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第2节　导数与函数的单调性
知 识 梳 理
1．函数的单调性与导数的关系
已知函数f(x)在某个区间内可导，
(1)如果f′(x)＞0，那么函数y＝f(x)在这个区间内单调递增；
(2)如果f′(x)＜0，那么函数y＝f(x)在这个区间内单调递减．
2．利用导数求函数单调区间的基本步骤是：
(1)确定函数f(x)的定义域；
(2)求导数f′(x)；
(3)由f′(x)＞0(或＜0)解出相应的x的取值范围．当f′(x)＞0时，f(x)在相应的区间内是单调递增函数；当f′(x)＜0时，f(x)在相应的区间内是单调递减函数．
一般需要通过列表，写出函数的单调区间．
3．已知单调性求解参数范围的步骤为：
(1)对含参数的函数f(x)求导，得到f′(x)；
(2)若函数f(x)在[a，b]上单调递增，则f′(x)≥0恒成立；若函数f(x)在[a，b]上单调递减，则f′(x)≤0恒成立，得到关于参数的不等式，解出参数范围；
(3)验证参数范围中取等号时，是否恒有f′(x)＝0.若f′(x)＝0恒成立，则函数f(x)在(a，b)上为常数函数，舍去此参数值．
(1)解决一次、二次函数的单调性问题不必用导数．
(2)用函数单调性比较大小或解不等式时常构造函数，常见的有：
①对于f′(x)>g′(x)，构造h(x)＝f(x)－g(x)．
②对于f′(x)＋g′(x)>0，构造h(x)＝f(x)＋g(x)．
③对于f′(x)＋f(x)>0，构造h(x)＝exf(x)．
④对于f′(x)>f(x)，构造h(x)＝.
⑤对于xf′(x)＋f(x)>0，构造h(x)＝xf(x)．
⑥对于xf′(x)－f(x)>0，构造h(x)＝.
(3)根据单调性求参数常用导数不等式f′(x)≥0或f′(x)≤0求解，注意检验等号．
(4)注意函数、导函数的定义域．
诊 断 自 测
1．判断下列说法的正误．
(1)若可导函数f(x)在(a，b)内单调递增，那么一定有f′(x)>0.(　　)
(2)如果函数f(x)在某个区间内恒有f′(x)＝0，则f(x)在此区间内没有单调性．(　　)
(3)f′(x)>0是f(x)为增函数的充要条件．(　　)
答案　(1)×　(2)√　(3)×
解析　(1)f(x)在(a，b)内单调递增，则有f′(x)≥0.
(3)f′(x)>0是f(x)为增函数的充分不必要条件．
2．函数f(x)＝ex－x的单调递增区间是(　　)
A．(－∞，1] B．[1，＋∞)
C．(－∞，0] D．(0，＋∞)
答案　D
解析　令f′(x)＝ex－1>0得x>0，所以f(x)的递增区间为(0，＋∞)．
3．(2021·浙江“超级全能生”联考)已知函数y＝f(x)的导函数y＝f′(x)的图象如图所示，则函数y＝f(x)的图象可以是(　　)
答案　C
解析　根据导函数的正负与原函数的单调性的关系，结合导函数f′(x)的图象可知，原函数f(x)先单调递增，再单调递减，最后缓慢单调递增，选项C符合题意，故选C.
4．若f(x)＝，0＜a＜b＜e，则f(a)与f(b)的大小关系为________．
答案　f(a)＜f(b)
解析　f′(x)＝，当0＜x＜e时，1－ln x＞0，
即f′(x)＞0，∴f(x)在(0，e)上单调递增，
∴f(a)＜f(b)．
5．函数f(x)＝的单调递增区间为________；单调递减区间为________．
答案　(1，＋∞)　(－∞，0)和(0，1)
解析　函数的定义域为{x|x≠0}，且f′(x)＝，令f′(x)>0得x>1，f(x)的单调递增区间为(1，＋∞)，令f′(x)<0，得x<1且x≠0，f(x)的单调减区间为(－∞，0)和(0，1)．
6．(2019·北京卷)设函数f(x)＝ex＋ae－x(a为常数)．若f(x)为奇函数，则a＝________；若f(x)是R上的增函数，则a的取值范围是________．
答案　－1　(－∞，0]
解析　∵f(x)＝ex＋ae－x(a为常数)的定义域为R，
∴f(0)＝e0＋ae－0＝1＋a＝0，∴a＝－1.
