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第2节　同角三角函数的基本关系式与诱导公式
知 识 梳 理
1．同角三角函数的基本关系
(1)平方关系：sin2α＋cos2α＝1．
(2)商数关系：＝tan__α．
2．三角函数的诱导公式
1．特殊角的三角函数值
α 0 π
sin α 0 1 0 －1
cos α 1 0 －1 0
tan α 0 1 不存在 0 不存在
2.诱导公式可简记为：奇变偶不变，符号看象限．“奇”与“偶”指的是诱导公式k·＋α中的整数k是奇数还是偶数．“变”与“不变”是指函数的名称的变化，若k是奇数，则正、余弦互变；若k为偶数，则函数名称不变．“符号看象限”指的是在k·＋α中，将α看成锐角时k·＋α所在的象限．
诊 断 自 测
1．判断下列说法的正误．
(1)sin(π＋α)＝－sin α成立的条件是α为锐角．(　　)
(2)六组诱导公式中的角α可以是任意角．(　　)
(3)诱导公式的记忆口诀中“奇变偶不变，符号看象限”，其中的奇、偶是指的奇数倍和偶数倍，变与不变指函数名称的变化．(　　)
(4)若sin(kπ－α)＝(k∈Z)，则sin α＝.(　　)
答案　(1)×　(2)√　(3)√　(4)×
解析　(1)对于α∈R，sin(π＋α)＝－sin α都成立．
(4)当k为奇数时，sin α＝，当k为偶数时，sin α＝－.
2．sin 600°的值为(　　)
A．－ B．－ C. D.
答案　B
解析　sin 600°＝sin(360°＋240°)＝sin 240°＝sin(180°＋60°)＝－sin 60°＝－.
3．已知sin＝－，α∈，则tan α＝(　　)
A. B．－ C．－ D.
答案　C
解析　sin＝cos α＝－，又α∈，则sin α＝＝，则tan α＝＝－，故选C.
4．已知sin θ＋cos θ＝，θ∈，则sin θ－cos θ的值为(　　)
A. B．－ C. D．－
答案　B
解析　∵sin θ＋cos θ＝，∴1＋2sin θcos θ＝，
∴sin θcos θ＝.
又∵(sin θ－cos θ)2＝1－2sin θcos θ＝，
又∵θ∈，∴sin θ－cos θ＝－.
5．(必修4P22B3改编)已知tan α＝2，则的值为________．
答案　3
解析　原式＝＝＝3.
6．(2020·嘉兴期末)已知P是角α的终边上一点，则cos α＝________；角α的最小正值是________．
答案　　
解析　P是角α的终边上一点，所以cos α＝sin ＝，sin α＝
cos ＝－，所以α＝2kπ＋(k∈Z)，所以当k＝0时，角α取最小正值.
考点一　同角三角函数基本关系式的应用
【例1】 (1)(2021·浙江教育绿色评价联盟适考)已知α为第二象限角，且3sin α＋cos α＝0，则sin α＝(　　)
A. B.
C．－ D．－
(2)已知sin αcos α＝，且<α<，则cos α－sin α的值为(　　)
A．－ B. C．－ D.
(3)若tan α＝，则cos2α＋2sin 2α＝(　　)
A. B. C．1 D.
答案　(1)A　(2)B　(3)A
解析　(1)由3sin α＝－cos α，两边平方得9sin2α＝1－sin2α，则sin α＝±，又α为第二角限角，所以sin α＞0，则sin α＝，故选A.
(2)∵<α<，
∴cos α<0，sin α<0且cos α>sin α，
∴cos α－sin α>0.
又(cos α－sin α)2＝1－2sin αcos α＝1－2×＝，
∴cos α－sin α＝.
(3)tan α＝，则cos2α＋2sin 2α＝＝＝.
感悟升华　(1)利用sin2α＋cos2α＝1可以实现角α的正弦、余弦的互化，利用＝tan α可以实现角α的弦切互化．
(2)应用公式时注意方程思想的应用：对于sin α＋cos α，sin αcos α，sin α－cos α这三个式子，利用(sin α±cos α)2＝1±2sin αcos α，可以知一求二．
(3)注意公式逆用及变形应用：1＝sin2α＋cos2α，sin2α＝1－cos2α，cos2α＝1－sin2α.
【训练1】 (1)已知sin α－cos α＝，α∈(0，π)，则tan α＝(　　)
A．－1 B．－ C. D．1
(2)若3sin α＋cos α＝0，则的值为(　　)
A. B. C. D．－2
(3)已知sin α＝，0＜α＜π，则tan α＝__________，
sin ＋cos ＝__________．
答案　(1)A　(2)A　(3)±　
解析　(1)由
得：2cos2α＋2cos α＋1＝0，
即＝0，∴cos α＝－.
又α∈(0，π)，∴α＝，∴tan α＝tan ＝－1.
(2)3sin α＋cos α＝0 cos α≠0 tan α＝－，＝＝
＝＝.
