1)2不成立.在D中，f＝tanπ＝1，此时12≥不成立.
在C中，对任意x0∈{x|x≠0}，y＝，有y－x＝＋8>0，有y≥x成立.
9.小明在如图1所示的跑道上匀速跑步，他从点A出发，沿箭头方向经过点B跑到点C，共用时30 s，他的教练选择了一个固定的位置观察小明跑步过程.设小明跑步的时间为t(s)，他与教练间的距离为y(m)，表示y与t的函数关系的图象大致如图2所示，则这个固定位置可能是图1中的(　　)
A.点M B.点N C.点P D.点Q
答案　D
解析　由图知固定位置到点A距离大于到点C距离，所以舍去N，M点，不选A，B；若是P点，则从最高点到C点依次递减，与图1矛盾，因此取Q，即选D.
二、填空题
10.(2021·北京密云区段测)已知函数y＝f(x)满足f(x＋1)＝2f(x)，且f(5)＝3f(3)＋4，则f(4)＝________.
答案　8
解析　因为f(x＋1)＝2f(x)，且f(5)＝3f(3)＋4，故2f(4)＝f(4)＋4，解得f(4)＝8.
11.已知f(x)＝则f(10)＝________；f(7)＝________.
答案　7　6
解析　f(10)＝10－3＝7；f(7)＝f(f(7＋4))＝f(f(11))＝f(11－3)＝f(8)＝f(f(8＋4))＝f(f(12))＝f(12－3)＝f(9)＝9－3＝6.
12.已知函数f(x)满足f＝log2，则f(x)的解析式是________.
答案　f(x)＝－log2x
解析　根据题意知x>0，所以f＝log2x，则f(x)＝log2＝－log2x.
13.记[x]为不超过x的最大整数，如[－1.2]＝－2，[2.3]＝2，已知函数f(x)＝则f(f(－1.2))＝________，f(x)≤3的解集为________.
答案　3　[－，3)
解析　根据[x]的定义，得f(f(－1.2))＝f(2.44)＝2[2.44]－1＝3.
当x≥1时，由f(x)＝2[x]－1≤3，
得[x]≤2，所以x∈[1，3)；
当x<1时，由f(x)＝x2＋1≤3，
得－≤x<1.故原不等式的解集为[－，3).
14.已知函数f(x)＝若f(－a)＋f(a)≤0，则实数a的取值范围是________.
答案　[－2，2]
解析　依题意可知或解得a∈[－2，2].
能力提升题组
15.设x∈R，定义符号函数sgn x＝则(　　)
A.|x|＝x|sgn x| B.|x|＝xsgn|x|
C.|x|＝|x|sgn x D.|x|＝xsgn x
答案　D
解析　当x>0时，|x|＝x，sgn x＝1，则|x|＝xsgn x；
当x<0时，|x|＝－x，sgn x＝－1，则|x|＝xsgn x；
当x＝0时，|x|＝x＝0，sgn x＝0，则|x|＝xsgn x.
16.设函数f(x)＝则满足f(f(a))＝2f(a)的a的取值范围是(　　)
A. B.[0，1]
C. D.[1，＋∞)
答案　C
解析　由f(f(a))＝2f(a)得，f(a)≥1.
当a<1时，有3a－1≥1，∴a≥，∴≤a<1.
当a≥1时，有2a≥1，∴a≥0，∴a≥1.
综上，a≥.
17.(2021·北仑中学模拟)设f(x)＝，g(x)＝ax＋5－2a(a＞0)，若对于任意x1∈[0，1]，总存在x0∈[0，1]，使得g(x0)＝f(x1)成立，则a的取值范围是(　　)
A. B.[4，＋∞)
C. D.
答案　A
解析　f′(x)＝，∴f(x)在[0，1]上单调递增，当x1∈[0，1]时，f(x1)∈[0，1]；当x0∈[0，1]时，g(x0)∈[5－2a，5－a].因为对于任意x1∈[0，1]，总存在x0∈[0，1]，使得g(x0)＝f(x1)成立，所以可知[0，1] [5－2a，5－a]，即解得≤a≤4，故选A.
18.设函数f(x)＝x3＋3x2＋1，已知a≠0，且f(x)－f(a)＝(x－b)(x－a)2，x∈R，则实数a＝________，b＝________.
答案　－2　1
解析　∵f(x)＝x3＋3x2＋1，则f(a)＝a3＋3a2＋1，
∴f(x)－f(a)＝(x－b)(x－a)2＝(x－b)(x2－2ax＋a2)
＝x3－(2a＋b)x2＋(a2＋2ab)x－a2b＝x3＋3x2－a3－3a2.
由此可得
∵a≠0，∴由②得a＝－2b，代入①式得b＝1，a＝－2.
19.已知函数f(x)＝则f(f(－3))＝________，f(x)的最小值是________.
答案　0　2－3
解析　∵f(－3)＝lg[(－3)2＋1]＝lg 10＝1，
∴f(f(－3))＝f(1)＝0.
当x≥1时，f(x)＝x＋－3≥2－3，当且仅当x＝时，取等号，此时f(x)min＝2－3<0；
当x<1时，f(x)＝lg(x2＋1)≥lg 1＝0，当且仅当x＝0时，取等号，此时f(x)min＝0.∴f(x)的最小值为2－3.
20.已知函数y＝(a∈R)的值域是，则常数a＝________，m＝________.
答案　　1
解析　y＝ y(x2＋1)＝x＋a yx2－x＋(y－a)＝0.∵函数y＝(a∈R)的值域为，
∴Δ＝(－1)2－4y(y－a)≥0 4y2－4ay－1≤0，
∴－，m是方程4y2－4ay－1＝0的两根，
∴
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