∵f(x)＝ex＋ae－x，∴f′(x)＝ex－ae－x＝ex－.
∵f(x)是R上的增函数，
∴f′(x)≥0在R上恒成立，
即ex≥在R上恒成立，
∴a≤e2x在R上恒成立．
又e2x>0，∴a≤0，即a的取值范围是(－∞，0]．
考点一　求不含参数的函数的单调性
【例1】 已知f(x)＝ex，讨论f(x)的单调性．
解　由题意得f′(x)＝ex＋ex
＝ex
＝x(x＋1)(x＋4)ex.
令f′(x)＝0，解得x＝0，x＝－1或x＝－4.
当x<－4时，f′(x)<0，故f(x)为减函数；
当－40，故f(x)为增函数；
当－1当x>0时，f′(x)>0，故f(x)为增函数．
综上知，f(x)在(－∞，－4)和(－1，0)内为减函数，在(－4，－1)和(0，＋∞)内为增函数．
感悟升华　确定函数单调区间的步骤：
(1)确定函数f(x)的定义域；
(2)求f′(x)；
(3)解不等式f′(x)>0，解集在定义域内的部分为单调递增区间；
(4)解不等式f′(x)<0，解集在定义域内的部分为单调递减区间．
【训练1】 (1)函数y＝x2－ln x的单调递减区间为(　　)
A．(－1，1) B．(0，1)
C．(1，＋∞) D．(0，＋∞)
(2)已知定义在区间(－π，π)上的函数f(x)＝xsin x＋cos x，则f(x)的单调递增区间为________．
答案　(1)B　(2)，
解析　(1)y＝x2－ln x，y′＝x－＝＝(x>0)．令y′＜0，得0(2)f′(x)＝sin x＋xcos x－sin x＝xcos x．令f′(x)＝xcos x>0，则其在区间(－π，π)上的解集为和，即f(x)的单调递增区间为，.
考点二　求含参函数的单调性
【例2】 设函数f(x)＝aln x＋，其中a为常数．
讨论函数f(x)的单调性．
解　函数f(x)的定义域为(0，＋∞)．
f′(x)＝＋＝.
当a≥0时，f′(x)＞0，函数f(x)在(0，＋∞)上单调递增．
当a＜0时，令g(x)＝ax2＋(2a＋2)x＋a，
由于Δ＝(2a＋2)2－4a2＝4(2a＋1)．
(1)当a＝－时，Δ＝0，f′(x)＝≤0，函数f(x)在(0，＋∞)上单调递减．
(2)当a＜－时，Δ＜0，g(x)＜0，
f′(x)＜0，函数f(x)在(0，＋∞)上单调递减．
(3)当－＜a＜0时，Δ＞0.
设x1，x2(x1＜x2)是函数g(x)的两个零点，
则x1＝，x2＝.
由x1＝＝＞0，
所以
x∈(0，x1)时，g(x)＜0，f′(x)＜0，函数f(x)单调递减；
x∈(x1，x2)时，g(x)＞0，f′(x)＞0，函数f(x)单调递增；
x∈(x2，＋∞)时，g(x)＜0，f′(x)＜0，函数f(x)单调递减．
综上可得：
当a≥0时，函数f(x)在(0，＋∞)上单调递增；
当a≤－时，函数f(x)在(0，＋∞)上单调递减；
当－＜a＜0时，f(x)在，
上单调递减，
在上单调递增．
感悟升华　利用导数研究函数的单调性的关键在于准确判定导数的符号，当f(x)含参数时，需依据参数取值对不等式解集的影响进行分类讨论．分类讨论时，要做到不重不漏．
【训练2】 已知函数f(x)＝x2e－ax－1(a是常数)，求函数y＝f(x)的单调区间．
解　根据题意可得，当a＝0时，f(x)＝x2－1，函数在(0，＋∞)上单调递增，
在(－∞，0)上单调递减．
当a≠0时，f′(x)＝2xe－ax＋x2(－a)e－ax＝e－ax(－ax2＋2x)．
因为e－ax>0，
所以令g(x)＝－ax2＋2x＝0，解得x＝0或x＝.