(3)因为0＜α＜π，所以tan α＝＝±＝
±＝±，又0＜＜，所以sin ＞0，
cos ＞0，所以sin ＋cos ＝＝＝＝.
考点二　诱导公式的应用
【例2】 (1)化简：sin(－1 200°)cos 1 290°＋cos(－1 020°)·sin(－1 050°)；
(2)设f(α)＝(1＋2sin α≠0)，求f的值．
解　(1)原式＝－sin 1 200°cos 1 290°－cos 1 020°sin 1 050°
＝－sin(3×360°＋120°)cos(3×360°＋210°)－cos(2×360°＋300°)sin(2×360°＋330°)
＝－sin 120°cos 210°－cos 300°sin 330°
＝－sin(180°－60°)cos(180°＋30°)－cos(360°－60°)·sin(360°－30°)＝sin 60°cos 30°＋cos 60°sin 30°＝×＋×＝1.
(2)∵f(α)＝
＝＝＝，
∴f＝＝
＝＝.
感悟升华　(1)诱导公式的两个应用
①求值：负化正，大化小，化到锐角为终了．
②化简：统一角，统一名，同角名少为终了．
(2)含2π整数倍的诱导公式的应用
由终边相同的角的关系可知，在计算含有2π的整数倍的三角函数式中可直接将2π的整数倍去掉后再进行运算，如cos(5π－α)＝cos(π－α)＝－cos α.
【训练2】 (1)已知A＝＋(k∈Z)，则A的值构成的集合是(　　)
A．{1，－1，2，－2} B．{－1，1}
C．{2，－2} D．{1，－1，0，2，－2}
(2)化简：＝______．
答案　(1)C　(2)－1
解析　(1)当k为偶数时，A＝＋＝2；
k为奇数时，A＝－＝－2.
(2)原式＝
＝＝＝－1.
考点三　诱导公式、同角三角函数关系式的综合
应用
【例3】 (1)已知tan＝，则tan＝________．
(2)已知cos＝，且－π<α<－，则cos＝(　　)
A. B. C．－ D．－
(3)若＋＝，则sin αcos α＝(　　)
A．－ B. C．－或1 D.或－1
答案　(1)－　(2)D　(3)A
解析　(1)∵＋＝π，
∴tan＝tan
＝－tan＝－.
(2)因为＋＝，
所以cos＝sin＝sin.
因为－π<α<－，所以－<α＋<－.
又cos＝>0，所以－<α＋<－，
所以sin＝－
＝－＝－.
(3)由已知得sin α＋cos α＝sin αcos α，
∴1＋2sin αcos α＝3sin2αcos2 α，
∴(sin αcos α－1)(3sin αcos α＋1)＝0，
∵sin αcos α＝sin 2α≤，
∴sin αcos α＝－.
感悟升华　(1)常见的互余的角：－α与＋α；＋α与－α；＋α与－α等．
(2)常见的互补的角：＋θ与－θ；＋θ与－θ等．
【训练3】 (1)已知sin＝，则cos＝________________________________________________________________________.
(2)设函数f(x)(x∈R)满足f(x＋π)＝f(x)＋sin x，当0≤x<π时，f(x)＝0，则f＝(　　)
A. B. C．0 D．－
(3)设a∈R，b∈[0，2π]．若对任意实数x都有
sin＝sin(ax＋b)，则满足条件的有序实数对(a，b)的对数为(　　)
A．1 B．2 C．3 D．4
答案　(1)　(2)A　(3)B
解析　(1)∵＋＝，
∴cos＝cos＝sin＝.
(2)由f(x＋π)＝f(x)＋sin x，得f(x＋2π)＝f(x＋π)＋sin(x＋π)＝f(x)＋sin x－sin x＝f(x)，
所以f＝f
＝f＝f＝f＋sinπ.
因为当0≤x<π时，f(x)＝0.
所以f＝0＋＝.
(3)sin＝sin＝sin，
(a，b)＝，又sin＝sin＝sin，(a，b)＝，注意到b∈[0，2π]，只有这两组．故选B.
基础巩固题组
一、选择题
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
1.＝(　　)
A．sin 2－cos 2 B．sin 2＋cos 2
C．±(sin 2－cos 2) D．cos 2－sin 2
答案　A
解析　＝
＝＝|sin 2－cos 2|＝sin 2－cos 2.
2．cos＝，则sin＝(　　)
A. B. C．－ D．－
答案　A
解析　sin＝sin＝cos
＝.
3．(2021·湖州中学质检一)若cos(π－α)＝－，则(　　)
A．sin(－α)＝
B．sin＝－
C．cos(π＋α)＝
D．cos(π＋α)＝－
答案　D
解析　由cos(π－α)＝－得cos α＝，则sin α＝±，sin(－α)＝－sin α＝±，选项A错误；sin＝cos α＝，选项B错误；cos(π＋α)＝－cos α＝－，选项C错误，选项D正确，故选D.