(1)当a>0时，函数g(x)＝－ax2＋2x在(－∞，0)和上有g(x)<0，即f′(x)<0，函数y＝f(x)单调递减；
函数g(x)＝－ax2＋2x在上有g(x)≥0，
即f′(x)≥0，函数y＝f(x)单调递增．
(2)当a<0时，函数g(x)＝－ax2＋2x在和(0，＋∞)上有g(x)>0，即f′(x)>0，函数y＝f(x)单调递增；
函数g(x)＝－ax2＋2x在上有g(x)≤0，
即f′(x)≤0，函数y＝f(x)单调递减．
综上所述，当a＝0时，函数y＝f(x)的单调递增区间为(0，＋∞)，单调递减区间为(－∞，0)；
当a>0时，函数y＝f(x)的单调递减区间为(－∞，0)，，单调递增区间为；
当a<0时，函数y＝f(x)的单调递增区间为，(0，＋∞)，单调递减区间为.
考点三　利用函数的单调性求参数
【例3】 (1)已知函数f(x)＝ax3－x2＋x在区间(0，2)上是单调增函数，则实数a的取值范围为________．
(2)已知函数f(x)＝ln x＋(x－b)2(b∈R)在上存在单调递增区间，则实数b的取值范围是________．
答案　(1)[1，＋∞)　(2)
解析　(1)f′(x)＝ax2－2x＋1≥0 a≥－＋＝－＋1在(0，2)上恒成立，即a≥1.
(2)由题意得f′(x)＝＋2(x－b)＝＋2x－2b，因为函数f(x)在上存在单调递增区间，所以f′(x)＝＋2x－2b>0在上有解，所以b<，x∈，由函数的性质易得当x＝2时，＋x取得最大值，即＝＋2＝，所以b的取值范围为.
感悟升华　利用单调性求参数的两类热点问题的处理方法
(1)函数f(x)在区间D上存在递增(减)区间．
方法一：转化为“f′(x)>0(<0)在区间D上有解”；
方法二：转化为“存在区间D的一个子区间使f′(x)>0(<0)成立”．
(2)函数f(x)在区间D上递增(减)．
方法一：转化为“f′(x)≥0(≤0)在区间D上恒成立”问题；
方法二：转化为“区间D是函数f(x)的单调递增(减)区间的子集”．
【训练3】 (1)函数f(x)＝x3－x2＋2x＋1的递减区间为(－2，－1)，则实数a的值为________．
(2)已知函数f(x)＝－x2－3x＋4ln x在(t，t＋1)上不单调，则实数t的取值范围是________．
答案　(1)－3　(2)(0，1)
解析　(1)f′(x)＝x2－ax＋2，由已知得－2，－1是f′(x)的两个零点，
所以有解得a＝－3.
(2)∵函数f(x)＝－x2－3x＋4ln x(x>0)，
∴f′(x)＝－x－3＋，
∵函数f(x)＝－x2－3x＋4ln x在(t，t＋1)上不单调，
∴f′(x)＝－x－3＋在(t，t＋1)上有变号零点，
∴＝0在(t，t＋1)上有解，
∴x2＋3x－4＝0在(t，t＋1)上有解，
由x2＋3x－4＝0得x＝1或x＝－4(舍去)，
∴1∈(t，t＋1)，∴t∈(0，1)，
故实数t的取值范围是(0，1)．
基础巩固题组
一、选择题
1．函数y＝f(x)的导函数y＝f′(x)的图象如图所示，则函数y＝f(x)的图象可能是(　　)
答案　D
解析　设导函数y＝f′(x)与x轴交点的横坐标从左往右依次为x1，x2，x3，由导函数y＝f′(x)的图象易得当x∈(－∞，x1)∪(x2，x3)时，f′(x)<0；当x∈(x1，x2)∪(x3，＋∞)时，f′(x)>0(其中x1<02．(2021·北京东城区综合练习)已知函数f(x)＝ln x＋ax2，那么“a>0”是“f(x)在(0，＋∞)上为增函数”的(　　)
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
答案　A
解析　f(x)的定义域是(0，＋∞)，f′(x)＝＋2ax＝，a≥0时，f′(x)>0，f(x)在(0，＋∞)递增，
故a>0 f(x)递增，是充分条件，
由f(x)递增，得a>0或a＝0，不是必要条件．
3．设函数f(x)＝x2－9ln x在区间[a－1，a＋1]上单调递减，则实数a的取值范围是(　　)
A．(1，2] B．[4，＋∞)
C．(－∞，2] D．(0，3]
答案　A
解析　∵f(x)＝x2－9ln x，∴f′(x)＝x－(x>0)，
当x－≤0时，有0即在(0，3]上原函数是减函数，则[a－1，a＋1] (0，3]，
∴a－1>0且a＋1≤3，解得14．(2021·绍兴一中适考)函数f(x)＝x2＋xsin x的图象大致为(　　)
答案　A
解析　函数f(x)＝x2＋xsin x的定义域为R，且f(－x)＝(－x)2＋(－x)sin(－x)＝x2＋xsin x＝f(x)，即函数f(x)为偶函数．当x＞0时，x＋sin x＞0，故f′(x)＝x(1＋cos x)＋(x＋sin x)＞0，即f(x)在(0，＋∞)上单调递增，故选A.
5．设函数f(x)＝2(x2－x)ln x－x2＋2x，则函数f(x)的单调递减区间为(　　)
A. B.
C．(1，＋∞) D．(0，＋∞)
答案　B
解析　由题意可得f(x)的定义域为(0，＋∞)，f′(x)＝2(2x－1)ln x＋2(x2－x)·－2x＋2＝(4x－2)ln x．由f′(x)＜0可得(4x－2)ln x＜0，所以或解得＜x＜1，故函数f(x)的单调递减区间为，选B.
6．已知定义域为R的奇函数y＝f(x)的导函数为y＝f′(x)，当x>0时，xf′(x)－f(x)<0，若a＝，b＝，c＝，则a，b，c的大小关系正确的是(　　)
A．aC．a答案　D
解析　设g(x)＝，则g′(x)＝，
因为当x>0时，xf′(x)－f(x)<0，
所以g′(x)<0.
所以g(x)在(0，＋∞)上是减函数．
由f(x)为奇函数，知g(x)为偶函数，则g(－3)＝g(3)，
又a＝g(e)，b＝g(ln 2)，c＝g(－3)＝g(3)，
所以g(3)即<<，故c二、填空题
7．函数f(x)的定义域为R，f(－1)＝2，对任意x∈R，f′(x)＞2，则f(x)＞2x＋4的解集为________．
答案　(－1，＋∞)
解析　f′(x)＞2转化为f′(x)－2＞0，构造函数F(x)＝f(x)－2x，
得F(x)在R上是增函数．
又F(－1)＝f(－1)－2×(－1)＝4，f(x)＞2x＋4，
即F(x)＞4＝F(－1)，所以x＞－1.
8．已知函数f(x)＝x3＋ax2＋bx＋c，g(x)为f(x)的导函数．若f(x)在(0，1)上单调递减，则下列结论正确的是________(填序号)．
①a＋b＋1＜0；②b≤0；③3＋2a＋b≤0.
答案　①②③
解析　因为f(x)在(0，1)上单调递减，所以f(0)＞f(1)，即a＋b＋1＜0；由题意可得g(x)＝f′(x)＝3x2＋2ax＋b.因为f(x)在(0，1)上单调递减，所以g(x)≤0在(0，1)上恒成立，即g(0)≤0，g(1)≤0，所以b≤0，3＋2a＋b≤0.