4．已知tan α＝，且α∈，则sin α＝(　　)
A．－ B. C. D．－
答案　A
解析　∵tan α＝＞0，且α∈，∴sin α＜0，
∴sin2α＝＝＝＝，
∴sin α＝－.
5．已知sin α＝，则sin4α－cos4α的值为(　　)
A．－ B．－ C. D.
答案　B
解析　sin4α－cos4α＝sin2α－cos2α＝2sin2α－1＝－.
6．向量a＝，b＝(cos α，1)，且a∥b，则cos＝(　　)
A．－ B. C．－ D．－
答案　A
解析　∵a＝，b＝(cos α，1)，且a∥b，
∴×1－tan αcos α＝0，∴sin α＝，
∴cos＝－sin α＝－.
7．已知tan α＝3，则的值是(　　)
A. B．2 C．－ D．－2
答案　B
解析　原式＝
＝＝＝＝＝2.
8．已知函数f(x)＝asin(πx＋α)＋bcos(πx＋β)，且f(4)＝3，则f(2 019)的值为(　　)
A．－1 B．1 C．3 D．－3
答案　D
解析　∵f(4)＝asin(4π＋α)＋bcos(4π＋β)
＝asin α＋bcos β＝3，
∴f(2 019)＝asin(2 019π＋α)＋bcos(2 019π＋β)
＝asin(π＋α)＋bcos(π＋β)＝－asin α－bcos β
＝－3.
二、填空题
9．sin 750°＝________．
答案　
解析　sin 750°＝sin(720°＋30°)＝sin 30°＝.
10．(2021·上海长宁区质检)已知sin α＝，则cos＝________．
答案　－
解析　由诱导公式知cos＝－sin α＝－，故填－.
11．化简：＝________．
答案　1
解析　原式＝＝＝1.
12．已知α为钝角，sin＝，则sin＝________．
答案　－
解析　因为α为钝角，所以cos＝－，
所以sin＝cos＝cos
＝－.
13．已知θ是第四象限角，且sin＝，则tan＝________．
答案　－
解析　由题意，得cos＝，∴tan＝.
∴tan＝tan＝－＝－.
14．若－<α<0，sin α＋cos α＝，则
(1)sin αcos α＝________；
(2)sin α－cos α＝________．
答案　(1)－　(2)－
解析　(1)将sin α＋cos α＝两边同时平方可得，
sin2α＋2sin αcos α＋cos2α＝，
即2sin αcos α＝－，∴sin αcos α＝－.
(2)由(1)得(sin α－cos α)2＝1－2sin αcos α＝.
∵－<α<0，∴sin α<0，cos α>0，
∴sin α－cos α<0，∴sin α－cos α＝－.
能力提升题组
15．若sin θ，cos θ是方程4x2＋2mx＋m＝0的两根，则m的值为(　　)
A．1＋ B．1－ C．1± D．－1－
答案　B
解析　由题意知sin θ＋cos θ＝－，sin θ·cos θ＝.
又＝1＋2sin θcos θ，
∴＝1＋，解得m＝1±.
又Δ＝4m2－16m≥0，∴m≤0或m≥4，∴m＝1－.
16．已知sin(π＋θ)＝－cos(2π－θ)，|θ|<，则θ＝(　　)
A．－ B．－ C. D.
答案　D
解析　∵sin(π＋θ)＝－cos(2π－θ)，
∴－sin θ＝－cos θ，
∴tan θ＝，∵|θ|＜，∴θ＝.
17．sin21°＋sin22°＋…＋sin290°＝________；cos21°＋cos22°＋…＋cos290°＝________．
答案　　
解析　sin21°＋sin22°＋…＋sin290°＝sin21°＋sin22°＋…＋sin244°＋sin245°＋cos244°＋cos243°＋…＋cos21°＋sin290°＝(sin21°＋cos21°)＋(sin22°＋cos22°)＋…＋(sin244°＋cos244°)＋sin245°＋sin290°＝44＋＋1＝.∴cos21°＋cos22°＋…＋cos290°＝90－(sin21°＋sin22°＋…＋sin290°)＝.
18．(2020·绍兴一中适应性考试)若sin＝，则cos α＝________，cos 2α＋cos α＝________．
答案　　－
解析　由sin＝得cos α＝，故由倍角公式得cos 2α＋cos α＝2cos2α＋cos α－1＝－.
19．已知cos＝a，则cos＋sin＝
________．
答案　0
解析　∵cos＝cos
＝－cos＝－a.
sin＝sin＝cos＝a，
∴cos＋sin＝0.
20．已知：f(α)＝.
(1)化简f(α)的结果为________；
(2)若角α的终边在第二象限且sin α＝，则f(α)＝________．
答案　(1)－cos α　(2)
解析　(1)f(α)＝
＝
＝－cos α.
(2)由题意知cos α＝－＝－，∴f(α)＝
－cos α＝.
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