9．(2021·北京怀柔区一模)若函数f(x)＝ex(cos x－a)在区间上单调递减，则实数a的取值范围是________．
答案　[，＋∞)
解析　由题可知：函数f(x)＝ex(cos x－a)在区间上单调递减等价于f′(x)≤0在恒成立，
即f′(x)＝ex(cos x－sin x－a)≤0在恒成立，
则a≥cos x－sin x＝cos在恒成立，
所以a≥，
由x∈，所以x＋∈，
故cos∈，则cos∈(－1，]，所以a≥，即a∈[，＋∞)．
10．已知函数f(x)＝x3＋mx2＋nx－2的图象过点(－1，－6)，函数g(x)＝f′(x)＋6x的图象关于y轴对称．则m＝________，f(x)的单调递减区间为________．
答案　－3　(0，2)
解析　由函数f(x)的图象过点(－1，－6)，得m－n＝－3.①
由f(x)＝x3＋mx2＋nx－2，得f′(x)＝3x2＋2mx＋n，
所以g(x)＝f′(x)＋6x＝3x2＋(2m＋6)x＋n.
因为g(x)的图象关于y轴对称，所以－＝0，
所以m＝－3，代入①得n＝0，所以f′(x)＝3x2－6x＝3x(x－2)．
由f′(x)<0得0三、解答题
11．已知函数f(x)＝(k为常数，e是自然对数的底数)，曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线与x轴平行．
(1)求k的值；
(2)求f(x)的单调区间．
解　(1)由题意得f′(x)＝，
又f′(1)＝＝0，故k＝1.
(2)由(1)知，f′(x)＝.
设h(x)＝－ln x－1(x＞0)，
则h′(x)＝－－＜0，
即h(x)在(0，＋∞)上是减函数．
由h(1)＝0知，当0＜x＜1时，h(x)＞0，从而f′(x)＞0；
当x＞1时，h(x)＜0，从而f′(x)＜0.
综上可知，f(x)的单调递增区间是(0，1)，单调递减区间是(1，＋∞)．
12．已知函数f(x)＝ex－axex－a(a∈R)．
(1)若f(x)在(0，＋∞)上单调递减，求a的取值范围；
(2)求证：x在(0，2)上任取一个值，不等式－<恒成立(注：e为自然对数的底数)．
(1)解　由已知得f′(x)＝ex(x＋1).
由函数f(x)在(0，＋∞)上单调递减得f′(x)≤0恒成立．
∴－a≤0，即a≥，又∈(0，1)，
∴a的取值范围为[1，＋∞)．
(2)证明　要证原不等式恒成立，
即证ex－1－x即(x－2)ex＋x＋2>0在x∈(0，2)上恒成立．
设F(x)＝(x－2)ex＋x＋2，则F′(x)＝(x－1)ex＋1.
在(1)中，令a＝1，则f(x)＝ex－xex－1，f(x)在(0，2)上单调递减，∴F′(x)＝－f(x)在(0，2)上单调递增，
而F′(0)＝0，∴在(0，2)上F′(x)>0恒成立，
∴F(x)在(0，2)上单调递增，∴F(x)>F(0)＝0，
即当x∈(0，2)时，－<恒成立．
能力提升题组
13．(2021·九江一模)若函数f(x)＝x3－tx2＋3x在区间[1，4]上单调递减，则实数t的取值范围是(　　)
A. B．(－∞，3]
C. D．[3，＋∞)
答案　C
解析　f′(x)＝3x2－2tx＋3，由于f(x)在区间[1，4]上单调递减，则有f′(x)≤0在[1，4]上恒成立，即3x2－2tx＋3≤0，即t≥在[1，4]上恒成立．
因为y＝在[1，4]上单调递增，所以t≥＝.
14．(2021·七彩阳光联盟适考)设a，b>0，则“a>b”是“aa>bb”的(　　)
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
答案　D
解析　因为a，b>0，由aa>bb可得aln a>bln b．设函数f(x)＝xln x，则f′(x)＝ln x＋1，由f′(x)>0可得x>，所以函数f(x)＝xln x在上单调递减，在上单调递增，所以a>b不一定有aln a>bln b，即aa>bb，所以充分性不成立；当aa>bb，即aln a>bln b时，不一定有a>b，所以必要性不成立，所以“a>b”是“aa>bb”的既不充分也不必要条件，故选D.
15．已知函数f(x)＝x3－4x＋2ex－2e－x，其中e为自然对数的底数，若f(a－1)＋f(2a2)≤0，则实数a的取值范围是(　　)
A．(－∞，－1] B.
C. D.
答案　D
解析　f′(x)＝x2－4＋2ex＋2e－x≥x2－4＋2＝x2≥0，∴f(x)在R上是增函数．
又f(－x)＝－x3＋4x＋2e－x－2ex＝－f(x)，知f(x)为奇函数．
故f(a－1)＋f(2a2)≤0 f(a－1)≤f(－2a2)，
∴a－1≤－2a2，解之得－1≤a≤.
16．设f(x)是定义在R上的奇函数，f(2)＝0，当x>0时，有<0恒成立，则不等式x2f(x)>0的解集是________________．
答案　(－∞，－2)∪(0，2)
解析　∵当x>0时，′＝<0，
∴φ(x)＝在(0，＋∞)上为减函数，
又f(2)＝0，即φ(2)＝0，
∴在(0，＋∞)上，当且仅当00，
此时x2f(x)>0.
又f(x)为奇函数，∴h(x)＝x2f(x)也为奇函数，
由数形结合知x∈(－∞，－2)时f(x)>0.
故x2f(x)>0的解集为(－∞，－2)∪(0，2)．
17．设函数f(x)＝xea－x＋bx，曲线y＝f(x)在点(2，f(2))处的切线方程为y＝(e－1)x＋4.
(1)求a，b的值；
(2)求f(x)的单调区间．
解　(1)∵f(x)＝xea－x＋bx，
∴f′(x)＝(1－x)ea－x＋b.
由题意得即
解得a＝2，b＝e.
(2)由(1)得f(x)＝xe2－x＋ex，
由f′(x)＝e2－x(1－x＋ex－1)及e2－x>0知，f′(x)与1－x＋ex－1同号．
令g(x)＝1－x＋ex－1，则g′(x)＝－1＋ex－1.
当x∈(－∞，1)时，g′(x)<0，g(x)在(－∞，1)上递减；
当x∈(1，＋∞)时，g′(x)>0，g(x)在(1，＋∞)上递增，
∴g(x)≥g(1)＝1在R上恒成立，
∴f′(x)>0在R上恒成立．
∴f(x)的单调递增区间为(－∞，＋∞)，无单调递减区间．
18．已知函数f(x)＝aln x－ax－3(a∈R)．
(1)求函数f(x)的单调区间；
(2)若函数y＝f(x)的图象在点(2，f(2))处的切线的倾斜角为45°，对于任意的t∈[1，2]，函数g(x)＝x3＋x2·在区间(t，3)上总不是单调函数，求实数m的取值范围．
解　(1)函数f(x)的定义域为(0，＋∞)，
且f′(x)＝，
当a>0时，f(x)的增区间为(0，1)，减区间为(1，＋∞)；
当a<0时，f(x)的增区间为(1，＋∞)，减区间为(0，1)；
当a＝0时，f(x)不是单调函数．
(2)由(1)及题意得f′(2)＝－＝1，
即a＝－2，∴f(x)＝－2ln x＋2x－3，f′(x)＝.
∴g(x)＝x3＋x2－2x，
∴g′(x)＝3x2＋(m＋4)x－2.
∵g(x)在区间(t，3)上总不是单调函数，
即g′(x)＝0在区间(t，3)上有变号零点．
由于g′(0)＝－2，
∴当g′(t)<0，
即3t2＋(m＋4)t－2<0对任意t∈[1，2]恒成立，
由于g′(0)<0，故只要g′(1)<0且g′(2)<0，
即m<－5且m<－9，即m<－9；
由g′(3)>0，即m>－，
所以－即实数m的取值范围是.
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